Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Modelli ecologici
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Chiara Mocenni
http://www.dii.unisi.it/~mocenni/
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Modello malthusiano tempo continuo
Il modello logistico
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Il modello Lotka-Volterra
dove:
x = biomassa della risorsa;
y = biomassa del consumatore;
(x) = crescita della risorsa;
 = mortalità del consumatore;
p(x) = risposta funzionale del consumatore (predatore).
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
La risposta funzionale di tipo I
p( x)  min( ax, 1 )
h
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La risposta funzionale di tipo II
x
p( x) 
x
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La risposta funzionale di tipo III
p( x) 
x
  x  x 2
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Il modello Lotka-Volterra modificato
E’ il primo modello consumatore-risorsa con risposta
funzionale lineare. Espresso, nella sua forma
originale, dalle seguenti equazioni:
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La competizione interspecifica
 N1
dN1
N2 
 r1 N1 1 
 b12

dt
K1 
 K1
 N2
dN 2
N1 
 r2 N 2 1 
 b21

dt
K2 
 K2
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Modello adimensionale
du
 u1  u  a12v 
dt
dv
 v1  v  a21u 
dt
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Equilibri del modello
 A(0,0);
 B(1,0);
 C(0,1);
 D(u*,v*);
1  a12
1  a21
u* 
; v* 
1  a12a21
1  a12a21
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Matrice Jacobiano
 a12u
1  2u  a12v


J  
 1  2v  a21u 
  a21v
A e’ sempre instabile;
B e’ stabile per a21 > 1;
C e’ stabile per a12 > 1
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 Autovalori
a12  1   a21  1  a12  1   a21  12  4  1  a12a21 a12  1a21  1
1 , 2 
21  a12a21 
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CASO 1.
a12 < 1, a21 < 1: B e C sono instabili, D e’
tale che λ1 < 0; λ2 < 0: stabile;
1/a12
1
C
D
B
A
0
1
1/a21
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CASO 2.
1
a12 > 1, a21 > 1: B e C sono stabili, D
e’ tale che λ2 < 0 < λ1 : sella;
C
Separatrice
1/a12
B
A
1/a21
1
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CASO 3.
a12 < 1, a21 > 1: B e’ l’unico equilibrio
stabile
1/a12
1
C
B
A
1/a21
1
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CASO 4.
a12 > 1, a21 < 1: C e’ l’unico equilibrio
stabile
C
1
1/a12
A
B
1
1/a21
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Riassumendo
 CASO 1. a12 < 1, a21 < 1: B e C sono instabili, D e’ tale
che λ1 < 0; λ2 < 0: stabile;
 CASO 2. a12 > 1, a21 > 1: B e C sono stabili, D e’ tale
che λ2 < 0 < λ1 : sella;
 CASO 3. a12 < 1, a21 > 1: B e’ l’unico equilibrio stabile
 CASO 4. a12 > 1, a21 < 1: C e’ l’unico equilibrio stabile