ANALISI
COMBINATORIA
LE DISPOSIZIONI SEMPLICI
Dati “n” elementi distinti si chiamano
Disposizioni Semplici
di “n” elementi di classe “k”
e si indica con D n,k
il numero dei gruppi formati da k elementi
diversi
tale che due gruppi qualsiasi differiscono per
gli elementi o per l’ordine.
Come si calcola
Dn,k
Dn,k = n(n-1)(n-2)…..(n-k+1)
Più semplicemente….
Si parte da “n” e si scende ogni volta di
un’unità fin quando si sono considerati k
numeri
Esempi di calcolo di Dn,k
D7,2= 7 x 6=
42
D6,3= 6 x 5 x 4 =
120
D5,4= 5 x 4 x 3 x 2=
120
Problemi con le disposizioni

Con i valori 3,4,5,7,8
quanti numeri di 3
cifre diverse posso
ottenere?
n=5 k=3
D5,3 = 5 x 4 x 3 = 60
Problemi con le disposizioni

Dati i valori 4,5,8,2,6 quanti numeri di 3
cifre diverse e pari si possono ottenere?
Un numero pari deve terminare con una
delle cifre 4,8,2,6
Prima possibilità:
? ? 4 cioè l’ultima cifra deve essere 4
le prime due le posso scegliere tra le
restanti 4 cifre a disposizione
Quindi ho D4,2 =4 x 3 = 12
Questo discorso lo posso ripetere in totale
4 volte ed ottengo:
12 x 4 =
48
LE PERMUTAZIONI SEMPLICI
Dati “n” elementi distinti si chiamano
Permutazioni Semplici
di “n” elementi
e si indica con Pn
il numero dei gruppi formati da tutti gli n
elementi
tale che due gruppi qualsiasi differiscono per
per l’ordine.
Come si calcola
Pn
Pn = n(n-1)(n-2)…..1
Più semplicemente….
Si parte da “n” e si scende ogni volta di
un’unità fin quando si arriva ad 1
Esempi di calcolo di Pn
P 4= 4 x 3 x 2 x 1
24
P5= 5 x 4 x 3 x 2 x 1=
120
P3= 3 x 2 x 1=
6
Problemi con le Permutazioni

Quanti sono gli anagrammi dalla
parola “ CANE” ?
Si hanno 4 lettere diverse da
“permutare”
Quindi ho P4 =
4 x 3 x 2 x 1=
24
Problemi con le Permutazioni

Quanti sono gli anagrammi dalla parola “
MAMMA” ?
Si hanno 5 lettere da “permutare” ma “M”
si ripete 3 volte ed “A si ripete 2 volte
Quindi ho P5 /
(p3 x p2) =
5x4x3x2x1/3x2x1x2x1=
=120/12 =
10
LE COMBINAZIONI SEMPLICI
Dati “n” elementi distinti si chiamano
Combinazioni Semplici
di “n” elementi di classe “k”
e si indica con C n,k
il numero dei gruppi formati da k elementi
diversi
tale che due gruppi qualsiasi differiscono
solo per gli elementi.
Come si calcola
Cn,k
Cn,k = Dn,k / Pk
Più semplicemente….
 Al
numeratore ci sono le disposizioni
semplici
 Al denominatore ci sono le permutazioni
semplici su “k” elementi
Esempi di calcolo di Cn,k
c7,2= (7 x 6) / (2 x1)=
42 /2 = 24
C6,3= (6 x 5 x 4)/(3x2x1) =
120/6 =20
C5,4= (5 x 4 x 3 x 2)/(4x3x2x1)=
120/24=5
Problemi con le combinazioni






Giocando 3 numeri a lotto su una sola ruota,
in quanti modi diversi può uscire il terno?
I numeri del lotto sono 90 ma ne escono solo
5!
Se ne gioco 3 voglio che quei 3 escano quindi
sono “fissati” mentre gli altri 2 possono
essere numeri qualsiasi.
Si tratta di combinazioni perché l’ordine non
conta!
Dei 90 numeri devo togliere i 3 che devono
uscire per forza, quindi n=87 (90-3) e nella
cinquina mi rimangono 2 caselle libere cioè
k=2.
Quindi C87,2 =(87x86x85)/(2x1)