Esercitazione sulla trasformata di Laplace
13 febbraio 2013
Esercizio 0.1 Calcolare la trasformata di Laplace dei segnali causali definiti da


se 0 < t < 1,
1
u(t) = rect(t − 2), v(t) = −2 se 1 ≤ t ≤ 2 w(t) = H(t)t rect(t − 1/2),


0
altrimenti.
z(t) = H(t)(1 − |t − 1|)+ ,
x(t) = H(t)
et − 1
,
t
y(t) = H(t)et−1 + H(t − 1)et + H(t − 2) cos t
Esercizio 0.2 Calcolare la trasformata di Laplace del segnale causale e continuo u che è lineare
in ogni intervallo (0, 1), (1, 2), (2, 3) tale che
u(0+) = 1, u(1) = 0, u(2) = 1, u(3) = 0,
u(t) ≡ 0 per t > 3.
Medesimo calcolo per v caratterizzato da
v(0+) = 0, v(1) = 1, v(2) = 3, v(t) ≡ 3 per t > 2.
Esercizio 0.3 Calcolare la trasformata di Laplace dei seguenti segnali, precisando l’ascissa di
convergenza:
(
sin(t − π/4) se t ≥ π/4
u(t) :=
v(t) := H(t) sin(t − π/4),
0
altrimenti.
(
sin(4t − π) se t ≥ π/4
w(t) :=
0
altrimenti.
H(t)teαt cos ωt,
H(t)teαt sin ωt,
H(t)eαt sin ωt cos(ωt),
H(t)eαt sin2 ωt
Esercizio 0.4 Calcolare la trasformata di Laplace dei segnali
H(t) cos t sin(2t), H(t)(t cos t)2 , H(t)t4 e−2t (cos t + i sin t),
d2 H(t) 2 t4 e−2t (cos t + i sin t) , H(t − 2)(t − 3)et−4
dt
Esercizio 0.5 Calcolare l’antitrasformata di Laplace dei segnali
1
1
1
, U2 (s) =
, U3 (s) =
,
(s − 1)(s − 2)(s − 3)
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
(s + 1)2 (s − 2)
s+1
2s − 1
e−s
e−2s
d s+4
U4 (s) = 2
, U5 (s) = 2
, U6 (s) =
+ 2
, U7 (s) =
s +4
s − 2s + 2
s
s +1
ds (s2 + 2)
U1 (s) =
1
Esercizio 0.6 Risolvere con la trasformata di Laplace le equazioni differenziali per t > 0
(
(
u000 − 2u00 + u0 − 2u = t
u(4) − u = 0
A)
B)
u(0) = u0 (0) = 0, u00 (0) = 1
u(0) = 0, u0 (0) = 1, u00 (0) = 2, u000 (0) = 3.
(
(
u000 − 6u00 + 11u0 − 6u = 0
u00 + 2u0 + u = 3e2t
C)
D)
u(0) = u0 (0) = 0, u00 (0) = 2
u(0) = 2, u0 (0) = −2.
(
u(4) + 8u00 + 16u = 0
E)
u(0) = u0 (0) = 1, u00 (0) = u000 (0) = −4.
2
Soluzioni
Esercizio 0.1 Calcoliamo preliminarmente
Z +∞
Z
L
−st
rect(t − 1/2) −→
rect(t − 1/2)e dt =
−∞
1
e
−st
0
1 − e−s
dt =
,
s
oppure
L
rect(t − 1/2) = H(t) − H(t − 1) −→
es/2 − e−s/2
1 − e−s
1 e−s
−
=
= e−s/2
,
s
s
s
s
F
oppure, dato che rect(t − 1/2) −→ e−πif sinc(f ),
L
rect(t − 1/2) −→ e−s/2 sinc
s .
2πi
u(t) = rect(t − 3/2 − 1/2)
−s
L
− 32 s 1 − e
−→ e
s
s −2s
= e sinc
;
2πi
v(t) = rect(t − 1/2) − 2 rect(t − 3/2)
−s
−s
1 − 3e−s + 2e−2s
L 1−e
−s 1 − e
−→
− 2e
=
s
s s
s −s/2
−3s/2
= e
− 2e
;
sinc
2πi
−se−s − e−s + 1
d 1 − e−s
L
=
;
w(t) −→ −
ds
s
s2
oppure
w(t) = tH(t) − tH(t − 1)
= tH(t) − (t − 1)H(t − 1) − H(t − 1)
1
e−s e−s
L
−→ 2 − 2 −
;
s
s
s
F
z(t) −→ e−2πif sinc2 (f )
s 1 − e−s 2
L
−s
2
⇒ z(t) −→ e sinc
=
;
2πi
s
Z +∞
1
1
s−1
L
− dz = − log
;
x(t) −→
z−1 z
s
s
riguardo a y, notiamo che i primi due termini si possono riscrivere come e−1 H(t)et , eH(t−1)et−1 ,
rispettivamente. Il terzo termine si può trattare cosı̀:
H(t − 2) cos(t) = H(t − 2) cos(t − 2 + 2)
= H(t − 2) cos(t − 2) cos(2) − sin(t − 2) sin(2)
= cos(2)S2 [H cos] − sin(2)S2 [H sin].
L
⇒ y(t) −→
1
e1−s
se−2s
e−2s
+
+ cos(2) 2
+ sin(2) 2
.
e(s − 1) s − 1
s +1
s +1
3
Esercizio 0.2 Utilizzando i segnali w e z introdotti nell’esercizio precedente, il segnale u si può
decomporre come
u(t) = H(t) rect(t − 1/2) − w(t) + S1 [z](t),
e quindi
U(s) =
1 − e−s
− W(s) + e−s Z(s).
s
Per v calcoliamo
v(t) = w(t) + 2w(t − 1) + H(t − 1) + 3H(t − 2),
V(s) = W(s) + 2e−s W(s) +
e−s 3e−2s
+
.
s
s
Esercizio 0.3 Calcolare le trasformate di Laplace.
L
• u(t) = H(t − π/4) sin(t − π/4) −→
e−πs/4
;
s2 + 1
√ 2
1
s
−
• v(t) = H(t) sin(t) cos(π/4) − cos(t) sin(π/4) −→
2
s2 + 1 s2 + 1
L
L
• w(t) = H(4t − π) sin(4t − π) = R 1 Sπ [H sin] −→
4
1 e−πs/4
4e−πs/4
=
;
4 (s/4)2 + 1
s2 + 4 2
1
1
1
+
• H(t)te cos ωt −→
2
2 (s − iω − α)
(s + iω − α)2
1
1
1
1
L
αt
αt
• H(t)te sin(ωt) cos(ωt) = H(t)te sin(2ωt) −→
−
2
4i (s − i2ω − α)2 (s + i2ω − α)2
L
αt
Esercizio 0.4 Calcolare le trasformate di Laplace.
• H(t) cos t sin(2t).
s
,
H(t) cos t −→ 2
s +1
L
1
s − 2i
s + 2i
H(t) cos t sin(2t) −→
−
.
2i (s − 2i)2 + 1 (s + 2i)2 + 1
L
• H(t)(t cos t)2
1 + cos(2t)
2
1
1
1
1
1
1
L
2
2
= H(t)t + H(t)t cos(2t) −→ 3 +
+
.
2
2
s
2 (s − 2i)3 (s + 2i)3
H(t)(t cos t)2 = H(t)t2
• H(t)t4 e−2t (cos t + i sin t)
L
H(t)t4 e−2t (cos t + i sin t) = H(t)t4 e−2t+it −→
4
4!
24
=
.
5
(s − (−2 + i))
(s + 2 − i)5
•
2
H(t) dtd 2
4 −2t
te
(cos t + i sin t)
d2
L
u(t) −→ s2 U(s) − su(0+) − u0 (0+)
2
dt
d2 4 −2t
24s2
L
H(t) 2 t e (cos t + i sin t) −→
,
dt
(s + 2 − i)5
(usando, naturalmente, l’esercizio precedente).
• H(t − 2)(t − 3)et−4
H(t − 2)(t − 3)et−4 = H(t − 2)(t − 2 − 1)et−2−2 = S2 [H(t)(t − 1)et−2 ]
L −2
1
1
t−2
−2
t
t
−
H(t)(t − 1)e = e H(t)te − H(t)e −→ e
(s − 1)2 s − 1
1
1
L
t−4
t−2
−2−2s
⇒ H(t − 2)(t − 3)e = S2 [H(t)(t − 1)e ] −→ e
.
−
(s − 1)2 s − 1
Esercizio 0.5
u1 (t) = H(t) Res(U1 (s)est ; s = 1) + Res(U1 (s)est ; s = 2) + Res(U1 (s)est ; s = 3)
est
est
est
= H(t)
+
+
(s − 2)(s − 3) s=1 (s − 1)(s − 3) s=2 (s − 1)(s − 2) s=3
t
e
e3t
2t
= H(t)
−e +
;
2
2
−t
e
e−3t
−2t
−e +
u2 (t) = H(t)
;
2
2
u3 (t) vedi soluzione dell’esercizio 0.6 D);
u4 (t) vedi soluzione dell’esercizio 0.6 E);
u5 (t) = H(t) Res(U5 (s)est ; s = 1 + i) + Res(U5 (s)est ; s = 1 − i)
(2s − 1)est (2s − 1)est +
= H(t)
2s − 2 s=1+i
2s − 2 s=1−i
(1 + 2i)e(1+i)t (1 − 2i)e(1−i)t
= H(t)
−
2i
2i
t
= e H(t) (sin(t) + 2 cos(t)) ,
oppure, riconoscere che
2(s − 1) + 1
s−1
1
U5 (s) =
=2·
+
2
2
(s − 1) + 1
(s − 1) + 1 (s − 1)2 + 1
s
1
= S1 2 · 2
+
e antitrasformare di conseguenza.
s + 1 s2 + 1
u6 (t) = H(t − 1) + H(t − 2) sin(t − 2).
Per U7 definisco
V(s) =
s+4
,
s2 + 2
L −1
V(s) −→ v(t),
5
per la proprietà della moltiplicazione per t so che
L
u7 (t) −→
d
V(s)
ds
⇒ u7 (t) = −tv(t).
Si può usare ancora la formula di Heaviside come negli esercizi precedenti, oppure notare che
√
s
2
s+4
4
√
√ ,
=
+√ ·
2
s +2
s2 + ( 2)2
2 s2 + ( 2)2
e quindi
√
√ √
v(t) = H(t) cos( 2t) + 2 2 sin( 2t) ,
√
√
√ u7 (t) = −H(t)t cos( 2t) + 2 2 sin( 2t) .
Esercizio 0.6 A) Applicando la trasformata di Laplace, otteniamo l’equazione
s3 U(s) − s2 u0 − su1 − u2 − 2(s2 U(s) − su0 − u1 ) + sU(s) − u0 − 2U(s) =
1
.
s2
Raccogliendo U e sostituendo i valori dei dati iniziali si ha
U(s)(s3 − 2s2 + s − 2) =
1
+ 1,
s2
la soluzione u(t) si trova quindi calcolando la trasformata di Laplace inversa di
U(s) =
1 + s2
,
s2 (s3 − 2s2 + s − 2)
ovvero
1
u(t) =
2πi
Z
r+i∞
U(s)est ds,
r−i∞
per un qualunque valore di r maggiore del massimo delle parti reali delle singolarità di U.
Notiamo che U si può fattorizzare come
1 + s2
1 + s2
1
=
= 2
,
2
3
2
2
2
s (s − 2s + s − 2)
s (s − 2)(s + 1)
s (s − 2)
che ha un polo doppio in z1 = 0 e un polo semplice in z2 = 2. Si può quindi calcolare facilmente
u usando il teorema dei residui:
2
X
1
u(t) =
2πi
Res U(s)est ; s = zj
2πi
j=1
per t > 0.
1
Res U(s)est ; s = 2 = 2 e2t ;
2
st d
e
st
Res U(s)e ; s = 0 = lim
s→0 ds
s−2
st
te (s − 2) − est 2t + 1
=
=−
2
(s − 2)
4
s=0
6
In conclusione,
u(t) =
1 2t
e − 2t − 1 ,
4
per t > 0.
B) Applicando la trasformata di Laplace, otteniamo l’equazione
s4 U(s) − s3 u0 − s2 u1 − su2 − u3 − U(s) = 0.
Raccogliendo U e sostituendo i valori dei dati iniziali si ha
U(s)(s4 − 1) = s2 + 2s + 3,
la soluzione u(t) si trova quindi calcolando la trasformata di Laplace inversa di
U(s) =
s2 + 2s + 3
,
s4 − 1
ovvero
1
u(t) =
2πi
Z
r+i∞
U(s)est ds,
r−i∞
per un qualunque valore di r maggiore del massimo delle parti reali delle singolarità di U.
Notiamo che U ha quattro poli semplici, i.e.
z1 = 1,
z2 = −1,
z3 = i,
z4 = −i.
Si può quindi calcolare facilmente u usando il teorema dei residui:
4
X
1
u(t) =
2πi
Res U(s)est ; s = zj
2πi
j=1
per t > 0.
Ricordando che per poli semplici si può utilizzare la derivata del denominatore (in questo caso
d
{s4 − 1} = 4s3 ), calcoliamo
ds
1+2+3 t 3 t
e = e;
Res U(s)est ; s = 1 =
4
2
1
−
2
+
3
e−t
Res U(s)est ; s = −1 =
e−t = −
;
−4
2
−1 + 2i + 3 it
i + 1 it
Res U(s)est ; s = i =
e =−
e ;
−4i
2i
−1 − 2i + 3 −it 1 − i −it
Res U(s)est ; s = −i =
e =
e .
4i
2i
In conclusione,
3
e−t
u(t) = et −
− sin(t) − cos(t),
2
2
per t > 0.
C) Il polinomio caratteristico dell’equazione è Q(s) = s3 − 6s2 + 11s − 6, dato che l’unico
dato iniziale diverso da 0 è u2 , si tratta di trovare la trasformata inversa di
U(s) =
u2
2
= 3
.
2
Q(s)
s − 6s + 11s − 6
7
Q(s) si può fattorizzare come Q(s) = (s − 1)(s − 2)(s − 3). Per calcolare l’inversa scomponiamo
2/Q in fratti semplici:
2
A
B
C
=
+
+
,
Q(s)
s−1 s−2 s−3
con A = 1, B = −2, C = 1. Infine, dato che
L
H(t)eαt −→
1
,
s−α
concludiamo
u(t) = H(t) et − 2e2t + e3t .
D) Applicando la trasformata di Laplace, raccogliendo U e usando i dati iniziali, otteniamo
U(s)(s2 + 2s + 1) =
U(s) =
(s2
3
+ 2s + 2,
s−2
3
2(s + 1)
3
2
+ 2
=
+
.
2
+ 2s + 1)(s − 2) s + 2s + 1
(s + 1) (s − 2) s + 1
La prima frazione ha un polo doppio in s = −1 e un polo semplice in s = 2, si può quindi
scomporre come
3
A1
A2
B
=
+
+
,
2
2
(s + 1) (s − 2)
s + 1 (s + 1)
s−2
con B = 1/3, A2 = −1, A1 = −1/3. Ricordando le trasformate
1
,
s−α
1
L
,
−→
(s − α)2
L
H(t)eαt −→
H(t)teαt
otteniamo
−t
e
e2t
−t
u(t) = H(t) −
− te +
+ 2H(t)e−t .
3
3
E) Applichiamo la trasformata di Laplace
s4 U(s) + 8s2 U(s) + 16U(s) = s3 u0 + s2 u1 + su2 + u3 + 8(su0 + u1 ),
utilizziamo i dati iniziali
U(s)(s4 + 8s2 + 16) = s3 + s2 − 4s + −4 + 8s + 8
= s3 + s2 + 4s + 4
= s3 + 4s + s2 + 4
= (s + 1)(s2 + 4)
U(s)(s4 + 8s2 + 16) = U(s)(s2 + 4)2 = (s + 1)(s2 + 4)
U(s) =
s+1
.
s2 + 4
8
Modo 1: riconosciamo che
s
,
+ ω2
ω
L
H(t) sin(ωt) −→ 2
,
s + ω2
L
H(t) cos(ωt) −→
s2
e quindi
s+1
s
1
s
1 2 L −1
1
= 2
+
= 2
+
−→ H(t) cos(2t) + sin(2t) .
s2 + 4
s + 4 s2 + 4
s + 4 2 s2 + 4
2
Modo 2: usiamo il teorema dei residui. Le singolarità di U(s) sono z1 = 2i e z2 = −2i, poli
semplici, quindi per t > 0
u(t) =
2
X
2i + 1 2it 1 − 2i −2it
e +
e .
Res U(s)est ; s = zj =
4i
−4i
j=1
Per esercizio, verificare che le soluzioni ottenute nei due modi sono identiche.
9