Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Equazioni di Reazione e Diffusione
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
a.a. 2007-2008
Laurea in Ingegneria Gestionale
Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Laurea Specialistica in Ingegneria Informatica
Prof.ssa: Chiara Mocenni
http://www.dii.unisi.it/~mocenni/mgsa-teach-07-08.html
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
L’equazione
∂u
− DΔu= f u,x,y,t
∂t
dove
∂u
∂t
e’ la derivata temporale
∂2
Δ=
∂x2
∂2
∂y2
e’ l’operatore laplaciano (diffusione)
u(x,y,t) rappresenta una densità o concentrazione,
D e’ il coefficiente di diffusione,
f(u,x,y,t) e’ il termine di reazione
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
∂u
u
2
− DΔu= au − bu = ru 1 −
∂t
K
dove r=a e K=a/b.
E’ un caso particolare del modello generale di reazione-diffusione; può
essere considerato un'estensione dell'equazione logistica che tiene
conto della diffusione spaziale.
vedi anche: http://it.wikipedia.org/wiki/Reazione-diffusione
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
 Il termine di reazione è descritto dal contributo nonlineare: f(u) =
au − bu2 composto dai termini:
 generazione malthusiana, cioè proporzionale all densita': au;
 limitazione nonlineare all'accrescimento della densita' u,
proporzionale al quadrato della densita': − bu2
 Si capisce bene che questo termine definisce un valore critico
locale della densità u: u * = a / b per il quale il termine di reazione
si annulla e il processo diviene localmente di pura diffusione. Tale
densità critica definisce il limite locale superiore, oltre il quale la
densità non puo' crescere in situazione di regime.
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Interpretazione ecologica dell'equazione di
Fisher
 Se la densità u(x,y,t) rappresenta la densità di popolamento in un certo
punto e in un certo istante, l'equazione di Fisher descrive la
combinazione dei seguenti effetti :
 migrazioni verso regioni ancora disabitate o poco abitate (diffusione);
 aumento locale della popolazione (generazione malthusiana);
 freno all'aumento della popolazione (effetto del secondo ordine di
saturazione) dato dalla disponibilità limitata di risorse, a causa del
quale localmente la popolazione non può superare una certa soglia o
densità di saturazione (a/b); al di sopra di questa soglia locale il termine
non omogeneo di reazione diviene distruttivo.
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Modello preda-predatore con diffusione
∂u
u
u
− D 1 Δu= ru 1 − − pv
∂t
K
a+ u
∂v
u
− D 2 Δv= epv
− mv
∂t
a+ u
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Punto 1
Punto 3
Punto 2
Punto 4
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Dinamica temporale
u in 4 punti del dominio
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Evoluzione temporale
v in 4 punti del dominio