FORMULE DI
GAUSS-GREEN
NEL PIANO.
CAMPI
VETTORIALI
Argomenti della lezione
 Formule di GaussGreen nel piano
 Campi vettoriali
(forme differenziali)
FORM ULE DI
GAUSS-GREEN
NEL PIANO
Un teorema di topologia piana
fortemente intuitivo, ma difficile da
dimostrare, è il famoso teorema di
Jordan (Marie Ennemond Camille)
(1887):
Se (t) è una curva continua semplice
chiusa in R2, il suo sostegno divide
il piano in due aperti: uno limitato,
detto dei punti interni alla curva;
l’altro illimitato dei punti esterni
La prima dimostrazione rigorosa del
teorema si deve al matematico
americano Oswald Veblen (1905)
punti esterni

punti interni
Un aperto connesso che ha come
frontiera una curva generalmente
regolare, semplice, chiusa si dice
semplicemente connesso.
Se la frontiera del dominio aperto è
costituita da più curve generalmente
regolari semplici e chiuse i sostegni
delle quali sono contenuti nei punti
interni di un’unica curva e che hanno
le chiusure dei punti interni a due a
due disgiunte, diremo che il dominio
è molteplicemente connesso
Una situazione tipica è la seguente
1
t
0
n
3
2
Evidentemente la frontiera del
dominio A è trascurabile e quindi il
dominio è misurabile secondo PJ.
Infatti la frontiera è l’unione di un
numero finito di grafici di funzioni
continue. Un tale dominio si dirà
un dominio regolare. Una curva
chiusa generalmente regolare ha
un’orientazione intrinseca: siano t
il versore tangente e n un versore
normale.
Diremo che l’orientazione della curva
 è positiva se, essendo la coppia t n
congruente ai versori degli assi (i e j o
e1 ed e2), la normale n punta verso
l’interno di .
Tale orientazione si dice anche
antioraria. Se il bordo di A è dato da
più curve chiuse, l’orientazione
positiva della curva esterna è
antioraria mentre quella delle curve
interne è oraria
Teorema
(Formule di Gauss-Green
o di Green-Riemann)
Sia A un dominio regolare, di frontiera
∂A =  = 0 + 1 + .. + k positivamente
orientata e siano X(x,y) e Y(x,y)
continue su A  ∂A insieme
con le loro derivate Xy(x,y) e Yy(x,y).
Allora si ha
k
Xdx

A X (x, y)dxdy = - +A Xdx = - 
i = 0 +
y
i
k
Ydy

A Yx (x, y)dxdy = +A Ydy = 
i = 0 +
i
 (Yx - X y )dxdy = +A(Xdx + Ydy)
A
Dimostreremo la formula in un caso
semplificato, nel quale A è un
dominio normale rispetto all’asse x
Sia dunque
A = {(x,y) : a ≤ x ≤ b, h(x) ≤ y ≤ k(x)}
con h(x) e k(x) di classe C1([a,b])
Allora
b
k (x)
a
h(x)
 X y (x, y)dxdy =  dx  X y dy =
A
b
a ( X(x, k(x)) - X(x, h(x)))dx = - AXdx
+
Si è tenuto conto che dx è nullo
lungo i lati verticali
k(x)
A
h(x)
a
b
In modo analogo si dimostra la
seconda formula; la terza è la somma
delle due precedenti e una
simmetrizzazione delle stesse.
Osserviamo che quanto abbiamo
dimostrato è il primo passo per una
dimostrazione completa del teorema
come l’abbiamo enunciato.
Tuttavia i metodi per giungere a una
dimostrazione rigorosa della formula
travalicano le nostre possibilità e gli
scopi di questo corso
È interessante l’applicazione della
formula precedente al calcolo di aree
piane.
Sia  una curva piana generalmente
regolare semplice chiusa che forma
il bordo del dominio A. Poiché la
costante 1 è la derivata rispetto a x
di x o rispetto a y di y
m(A) =  dxdy = A xdy = - Aydx =
+
+
A
1  (xdy ydx)
2 + A
La formula è particolarmente utile
quando si conoscono le equazioni
parametriche di  = +∂A.
Esempi
1) Si calcoli l’area dell’ellisse di
semiassi a e b
L’equazione parametrica
dell’ellisse è x= a cos t, y = b sen t
0 ≤ t ≤ 2π
2p
m(A) = A dxdy =  xdy =  ab cos2 t dt
A
+
= πab
0
2) Si calcoli l’area racchiusa dal
cappio del “folium Cartesii”,
d’equazioni
x = t(t - 1)

t
R
y
t(t
)(
t
)

1

1
2
 =
Il cappio si ottiene prendendo
0≤t≤1
Si vuole calcolare
1
 x(t)y (t)dt =  (6t - 12t + 7t - t)dt =
30
0
0
1
1
4
3
0.3
0.2
0.1
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0
-0.1
-0.2
-0.3
2
Il “foglio di Cartesio”
1
0.5
-2
-1
0
-0.5
-1
0
1
2
CAMPI
VETTORIALI
(FORME
DIFFERENZIALI)
Supponiamo che ad ogni punto di
un aperto A contenuto in R3 (R2) sia
assegnato un vettore F di R3 (R2).
Diremo che in A è assegnato un
campo vettoriale: F = (F1,F2,F3)T
Se invece, in ogni punto di A è
assegnato il valore di una funzione
f(x,y,z) diremo che abbiamo a che
fare con un campo scalare
Nella Fisica abbondano gli esempi
di campi vettoriali (campo di velocità
in un fluido, campo elettrico o
magnetico o campo gravitazionale
nel piano o nello spazio) e di campi
scalari (pressione, densità o
temperatura in un fluido o in un
corpo piano o solido)
In Matematica si preferisce parlare
invece di forme differenziali lineari
in R2 o in R3 o semplicemente di
funzioni (forme di grado 0)
Useremo il linguaggio della Fisica,
formalmente più semplice.
Dato il campo vettoriale F in R3
sappiamo che cosa significa
1
 F , t ds = 0 F( (t)),(t) dt
che, nel caso F sia una forza, dà il
lavoro di F per lo spostamento
lungo .
Un campo vettoriale F su A si dice
conservativo se esiste una funzione
U(x,y,z) definita sull’aperto A, tale
che
F = grad U =  U
La funzione U(x,y,z) si dice un
potenziale di F. Si noti che se
U(x,y,z) è un potenziale, anche
U(x,y,z) + costante è un potenziale
Teorema
Sia F un campo conservativo
continuo su un
aperto A  Rm e  : [a,b]  Rm una
curva regolare con (I)  A, allora
per ogni x, y  A l’integrale di linea
 F , t ds = U(y) - U(x)
dipende solo da x e y
Infatti
1
 F , t ds =  (F1 x1(t) + F2 x2(t) + F3 x3(t)) dt
0
1
=  (Ux (x1(t), x2 , x3 )x1(t) + Ux x2(t) +
0
1
2
+ Ux x3(t)) dt
3
1
d
=  (U(x1(t), x 2 (t), x 3(t))dt = U( (1)) - U( (0))
0 dt
= U(y) - U(x), come si doveva
dimostrare
Teorema
Sia F un campo vettoriale
continuo su un aperto
connesso A  Rm . Allora F è
conservativo se e solo se, per ogni
per ogni x, y  A e per ogni 1 e 2
congiungenti x con y è
 F , t ds =  F, t ds

1
2
Se F è conservativo, per il teorema
precedente la proprietà vale.
Mostriamo che vale il viceversa;
per semplicità ci ambientiamo in R2
Se x0 è un punto arbitrario di A,
definiamo
U(x1, x 2 ) =  F, t ds

essendo  un qualsiasi cammino
congiungente x0 con x.
Se x’ = (x1+h, x2)T e  è il segmento
congiungente x con x’, si ha
U(x1 + h, x2 ) - U(x1 , x2 )
=
h
 F, t ds

h
1 1 F (x th, x )hdt F (x
=
= 1 1 + x h, x2 )
1
1 +
2
h0
con 0 ≤ x ≤ 1. Per la continuità del
campo, se h  0
U F (x , x )
=
1
1
2
x
 1
Analogamente si valuta la derivata
rispetto a x2
Si trova poi che
Corollario
Sia F un campo vettoriale
continuo su un aperto
connesso A  Rm . Allora F è
conservativo se e solo se, per ogni
curva gen. regolare chiusa  è
 F , t ds =0
Se F è un campo vettoriale di classe
C1(A) diremo rotore di F, rot F =  F
il seguente vettore
e1
e2
e3

rot F =
x1
F1

x 2
F2

x 3
F3
F
F
F
F
F
F






3
2
1
3
2
1)
e
(
)
e
(
)
e
(
= 1
+ 2
+ 3
x2 x3
x1 x2
x3 x1
Un campo vettoriale F di classe C1(A)
si dice irrotazionale se rot F = 0
È banale osservare che ogni campo
conservativo di classe C1(A) è
irrotazionale
Se A è connesso e semplicemente
connesso, si può dimostrare che la
condizione di irrotazionalità è
anche sufficiente.