CALCOLO
COMBINATORIO

Che cos’è il calcolo combinatorio?

Concetto di raggruppamenti semplici
e di raggruppamenti con ripetizione

Disposizioni

Permutazioni

Combinazioni
PROBLEMI
1.
In quanti modi diversi 4 ragazzi di una compagnia di 9 amici si
possono sedere su 4 poltrone libere di un cinema?
2.
Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre 1, 2, 3,
4, 5, 6?
3.
Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della
parola ROMA? E con la parola ALA?
4.
Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto?
5.
In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere
distribuite tra 4 bambini?
E se le caramelle fossero diverse?
CHE COS’E’?
Il calcolo combinatorio è un particolare ramo della
matematica applicata avente come scopo la
costruzione e la misurazione del numero di
raggruppamenti diversi che si possono comporre
prendendo una determinata quantità di elementi in
un assegnato insieme, in modo che siano
rispettate determinate regole.
I RAGGRUPPAMENTI
POSSONO ESSERE:

SEMPLICI: quando gli oggetti sono tutti
diversi

CON RIPETIZIONE: quando gli oggetti
sono presenti una o più volte
ESEMPIO 1
Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di
2 con elementi che non si ripetono
1° modo
COPPIE ORDINATE:
ab
ac
ba
bc
ca
cb
2° modo
COPPIE PER LE QUALI
NON IMPORTA L’ORDINE:
ab
ac
bc
ESEMPIO 2
Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di
2 con elementi possono ripetersi
1° modo
2° modo
COPPIE ORDINATE:
aa ab
ac
bb ba
bc
cc ca
cb
COPPIE PER LE QUALI
NON IMPORTA L’ORDINE:
aa
ab
ac
bb
bc
cc
I DIVERSI TIPI DI
RAGGRUPPAMENTI
DISPOSIZIONI: si tiene conto
dell’ordine degli elementi
COMBINAZIONI: non si tiene conto
dell’ordine degli elementi
COME CALCOLARE IL
NUMERO DI
DISPOSIZIONI?
Problema: in quanti modi 4 ragazzi di una
compagnia di 9 amici possono sedersi su 4
poltrone libere di un cinema?
Problema: in quanti modi 4 ragazzi di una
compagnia di 9 amici possono sedersi su 4
poltrone libere di un cinema?
9
8
7
6
9x8x7x6 = 3024
… wow!
Il numero di DISPOSIZIONI SEMPLICI di
n oggetti distinti presi k per volta è
Dn,k= n(n-1)(n-2) ….. (n-k+1) con n>k
(cioè il prodotto di k numeri naturali
consecutivi, in ordine decrescente, a
partire da n)
il numero delle DISPOSIZIONI CON
RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k
per volta è
il numero delle DISPOSIZIONI CON
RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k
per volta è
D’n,k= nk
CHE COSA SONO LE
PERMUTAZIONI?
PERMUTAZIONI SEMPLICI
ESEMPIO:
COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI (anche
privi di senso) DELLA PAROLA «APE»
P
E
APE
E
P
AEP
A
E
PAE
E
A
PEA
A
P
EAP
P
A
EPA
A
P
E
Le permutazioni semplici di n oggetti distinti sono
tutti i possibili raggruppamenti contenenti la
totalità degli n oggetti e che differiscono solo per
l’ordine
Pn = Dn,n
Pn = n!
PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE:
se tra gli n oggetti dati ve ne sono α
uguali tra loro e β uguali tra loro, il
numero delle permutazioni degli n
oggetti assegnati risulta:
Pn
(α, β )
=
n!
α! * β!
COME CALCOLARE IL
NUMERO DI
COMBINAZIONI?
Problema: quanti terni si possono fare con i
90 numeri del Lotto?
La situazione è simile a quella del problema
degli amici al cinema, ma stavolta l’ordine
non conta, quindi bisogna dividere le
disposizioni di 90 oggetti presi 3 per volta
per il numero delle permutazioni di tre
oggetti
Problema: quanti terni si possono fare con i
90 numeri del Lotto?
90  89  88
 234960
3!
Il n° di COMBINAZIONI SEMPLICI di n
oggetti distinti presi k per volta è
Cn,k = Dn,k / k! = (
n
k
)
Il numero delle COMBINAZIONI CON
RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi
k per volta è
C’n,k=
n(n+1)…..(n+k-1)
(n+k-1)
n(n+1)…..
kk! !
(cioè è il prodotto di k fattori crescenti
a partire da n, diviso per k! )