CAMBIAMENTO DI
VARIABILI IN
INTEGRALI
DOPPI E TRIPLI.
Argomenti della lezione
 Cambiamento di
variabili per integrali
doppi e tripli
 Applicazioni al calcolo
di aree, volumi,
baricentri, momenti
CAMBIAMENTO DI
VARIABILI IN
INTEGRALI
DOPPI E TRIPLI.
Il teorema sul cambiamento di
variabili negli integrali multipli,
in particolare doppi e tripli, è uno
dei teoremi più sofisticati del
Calcolo. Noi ci limiteremo ad
enunciarlo e a mostrarne
l’applicazione nei casi più comuni
Abbiamo già introdotto la nozione
di funzione localmente invertibile.
Ripetiamo e precisiamo meglio
questa nozione
Abbiamo affermato che se
f : A  Rm  Rm, A aperto, è di classe
C1(A), e se det J(xf)(x0) ≠ 0 allora f è
localmente invertibile; cioè esistono
intorni aperti U di x0 e V di y0 = f(x0)
tra i quali f è biiettiva; dunque
f(U) = V
Sappiamo che se una trasformazione
è regolare, essa ha il determinate
jacobiano non nullo in ogni punto del
dominio e quindi f(A) è aperto anche
se f non è necessariamente iniettiva
su A. Una siffatta f è adatta a definire
un cambiamento di variabili. Si può
dimostrare poi che i punti singolari
non costituiscono un insieme molto
“pesante” (ha misura nulla secondo
Lebesgue: Teorema di Sard)
Inoltre l’inversa locale tra gli intorni
aperti V e U è di classe C1(V), e la sua
matrice jacobiana è l’inversa della
matrice jacobiana di f.
Con queste precisazioni, possiamo
enunciare il teorema sul cambiamento
di variabili negli integrali multipli
Teorema
(cambiamento di variabili )
Sia h : U  Rm  V  Rm, U, V aperti,
regolare e di classe C1(U), sia E  U
un compatto PJ-misurabile e f:h(E)R
integrabile. Allora è integrabile f•h
su E e si ha
 f (y)dy =  f (h(x))| det h(x) | dx
h(E)
E
Per brevità di notazione abbiamo
indicato y=h(x), e scritto h’(x) al
posto della matrice jacobiana.
È chiaro che questa trasformazione
di coordinate è conveniente se
l’integrazione su E è più agevole di
quella su h(E); per esempio E è
un rettangolo e la nuova funzione
da integrare non è troppo complicata
Esempio:
Si voglia calcolare
E (x + y)dxdy
con E = {(x,y): 0<x≤y≤2x, 1≤xy≤2}
Posto u= x y e v = y/x , la
Trasformazione h così individuata
manda l’insieme E del piano xy
nel rettangolo J= [1,2][1,2] del
piano uv. La trasformazione inversa
di h è

u
x=

g(u,v) : 
v
y
 = u  v
che ha determinate jacobiano
det g’(u,v) = 1/2v > 0
Dunque
E (x + y)dxdy
u
1
=  (
uv ) dudv
+
J
v
2v
A conti fatti si trova 1/3 (4 -  2).
Il dominio è divenuto un rettangolo e
la funzione non si è troppo complicata
A parte i cambiamenti di variabili
che possono essere suggeriti dalla
natura del problema (tipo di dominio
o particolarità della funzione), come
abbiamo visto nell’esempio
precedente, i tipi di trasformazioni
di coordinate più comuni, sono
quelli che già abbiamo introdotto
in una lezione precedente:
il cambiamento di coordinate polari
o (polari ellittiche) nel piano; il
cambiamento di coordinate cilindriche
(o cilindrico ellittiche) e il
cambiamento di coordinate sferiche
(o ellissoidali) nello spazio.
Precisamente
COORDINATE POLARI
Sono le coordinate così individuate
x = r cos J

r  0, 0  J < 2p

y = r sen J
Sappiamo che questa
trasformazione ha un solo punto
singolare: l’origine (0,0)T
Infatti il determinante jacobiano è
det J(xr y) = r
La trasformazione è biiettiva tra
R2\(0,0)T, e {(r,): r>0, 0 <  < 2π}
Cioè vi è corrispondenza biunivoca
tra tutto il piano x y privato
dell’origine e una striscia infinita
nel piano r . Se indichiamo con
h-1(x,y) la trasformazione che a r,
fa corrispondere x,y abbiamo
E f (x, y)dxdy =
=  f (r cos J ,r senJ )r drdJ
h-1 (E)
Se il dominio E è un’ellisse o parte
di essa di semiassi a e b, è
conveniente usare le coordinate
polari ellittiche x = a r cos  ,
y = b r sen  . Il determinante
Jacobiano è a b r
Mostriamo come ciò sia utile nel
calcolo dell’area di un ellisse o del
volume di un ellissoide
Sia E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 = 1}
m(E) =  dxdy =  abrdrdJ
E
h (E)
-1
Si trova facilmente m(E) = πab
Calcolo del volume di un ellissoide
E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1}
Si trova, dopo qualche calcolo non
difficile, m(E) = (4/3)π abc
Ricordiamo che il calcolo in
coordinate cartesiane presentava
invece qualche difficoltà
COORDINATE CILINDRICHE
Sono le coordinate così individuate
x = r cos J

y = r senJ
z = u
0, 0  J < 2p , u  R
r


Il determinante jacobiano
di questa trasformazione è r. L’asse
z è fatto di punti singolari
La trasformazione è biunivoca tra
l’aperto dato da R3\{asse z} dello
spazio x y z e l’aperto r > 0,
0 <  < 2π, u  R, dello spazio r  u.
Si può combinare questa
trasformazione con quella delle
coordinate ellittiche
COORDINATE SFERICHE
Sono le coordinate così descritte
x = r sen j cos J

y = r sen j cos J
z
cos
=
r
j

r  0, 0  j  p, 0  J < 2p
Il determinante jacobiano di questa
trasformazione è r2 sen . L’asse z è
fatto tutto di punti singolari.
La trasformazione è biunivoca tra
l’aperto dato da R3\{semipiano x z,
con x≤ 0} dello spazio x y z e l’aperto
r> 0, 0 <  < π, 0 <  < 2π, dello
spazio r  . Si può combinare questa trasformazione con quella delle
coordinate ellittiche
Mostriamo come ciò sia facilissimo
con questa trasformazione calcolare
il volume dell’ellissoide
E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1}
1
p
2p
0
0
0
2
dxdydz

= abc  r dr  sen jd j  dJ
E
Si trova facilmente, come noto,
(4/3)π abc
APPLICAZIONI AL
CALCOLO DI
AREE, VOLUMI,
BARICENTRI,
MOMENTI
Già abbiamo applicato le
trasformazioni di coordinate per
calcolare alcune aree e volumi
notevoli. Vogliamo ora presentare
alcuni ulteriori esempi
Si calcolino i seguenti integrali
doppi
1) Calcolare

E
x 2 + y 2 dxdy
dove E è la semicorona circolare
con y ≥ 0 compresa tra i cerchi di
raggi 2 e 3 e centro nell’origine
2) Calcolare
y
E arctg x dxdy
dove E è la parte di piano compresa
fra la spirale d’Archimede
d’equazione r = 2 , per 0≤  ≤ π,
e l’asse x.
3) Calcolare
E (x + y )dxdy
2
2
dove E è la parte di piano compresa
fra l’asse x, la circonferenza di
raggio 1 e centro l’origine e la
circonferenza di raggio 1 e centro
in (1,0)T
Si calcolino i seguenti volumi
1) Volume della porzione di
semisfera per z ≥ 0, che si proietta
Sul piano x y sulla circonferenza di
diametro r e centro in (r/2,0)T
2) Volume della porzione di cilindro
circolare d’equazione z = √1-x2 ,
che si proietta sul piano x y sul
triangolo rettangolo di vertici (0,0)T,
(1,0)T, (0,1)T
3) Volume della porzione di
superficie paraboloidica d’equazione
2 p z = x2 + y2 che si proietta sul
piano x y in un cerchio con centro
nell’origine a raggio r
BARICENTRI
Il baricentro d’una lamina piana
E è dato dal punto di coordinate
x=
E xdxdy
m(E)
, y=
 ydxdy
E
m(E)
Si calcolino i seguenti baricentri
1) Di un triangolo rettangolo
2) Di un settore circolare
3) Di una semiellissi
4) Di un segmento di parabola
MOMENTI D’INERZIA
Il momento d’inerzia di un solido
di densità unitaria rispetto a un asse
assunto come asse z, solido che
occupa la regione dello spazio E,
è dato da
M =  (x + y )dxdydz
2
E
2
Si calcolino i seguenti momenti
d’inerzia
1) Di un parallelepipedo rettangolo,
rispetto ad uno spigolo
2) Di un cilindro rotondo, rispetto
all’asse
3) Di un ellissoide, rispetto ad un
asse