Consorzio HarmoS Matematica
MATEMATICA
Rapporto scientifico di sintesi
e modello di competenza
Versione provvisoria (prima dell’adozione degli standards di base)
Stato : dizembre 2009
Consorzio scientifico :
Pädagogische Hochschule FH Nordwestschweiz, Aarau (Leading house)
Institut de Recherche et de Documentation pédagogique (IRDP), Neuchâtel
Dipartimento dell’educazione, della cultura e dello sport, Divisione della scuola, Bellinzona
Pädagogische Hochschule Bern, Institut für Lehrerinnen- und Lehrerbildung, Bern
Pädagogische Hochschule Zürich
Autori e autrici del rapporto: Helmut Linneweber-Lammerskitten, Beat Wälti, Elisabeth Moser Opitz
Consorzio Matematica
Pädagogische Hochschule FH Nordwestschweiz, Aarau (Leading house) | Helmut LinneweberLammerskitten, Beat Wälti, Robbert Smit
Institut de Recherche et de Documentation pédagogique (IRDP), Neuchâtel | Viridiana Marc, LucOlivier Pochon
Dipartimento dell’educazione, della cultura e dello sport, Divisione della scuola, Bellinzona | Aldo
Frapolli, Larissa Cadorin
Pädagogische Hochschule Bern, Institut für Lehrerinnen- und Lehrerbildung, Bern | Elisabeth
Moser Opitz, Ueli Hirt
Pädagogische Hochschule Zürich | Roland Keller
nonché vari collaboratori e collaboratrici di Svizzera Francese |
Michel Bréchet (JU), Jacques-André Calame (HEP-BEJUNE), Michel Chastellain (HEP-VD), Ninon Guignard
(SRED), Olivier Menge (DECS), Ladislas Ntamakiliro (URSP), Werner Riesen (SREP), Chantal Tièche Christinat
(IRDP), Anne Volet (DGEO)
e vari collaboratori e collaboratrici di Svizzera Tedesca |
Walter Bächtold, Franco Caluori, Werner Jundt, Bernhard Matter
– 2 –
Indice
0
Introduzione
6
1
Aspetti generali del progetto e del suo percorso
8
1.1
Mansioni e composizione del Consorzio
8
1.2
Modalità operative del Consorzio
7
2
Concetto della struttura a matrice
10
2.1
Campi ed aspetti di competenza- il modello a matrice
10
2.2
Legittimazione dei campi di competenza
11
2.3
Legittimazione degli aspetti di competenza
12
2.4
Procedura di metodo per individuare i "can-do"
16
3
Il modello di competenza a livello macro
18
3.1
Campo di competenza ed aspetti di competenza
19
3.2
Livelli di competenza
20
3.3
Dimensione evolutiva
20
3.4
Dimensioni non cognitive: la dimensione affettiva e sociale
21
4
Il modello di competenza a livello meso
24
4.1
Le matrici dei can-do per il 4°, 8° e 11° anno scolastico
23
4.2
Tavola dei livelli di competenza dei problemi per l’8° e l’11° anno
24
4.3
Matrice dei can-do per il 4° anno scolastico
27
4.4
Matrice dei can-do per il 8° anno scolastico
29
4.5
Matrice dei can-do per il 11° anno scolastico
31
4.6
Tavola dei livelli di competenza dei problemi per l’8° anno
33
4.7
Tavola dei livelli di competenza dei problemi per l’11° anno
25
4.8
Tavola dei livelli di competenza concernente gli aspetti di competenza per l’8° anno
35
4.9
Tavola dei livelli di competenza concernente gli aspetti di competenza per l’11° anno
37
5
Il modello di competenza a livello micro
39
5.1
Quadro generale per il 4°, 8° e 11° anno scolastico
39
5.2
Livelli di competenza per il campo di competenza “Numeri e calcolo”, 4° anno
40
5.3
Livelli di competenza per il campo di competenza “Geometria”, 4° anno
42
5.4
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Sapere, riconoscere e descrivere”, 8° anno
43
5.5
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Eseguire e applicare”, 8° anno
44
5.6
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Utilizzare strumenti”, 8° anno
45
5.7
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Rappresentare e comunicare”, 8° anno
46
5.8
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Matematizzare e trasporre”, 8° anno
47
5.9
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Argomentare e giustificare”, 8° anno
48
5.10
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Interpretare e riflettere sui risultati”, 8° anno
49
– 3 –
5.11
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Esplorare e tentare”, 8° anno
50
5.12
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Sapere, riconoscere e descrivere”, 11° anno
51
5.13
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Eseguire e applicare”, 11° anno
52
5.14
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Utilizzare strumenti”, 11° anno
53
5.15
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Rappresentare e comunicare”, 11° anno
54
5.16
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Matematizzare e trasporre”, 11° anno
55
5.17
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Argomentare e giustificare”, 11° anno
56
5.18
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Interpretare e riflettere sui risultati”, 11° anno
57
5.19
Livelli di competenza per l'aspetto di competenza “Esplorare e tentare”, 11° anno
58
6
Ambienti di prova ed esempi di problemi
60
6.1
Ambienti di prova
60
6.2
Esempi di problemi relativi ai settori delle matrici delle competenze
63
6.3
Test pilota e pre-test
63
6.4
Test principale – panoramica della distribuzione per regioni linguistiche
63
6.5
Differenze nei risultati tra le regioni linguistiche
64
6.6
Correlazione tra i singoli campi di competenza ed aspetti di competenza
66
6.7
Conferma dei livelli di difficoltà
67
6.8
Modello di competenza e problemi dei test validati
69
7
Particolarità del modello di competenza per il 4° anno
71
7.1
Scelta dei campi di competenza e degli aspetti di competenza
71
7.2
Fondamenti delle competenze matematiche dei bambini di 8 anni in relazione alla psicologia dell’età evolutiva,
l’ambito specialistico e quello empirico
71
7.2.1
Geometria
71
7.2.2
Numeri e calcolo
73
7.3
Differenze tra le regioni linguistiche
75
7.4
Sviluppare gli standard di base – prevenire le carenze nel calcolo
75
7.5
Sviluppo e prova pratica dei problemi
76
7.6
Test principale
76
7.6.1
Descrizione del campione
76
7.6.2
Commento dei risultati
77
7.6.3
Correlazione tra settori di competenza e aspetti operativi
78
7.6.4
Standard di base per il 4° anno
79
8
Proposte di standard di base
79
8.1
Distribuzione degli allievi nei test di validazione
80
8.2
Giustificazione degli standard di base proposti
81
8.3
Significatività dei risultati del test sul piano individuale
84
9
Limiti del modello di competenza Harmos Matematica
85
– 4 –
10
Bibliografia
86
11
Allegato 1 – Questionario sulla motivazione M11
89
12
Allegato 2 – Valutazione sintetica della motivazione M11
90
13
Allegato 3 – Esempi di problemi HarmoS M8
91
14
Allegato 4 – Esempi di problemi HarmoS M11
91
– 5 –
0 Introduzione
Molti adulti hanno un rapporto conflittuale con la matematica. Da un lato, il suo valore rimane indiscusso:
essa rappresenta la quintessenza della scienza esatta, origine e modello di tutte le scienze e – senza l’ausilio
della matematica – non vi sarebbero progressi nelle scienze naturali e nella tecnica. Dall’altro lato, per
molti adulti, anche istruiti, la matematica incarna ciò che è astratto, difficile, esangue e noioso. La
matematica, come materia scolastica, ha l’importante compito educativo di eliminare o perlomeno di
ridurre questa conflittualità. Senza una formazione di base in matematica, si ha solo un accesso limitato al
mondo di oggi, fatto di informazione, comunicazione e tecnica e si riducono le possibilità di
coinvolgimento e di partecipazione alla vita sociale: essa pertanto è sempre più importante per tutti. Nel
progetto PISA la nozione di cultura matematica (mathematical literacy) è definita come la capacità «di
identificare e di comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni
fondate e di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della vita
di quell’individuo in quanto cittadino che riflette, che s ’impegna e che esercita un ruolo costruttivo»1.
Sebbene questa definizione ponga in rilievo, in modo piuttosto parziale, la preparazione al ruolo sociale di
cittadina / cittadino e sottolinei meno la realizzazione personale, il lifelong learning e il valore formativo
della matematica, essa fornisce comunque degli impulsi importanti sviluppare i modelli di competenze e
definire gli standard di formazione per la matematica. La formazione matematica di base, secondo
HarmoS, intende aiutare gli allievi a comprendere il mondo (nel senso più ampio del termine), a
parteciparvi in modo costruttivo, impegnato e riflessivo, e a crescere.
Di qui il maggior peso attribuito agli aspetti operativi rispetto agli attuali piani di studio. Nel modello di
competenza HarmoS per la matematica, essi sono riferiti a campi contenutistici parziali. Questo produce
una struttura a matrice bidimensionale, uguale per tutti gli anni (eccezion fatta per gli adeguamenti per il 4°
anno). Nella scelta dei cinque campi di competenza (riferiti ai contenuti) e degli otto aspetti di competenza
operativi, il Consorzio si è orientato agli obiettivi inizialmente indicati, facendosi guidare da modelli di
competenza di altri Paesi e/o progetti internazionali (tra cui NCTM, PISA, KMK), ma anche dalle
peculiarità della Svizzera (confronto tra i piani di studio, differenze culturali e linguistiche).
Tuttavia la competenza matematica non si esaurisce nel sapere e nel saper fare ma comprende anche
interesse, motivazione e la capacità e la disponibilità a lavorare in gruppo. Per favorire la leggibilità delle
descrizioni della competenza si è rinunciato a formulazioni esplicite. Anche la verifica degli elementi di
natura non cognitiva della competenza matematica risulta difficile. Sarebbe però sbagliato tralasciare questi
elementi della competenza matematica nel determinare gli standard di base per la matematica ed è per questo
che essi sono stati inclusi nelle proposte del Consorzio: in questo modo gli standard di base per la
matematica esprimono aspettative nei confronti degli allievi, implicando però anche delle richieste da parte
degli allievi al sistema formativo e alla società. Tale contesto ampliato va tenuto in considerazione laddove,
nel testo, gli standard di base sullo sfondo dei modelli di competenza sono formulati e concretizzati solo in
termini di aspettative di competenze degli allievi.
1
OCSE 2004b, 42
– 6 –
Il presente scritto costituisce una sintesi del rapporto finale interno. Nel primo capitolo sono descritte
brevemente la composizione e la metodologia del Consorzio matematica. Nel secondo capitolo si sviluppa il
concetto di struttura a matrice e si motiva la scelta dei settori e degli aspetti di competenza. Le componenti
del modello di competenza pluridimensionale sono l'oggetto del terzo capitolo. Questa presentazione
macroscopica del modello si fa più dettagliata nel quarto capitolo e raggiunge un livello molto ravvicinato
nel quinto. Il sesto capitolo è dedicato alla struttura degli esercizi e delle condizioni della prova di
validazione e alla presentazione dei principali risultati. Le particolarità in relazione al 4° anno costituiscono
il tema del settimo capitolo. Nell'ottavo capitolo sono spiegate e motivate le proposte di standard di base. Il
rapporto sintetico si conclude con una riflessione sui limiti del modello di competenza. In appendice si
riproducono il questionario concernente la motivazione e una serie di problemi del test commentati, al fine di
facilitare la comprensione del modello di competenza.
– 7 –
1
Aspetti generali del progetto e del suo percorso
1.1 Mansioni e composizione del Consorzio
Il Consorzio HarmoS Matematica ha riunito rappresentanti di tutte e tre le regioni linguistiche e culturali:
Larissa Cadorin (Liceo cantonale Locarno), Prof. Dott. Franco Caluori (PHNW dal 1.3.06), Aldo Frapolli
(Ufficio Studi e Richerche Bellinzona) direzione operativa nel Ticino , Ueli Hirt (PH Bern), Roland Keller
PH Zürich, Prof. Dr. Helmut Linneweber-Lammerskitten (PHNW) responsabile del Consorzio, Viridiana
Marc (IRDP dall’1.8.06) direzione operativa nella Svizzera romanda, Prof. Dr. Elisabeth Moser Opitz (PH
Berna), Luc Olivier Pochon (IRDP) direzione operativa nella Svizzera romanda, Robbert Smit (PHNW)
staff, Dott.ssa Chantal Tièche Christinat (IRDP fino al 31.7.06) direzione operativa nella Svizzera romanda,
Prof. Beat Wälti (PHNW) responsabile del Consorzio.
Il Consorzio è stato temporaneamente integrato anche da altri collaboratori: Prof. Walter Bächthold (PH San
Gallo), Michel Bréchet (coordinatore JU), Jacques-André Calame (HEP-BEJUNE), Michel Chastellain
(HEP-VD), Ninon Guignard (SRED), Bernhard Matter (PHNW), Olivier Menge (DECS), Ladislas
Ntamakiliro (URSP), Werner Riesen (CIP), Anne Volet (DFJ),
Inoltre, vari gruppi di operatori della prassi didattica, gruppi di specialisti, insegnanti ed esperti di didattica
della matematica hanno supportato il lavoro svolto dal Consorzio matematica: in particolare, i membri del
gruppo di lavoro NW CDPE (presidente: Martin Rothenbacher), la sezione svizzera della Gesellschaft für
Didaktik der Mathematik (presidente: Gregor Wieland) e Werner Jundt (PH Bern). E’ stata istituita una rete
ed esperti di didattica della materia e gruppi di specialisti sono stati invitati a prendere posizione rispetto ai
lavori in corso del Consorzio.
Per la validazione teorica ci si è rivolti ad esperti di fama internazionale: Prof. Dr. Timo Leuders (PH
Freiburg) per l’11° anno, Prof. Dr. Michael Neubrand (Universität Oldenburg) per l’8° anno, Prof. Roland
Charnay (Institut Universitaire de Formation des Maîtres de Lyon) per l’4° anno. Il fatto che le expertise non
si riferissero ad un prodotto finito bensì ad un "work in progress", ha consentito di beneficiare di tutta una
serie di stimoli per il prosieguo del lavoro. Alla fine dei lavori, la CDPE ha commissionato tre pareri di
esperti a: prof. dr. Werner Blum / dr. Dominik Leiss (Universität Kassel), prof. Roland Charnay (Institut
Universitaire de Formation des Maîtres de Lyon) und prof. dr. Bruno D'Amore (Università di Bologna).
1.2 Modalità operative del Consorzio
Nel marzo del 2005, un gruppo
preparatorio ha avviato i propri lavori
(elaborazione di un fondamento
teorico e predisposizione di una
terminologia su basi teoriche), mentre
gli altri membri del Consorzio hanno
iniziato a lavorare all’inizio di luglio
o all’inizio di settembre del 2005.
Il Consorzio (allargato) si è riunito in
totale 10 volte, nel quadro di incontri
di uno o due giorni, per definire le
Figura 1-1
– 8 –
"pietre miliari del progetto". Sono stati invitati a singole riunioni anche rappresentanti del gruppo sulla
metodologia ovvero il responsabile del progetto HarmoS nella sua interezza.
Gran parte del lavoro è stato svolto da sottogruppi: nella fase preparatoria, nella prima fase progettuale e
nella fase di valutazione in costellazioni – di volta in volta diverse - delle regioni linguistiche e culturali (si
veda la Figura 1-1), nelle altre fasi principalmente in gruppi di
esperti formati per i tre anni scolastici (si veda la Figura 1-2).
L’organizzazione del lavoro nei sottogruppi è stata ampiamente
autonoma: riunioni dei gruppi, a seconda del tema anche lavoro in
gruppi più ristretti e lavoro individuale con scambio di e-mail.
Per il coordinamento del progetto HarmoS nel suo complesso, 2 o 3
membri del Consorzio hanno partecipato alle sedute del gruppo
Figura 1-2
sulla strategia (all’occorrenza coadiuvati anche da singoli
rappresentanti dei gruppi linguistici/anni). Su sollecitazione della CDPE, la direzione del Consorzio ha
formato un gruppo di lavoro - "DACHL" - con esperti di matematica provenienti da Germania, Austria e
Lussemburgo e ha partecipato a riunioni di lavoro annuali.
– 9 –
2 Concetto della struttura a matrice
2.1 Campi ed aspetti di competenza- il modello a matrice
La “Expertise“ di Klieme et al. (2003) e il concetto di competenza di Weinert (2001), su cui si basa, hanno
costituito la base teorica del nostro lavoro. Si sono analizzate diverse concezioni e progetti come gli standard
NCTM (2000), gli standard di formazione della KMK (2004), il programma quadro di insegnamento della
Svizzera francese Pecaro (2004) e gli studi PISA (2000 e 2003) e se ne è discusso, assieme ad altri modelli,
elaborati da membri del Consorzio. Il consenso si è presto concentrato su un modello in cui, analogamente a
quanto accade negli standard NCTM, si opera una distinzione tra componenti contenutistiche e di processo,
con l’intento però di correlare più esplicitamente tra loro le due componenti rispetto al modello NCTM, sotto
forma di un modello a matrice. Infatti, una descrizione di ciò che gli allievi e le allieve devono sapere
dipende sempre da componenti contenutistiche ma anche d processo/operative e questo dovrebbe emergere
anche dal modello di base.
Si sono definiti come base per il prosieguo dei lavori 8 aspetti di competenza:
•
sapere, riconoscere, descrivere;
•
eseguire. applicare;
•
utilizzare strumenti;
•
rappresentare, comunicare;
•
matematizzare, trasporre;
•
argomentare, giustificare;
•
interpretare, riflettere sui risultati;
•
esplorare, tentare.
Si sono distinte come componenti contenutistiche ("campi di competenza"):
•
geometria;
•
numeri e calcolo;
•
funzioni;
•
grandezze e misure;
•
analisi di dati e caso.
Gli 8 aspetti di competenza, applicati ai 5 campi parziali, formano una matrice di 40 settori, inizialmente
vuoti (si veda la figura "Matrice euristica"). Ciascun settore sollecita una domanda, identica per tutti i tre
anni: "Cosa conoscono e sono in grado di fare le allieve e gli allievi di questo anno in relazione all’aspetto di
competenza x nel campo di competenza y?"2 , oppure, in termini meno “normativi”: "Quale competenza
(parziale) ci si può aspettare dalle allieve e dagli allievi di questo anno in relazione all’aspetto di competenza
2
La domanda è qui formulata in senso esclusivamente cognitivo ma dovrebbe essere intesa in modo da includere anche gli aspetti
affettivi ed emozionali.
– 10 –
x nel campo di competenza y?". La risposta a tale domanda varia naturalmente a seconda degli anni. Inoltre –
soprattutto per il 4° anno – può anche accadere che singoli settori della matrice o interi campi e/o aspetti di
Inhaltsdimension ("Kompetenzbereiche")
Jahrgangsstufe 4/8/11
Zahl und Variable
Form und Raum
Grössen und Masse
Funktionale Zusammenhänge
Daten und Zufall
Prozessdimension ("Kompetenzaspekte")
Wissen, Erkennen und
Beschreiben
Operieren und
Berechnen
Instrumente und
Werkzeuge verwenden
Darstellen und
Formulieren
Mathematisieren und
Modellieren
Argumentieren und
Begründen
Interpretieren und
Reflektieren der
Resultate
Erforschen und
Explorieren
Abbildung 2-1
competenza restino vuoti. Per noi era importante che si usasse per tutti gli anni (laddove possibile) la stessa
matrice al fine di soddisfare il requisito della cumulatività e mostrare che "contenuti e processi poggiano gli
uni sugli altri, devono essere correlati in modo sistematico, applicati costantemente e mantenuti attivi."
(traduzione propria da Klieme 2003, pp.26-27). Per evitare che idee controverse venissero risolte e sostituite
da descrizioni vaghe, che non dicono pressoché nulla di specifico agli esterni, è stato sviluppato un
procedimento che garantisce il consenso, senza che ciò vada a scapito del contenuto (si veda il cap. 2.4.).
2.2 Legittimazione dei campi di competenza
Con i "campi di competenza" selezionati in HarmoS si è cercato di collegarsi ai modelli sotto indicati e di
pervenire ad un’unità sistematica soddisfacente (si veda la Figura 2-2):
1. la classica suddivisione in discipline parziali nei piani di studio svizzeri3,
2. la suddivisione NCTM dei "content standards"4,
3. le "overarching ideas" dell’assessment framework di PISA 2003 5,
4. le linee guida fornite dalle raccomandazioni della KMK6.
A parte la sostituzione di "misurare" con la relativa indicazione del tema "grandezze e misure", il nostro
concetto differisce da quello della KMK per il fatto che con "numeri e calcolo" si riuniscono aritmetica ed
algebra in un solo settore di competenza e il settore delle "funzioni" acquisisce un carattere più autonomo. E
tuttavia bisogna notare che vi sono una serie di temi e problemi che si collocano sulla linea di confine e che
possono essere ascritti al campo "numeri e calcolo" così come a quello "funzioni" a seconda
3
Solo negli ultimi anni è stato riconosciuto il valore a se stante della stocastica e aritmetica ed algebra spesso vengono riunite in una
stessa unità.
4
NCTM 2000 – in cui evidentemente non si distingue in modo rigoroso tra temi e discipline parziali.
5
OCSE 2004c, p.35. Qui si nota che l’ambito del calcolo applicato (ovvero del measurement) non è riportato da solo ma fa capo alla
quantità ovvero, se adottiamo una prospettiva diversa, si intende a priori il concetto di quantità in modo che si riferisca più a
"measurement" che a " number and operations".
6
KMK 2003a. Anche in questo caso, come nel modello NCTM, le categorie scelte sono in una qualche misura eterogenee:
"misurare" come operazione non è molto in linea con le altre categorie, che fanno riferimento a contenuti.
– 11 –
dell’interpretazione (ad es. alcuni problemi concernenti la proporzionalità). Si può però dire qualcosa di
analogo anche in rapporto alla delimitazione di "geometria" da un lato e "grandezze e misure" dall’altro,
visto
Piani di studio svizzeri
NCTM
PISA 2003
KMK
Geometria
Algebra
Aritmetica
Calcolo applicato
(Stocastica)
Number and Operations
Algebra
Geometry
Measurement
Data Analysis and Probability
Quantity
Space and shape
Change and relationships
Uncertainty
Numero,
misurare,
geometria,
funzioni,
analisi di dati e caso
Figura 2-2
che, ad esempio, si possono far rientrare i problemi che implicano un calcolo delle superfici nel primo o nel
secondo campo, a seconda di come li si interpreta.
Per legittimare le categorie selezionate bisogna verificare due cose:
se le stesse, nel loro complesso, coprano il settore specialistico della
Numeri e calcolo
matematica scolastica e se dalla suddivisione scelta dell’intero
Geometria
Funzioni
ambito specialistico nei campi parziali indicati emergano elementi
Grandezze e misure
contenutistici significativi rilevanti per la matematica. Abbiamo
Analisi di dati e caso
garantito il soddisfacimento del primo requisito analizzando le
Figura 2-2
suddivisioni alternative sopra citate (e anche altre) per poi appurare
se i singoli temi ed esempi di problemi acquisiti fossero ascrivibili alle nostre categorie. Per garantire che i
campi parziali riprendessero elementi contenutistici significativi della matematica scolastica, ci siamo
nuovamente orientati ai modelli alternativi sopra indicati, cercando solamente di risolvere piccole
discrepanze (si veda sopra) e, ad esempio, distinguere con maggiore chiarezza rispetto a quanto si faccia nel
progetto PISA, tra l’aspetto numerico e quello applicativo della quantità. Inoltre, la valutazione del test di
validazione7 ha confermato che le competenze nei campi scelti possono essere intese come competenze
parziali ed autonome di una competenza matematica sovraordinata (si veda la sezione 6.6).
Campi di competenza HarmoS
2.3 Legittimazione degli aspetti di competenza
La scelta degli aspetti di competenza ha comportato un lungo processo interlocutorio, nel corso del quale si
sono dovute chiarire e soppesare opinioni assolutamente divergenti sul concetto di competenza e sulla
suddivisione in aspetti. Oltre al concetto di competenza di Weinert, su cui si fonda la “Klieme Expertise“,
sono entrati in gioco soprattutto tre altri concetti: la competenza come (meta-)capacità di selezionare ed
attivare le capacità necessarie per risolvere una situazione problematica complessa. Questo concetto di
competenza presenta il vantaggio di delimitare con chiarezza le competenze, in quanto metacapacità, rispetto
alle singole capacità ma comporta lo svantaggio di dover distinguere nel modello tra molte competenze
diverse per riuscire a rispondere a tutta una varietà di possibili situazioni problematiche complesse. Il
secondo concetto di competenza si limita, come il primo, alla dimensione cognitiva ed è orientato ad una
tassonomia degli obiettivi di apprendimento secondo Bloom ed altri autori. Questa struttura tassonomica di
una gerarchia di obiettivi di apprendimento viene criticata soprattutto dagli esperti di didattica della
matematica di lingua tedesca in quanto difficilmente conciliabile con le concezioni costruttiviste. Infine, ha
sempre rivestito un certo ruolo anche il concetto di competenza utilizzato nella pedagogia professionale,
rispetto al quale la “Klieme Expertise“ si distingue esplicitamente8. Il nostro lavoro e quindi anche la scelta
7
8
Anche se per ciascun anno si sono tralasciati singoli campi, nel complesso sono stati testati tutti i campi.
"Il concetto di „competenze” qui utilizzato va quindi distinto espressamente dai concetti derivati dalla pedagogia professionale - ed
– 12 –
della suddivisione in aspetti di competenza sono basati sul concetto di competenza weinertiano della
“Klieme Expertise“:
"Secondo Weinert (2001, p.27s.) per competenza s’intende un insieme di capacità e di abilità cognitive che gli individui possiedono o
che possono apprendere per risolvere determinati problemi ma anche di capacità motivazionali, volizionali e sociali, ad esse
connesse, per riuscire ad utilizzare in situazioni diverse le soluzioni trovate, con successo e in modo responsabile"."(traduzione da
Klieme 2003, p. 21)
Una caratteristica distintiva e decisiva di questo concetto di competenza, rispetto agli altri sopra citati così
come a molti altri, consiste nel fatto che esso va oltre l’aspetto cognitivo, per includere anche aspetti
motivazionali, volizionali e sociali (si veda sotto 3.4).
Anche per determinare gli aspetti di competenza bisognava chiarire le diverse finalità generali e giungere ad
un concetto comune. Le suddivisioni proposte dovevano mirare a rispondere al quesito fondamentale su quali
attività siano caratteristiche di un matematico competente, senza suggerire ordini gerarchici o temporali,
riassumendo invece le attività matematiche in unità di senso (nonostante qualche sovrapposizione). Alla luce
di queste considerazioni di carattere generale, si sono analizzate ancora una volta le suddivisioni del NCTM,
dell’assessment framework di PISA- 2003 e delle indicazioni della KMK sugli standard di formazione in
matematica.
1. Suddivisione classica nei piani di studio svizzeri
2. "process standards" (NCTM)
3. "eight characteristic mathematical competencies" (PISA9)
4. "competenze matematiche generali" della KMK10
Dietro ciascuna di queste quattro suddivisioni c’è un’idea di modello leggermente diversa che fa sì che non
sia semplice individuare le relative categorie, anche laddove le denominazioni coincidono11: Il modello
NCTM – contrariamente agli altri - è un modello monodimensionale in cui i cinque process standards si
correlano ai cinque content standards come in un elenco ordinato. Le eight characteristic mathematical
competencies indicate vanno interpretate alla luce della filosofia di PISA, secondo la quale vanno sviluppati
indicatori con i quali misurare quanto bene una società abbia preparato i propri giovani alla vita12.
ampiamente usati a livello pubblico - della competenza operativa, di metodo, sociale e personale. Qui si intendono le competenze
come disposizioni prestazionali in determinate materie o “domini“" (Klieme 2003, p. 22).
9
OCSE 2004c, p. 40 s. Si evidenzia in questa sede che la rappresentazione si discosta per alcuni aspetti dalla originale concezione
dell’OCSE del 1999, in cui si parlava non di "competencies" ma di "skills". Questo conferma ancora una volta la difficoltà di trovare
un sistema di categorie e concetti che soddisfi ogni richiesta. In questa sede non è possibile entrare nel dettaglio delle differenze nella
concezione dei due documenti. Citiamo solamente le label usate in origine:
1. Mathematical thinking skill.
2. Mathematical argumentation skill.
3. Modelling skill.
4. Problem posing and solving skill.
5. Representation skill.
6. Symbolic, formal and technical skill.
7. Communication skill.
8. Aids and tools skill.
10
KMK 2003a, p. 7
11
Anche gli autori dell’assessment framework riportano questa difficoltà: "Similar formulations may be found in the work of many
others (as indicated in Neubrand et al., 2001). Some of the terms used, however, have different usage among different authors."
(OCSE 2003, p. 40)
12
“The aim of the OECD/PISA study is to develop indicators that show how effectively countries have prepared their 15-years-olds
to become active, reflective and intelligent citizens from the perspective of their uses of mathematics. To achieve this, OECD/PISA
has developed assessments that focus on determining the extent to which students can use what they have learned.” (OCSE 2003, p.
55)
– 13 –
Si tratta quindi più di competenze (o competenze parziali) matematiche necessarie o utili per risolvere i
problemi (di ogni giorno). Lo si capisce meglio se si riconosce che la distinzione di queste characteristic
mathematical competencies rappresenta solo una fase intermedia nella costruzione dei cosiddetti competency
clusters13. Sono questi cluster (reproduction cluster, connection cluster e reflection cluster) a differenziarsi
per livello di richiesta cognitiva, a riferirsi alle overarching ideas e ad essere infine rapportati ad uno
specifico tipo di contesto (personal, educational,/occupational, public, scientific).
Piani di studio svizzeri
conoscenze e abilità
capacità immaginativa
matematizzare
comportamento di problem
solving
NCTM
problem solving,
reasoning and proof,
communication,
connections,
representation
PISA 2003
thinking and reasoning
argumentation
communication
modelling
problem posing and solving
representation
using symbolic, formal and
technical language and
operations
use of aids and tools
KMK
risolvere i problemi in modo
matematico
fare modelli matematici
usare rappresentazioni
matematiche
usare elementi simbolici,
formali e tecnici della
matematica
comunciare
argomentare in modo
matematico
Figura 2-4
Le competenze matematiche generali del modello della KMK sono fortemente orientate nella loro
formulazione al modello di PISA ma hanno un valore diverso nella misura in cui esse stesse (e non i cluster
derivati) vengono riferite alle idee guida contenutistiche (malgrado si sottolinei il fatto che le competenze
citate sono sempre acquisite e/o applicate insieme). Nel modello della KMK, oltre alle "competenze
matematiche generali", vi sono infatti anche delle "competenze matematiche relative ai contenuti", da
intendere come concretizzazioni delle prime, secondo le idee guida.
Contrariamente alla concezione della KMK, i label scelti dal Consorzio HarmoS Matematica non vanno
riferiti a competenze generali o astratte ma coincidono con aspetti operativi delle competenze, da collegare
ad un campo contenutistico affinché si possa parlare di una competenza. Questo da un lato consente di
soddisfare più facilmente il requisito della “Klieme Expertise“ (secondo cui gli standard di formazione
devono essere formulati ad un livello intermedio di astrazione14), e dall’altro corrisponde all’idea che le
capacità (e anche le disponibilità) non possono essere descritte adeguatamente facendo riferimento
unicamente ai contenuti o unicamente alle azioni. Solo dicendo chiaramente cosa una persona sa fare in
relazione ad un contenuto o ad un tema, se ne descriverà la capacità o la competenza; la semplice indicazione
del contenuto (ad es. "terorema di Pitagora") è insufficiente, così come l’indicazione di un’azione (ad es.
"dimostrare") o del potenziale d’azione ("saper dimostrare"). La descrizione delle competenze ad un livello
intermedio di astrazione (ad es. "è in grado di dimostrare il teorema di Pitagora") consente di pervenire a
descrizioni delle competenze più astratte o generali, come nel modello di PISA o della KMK. Questo modo
di procedere – dal concreto all’astratto, dal particolare al generale – è più facilmente comprensibile e più
chiaro a livello teorico rispetto ad una descrizione di competenze astratte/generali, che deve rimanere molto
vaga o ricorrere ad esempi di singoli casi concreti.
Nonostante queste differenze, abbiamo tenuto conto della descrizione della competenza caratteristica e/o
generale del modello di PISA / KMK nel determinare gli aspetti di competenza, integrandoli però al
contempo con aspetti esclusi dal modello di PISA e della KMK a causa del loro maggiore grado di
astrazione.
13
14
OCSE 2003, p.31; p.41 e ss.
Klieme 2003, p. 32 e s.
– 14 –
Per legittimare gli aspetti di competenza scelti
vanno verificate due cose: se le categorie
Sapere, riconoscere e descrivere
selezionate coprano nella loro interezza le
Eseguire e applicare
attività matematiche caratteristiche e se le stesse
Utilizzare strumenti
consentano una suddivisione attuabile sul piano
Rappresentare e comunicare
Matematizzare e trasporre
pratico e corretta sul piano teorico di attività,
Argomentare e giustificare
competenze e problemi matematici. Per quanto
Interpretare e riflettere sui risultati
concerne il primo aspetto, si capisce abbastanza
Esplorare e tentare
facilmente (si veda la figura 2-6), che le
categorie utilizzate nel modello di PISA e della
Figura 2-3
KMK sono associabili alle categorie HarmoS (se
non si tiene conto delle differenze di significato derivanti dalle diverse teorie di fondo).
Aspetti di competenza HarmoS
Viceversa si vede come non vi sia o vi sia solo una corrispondenza parziale per le quattro categorie utilizzate
n HarmoS “sapere, riconoscere, descrivere”, “eseguire. Applicare”, “interpretare, riflettere sui risultati” ed
“esplorare, tentare”. Esaminiamo rapidamente questo aspetto:
per quanto concerne il primo aspetto di competenza “sapere, riconoscere, descrivere”, condividiamo la
posizione di Heinrich Winter15 secondo il quale la lezione di matematica dovrebbe rendere esperibile la
matematica non solo come mezzo per risolvere i problemi ma anche come un mondo di per sè. Questo
aspetto della matematica manca un po’ nella filosofia OCSE-PISA16, cosicché il consorzio PISA tedesco ha
ritenuto di integrare il test internazionale17. La denominazione "sapere, riconoscere, descrivere" indica una
conoscenza matematica di base, in riferimento ad oggetti, a formazioni di concetti, termini, teoremi, storia
ecc. della matematica e il riconoscimento e la descrizione di modelli e strutture – anche indipendentemente
da una tipica situazione di problem solving.
Un altro settore integrato dal Consorzio PISA tedesco nella indagine aggiuntiva tedesca concerne
l’inclusione di item ascrivibili alla categoria HarmoS "eseguire. applicare". Il consorzio tedesco motiva
questo con la necessità di "tener adeguatamente conto dell’orientamento reale al calcolo nella lezione di
matematica tedesca"18. Anche considerando la Svizzera e le finalità di HarmoS appare sensato sottolineare
l’aspetto di competenza "eseguire. applicare" come aspetto a se stante.
Abbiamo quindi assunto "interpretare, riflettere sui risultati" come aspetto autonomo perché la capacità e la
disponibilità alla riflessione costituiscono in generale un aspetto importante della competenza, come esprime
la seguente citazione della Commissione DeSeCo sulle "competenze chiave":
"There is a consensus among experts that recalling accumulated knowledge, thinking abstractly, and being well socialized are not
sufficient. Reflectivity - a critical stance and reflective practice - has been identified as the required competence level to meet the
multifaceted demands of modern life in a responsible way. Thus, reflectivity represents a transversal characteristic of key
competencies." (DeSeCo 2003, 3-4)
“Interpretare, riflettere sui risultati” è particolarmente importante:
"Le nostre osservazioni empiriche hanno complessivamente confermato che la maggioranza degli allievi dispone di meccanismi di
controllo poco sviluppati. Essi per lo più non sanno nè motivare nè confutare. Ad es. la maggior parte degli allievi utilizza i numeri
solo nel momento in cui viene loro richiesto ma raramente lo fa spontaneamente. In generale a molti allievi manca un atteggiamento
critico rispetto alle loro capacità di trasformazione; spesso non pensano neanche che le loro trasformazioni possano essere sbagliate e
15
Winter 1995, p.37
Per il quesito circa l’idoneità del framework PISA come base del progetto HarmoS si veda Linneweber-Lammerskitten/Wälti 2005.
17
"Rientra tuttavia negli obiettivi di una “formazione matematica di base“, nel senso dei problemi sopra citati di una lezione di
matematica che dia una formazione generale, anche l’indicazione che la matematica può e deve essere vista come un “mondo a se
stante, ordinato in modo deduttivo“ (Winter 1995), sciolto da ancoraggi fenomenologici. Questo aspetto è piuttosto sottorappresentato in PISA." (traduzione propria da Neubrand et al. 2001, p. 47)
18
Neubrand et al. 2001, 48
16
– 15 –
quindi non controllano i calcoli." (Malle 1993, 162)
L’approccio didattico matematico secondo il quale il modo in cui si acquisisce la conoscenza matematica
non coincide col modo in cui alla fine viene presentata e comprende lo svolgimento sistematico di prove ed
indagini, con errori e sbagli, non è ancora familiare a molti genitori ed allievi. Ci sembra quindi importante
rafforzare questo aspetto del metodo, oltre all’argomentazione e alla dimostrazione.
E’ fuori dubbio che le due categorie "matematizzare, trasporre", e "argomentare, giustificare" rappresentino
aspetti centrali della competenza matematica. Presumibilmente in futuro l’aspetto "utilizzare strumenti”
acquisirà sempre più importanza e per questo non lo abbiamo indicato come aspetto parziale di "sapere,
riconoscere, descrivere". Per quanto concerne la caratterizzazione della "era della comunicazione" o della
"era dell’informazione", anche "rappresentare, comunicare" è giustificato come aspetto a se stante, sebbene
si presenti anche come aspetto parziale in tutti gli altri aspetti di competenza. Per gli ultimi due aspetti di
competenza citati non abbiamo sviluppato item di test perché le relative competenze avrebbero richiesto
procedure ed infrastrutture di test più onerose (computer, test orali, lavori scritti più corposi).
La valutazione del test di validazione ha inoltre confermato, in relazione ai 6 aspetti di competenza testati
nell’11° anno, che le relative competenze possono essere viste come competenze parziali autonome di una
competenza matematica sovraordinata.
2.4 Procedura di metodo per individuare i "can-do"
Un problema generale e complesso nel concepire gli standard di formazione consiste nel fatto che essi da un
lato devono essere formulati ad un livello medio di astrazione19 e dall’altro devono essere
contemporaneamente traducibili in "problemi e scale di test"20. Un ulteriore problema, comunque a ciò
connesso, per il progetto HarmoS deriva dalle diverse tradizioni delle regioni linguistiche e culturali della
Svizzera, che si traducono in diversi piani di studio ma anche in diverse concezioni didattiche specialistiche.
Ogni tentativo di giungere ad un consenso corre il rischio di risultare molto vago sul piano astratto ed
eccessivamente carente su quello concreto.
Per risolvere il primo problema è opportuno distinguere tra una descrizione astratta di ciò che sanno gli
allievi in possesso della relativa competenza (parziale) ("can do") ed un elenco concreto delle capacità e
abilità che rientrano nella competenza in questione. Abbiamo chiamato le descrizioni della competenza che
indicano esplicitamente cosa sappia un allievo, "descrizioni dei can-do" o semplicemente "can-do"21. Per
risolvere il secondo problema, ci si è basati su un procedimento in più fasi. Facciamo un esempio.
19
Tra il livello degli obiettivi generali della formazione e il livello dei valori dei test – cfr. Klieme 2003, 32 e s.
Cfr. Klieme 2003, 33
21
Non tutti i tipi di descrizione della competenza soddisfano questo requisito. Nella formazione delle parole, come
"Geometriekompetenz" (competenza geometrica) o "Argumentationskompetenz" (competenza argomentativa), o non si fa alcun
riferimento al sapere o non si circoscrive il campo.
20
– 16 –
La domanda su cosa gli allievi
debbano sapere al termine dell’11°
anno di scolarità nel campo di
competenza "funzioni" in relazione
all’aspetto di competenza "sapere,
riconoscere, descrivere", è stata infine
così formulata, ad un "livello di
astrazione medio"22 :
Iter per arrivare a descrizioni delle competenze condivise
I seguenti processi devono attuarsi per ciascun anno (2, 6, 9) e ciascun settore della matrice euristica:
1^ fase
Gruppo
dell’anno
Risultato: descrizione provvisoria
dell’aspetto di competenza xyz
2^ fase
“L’allievo riconosce e sa descrivere il concetto
di funzione (come relazione univoca fra due
insiemi), conosce la terminologia e i simboli
più importanti relativi a tale concetto e alle sue
rappresentazioni, è in grado di distinguere i
principali tipi di funzioni (in particolare le
affini dalle altre)."
Questa descrizione astratta della
competenza matematica a livello di
"can-do" è stata integrata da una serie
di descrizioni astratte che indicano le
capacità e abilità che secondo gli
esperti
delle
diverse
regioni
linguistiche e culturali rientrano in
questa competenza, ad es.
Riposta provvisoria alla domanda: "Cosa conoscono e
sono in grado di fare le allieve e gli allievi dell’anno x
in relazione all’aspetto di competenza y nel campo
parziale z?"
Gruppo
dell’anno
Discussione e raccolta delle diverse idee nelle varie
lingue su cosa includa la competenza parziale xyz.
Elenco delle proposte in "include" – anche le proposte
non condivise da tutti (è possibile evidenziarle come
descritto nella 5^ fase).
Risultato:
"include"
3^ fase
Coordinatore
insieme
eterogeneo
Tentativo di riformulazione unitaria di xyz sulla base
della lista di "include"
Risultato: descrizione dell’aspetto di
competenza ad un livello di astrazione
medio (proposta)
4^ fase
Gruppo
dell’anno
Discussione della proposta – traduzione
formulazione nelle altre due lingue
della
Risultato: descrizione dell’aspetto di
competenza ad un livello di astrazione
medio accettata dal gruppo
5^ fase
Gruppo
dell‘anno
(separatamente per regioni linguistiche:) marcatura
delle capacità ecc. in "include"
- "verde" se devono essere vincolanti
- "giallo" se sussistono dei dubbi
- "rosso" se non devono essere vincolanti.
Risultato: descrizione applicabile
dell’aspetto di competenza
"Riconoscere i rapporti tra grandezze
(proporzionalità,
proporzionalità
inversa,
rapporti non proporzionali)."
Figura 2-6
Sono state anche avanzate proposte di concretizzazione che non tutte le regioni linguistiche/culturali hanno
condiviso e sono state riportate, separatamente, delle varianti che ponevano richieste più ampie o ristrette. La
figura 2-6 illustra – in relazione al secondo problema – il procedimento (ideale) di lavoro nei gruppi dei
diversi anni scolastici: innanzitutto si ricerca ad un livello astratto una formulazione comune condivisa
(fissando il consenso sotto forma di una formulazione provvisoria del can-do). In una seconda fase ciascun
membro del gruppo spiega cosa ciò includa o possa secondo lui essere discusso. Vi possono essere talvolta
delle opinioni diverse, che vanno tutte annotate. La valutazione può avere luogo già in questa fase o
successivamente (separatamente, per regioni linguistiche) con evidenziazioni colorate (il "verde" ne indica il
carattere vincolante, il "giallo" la presenza di dubbi, il "rosso" il carattere non vincolante). Lo scopo è quello
di permettere che in un secondo momento si possano modificare le proposte inizialmente respinte, ad
esempio quando si elaborano i problemi. Al contempo, così si evita che vengano “pattuite“ formulazioni
vuote / vaghe o banali sotto il profilo specialistico. Infine, il colore rosso consente anche di esplicitare cosa
non rientra nella relativa competenza.
Per decidere cosa faccia parte di una determinata competenza bisogna adottare innanzitutto un criterio
specialistico, che non tenga ancora conto (o quasi) della distinzione tra standard minimi e massimi 23. Si tratta
in primo luogo di descrivere in termini più concreti quali capacità e abilità (secondo ciascun membro)
rientrino nel nucleo specialistico della formulazione can-do proposta e quali no. In secondo luogo (in fase di
valutazione, con l’ausilio dei colori) si dovrà invece tenere conto della necessità di concepire gli standard di
22
23
Cfr. Klieme 2003, 32 e s.
Secondo Klieme 2003, 32
– 17 –
formazione di HarmoS come standard minimi o di base. Le capacità che formano tale nucleo verranno così
evidenziate in giallo o rosso, se le si considera troppo esigenti in rapporto agli standard di base. In questo
caso, ancora meglio sarà pervenire ad una proposta accettabile attraverso ulteriori, piccole precisazioni ed
altre modifiche.
In una terza fase, un soggetto terzo, che non ha partecipato alla discussione e che quindi ha un punto di vista
esterno, elabora una formulazione can-do provvisoria. Il quarto momento porta a formulazioni dei can-do
accettate dalla maggioranza del gruppo dell’anno e che possono essere tradotte. Nella quinta fase le
descrizioni delle capacità vengono nuovamente esaminate e valutate con colori oppure si rivedono ancora
una volta le valutazioni già fatte.
I can-do, assieme alle descrizioni più specifiche e concrete delle capacità e abilità, costituiscono la base per
•
stilare i problemi,
•
classificare i problemi,
•
sviluppare i livelli di competenza,
•
sviluppare e giustificare le proposte di standard di formazione.
– 18 –
3 Il modello di competenza a livello macro
Secondo la concezione della “Klieme Expertise“, i modelli di competenza assolvono la funzione di ordinare
sistematicamente le richieste di competenza, fissate negli standard di formazione24. La matrice euristica
presentata nell’ultimo capitolo (si veda sopra la Abbildung 2-1), in cui si correlano tra loro cinque campi di
competenza e otto aspetti di competenza, rappresenta un importante ausilio metodologico per costruire un
ordine sistematico. In effetti vanno considerate, chiarite sotto il profilo teorico ed integrate nel modello anche
altre componenti. Nel modello di competenza HarmoS Matematica si distingue perciò tra le seguenti
componenti ovvero dimensioni:
1) Campi di competenza: la competenza matematica viene riferita a diversi campi 25 della matematica
(ad es. "geometria" oppure "analisi di dati e caso").
2) Aspetti di competenza: d’altro lato la competenza matematica viene riferita a diversi aspetti operativi
(ad es. "eseguire. applicare" oppure "argomentare, giustificare").
3) Livelli di competenza / livelli di richiesta cognitiva: persone diverse possono possedere una
competenza matematica, o meglio, delle competenze matematiche in misura diversa e cioè a vari
livelli. In base alla loro competenza, agli allievi viene attribuito un determinato livello di competenza
e anche i problemi vengono correlati ad un livello di competenza, sulla stessa scala, in base alla loro
difficoltà empirica.
4) Dimensione evolutiva: la competenza matematica può evolvere: le competenze vanno presentate in
relazione ai diversi anni di scolarità.
5) Dimensioni non cognitive: la competenza matematica non si limita al conoscere e al fare ma
comprende anche aspetti affettivi e sociali26.
3.1 Campo di competenza ed aspetti di competenza
Poiché nell’ultimo capitolo abbiamo già affrontato nel dettaglio le prime due dimensioni, qui ci limiteremo
ad alcune precisazioni, necessarie per il 4° anno, a causa dell’età ovvero del grado di sviluppo degli allievi
(si veda la sezione 7)
Il modello di competenza per il quarto anno scolastico comprende due campi di competenza: “numeri &
calcolo” e “geometria”. Ci si è limitati a questi due campi per ragioni specialistiche ed attinenti alla
psicologia dell’età evolutiva. L’obiettivo dell’apprendimento della matematica nell’anno d’ingresso è quello
di acquisire competenza nel contare, costruire concetti numerici, comprendere i rapporti tra i numeri fino a
100, sviluppare la comprensione delle operazioni in relazione all’addizione e la sottrazione e distinguere,
denominare e descrivere le figure geometriche ovvero sperimentare con esse. A “grandezze e misure” non è
stato assegnato un campo specifico perché gli allievi dell’anno di ingresso devono innanzitutto fare
esperienze proprie in tal senso. Determinati contenuti su questo argomento sono stati inseriti con esempi di
problemi nel campo “numeri e calcolo”.
24
"Gli standard di formazione concretizzano gli obiettivi sotto forma di competenze richieste. Essi fissano le competenze di cui un
allievo deve disporre affinché possano considerarsi raggiunti i principali obiettivi dell'insegnamento. Queste richieste vengono
ordinate sistematicamente in modelli di competenza, che espongono gli aspetti, i gradi e le progressioni delle competenze. (Klieme
2003, p.25)
25
Per “campi“ si intendono "domini" e non "settori tematici" o "discipline parziali", anche se la differenza per il nostro modello non
è molto significativa.
26
Cfr. la definizione di Weinert in Klieme 2003, p. 21
– 19 –
Anche per quanto concerne gli aspetti di competenza, per il quarto anno si sono dovute effettuare delle
precisazioni. In particolare per gli aspetti che prevedono comunicazione e riflessione, per il quarto anno si
possono formulare richieste di prestazioni solo in modo molto limitato. Gli allievi di otto anni sono
perfettamente in grado di esprimere delle riflessioni ma di solito lo fanno utilizzando il linguaggio corrente e
spesso concentrandosi sulle loro personali esperienze ed interpretazioni. Questo rende difficile valutare i
ragionamenti. Inoltre, verificare tali competenze è oneroso e dispendioso in termini di tempo perché i
bambini di otto anni sono in grado di esprimersi per iscritto solo in misura limitata.
Sia per ragioni teoriche che sulla base dei risultati empirici è risultato difficile attribuire le competenze a
“eseguire“, “matematizzare/trasporre“ e “tentare“. Di conseguenza gli aspetti di competenza per il quarto
anno sono stati così riassunti:
-
parlare di matematica e ragionare: rappresentare, argomentare ed interpretare
-
risolvere problemi matematici: matematizzare, eseguire ed esplorare
3.2 Livelli di competenza
Con i livelli di competenza del modello di competenza non si stabiliscono competenze differenti ma diversi
gradi o stadi della stessa competenza. Ad esempio, si può possedere la competenza di trasporre in un modello
matematico una certa situazione reale con i mezzi matematici a disposizione di un 8° anno, ad un livello alto
oppure più basso, con molte gradazioni intermedie, a seconda se si sia capaci in questo modo di pervenire ad
una soluzione anche in situazioni molto difficili o solamente in situazioni più semplici. La competenza di
risolvere un’equazione lineare può essere testata con problemi semplici, come 2x=8 o più complessi come
√2z – 1.723*10-5 = √8 ecc27. La distinzione in livelli di competenza, quindi, non va confusa – come talvolta
accade – con la distinzione in anni scolastici o livelli individuali di sviluppo: la distinzione in livelli di
competenza si riferisce a gradi diversi della stessa competenza, la distinzione in anni scolastici si rapporta a
diverse descrizioni concrete della competenza. Per questo (e anche per altre ragioni) nel modello di
competenza HarmoS Matematica non vi sono sovrapposizioni tra i livelli più alti previsti per uno qualsiasi
degli anni considerati e i livelli più bassi dell’anno successivo. Né si vuole che il singolo allievo raggiunga
necessariamente il livello massimo relativo ad un certo anno scolastico per poter acquisire le competenze
dell’anno successivo.
Sono stati validati per i diversi livelli di competenza degli allievi dei problemi corrispondenti ai livelli di
competenza che gli allievi sono in grado di risolvere con una certa percentuale di riuscita28. Questo verrà
trattato ulteriormente nel capitolo successivo.
3.3 Dimensione evolutiva
Il modello di competenza HarmoS Matematica è in un certo senso un modello "cumulativo"29. Anche se le
descrizioni della competenza per gli anni inferiori non sono esplicitamente ripetute nelle descrizioni per gli
anni superiori, il modello va inteso nel senso che le competenze acquisite precedentemente sussistono anche
27
Naturalmente nel secondo esempio vengono richieste capacità matematiche aggiuntive ma in entrambi i casi è ragionevole parlare
della stessa competenza perché altrimenti bisognerebbe distinguere tra una serie infinita di diverse "competenze di risoluzione delle
equazioni lineari".
28
La distinzione in livelli di competenza concerne in realtà le diverse capacità di gestire situazioni reali più o meno difficili e non il
fatto di sapere risolvere compiti di un certo tipo. In effetti però, per svariate ragioni, nel descrivere i livelli bisogna fare riferimento a
precisi compiti e non a generiche situazioni reali.
29
Il requisito della cumulatività, evidenziato nella Klieme Expertise in relazione ai "buoni" standard di formazione (Klieme 2003, p.
259), va interpretato con cautela. Il sapere nelle scienze non si costruisce nel quadro di un processo continuo (vi sono piuttosto delle
interruzioni, delle "rivoluzioni scientifiche" (Thomas Kuhn)), e neanche nello sviluppo individuale della conoscenza si riscontra una
crescita continuativa.
– 20 –
negli anni successivi.30 Non bisogna tuttavia attendersi che il livello raggiunto venga poi sempre mantenuto.
Inoltre, come già detto, il modello non presuppone che un allievo debba aver raggiunto tutti i livelli di un
anno inferiore per acquisire le competenze di un anno superiore. In effetti, la sequenza dell’acquisizione di
competenze qui riportata – perlomeno nel passaggio dall’8° all’11° anno – non si basa esclusivamente su
necessità logiche operative, didattiche o attinenti alla psicologia dell’età evolutiva ma deriva in larga misura
dalle tradizioni dei piani di studio. A questo proposito, nella sua opera di adattamento, il Consorzio si è
sforzato di pervenire a compromessi che risultassero accettabili per tutte le regioni culturali della Svizzera. In
singoli casi, nell’8° anno, si sono rispettate differenze curricolari specifiche della cultura e si è rinunciato ad
una formulazione delle competenze che per alcune regioni avrebbe rappresentato un cambiamento troppo
grande, a causa della loro diversa tradizione.
3.4 Dimensioni non cognitive: la dimensione affettiva e sociale
La “Klieme Expertise“ sugli standard di formazione nazionali si basa su un concetto di competenza che
comprende anche aspetti affettivi, volizionali e sociali oltre a quelli cognitivi. Queste dimensioni non
cognitive pongono alcuni problemi nel momento in cui si stila un modello di competenza. Inoltre, se i
didattici concordano sull’importanza della motivazione per l’apprendimento, non sempre si riconosce con
chiarezza che questi aspetti, secondo Weinert e il DeSeCo, non devono essere concepiti solo come fattori
necessari o favorevoli all’apprendimento ma come veri e propri elementi costitutivi del concetto di
competenza. Il fatto che la competenza comprenda aspetti non-cognitivi oltre a quelli cognitivi, emerge
chiaramente dalla raccomandazione degli esperti del DeSeCo di scegliere un concetto di competenza "in
which a competence is defined as the ability to meet demands or carry out a task successfully, and consists of
both cognitive and noncognitive dimensions." (DeSeCo 2002, p. 8) Questa combinazione di aspetti cognitivi
e non-cognitivi è ciò che distingue la competenza dalle semplici capacità e abilità (skills):
"A competence is defined as the ability to successfully meet complex demands in a particular context. Competent performance or
effective action implies the mobilization of knowledge, cognitive and practical skills, as well as social and behavior components such
as attitudes, emotions, and values and motivations. A competence – a holistic notion - is therefore not reducible to its cognitive
dimension, and thus the terms competence and skill are not synonymous." (DeSeCo 2003, 2-3)
In questo senso va interpretata anche la definizione già citata di Weinert, che ha contribuito fortemente al
progetto DeSeCo. Come sottolinea Erich Wittmann, è particolarmente importante per la lezione di
matematica tenere conto degli aspetti affettivi:
"Dalla metà degli anni Settanta assume però sempre più forza la convinzione di non potere, per varie ragioni, escludere l’ambito
affettivo dalla didattica della matematica. Innanzitutto l’apprendimento presuppone strategie cognitive, come indicato chiaramente ad es. – da Winter, e disposizioni affettive: la capacità di matematizzare, di attivarsi in uno spirito di ricerca – scoperta o di
argomentare deve essere accompagnata dalla disponibilità a farlo. In secondo luogo è evidente che la lezione di matematica, che lo si
voglia o meno, ha delle conseguenze di tipo affettivo, in particolare quelle meno desiderate. In terzo luogo, l’ambito affettivo-estetico
è necessariamente presente se la 'educazione' viene intesa in termini ampi come nella sezione 7.2 e se l’allievo non è visto solo come
oggetto ma anche come soggetto della lezione." (Wittmann 1981, p. 56)
Nel modello di competenza HarmoS Matematica gli aspetti non cognitivi della competenza sono intesi come
due ulteriori dimensioni: la "dimensione sociale" e la "dimensione affettiva", che comprende le componenti
motivazionali e volizionali citate da Weinert.
La considerazione degli elementi non cognitivi presenta tuttavia dei problemi per l’elaborazione di modelli
di competenza e di standard di formazione, soprattutto perché:
•
gli aspetti non cognitivi non sono (ancora) verificabili come gli elementi cognitivi.
30
Non si intende affermare che anche l’acquisizione delle competenze debba seguire necessariamente questa impostazione. Laddove
non possiamo basarci su risultati di ricerche, ci atteniamo sostanzialmente ai piani di studio dei vari cantoni e agli sviluppi registrati
dagli standard di formazione negli altri paesi.
– 21 –
•
Non è ancora abbastanza diffusa l’idea che la competenza comprenda anche elementi non cognitivi
oltre a quelli cognitivi e di conseguenza bisogna attendersi una minore accettazione.
•
Un’elaborazione differenziata delle dimensioni non cognitive è legata ad un notevole dispendio di
tempo e risorse finanziarie.
•
La descrizione con espressioni come "sono capaci e dimostrano disponibilità" per i momenti affettivi
è pesante e anche difficile da rendere in francese e italiano.
•
Lo stesso vale per la descrizione delle componenti sociali, come "da solo o in collaborazione con
altri".
•
Una descrizione delle competenze in cui si tenga esplicitamente conto di tutti gli elementi è molto
complessa e di difficile comprensione.
Per queste ragioni abbiamo ridotto al minimo la considerazione delle due dimensioni non cognitive, anche se
non vogliamo dare l’impressione di ritenere queste dimensioni meno importanti. Nell’elaborazione del
modello, abbiamo espresso oltre alle componenti cognitive anche quelle affettive ("è capace e dimostra
disponibilità")31. Per una migliore leggibilità (e quindi accettazione)32, abbiamo però deciso di rinunciare ad
indicazioni non cognitive esplicite nella formulazione delle competenze nelle matrici dei can-do e di
soffermarci invece brevemente in questa sede sulla dimensione affettiva e sociale.
Sicuramente, nelle diverse competenze cambiano molto l’entità o il peso degli aspetti cognitivi e non
cognitivi. Nelle strategie cognitive citate da Wittmann, ad esempio, si capisce bene come la capacità di
matematizzare, di attivarsi in uno spirito di ricerca-scoperta o di argomentare possa essere definita
competenza solo se c’è anche la disponibilità a fare uso di tali capacità. Nel caso di competenze che
concernono maggiormente l’eseguire, e applicare, la disponibilità ha invece un peso minore: in questo caso si
considererà competente anche una persona che dispone delle relative capacità ma che ha poca disponibilità
ad impiegarle. Secondo lo stesso ragionamento, in alcune competenze – ad esempio quelle che si riferiscono
a "rappresentare, comunicare" – sono richieste anche capacità e disponibilità sociali oltre a quelle cognitive,
in altre invece meno. Tuttavia ci attendiamo da un matematico competente che dimostri una generale
disponibilità ad utilizzare le proprie capacità cognitive in relazione a tutti i campi e gli aspetti di competenza,
che si interessi a temi e metodi matematici, che svolga attività matematiche non solo correttamente ma anche
con piacere ecc. Una forte avversione nei confronti di singoli campi di competenza e soprattutto aspetti di
competenza, pur in presenza di capacità cognitive, è invece un segnale che si tratta più di skills che di vere
competenze. Come primo passo, abbiamo stilato un questionario sulla motivazione (vedi allegato 1) e lo
abbiamo sottoposto agli allievi dell’11° anno nel quadro dei testi di validazione Harmos. L’allegato 2 riporta
una valutazione sintetica del questionario mentre per una valutazione più dettagliata si rimanda al rapporto
finale interno.
3.5 Dimensioni non cognitive: la dimensione affettiva e sociale
Correlando tra loro due o tre componenti, citate nell’ultimo capitolo, si ottengono modelli parziali bi- o
tridimensionali, più astratti (se si effettua un’astrazione rispetto alle altre componenti) oppure più concreti
(se, ad esempio, ci si concentra su un determinato anno o un determinato aspetto di competenza). Ciascuno
di questi sistemi parziali può essere utilizzato anche – come nel caso della matrice euristica – come
indicazione per sviluppare il modello, in quanto si elaborano quesiti sistematici, come ad es. "Quali sono –
se non si tiene conto della diversità dei campi di competenza – i fattori possibili che rendono più difficili o
31
Nelle formulazioni non abbiamo tenuto conto della dimensione sociale.
In Germania le combinazioni lessicali come "capacità e disponibilità" sono invece più frequenti, come ad es nelle direttive KMK
per l’elaborazione dei piani di studio quadro per la lezione specifica per la professione nella scuola professionale (KMK 2000, p.9);
Hilbert Meyer 1978, p. 89.
32
– 22 –
facili i problemi nel campo "argomentare e giustificare"”?.
La figura 3-1 mostra un modello
tridimensionale per livelli, in cui la
matrice euristica rappresenta la base e
l’altezza delle colonne indica il livello
di competenza33. In questo modo –
considerati i 40 settori della matrice
orizzontale e i 4 diversi livelli di
competenza – si delineano 160 diversi
gradi di competenza e non ha
certamente
senso
esprimerli
34
verbalmente . Il modello è però molto
utile se si vogliono sviluppare e
classificare i problemi esemplificativi.
Si rende tuttavia necessaria una
precisazione teorica. Anche se in
HarmoS Matematica i problemi sono
stati correlati ciascuno ad una di
Figura 3-1
queste possibili 160 posizioni del
modello, non si intende con questo che in un problema sia affrontato solo un aspetto o campo di competenza,
isolato rispetto agli altri: l’aspetto o campo di competenza è semplicemente contraddistinto come l’aspetto
centrale. In effetti gli aspetti di competenza non sono mai del tutto isolabili gli uni rispetto agli altri negli
enunciati sostanziali. Questo problema può essere affrontato in vari modi. Nel progetto Pisa e anche nella
formulazione degli standard di formazione in Germania si è rinunciato a perseguire la massima centralità
possibile di un aspetto ("competenza generale")35. Visto però il nostro progetto è incentrato
sull’armonizzazione, ci sembra importante formulare problemi che esemplifichino con la maggiore
precisione possibile le celle della matrice ovvero del cubo. Si può quindi ipotizzare che la soluzione di un
problema richieda competenze afferenti a 6 diversi settori della matrice. Non è sempre possibile evitare la
necessità di risolvere un problema riguardando competenze di diversi domini del modello. In questo caso, il
compito è principalmente rapportato alla descrizione della competenz, che il Consorzio Matematica ha
ritenuto centrale per la loro soluzione.
33
In linea generale, sarebbero possibili - ma poco attuabili – degli standard di formazione che diano indicazioni altamente
differenziate nei vari anni scolastici in relazione ai 40 settori della matrice orizzontale.
34
Indicheremo al livello micro come abbiamo risolto questo problema.
35
"OECD/PISA does not intend to develop test items that access the above competencies individually" OECD 2003, p. 41.
– 23 –
4 Il modello di competenza a livello meso
4.1
Le matrici dei can-do per il 4°, 8° e 11° anno scolastico
Eseguire,
applicare
Sapere, riconoscere e
descrivere
La matrice euristica ha costituito il quadro di orientamento per la formulazione di competenze per i gruppi
dei diversi anni, ad un livello medio di astrazione ("can-do"). Le matrici dei can-do che ne sono infine
risultate per il 4°, l’8° e l’11° anno sono riportate ciascuna su una pagina doppia del "Modello di competenza
HarmoS Matematica". In questo modo si offre una panoramica estremamente concisa di tutte le descrizioni
delle competenze di un anno scolastico. La figura 4-1 mostra una parte della matrice dei can-do per l’11°
anno.
Numeri e calcolo
Geometria
Grandezze e misure
L’A. comprende e sa utilizzare termini di tipo
aritmetico-algebrico
(in
particolare:
equazione,
disequazione,
espressione
numerica o letterale, incognita, soluzione,
stima, approssimazione, divisore, multiplo,
numero primo, radice quadrata, radice );
conosce
le
principali
forme
di
rappresentazione di un numero (decimale,
frazionaria, percentuale, scientifica, potenza
con base reale ed esponente naturale).
L’A. conosce i principali termini e concetti
della geometria del piano e dello spazio, è in
grado di riconoscere, anche nel mondo
quotidiano, figure piane e solide assieme alle
loro proprietà come pure di descriverle e di
classificarle con un linguaggio adeguato.
Conosce i teoremi fondamentali della
geometria del piano ( ad es. Pitagora, Somma
degli angoli interni in un triangolo).
L’A. conosce le grandezze usuali (in
particolare lunghezza, area, volume, capacità,
massa/peso, tempo, velocità) e conosce le
unità di misura più importanti. Conosce la
struttura del sistema metrico decimale fondata
sulla rappresentazione mediante potenze di
dieci. Conosce i prefissi mega, kilo, deci,
centi, milli ed è in grado di associarli alle
corrispondenti potenze di dieci.
L’A. è in grado di eseguire le quattro
operazioni di base con numeri espressi
sottoforma decimale, frazionaria o di semplici
potenze (in particolare la notazione
scientifica). A seconda della complessità sa
eseguire tali operazioni in forma mentalescritta e/o tramite la calcolatrice e sa stimare e
approssimare i risultati.
Utilizzare
strumenti
È capace di risolvere semplici equazioni e
sistemi di equazioni; sa utilizzare le proprietà
di calcolo per semplificare espressioni
algebriche.
L’A. conosce le funzioni più importanti di una
CT (+,, *, /, =, x2, √x, 1/ x, STO, RCL, ( ), yx).
Sa utilizzare un foglio di calcolo per
rappresentare una serie di dati, risolvere
un’equazione ed esplorare una situazione
numerica. È in grado di utilizzare delle tavole,
delle opere di riferimento o Internet per
trovare formule o procedure adeguate per
risolvere dei problemi numerici.
L’A. è in grado di rappresentare figure
geometriche nel piano cartesiano e sa
applicare in modo ragionato, sulla scorta di
proprietà
elementari,
le
procedure
fondamentali di calcolo e di rappresentazione
geometrica. Sa rappresentare i principali
solidi in vari modi come pure stimare e
calcolare lunghezze, aree e volumi relativi ad
essi.
L’A. sa utilizzare riga, compasso e
goniometro per risolvere problemi geometrici.
È in grado di utilizzare (autonomamente o con
aiuto) un programma di geometria dinamica
per rappresentare, esplorare e risolvere
situazioni geometriche. È capace di utilizzare
formulari, calcolatrici e applicativi adatti per
calcolare lunghezze, aree e volumi.
L’A. è in grado di eseguire calcoli con
grandezze (anche con semplici grandezze
composte, in particolare la velocità) e di
operare trasformazioni da un’unità di misura
all’altra. Sa calcolare distanze in vera misura
a partire da mappe e rapporti di scala.
L’A. è capace di scegliere lo strumento
adeguato (metro, goniometro, bilancia,
cronometro, cilindro graduato) per effettuare
delle misurazioni ( lunghezza, ampiezza,
massa, tempo e velocità, volume). Sa
utilizzare la CT e un foglio di calcolo per
calcolare misure ed eseguire trasformazioni.
Funzioni
L’A. riconosce e sa descriver
funzione (come relazione un
insiemi), conosce la terminolo
più importanti relativi a tale
sue rappresentazioni, è in grad
i principali tipi di funzioni (i
affini dalle altre.
L’A. è in grado di ricavar
argomenti da una tabella d
rappresentazione grafica o
algebrica di semplici funzion
situazioni riconducibili al
proporzionale (diretta o
determinare algebricamente
l’intersezione di due funzioni a
L’A. è in grado di utilizzare la
computer (foglio di calcolo)
valori e rappresentare gra
funzione.
Figura 4-1
Le formulazioni dei can-do nelle singole celle non tengono ancora conto delle differenze del livello di
competenza. Per definire questo livello – in modo empirico, con mezzi psicometrici – si sono elaborati una
serie di item di test e li si è attribuiti provvisoriamente ad uno dei quattro livelli di competenza, secondo una
tavola dei criteri suddivisa in tre parti. La loro definitiva attribuzione - e quindi la definizione dei livelli sono avvenute in conformità con i risultati empirici, una volta effettuata la valutazione dei test di validazione
(si veda la sezione seguente).
– 24 –
4.2
Tavola dei livelli di competenza dei problemi per l’8° e l’11° anno
Sostanzialmente bisogna distinguere tra la
valutazione della difficoltà sulla base di
considerazioni concernenti la materia e la
didattica da un lato e le procedure
psicometriche36 dall’altro. Nel progetto HarmoS
Matematica si sono applicati entrambi i
procedimenti. Tutti i problemi e gli item sono
stati correlati ad uno dei quattro livelli di
competenza, prima del test empirico, sulla base
di riflessioni di natura specialistica e didattica.
Nel fissare i livelli ci siamo orientati
prevalentemente ai lavori di Regina Bruder
(Bruder 1998), Michael Neubrand (Neubrand
2005) e Werner Blum (Blum 2006), limitandoci
però ai seguenti tre fattori fondamentali:
Figura 4-1
1. Difficoltà relativa all’enunciato:
la difficoltà di capire il problema così come è inteso.
2. Difficoltà relativa alla complessità della struttura del compito e del ragionamento necessario per
risolverlo: la quantità di ragionamenti complessi necessari per svolgere il problema.
3. Difficoltà matematica: le conoscenze e capacità matematiche necessarie per svolgere il problema.
Prima di eseguire i test, ogni item, conformemente a questi fattori,37 è stato assegnato provvisoriamente ad
un livello di competenza, dopo aver considerato i seguenti aspetti38:
1. Difficoltà relativa all’enunciato:
•
•
•
•
•
•
•
•
Lunghezza del testo (corto – lungo)
Conoscenza del contesto (noto – non noto)
Conoscenza della rappresentazione (nota – non nota)
Difficoltà dei segni e della terminologia (semplice –
astratto/ difficile)
Difficoltà dei concetti (noti – ignoti)
2. Difficoltà relativa alla complessità della struttura del
compito e del ragionamento necessario per risolverlo:
Figura 4-2
• necessità di trasposizione (trasposizione assente o
prestabilita – trasposizione autonoma)
Input ovvero aiuti per la trasposizione (con testo o immagine – nessun suggerimento)
Dispendio di tempo (poco – tanto)
Complessità della situazione (bassa – elevata)
36
Il rapporto tra le due prospettive e la difficoltà non è stato ancora sufficientemente chiarito, per questo giustapponiamo le due
concezioni, senza fornire giudizi.
37
Sul modello di Bruder (1998) e Neubrand (2002) ma limitandosi a pochi fattori per ragioni pratiche.
38
Dipende comunque sempre anche dal contesto se – ad esempio – una rappresentazione più dettagliata, una immagine in più ecc.
siano da considerare una facilitazione o una complicazione (si veda anche Linneweber-Lammerskitten / Wälti (2006))
– 25 –
•
Passaggi del processo risolutivo (un passaggio – più passaggi)
3. Difficoltà matematica / grado di familiarità con i problemi:
•
•
•
Conoscenza e pratica dei procedimenti matematici da applicare, secondo il piano di studi e la cultura
didattica
Difficoltà / complessità di numeri e forme
Utilizzo di strumenti (formule, calcolatrice ...)
I singoli item e il livello loro assegnato in via provvisoria sono stati inseriti in una banca dati, garantendo
così la costruzione di un numero sufficiente di item «semplici» (livelli di competenza I e II) per tutti gli
aspetti di competenza e i campi di competenza.
I risultati empirici erano ampiamente in linea con le attese per quanto concerne le percentuali di riuscita degli
item. Gli item sono stati assegnati in via definitiva ad uno dei quattro livelli di competenza sulla base
dell’indicatore della difficoltà rilevato empiricamente. Malgrado alcuni spostamenti nella item map (si veda
la Figura 4-1), si sono validati abbastanza item per tutte le celle della matrice testate per i quattro livelli di
competenza.
Le sezione 4-6 e 4-7 mostrano nelle prime tre righe i criteri di assegnazione provvisoria dei problemi e nell’
ultima il valore rilevato empiricamente e – sulla base di una analisi dei problemi compiuta dopo l’indagine
empirica - una descrizione generale dei problemi. La figura 4-4 mostra una parte della tavola per l’11° anno.
Livello di competenza I11
Livello di competenza II11
Difficoltà relativa
all’enunciato
Gli allievi conoscono il contesto del compito. Le
informazioni rilevanti ai fini della soluzione
risultano subito evidenti. Laddove sensato, esse
sono supportate da esempi e/o figure esplicative.
Il testo del compito è facilmente comprensibile e
insiste di qualche breve frase. Non sempre per
risolvere il compito è essenziale comprendere
pienamente il testo.
Gli allievi conoscono il contesto del compito.
Alcuni grafici e/o figure
illustrative sono
astratti. In alcuni casi, bisogna stabilire la
relazione tra situazione, testo e figure. Laddove
sensato, i problemi sono supportati da esempi e/o
grafici esplicativi.. Il testo del compito è
facilmente comprensibile ed è formato da
qualche frase breve e può contenere anche
termini matematici specifici.
Il contesto del compito è noto o può
facilmente chiarito. I grafici e/o le
illustrative sono spesso astratti e nece
l’individuazione del nesso con la situazi
testo. Le illustrazioni e i grafici esp
facilitano la comprensione del compi
come impostato ma forniscono indicazio
per la soluzione solo in misura limitata
non sono sempre facilmente comprensi
contengono termini matematici specifici.
Difficoltà relativa
alla complessità
della struttura del
compito e del
ragionamento
necessario
per
risolverlo
I problemi sono risolvibili con uno, massimo due
passaggi. Le modellizzazioni eventualmente
necessarie vengono indicate nell’impostazione
del compito e spesso i passaggi richiesti sono
illustrati mediante un esempio. L’attenzione
viene focalizzata su una situazione chiara,
conosciuta.
I problemi sono risolvibili in pochi passaggi,
facilmente individuabili e che emergono dal
compito
stesso.
Le
modellizzazioni
eventualmente necessarie vengono suggerite
nelle consegne. A volte varie informazioni o
rappresentazioni grafiche devono essere poste in
relazione tra loro. L’attenzione viene focalizzata
su una sola situazione chiara, conosciuta.
Spesso la risoluzione richiede vari passa
modellizzazioni
eventualmente
ne
vengono
parzialmente
suggerite.
informazioni o rappresentazioni grafiche
essere poste in relazione tra loro. A volte
o necessario cambiare prospettiva (ad
concreto all’ astratto).
Per risolvere i problemi bastano procedimenti
ben conosciuti. Gli oggetti matematici di cui ci si
serve (ad es. numeri o figure) sono semplici ed
esemplari. A volte sono ammesse soluzioni
incomplete o passaggi errati.
E‘ sufficiente utilizzare procedimenti noti. I
numeri e le figure di cui ci si serve sono
semplici. Spesso è necessario gestire diversi
oggetti matematici (ad es. numeri e variabili) o
una loro maggiore complessità (ad es.
parallelepipedi invece di cubi).
E‘ sufficiente utilizzare procedimenti
numeri e le figure di cui ci si serve no
sempre semplici e noti. Alcuni p
presuppongono l’utilizzazione contempor
oggetti matematici diversi (ad es. lun
superficie e volume). Per qualcuno son
richiesti, anche un approccio astratto e un
di vedere esemplare.
Difficoltà
matematica
Livello di competenza III11
Figura 4-4
HarmoS Matematica distingue 8 aspetti di competenza (come ad es. “argomentare, giustificare”), di cui ne
sono stati testati 6. Per l’8° e l’11° anno sono stati validati problemi per ciascuno dei 6 aspetti di competenza
e per tutti i quattro livelli di competenza. I quattro livelli di competenza possono quindi essere descritti anche
– 26 –
in rapporto agli aspetti di competenza. Nel sezione 4-8 e 4-9 sono riportate le tavole dei livelli per l’8° e
l’11° anno, per tutti gli otto aspetti di competenza. Le descrizioni degli aspetti di competenza "utilizzare
strumenti" e "rappresentare, comunicare" sono fondate su riflessioni di natura teorica.
Si riportano di seguito (figura 4-5) - a titolo rappresentativo di una suddivisione basata sugli aspetti di
competenza - i quattro livelli di competenza dell’aspetto di competenza “interpretare, riflettere sui risultati“,
per l’8° anno.
livello di competenze II8
Interpretare,
risultati
riflettere
sui
livello di competenze I8
Interpretare
e
verificare
affermazioni, rappresentazioni
e
risultati
di
facile
comprensione e di diversa
origine
mediante
calcoli,
schizzi o ragionamenti.
Interpretare
affermazioni,
rappresentazioni e risultati di
facile comprensione e di
diversa origine, verificarne la
correttezza e valutare la loro
pertinenza.
livello di competenze III8
livello di competenze IV8
Interpretare
affermazioni,
rappresentazioni e risultati di
diversa origine, verificarne la
correttezza e valutare la loro
pertinenza.
Confrontare
procedimenti
e
rappresentazioni
ed
eventualmente correggerle. I
modelli
eventualmente
necessari sono suggeriti dal
contesto e/o dall’enunciato.
Esaminare
affermazioni,
rappresentazioni e risultati di
diversa origine, verificarne la
rilevanza e la correttezza.
Confrontare strategie, opzioni e
rappresentazioni
ed
eventualmente correggerle; i
modelli
eventualmente
necessari sono suggeriti dal
contesto e/o dall’ enunciato ma
devono essere prodotti in modo
autonomo.
Figura 4-5
Anche se vi sono problemi per tutti i quattro livelli di competenza dei 5 campi di competenza (come ad es.
per “numeri e calcolo”), dopo qualche tentativo ci è parso poco significativo procedere ad un’analisi dei
problemi, che ricercasse – per così dire - caratteristiche comuni di difficoltà negli item, al di là degli aspetti
di competenza.
– 27 –
Numeri e calcolo
Geometria
Sapere, riconoscere,
descrivere
L’A. conosce la scrittura simbolica e i
nomi dei numeri fino a 100.
È in grado di riconoscere piccole
quantità senza contare e di determinare
il complementare al 10 dei numeri da 1
a 9.
L’A. comprende indicazioni concernenti
la posizione relativa nello spazio (come
"tra", "su", "sotto", "sopra", "al di
sotto", "davanti", "dietro", "a sinistra
di", "a destra di") oppure la direzione
("a sinistra", "a destra", "avanti diritto")
ed è anche in grado di utilizzare
correttamente tali espressioni. Conosce
delle figure geometriche semplici
(cerchio, rettangolo, quadrato, triangolo)
e sa associare loro il nome specifico.
Eseguire,
applicare
L’A. è in grado di eseguire addizioni,
sottrazioni e di determinare il
complemento di numeri nel campo del
cento, come pure e utilizzare, laddove
necessario, le proprietà commutativa e
associativa.
È in grado di eseguire scomposizioni
additive, dimezzare e raddoppiare
numeri e di riconoscere strutture
numeriche.
L’A. è in grado di confrontare semplici
figure geometriche. È capace di
riprodurre
o
completare
figure
geometriche semplici con l’aiuto di un
reticolo
(ruotare,
rimpicciolire,
ingrandire) oppure di completarle
mediante procedimenti di traslazione o
di simmetria assiale. Sa scomporre e
ricomporre figure più complesse.
Utilizzare
strumenti
Matrice dei can-do, 4° anno
L’A. è in grado di leggere ed impiegare
differenti rappresentazioni e tabelle
numeriche (ad es. la tavola pitagorica
fino al cento). È capace di usare i
raggruppamenti per contare gli oggetti.
L’A. è in grado di utilizzare un mezzo
idoneo per confrontare lunghezze. Sa
utilizzare delle griglie per completare,
riprodurre, rimpicciolire o ingrandire
delle figure.
Rappresentare,
comunicare
4.3
L’A. è in grado di descrivere e
presentare le proprie soluzioni e i
procedimenti seguiti in modo tale che
risultino comprensibili ai propri
compagni. È in grado di comprendere
soluzioni e procedimenti prodotti dai
compagni.
L’A. è in grado di descrivere
verbalmente figure e motivi geometrici
come pure eventuali irregolarità rispetto
ad una norma assentata.
– 28 –
Grandezze e misure
Funzioni
Analisi di dati e caso
Numeri e calcolo
Geometria
Matematizzare,
trasporre
L’A. è in grado di risolvere con
strumenti
aritmetici
(addizione,
sottrazione) problemi semplici in
situazione (ad es. situazioni che
necessitano
un
confronto,
la
combinazione e/o il complemento di
numeri).
L’A. è in grado di risolvere problemi
geometrici utilizzando l’invarianza della
forma, quando
sono in
gioco
trasformazioni nello spazio.
Argomentare,
giustificare
L’A. è in grado di formulare congetture
sul legame esistente fra calcoli e
rappresentazioni grafiche assegnate.
L’A. è in grado di riconoscere
irregolarità o errori presenti in un
motivo geometrico e di darne una
descrizione orale.
Interpretare,
riflettere sui risultati
L’A. è in grado, se richiesto
esplicitamente, di verificare le soluzioni
trovate di problemi aritmetici.
L’A. è in grado di riconoscere
irregolarità o errori presenti in un
motivo geometrico e di darne una
descrizione orale.
Esplorare,
tentare
L’A. è in grado di risolvere problemi
procedendo per tentativi in modo
sistematico o raccogliendo le differenti
possibili soluzioni.
L’A. è in grado di risolvere problemi
procedendo per tentativi in modo
sistematico o raccogliendo le differenti
possibili soluzioni.
– 29 –
Grandezze e misure
Funzioni
Analisi di dati e caso
Geometria
Grandezze e misure
Funzioni
Analisi di dati e caso
L’A. conosce e sa utilizzare termini specifici
(in particolare: addizione, sottrazione,
moltiplicazione, divisione, addendo, fattore,
somma, differenza, prodotto, quoziente, resto,
divisore, multiplo) e simboli algebrici e
aritmetici (=, ≠, <, ≤, >, ≥, +, –, •, :, ()).
Conosce semplici criteri di divisibilità ed è in
grado di leggere, scrivere ed ordinare i numeri
naturali e i decimali, nonché di spiegare la
scrittura decimale (sistema posizionale).
L’A. conosce e sa utilizzare termini e concetti
geometrici fondamentali (punto, segmento,
angolo, parallela, diametro, perimetro, asse di
simmetria, diagonale, verticale, triangolo,
rettangolo, quadrato, cerchio, superficie,
cubo) e simboli geometrici (ad es. segno
dell’angolo retto). È in grado di valutare e
spiegare il significato di schizzi e disegni
relativi a situazioni geometriche.
L’A. conosce i termini specifici e i simboli
utilizzati per indicare le principali unità di
misura delle principali grandezze (come:
capitale, lunghezza, superfice, peso/massa,
tempo, capacità), è in grado di proporre
esempi concreti relativi alle principali unità di
misura e di spiegare il sistema decimale
sottogiacente.
L’A. ha dimestichezza con tabelle di valori
generate da una funzione (anche se ancora
non dispone di una definizione esatta del
concetto). È in grado di riconoscere la
variazione proporzionale in contesti numerici
e grafici.
L’A. conosce e sa utilizzare alcuni termini e
modalità di rappresentazione specifiche
relative a insiemi di dati (media, diagramma a
settori, diagramma a barre, diagramma a
colonne), è in grado di leggere
le
rappresentazioni e di dare informazioni sui
dati alla base dei diagrammi.
Eseguire,
applicare
L’A. è in grado di eseguire, con tecniche di
calcolo mentale-scritto, addizioni e sottrazioni
con numeri naturali e decimali finiti nonché
moltiplicazioni e divisioni di numeri naturali
fino a 5 cifre. È capace di stimare i risultati di
calcoli più complessi e di approssimare
numeri. Sa applicare le proprietà delle
operazioni ai fini di una semplificazione del
calcolo.
L’A. è in grado di orientarsi nello spazio. Sa
riconoscere e descrivere la posizione di
oggetti del piano e dello spazio e le modifiche
generate su di essi mediante spostamenti
(traslare, ruotare, capovolgere, specchiare). Sa
fare uno schizzo e disegnare semplici figure e
motivi geometrici regolari (ornamenti,
parquet). È capace di scomporre poligoni in
figure semplici (triangolo, rettangolo,
quadrato). Sa determinare, contando oppure
con il calcolo, il perimetro e l’area di figure
semplici che si possono scomporre in
rettangoli con lunghezze dei lati espresse
mediante numeri interi oppure che si lasciano
ricondurre facilmente a rettangoli di tale tipo.
L’A. è in grado di eseguire calcoli con le
principali grandezze (capitale, lunghezza,
superfice, peso/massa, tempo, capacità), di
misurarle, stimarle, arrotondarle e di
confrontarle tra loro.
L’A. è in grado di riconoscere una variazione
regolare in un successione di numeri e di
continuare la successione, di completare
tabelle di valori e di eseguire semplici calcoli
di proporzionalità. È capace di interpretare in
senso
qualitativo
punti
e
semplici
rappresentazioni grafiche in un sistema di
coordinate.
Sa
completare
delle
rappresentazioni grafiche di funzioni semplici.
L’A. è in grado, sulla scorta di un insieme di
dati assegnati, di calcolare la media, di
completare delle tabelle, dei diagrammi a
colonna e dei diagrammi a barre e di eseguire
le operazioni adeguate per rispondere ad un
semplice quesito statistico.
L’A. conosce le funzioni e i tasti più
importanti di una calcolatrice (+, –, /, *, =,
…).
L’A. è in grado di usare gli strumenti
geometrici di base (compasso, righello,
squadra) per disegnare due rette parallele o
perpendicolari, come pure per stabilire se
sono parallele o perpendicolari.
L’A. è in grado di utilizzare strumenti di
misura (tra cui l’orologio, il metro, la bilancia,
il recipiente graduato) idonei rispetto alla
situazione.
(vuoto)
(vuoto)
L’A. è in grado di produrre calcoli scritti con
numeri naturali e decimali e di presentare i
propri calcoli ed argomentazioni in modo tale
che risultino comprensibili agli altri. Sa
rappresentare soluzioni di problemi aritmetici
(operazioni di base) a parole, con simboli,
schizzi o disegni.
(vuoto)
L’A. è in grado di capire schizzi di situazioni
ed oggetti che comportano delle misure e di
rappresentare lui stesso situazioni ed oggetti
mediante schizzi muniti di misure, in modo
che siano comprensibili agli altri. Sa illustrare
in modo corretto e comprensibile calcoli e
procedimenti risolutivi che prevedono l’uso
unità di misura.
L’A. è capace di ricavare informazioni
relative a funzioni semplici tra grandezze (in
particolare la proporzionalità) e di organizzare
e comunicare con parole proprie le
informazioni acquisite (senza necessariamente
far uso della terminologia specifica).
L’A. è in grado di capire informazioni fornite
dai media che contengono rappresentazioni
statistiche riferite alla quotidianità, di
rappresentarle e di commentarle con parole
proprie. In casi semplici, è capace di utilizzare
tabelle e grafici (diagrammi a barre e
diagrammi a colonne) per illustrare dei
documenti.
Sapere, riconoscere
e descrivere
Numeri e calcolo
Utilizzare
strumenti
Matrice dei dei can-do, 8° anno
Rappresentare,
comunicare
4.4
– 30 –
Numeri e calcolo
Geometria
Grandezze e misure
Funzioni
Analisi di dati e caso
Matematizzare,
trasporre
L’A. è in grado di comprendere problemi e
consegne concernenti diversi ambiti del
quotidiano, formulati facendo ricorso
a
numeri e lettere, e di ricondurli a concetti
aritmetici (ad es. relazione d’ordine,
operazioni ed operazioni inverse). Sa
riconoscere, continuare e completare sempici
successioni aritmetiche.
L’A. è in grado di porre in relazione oggetti e
situazioni
reali
con
rappresentazioni
geometriche (ad es. piante e schizzi).
L’A. è in grado di comprendere correttamente
problemi concernenti diversi ambiti del
quotidiano, in cui hanno un ruolo misure e
calcoli con grandezze. come pur di
organizzare in passaggi adeguati un percorso
risolutivo (trasformazioni, schizzi).
L’A. è in grado di scoprire in situazioni di
quotidianità relazioni di proporzionalità e di
linearità e di utilizzarle per descrivere (senza
terminologia specifica) e risolvre problemi.
L’A. è capace di ricavare da rappresentazioni
statistiche date le informazioni per risolvere
un problema ed è in grado di pianificare e
svolgere anche modesti rilevamenti di dati.
Argomentare,
giustificare
L’A. è in grado di motivare affermazioni
concernenti leggi numeriche, aritmetiche. Sa
distinguere argomentazioni e calcoli in più
passaggi parziali e rendere conto del
procedimento seguito.
(vuoto)
L’A. è capace di precisare e motivare
affermazioni qualitative in cui sono in gioco
grandezze (ad es. grande-piccolo, lungocorto). È in grado di capire argomentazioni
anche relativamente complesse, in cui delle
grandezze giocano un ruolo e di prendere una
posizione critica in merito.
L’A. è capace di prendere decisioni coerenti
(ad es. d’acquisto), fondandole sull’analisi di
relazioni
funzionali,
di
giustificare
affermazioni
concernenti
relazioni
di
proporzionalità
e
condurre
un’
argomentazione semplice.
L’A. è in grado di formulare dei pronostici e
motivare conclusioni basate sui dati
disponibili.
Interpretare,
riflettere sui risultati
L’A. è capace, nell’ambito dei numeri
naturali, di verificare, con il calcolo ed un
confronto con la realtà, rappresentazioni,
affermazioni e risultati calcolati, sia propri sia
di altri.,Sa prendere spunto da problemi
numerici risolti, per riflettere sull’idoneità dei
mezzi impiegati, sulla possibilità di
generalizzare il risultato e sulla trasferibilità
del metodo ad altri problemi.
L’A. è capace di verificare affermazioni e
risultati concernenti proprietà di semplici
figure geometriche.
L’A. è capace di verificare con il calcolo, la
misura ed un confronto con la realtà,
rappresentazioni, affermazioni e risultati
calcolati sia propri sia di altri, concernenti
misure e grandezze. Sa prendere spunto da
problemi numerici risolti per riflettere
sull’idoneità dei mezzi impiegati, sulla
possibilità di generalizzare il risultato e sulla
trasferibilità del metodo ad altri problemi
L’A. è capace di controllare i risultati ottenuti
da lui stesso o da altri concernenti semplici
funzioni (in particolare di proporzionalità).
L’A. è in grado di verificare affermazioni e
decisioni basate su presentazioni statistiche
(insiemi di dati, tabelle, diagrammi), di
compararle e di formulare ulteriori domande a
partire dai risultati ottenuti.
Esplorare,
tentare
L’A. è capace di esplorare insiemi numerici o
aritmetici nell’ambito dei numeri naturali, di
giungere a soluzioni o congetture variando
sistematicamente numeri, cifre o operazioni e
di indagare su delle generalizzazioni mediante
esempi numerici scelti autonomamente.
L’A. è capace di esaminare figure
geometriche semplici (ad es. pentamini,
sviluppi del cubo) e situazioni (ad es.
posizioni possibili di oggetti diversi), di
formulare congetture e di confermarle o
confutarle attraverso prove sistematiche.
L’A. è capace di esplorare ed indagare
relazioni tra grandezze dello stesso tipo (ad
es. i volumi di diversi oggetti) e relazioni tra
grandezze diverse (ad es. superficie e
perimetro) effettuando misurazioni ed
esperimenti semplici, di giungere a soluzioni
o congetture mediante variazione sistematica
delle misure, come pure di mettere alla prova
le congetture trovate.
L’A. è capace di formulare congetture
concernenti funzioni (in particolare di
proporzionalità) e di metterne alla prova la
validità.
L’A. è capace di eseguire semplici
esperimenti aleatori con dadi, monete o carte,
di contare il numero di risultati e di
determinare qualitativamente, procedendo per
tentativi, la probabilità di un evento (ci sono
più o meno possibilità che …).
nella realtà e in ambito matematico
– 31 –
Eseguire,
applicare
Sapere, riconoscere e
descrivere
4.5
Matrice dei can-do, 11° anno
Numeri e calcolo
Geometria
Grandezze e misure
Funzioni
Analisi di dati e caso
L’A. comprende e sa utilizzare termini di tipo
aritmetico-algebrico
(in
particolare:
equazione,
disequazione,
espressione
numerica o letterale, incognita, soluzione,
stima, approssimazione, divisore, multiplo,
numero primo, radice quadrata, radice );
conosce
le
principali
forme
di
rappresentazione di un numero (decimale,
frazionaria, percentuale, scientifica, potenza
con base reale ed esponente naturale).
L’A. conosce i principali termini e concetti
della geometria del piano e dello spazio, è in
grado di riconoscere, anche nel mondo
quotidiano, figure piane e solide assieme alle
loro proprietà come pure di descriverle e di
classificarle con un linguaggio adeguato.
Conosce i teoremi fondamentali della
geometria del piano ( ad es. Pitagora, Somma
degli angoli interni in un triangolo).
L’A. conosce le grandezze usuali (in
particolare lunghezza, area, volume, capacità,
massa/peso, tempo, velocità) e conosce le
unità di misura più importanti. Conosce la
struttura del sistema metrico decimale fondata
sulla rappresentazione mediante potenze di
dieci. Conosce i prefissi mega, kilo, deci,
centi, milli ed è in grado di associarli alle
corrispondenti potenze di dieci.
L’A. riconosce e sa descrivere il concetto di
funzione (come relazione univoca fra due
insiemi), conosce la terminologia e i simboli
più importanti relativi a tale concetto e alle
sue rappresentazioni, è in grado di distinguere
i principali tipi di funzioni (in particolare le
affini dalle altre.
L’A. conosce e utilizza termini della statistica
e del calcolo delle probabilità (in particolare:
valore medio; frequenza assoluta o relativa;
evento certo, possibile, impossibile). Conosce
varie modalità di rappresentazione di insiemi
di dati (in particolare: tabelle, diagrammi a
colonna, diagrammi a settori, istogrammi,
diagrammi cartesiani) con il relativo
linguaggio.
L’A. è in grado di ricavare immagini di
argomenti da una tabella di valori, dalla
rappresentazione grafica o dalla forma
algebrica di semplici funzioni. Sa risolvere
situazioni riconducibili alla variazione
proporzionale (diretta o inversa). Sa
determinare algebricamente e graficamente
l’intersezione di due funzioni affini.
L’A. è capace di costruire un diagramma
adeguato a partire da insiemi di dati misurati,
da tabelle di valori o da diagrammi esistenti,
di determinare frequenze assolute e relative e
di calcolare la media aritmetica. Sa
determinare la probabilità di un evento
ragionando sulle possibilità, in modo
sperimentale, con l’aiuto di un diagramma ad
albero.
L’A. è in grado di eseguire le quattro
operazioni di base con numeri espressi
sottoforma decimale, frazionaria o di semplici
potenze (in particolare la notazione
scientifica). A seconda della complessità sa
eseguire tali operazioni in forma mentalescritta e/o tramite la calcolatrice e sa stimare e
approssimare i risultati.
Utilizzare
strumenti
L’A. è in grado di eseguire calcoli con
grandezze (anche con semplici grandezze
composte, in particolare la velocità) e di
operare trasformazioni da un’unità di misura
all’altra. Sa calcolare distanze in vera misura
a partire da mappe e rapporti di scala.
L’A. conosce le funzioni più importanti di una
CT (+,, *, /, =, x2, √x, 1/ x, STO, RCL, ( ), yx).
Sa utilizzare un foglio di calcolo per
rappresentare una serie di dati, risolvere
un’equazione ed esplorare una situazione
numerica. È in grado di utilizzare delle tavole,
delle opere di riferimento o Internet per
trovare formule o procedure adeguate per
risolvere dei problemi numerici.
L’A. sa utilizzare riga, compasso e
goniometro per risolvere problemi geometrici.
È in grado di utilizzare (autonomamente o con
aiuto) un programma di geometria dinamica
per rappresentare, esplorare e risolvere
situazioni geometriche. È capace di utilizzare
formulari, calcolatrici e applicativi adatti per
calcolare lunghezze, aree e volumi.
L’A. è capace di scegliere lo strumento
adeguato (metro, goniometro, bilancia,
cronometro, cilindro graduato) per effettuare
delle misurazioni ( lunghezza, ampiezza,
massa, tempo e velocità, volume). Sa
utilizzare la CT e un foglio di calcolo per
calcolare misure ed eseguire trasformazioni.
L’A. è in grado di utilizzare la calcolatrice e il
computer (foglio di calcolo) per calcolare
valori e rappresentare graficamente una
funzione.
L’A. sa usare la CT o un foglio di calcolo per
trattare insiemi dati con numerosi elementi. Sa
utilizzare tecniche appropriate per scegliere,
classificare e rappresentare insiemi di dati (ad
es. Istogrammi). È capace di usare la CT per
determinare il risultato di calcoli legati a
semplici situazioni combinatorie.
Rappresentare,
comunicare
È capace di risolvere semplici equazioni e
sistemi di equazioni; sa utilizzare le proprietà
di calcolo per semplificare espressioni
algebriche.
L’A. è in grado di rappresentare figure
geometriche nel piano cartesiano e sa
applicare in modo ragionato, sulla scorta di
proprietà
elementari,
le
procedure
fondamentali di calcolo e di rappresentazione
geometrica. Sa rappresentare i principali
solidi in vari modi come pure stimare e
calcolare lunghezze, aree e volumi relativi ad
essi.
L’A. è in grado di prendere in considerazione
calcoli scritti e argomentazioni espressi da
altri e presentare calcoli e argomentazioni
proprie comprensibili a terzi. Sa presentare le
soluzioni trovate di una situazione algebrica
utilizzando i codici verbale, simbolico e
grafico.
L’A. è capace di utilizzare rappresentazioni
geometriche (mappe, schizzi, modelli, ecc. )
per desumere informazioni rilevanti inerenti
un problema o per illustrare le proprie idee
quando è chiamato a comunicare con
qualcuno. Sa illustrare e chiarire consegne e
procedimenti risolutivi facendo uso di schizzi,
disegni e modelli.
L’A. è in grado di utilizzare manuali, tabelle,
diagrammi, illustrazioni, ecc, per ricavare
informazioni utili per esprimere la propria
opinione riguardo a problemi di confronto fra
grandezze utilizzando rappresentazioni e
descrizioni pertinenti.
L’A. è capace di ricavare informazioni
relative ad una situazione in cui è in gioco una
relazione di tipo funzionale fra due insiemi di
grandezze, di esprimerle e di comunicarle in
modo adeguato.
L’A. è in grado di comprendere affermazioni
e seguire argomentazioni fondate su
diagrammi, tabelle di valori o altre forme di
rappresentazioni statistiche. È capace di far
capo a rappresentazioni statistiche esistenti
per documentare e sostenere il proprio punto
di vista.
– 32 –
Matematizzare,
trasporre
L’A. è in grado di prendere in considerazione
e di giustificare affermazioni relative a
proprietà numeriche, aritmetiche e algebriche.
È capace di suddividere in più passaggi
calcoli e argomentazioni complesse e di
motivare il proprio procedimento.
Esplorare,
tentare
Interpretare,
riflettere sui risultati
L’A. è capace di comprendere e di affrontare
vari problemi e situazioni provenienti dai
diversi ambiti della vita quotidiana e a
metterne in relazione i vari aspetti facendo
uso di concetti aritmetici o algebrici.(ad es.
relazione d’ordine, operazioni e operazioni
inverse)
Argomentare,
giustificare
Numeri e calcolo
L’A. è capace di esaminare e controllare
risultati, rappresentazioni e affermazioni
numeriche
proprie o proposte da terzi,
mediante il calcolo e il controllo della loro
coerenza con la realtà.
Sa approfittare di problemi numerici risolti
per riflettere sull’idoneità dei mezzi utilizzati,
sulla possibilità di generalizzare e di
riutilizzare per analogia i metodi usati.
L’A. è capace di prendere in considerazione e
di esplorare relazioni numeriche, aritmetiche
e algebriche. Attraverso la variazione
sistematica di numeri e operazioni è in grado
di giungere alla formulazione di soluzioni o
congetture, come pure di giustificare quest’
ultime mediante esempi adeguati, scelti
autonomamente.
Geometria
L’A. sa utilizzare la geometria per
interpretare, comprendere e modellizzare
situazioni della realtà quotidiana. È in grado
di far capo alle sue conoscenze geometriche
per prendere decisioni relative alla scelta di
strumenti e all’acquisto di beni.
L’A. sa giustificare la correttezza di semplici
formule e l’esistenza di determinate relazioni
concernenti figure geometriche a partire dalle
proprietà delle figure geometriche elementari.
È capace di formulare congetture su semplici
teoremi di geometria e di proporre argomenti
a sostegno.
L’A. è capace di interpretare e di analizzare
criticamente da un punto di vista geometrico
affermazioni riguardanti la geometria o altri
campi della matematica. Sa verificare la
correttezza di un risultato geometrico ed è
capace di riflettere sulla possibilità di
applicarlo per risolvere altri problemi.
L’A. è capace di esplorare aspetti della
geometria a lui sconosciuti, di formulare delle
congetture e di confermarle o di confutarle
mediante delle verifiche.
– 33 –
Grandezze e misure
Funzioni
Analisi di dati e caso
L’A. è capace di risolvere problemi di vita
quotidiana che mettono in gioco misure o che
richiedono un approccio mediante grandezze
adeguate (area di un appartamento, velocità di
un’automobile, consumo di carburante, … )
L’A. è in grado di individuare relazioni di tipo
funzionale in situazioni di esperienza
quotidiana e di utilizzarle per descrivere e
risolvere un problema.
L’A. sa interpretare problemi della vita
quotidiana alla luce dei loro aspetti statistici e
probabilistici e, sulla loro scorta, prendere
decisioni adeguate. È in grado di determinare,
ordinare ed elaborare i dati pertinenti relativi
ad una piccola inchiesta o a una raccolta di
dati. È capace di risolvere semplici problemi
combinatori di vita corrente, mediante
l’elencazione e il conteggio sistematico
oppure il calcolo.
L’A. è in grado di giustificare affermazioni
concernenti grandezze e rapporti fra
grandezze utilizzando in modo pertinente le
grandezze, le misure e le trasformazioni
adeguate. È in grado di prendere delle
decisioni facendo riferimento a misure e
norme
L’A., a partire dall’analisi di una relazione
funzionale, è in grado di prendere delle
decisioni giudiziose (ad es. relative ad un
contratto
d’acquisto),
sa
giustificare
affermazioni mediante l’impiego di tabelle, di
rappresentazioni grafiche e di calcoli, sa
proporre dei semplici ragionamenti.
L’A. è in grado di analizzare criticamente
delle semplici affermazioni concernenti
insiemi di dati, rappresentazioni statistiche e
probabilità di eventi semplici, come pure di
giustificare delle proprie affermazioni su tali
aspetti proponendo diagrammi e calcoli.
L’A. è capace di verificare, mediante il
calcolo e il confronto con la realtà, risultati
attenuti da lui stesso o proposti da altri,
concernenti grandezze e misure. È in grado di
giudicare se l’unità di misura e e il suo ordine
di grandezza sono adeguate alla situazione
proposta come pure se l’approssimazione
utilizzata nel calcolo del risultato ha senso o
meno.È capace di sfruttare le misure ottenute
per fare dei paragoni e riflettere sul proprio
apprezzamento di tali grandezze e rapporti fra
grandezze.
L’A. è capace di confrontare diversi metodi
risolutivi di semplici equazioni lineari (ad es.
per tentativi sistematici, risoluzione algebrica,
risoluzione grafica) per controllare un
risultato
ottenuto
oppure
valutare
l’adeguatezza del metodo utilizzato.
L’A. è in grado di riflettere e di porsi
domande su affermazioni e decisioni fondate
su dati statistici e valori di probabilità. È
capace, ed è disposto a farlo, di valutare se i
mezzi di rappresentazione usati da altri o da
lui stesso sono appropriati e sono stati
utilizzati correttamente.
L’A. è in grado di esprimere e di testare
congetture relative a relazioni funzionali
osservabili nella realtà e in matematica, come
pure di ricavare proprietà di funzioni e di loro
rappresentazioni grafiche mediante ricerca e
riflessione personale.
L’A. è in grado di esplorare semplici
situazioni di natura statistica, combinatoria o
probabilistica, di ricercare e di verificare
congetture o soluzioni mediante prove
sperimentali concernenti il caso.
L’A. è capace di effettuare delle misurazioni
di prova per esplorare una situazione e di
scegliere e confrontare grandezze appropriate
per comprendere esempi, proprietà, relazioni,
e strutture in gioco.
4.6
Tavola dei livelli di competenza dei problemi, 8° anno
Livello di competenza I8
Livello di competenza II8
Livello di competenza III8
Livello di competenza IV8
Difficoltà relativa
all’enunciato
Gli allievi conoscono il contesto. Le
informazioni rilevanti ai fini della soluzione
risultano subito evidenti. Laddove possibile, il
compito è supportato da esempi e/o grafici
esplicativi. Il testo del compito è facilmente
comprensibile e consiste di norma in una o due
frasi brevi. Non sempre per risolvere il compito
è essenziale comprendere pienamente il testo.
Gli allievi conoscono il contesto. Le
informazioni disponibili sono ben comprensibili
e in alcuni casi devono essere ricombinate per
giungere nuove asserzioni. Laddove possibile, i
problemi sono impostati col supporto di esempi
e/o grafici esplicativi. Il testo del compito è
facilmente comprensibile ed è formato da
qualche frase breve.
Gli allievi conoscono il contesto. Le
informazioni sono ben comprensibili, anche se
spesso complesse e devono essere collegate per
giungere a nuove asserzioni. Laddove possibile, i
problemi sono impostati col supporto di esempi
e/o grafici esplicativi. Il testo del compito
contiene a volte termini matematici specifici.
Il contesto non è chiaro a tutti gli allievi e per
alcuni di loro è richiesto innanzitutto uno sforzo
per la sua comprensione. Eventuali grafici e/o
forme rappresentative illustrano aspetti del
compito ma non sono sempre ovvi e forniscono
indicazioni utili per la soluzione solo in misura
limitata. Alcune relazioni tra situazione e testo /
grafico devono essere dedotte autonomamente.
Il testo scritto dei problemi è costituito in
generale da frasi brevi ma può contenere anche
termini matematici specifici e/o frasi più lunghe.
Difficoltà relativa
alla complessità
della struttura del
compito e del
ragionamento
necessario per
risolverlo
I problemi sono risolvibili con un passaggio.
Laddove possibile e sensato, si considerano
corrette diverse soluzioni. Le modellizzazioni
eventualmente necessarie vengono indicate
nell’impostazione del compito. L’attenzione
viene focalizzata su una sola situazione chiara,
conosciuta. Non sono necessari passaggi all’
astrazione rispetto alla situazione.
I problemi sono risolvibili con uno o due
passaggi. Le modellizzazioni vengono suggerite
nell‘impostazione del compito. A volte alcune
informazioni o rappresentazioni grafiche devono
essere messe in relazione tra loro o sovrapposte
le une alle altre. L’attenzione viene focalizzata
su una sola situazione chiara, conosciuta. Non
sono necessari passaggi all’ astrazione rispetto
alla situazione.
Per risolvere i problemi sono necessari due o più
passaggi. Eventuali modellizzazioni vengono
spesso sviluppate sulla base delle indicazioni
fornite nell’enunciato del compito. In alcuni
problemi, più informazioni e/o forme di
rappresentazione devono essere poste in
relazione tra loro ed elaborate.
La soluzione richiede vari passaggi, basati su
una comprensione certa deille relazioni fra i vari
elementi. Grafici, testi e termini matematici
devono essere posti in relazione tra loro e
presuppongono talvolta strategie non ancora
esercitate.
Difficoltà
matematica
La risoluzione dei problemi richiede
procedimenti di ben conosciuti. I numeri, le
figure e i simboli necessari sono semplici e
spesso hanno bisogno di essere ulteriormente
elaborati solo in scarsa misura. Di regola basta
indicare o individuare un risultato. A volte sono
ammesse soluzioni incomplete o passaggi errati.
La risoluzione dei problemi richiede
procedimenti ben conosciuti. I numeri, le figure
e i simboli necessari sono semplici ed esemplari
e di regola devono essere ulteriormente elaborati.
A volte sono ammesse soluzioni incomplete o
passaggi errati.
La risoluzione dei problemi richiede
procedimenti ben conosciuti. Di regola, numeri,
simboli, figure e tabelle sono noti, ma devono
essere interpretati correttamente ed ulteriormente
elaborati. Una risoluzione corretta presuppone
sicurezza nell’eseguire le operazioni (ad es.
contare o calcolare mentalmente). Sono richieste
per lo più soluzioni complete e tutti i passaggi
parziali necessari per ottenerle.
Di regola basta impiegare procedimenti
conosciuti. I numeri, le figure, i grafici e le
tabelle possono essere complessi e/o non ancora
noti e di norma devono essere ulteriormente
elaborati. Le operazioni necessarie non sono
sempre evidenti e presuppongono solide
conoscenze matematiche di base. Sono richieste
soluzioni complete con tutti i passaggi parziali
necessari per ottenerle.
540 < soglia < 620; la percentuale di riuscita è
compresa tra il 40% e il 60% circa.
620 < soglia < 700; la percentuale di riuscita è
compresa tra il 20% e il 40% circa.
La maggior parte dei fattori o dei loro
sottofattori (si veda il Rapporto sintetico
HarmoS matematica) sono quelli di un compito
facile. Le impostazioni dei problemi sono
conformi alle descrizioni delle competenze della
matrice dei can-do.
Alcuni fattori o loro sottofattori (si veda il
Rapporto sintetico HarmoS matematica) sono
quelli di un compito facile, alcuni altri invece di
un compito piuttosto difficile. I contenuti sono
conformi alle descrizioni delle competenze della
matrice dei can-do.
Soglia < 540; la percentuale di riuscita è
maggiore o uguale a circa il 60% .
Difficoltà
empirica
Gli item con una soglia < 400 rientrano nella
classe degli item particolarmente semplici
ovvero appartengono al livello di richiesta I*
Tutti i fattori o sottofattori (si veda il Rapporto
sintetico HarmoS matematica) sono quelli di un
compito facile. I contenuti dei problemi sono
conformi alle descrizioni delle competenze della
matrice dei can-do.
– 34 –
Soglia > 720; la percentuale di riuscita è minore
o uguale a circa il 20% .
Alcuni fattori o loro sottofattori indicano un
compito facile (si veda il Rapporto sintetico
HarmoS matematica), molti altri invece un
compito difficile. Sono conformi alle descrizioni
delle competenze della matrice dei can-do.
4.7
Tavola dei livelli di competenza dei problemi, 11° anno
Livello di competenza I11
Livello di competenza II11
Livello di competenza III11
Livello di competenza IV11
Difficoltà relativa
all’enunciato
Gli allievi conoscono il contesto del compito. Le
informazioni rilevanti ai fini della soluzione
risultano subito evidenti. Laddove sensato, esse
sono supportate da esempi e/o figure esplicative.
Il testo del compito è facilmente comprensibile e
insiste di qualche breve frase. Non sempre per
risolvere il compito è essenziale comprendere
pienamente il testo.
Gli allievi conoscono il contesto del compito.
Alcuni grafici e/o figure
illustrative sono
astratti. In alcuni casi, bisogna stabilire la
relazione tra situazione, testo e figure. Laddove
sensato, i problemi sono supportati da esempi e/o
grafici esplicativi.. Il testo del compito è
facilmente comprensibile ed è formato da
qualche frase breve e può contenere anche
termini matematici specifici.
Il contesto del compito è noto o può essere
facilmente chiarito. I grafici e/o le figure
illustrative sono spesso astratti e necessitano
l’individuazione del nesso con la situazione e il
testo. Le illustrazioni e i grafici esplicativi
facilitano la comprensione del compito così
come impostato ma forniscono indicazioni utili
per la soluzione solo in misura limitata. I testi
non sono sempre facilmente comprensibili e/o
contengono termini matematici specifici.
Non tutti gli allievi conoscono o hanno
familiarità col contesto del compito. Gli
eventuali grafici e/o figure di rappresentazione
chiariscono l’impostazione del compito ma non
sono comunque evidenti e forniscono indicazioni
utili per la soluzione solo in misura limitata. La
relazione tra situazione e testo / graficodeve
essere dedotta autonomamente. I testi dei
problemi sono spesso brevi ma comunque di
difficile comprensione per molti allievi.
Difficoltà relativa
alla complessità
della struttura del
compito e del
ragionamento
necessario
per
risolverlo
I problemi sono risolvibili con uno, massimo due
passaggi. Le modellizzazioni eventualmente
necessarie vengono indicate nell’impostazione
del compito e spesso i passaggi richiesti sono
illustrati mediante un esempio. L’attenzione
viene focalizzata su una situazione chiara,
conosciuta.
I problemi sono risolvibili in pochi passaggi,
facilmente individuabili e che emergono dal
compito
stesso.
Le
modellizzazioni
eventualmente necessarie vengono suggerite
nelle consegne. A volte varie informazioni o
rappresentazioni grafiche devono essere poste in
relazione tra loro. L’attenzione viene focalizzata
su una sola situazione chiara, conosciuta.
Spesso la risoluzione richiede vari passaggi. Le
modellizzazioni
eventualmente
necessarie
vengono
parzialmente
suggerite.
Varie
informazioni o rappresentazioni grafiche devono
essere poste in relazione tra loro. A volte è utile
o necessario cambiare prospettiva (ad es. dal
concreto all’ astratto).
La soluzione richiede vari passaggi, basati su
una comprensione certa delle relazioni fra gli
elementi noti. A volte è utile o necessario
cambiare prospettiva. Grafici, testi e termini
matematici devono essere posti in relazione tra
loro e presuppongono talvolta strategie non
ancora esercitate
Difficoltà
matematica
Per risolvere i problemi bastano procedimenti
ben conosciuti. Gli oggetti matematici di cui ci si
serve (ad es. numeri o figure) sono semplici ed
esemplari. A volte sono ammesse soluzioni
incomplete o passaggi errati.
E‘ sufficiente utilizzare procedimenti noti. I
numeri e le figure di cui ci si serve sono
semplici. Spesso è necessario gestire diversi
oggetti matematici (ad es. numeri e variabili) o
una loro maggiore complessità (ad es.
parallelepipedi invece di cubi).
E‘ sufficiente utilizzare procedimenti noti. I
numeri e le figure di cui ci si serve non sono
sempre semplici e noti. Alcuni problemi
presuppongono l’utilizzazione contemporanea di
oggetti matematici diversi (ad es. lunghezza,
superficie e volume). Per qualcuno sono pure
richiesti, anche un approccio astratto e un modo
di vedere esemplare.
Nella maggior parte dei casi basta utilizzare
procedimenti conosciuti. Numeri, figure , grafici
e tabelle sono spesso complessi e/o non ancora
noti. Spesso è necessario un approccio che
prevede, per lo stesso compito, l’uso di oggetti
matematici divesi (ad es. lunghezza, superficie e
volume). In alcuni problemi sono richieste
affermazioni astratte.
540 < soglia < 635; la percentuale di riuscita è
compresa tra il 40% e il 60% circa.
620 < soglia < 729; la percentuale di riuscita è
compresa tra il 20% e il 40% circa.
Soglia > 729; la percentuale di riuscita è minore
o uguale al 20% circa.
Difficoltà
empirica
Soglia < 540; la percentuale di riuscita è
maggiore o uguale al 60% circa. Gli item con
una soglia < 400 rientrano nella classe degli item
particolarmente semplici ovvero appartengono al
livello di competenza I*
Tutti i fattori o i loro sottofattori (si veda il
Rapporto sintetico HarmoS matematica) sono
quelli di un compito facile. I contenuti dei
problemi sono conformi alle descrizioni delle
competenze della matrice dei can-do.
La maggior parte dei fattori o dei loro
sottofattori (si veda il Rapporto sintetico
HarmoS matematica) sono quelli di un compito
facile. I contenuti dei problemi sono conformi
alle descrizioni delle competenze della matrice
dei can-do.
Alcuni fattori o loro sottofattori (si veda il
Rapporto sintetico HarmoS matematica) sono
quelli di un compito facile, alcuni altri invece di
un compito piuttosto difficile. I contenuti sono
conformi alle descrizioni delle competenze della
matrice dei can-do.
Alcuni fattori o loro sottofattori indicano un
compito facile (si veda il Rapporto sintetico
HarmoS matematica), molti altri invece un
compito difficile. Essi corrispondono alle
descrizioni delle competenze della matrice dei
can-do.
– 35 –
4.8
Tavola dei livelli di competenza concernente gli aspetti di competenza, 8° anno
applicare
Rappresentare,
comunicare*)
Utilizzare strumenti*)
Eseguire,
Sapere, riconoscere e
descrivere
Livello di competenza I8
Riconoscere e descrivere singoli oggetti matematici
usuali (operazioni, figure, solidi, misure, frazioni,
espressioni, tabelle ecc.) e strutture semplici
all’interno di situazioni. Individuare, denominare e
applicare singoli oggetti matematici d’uso comune e
anche comprendere il significato di simboli comuni.
Descrivere semplici situazioni ed operazioni in
contesti noti, anche senza strumenti di
visualizzazione.
Eseguire calcoli e applicare procedimenti semplici,
che richiedono solo un passaggio, in un contesto
noto e chiaramente strutturato. Il procedimento è
indicato o ben conosciuto. Stimare i risultati di
operazioni.
Utilizzare in modo guidato compasso, squadra,
righello, calcolatrice, strumenti di consultazione e
computer per eseguire operazioni elementari e per
rappresentare situazioni semplici.
Capire rappresentazioni prodotte da altri che
contengono solo pochi simboli, termini specifici e
grafici fondamentali ed esprimere riflessioni in
merito, con parole proprie . Sono concessi singoli
errori e imprecisioni.
Livello di competenza II8
Livello di competenza III8
Livello di competenza IV8
Riconoscere e descrivere oggetti matematici usuali
(operazioni, figure , solidi, misure, frazioni, termini,
tabelle ecc.) e strutture semplici all’interno di
situazioni. Individuare e mettere in relazione tra
loro oggetti matematici proposti in diverse forme di
rappresentazione.
Descrivere
situazioni
ed
operazioni anche senza strumenti di visualizzazione,
a condizione che siano semplici e/o legate a un
contesto noto.
Riconosceree descrivere situazioni matematiche che
contengono anche termini specifici, simboli e
strutture meno comuni. Individuare le informazioni
rilevanti anche in un contesto più complesso e
riconoscere le analogie. Descrivere anche senza
strumenti di visualizzazione situazioni ed
operazioni più complesse e senza legami con il
quotidiano..
Riconosceree descrivere situazioni matematiche che
richiedono una buona conoscenza matematica a
livello di termini specifici, simboli, strutture e
proprietà. Individuare le informazioni rilevanti
anche in un contesto più complesso e riconoscere le
analogie, gli errori e le incoerenze. Descrivere
situazioni ed operazioni matematiche senza
ricorrere a strumenti di visualizzazione
Eseguire calcoli e applicare procedimenti semplici
che richiedono solo pochi passaggi, noti agli allievi,
in un contesto noto e chiaramente strutturato.
Semplificare calcoli, figure e dati sfruttando
proprietà di operazioni e di figure geometriche
Eseguire calcoli e applicare procedimenti
relativamente complessi con simboli, numeri ed
altri oggetti matematici. Semplificare e effettuare
operazioni sfruttando proprietà note .
Eseguire calcoli e applicare procedimenti in contesti
complessi. Passare da un codice di rappresentazione
ad un altro, sfruttandone i vantaggi; i modelli
eventualmente necessari sono forniti. .Stimare,
calcolare e rappresentare i risultati di operazioni.
Utilizzare con pochi aiuti compasso, squadra,
righello, calcolatrice, strumenti di consultazione e
computer per svolgere operazioni elementari e per
rappresentare situazioni semplici.
Utilizzare compasso, squadra, righello, calcolatrice
e computer per operazioni e rappresentazioni che
vanno oltre il livello elementare. Usare strumenti di
di consultazione.
Utilizzare gli strumenti tradizionali e informatici
anche per operazioni e rappresentazioni complesse e
non usuali. Usare strumenti di consultazione in
modo autonomo.
Capire rappresentazioni prodotte da altri che
contengono solo simboli, termini specifici e grafici
elementari ed esprimere con parole proprie e pochi
termini specifici le proprie riflessioni in merito.
Sono concessi errori e imprecisioni isolate.
Capire rappresentazioni prodotte da altri che fanno
uso di simboli, termini specifici e grafici. Esprimere
proprie riflessioni in merito in modo differenziato,
con parole proprie e facendo capo a termini
specifici. Correggere errori e imprecisioni con un
aiuto
Capire rappresentazioni prodotte da altri, anche se
contengono errori, lacune o termini specifici
sconosciuti, il cui significato può essere desunto dal
contesto. Esprimere le proprie riflessioni in merito
in modo differenziato ed adeguato al contesto.
Correggere autonomamente, dietro la richiesta di
chiarimenti, eventuali errori e imprecisioni.
Livello di competenza II8
Livello di competenza III8
Livello di competenza IV8
Tradurre in un modello matematico problemi (del
quotidiano) il cui ambito è facilmente accessibile e
per il quale vengono fornite delle matematizzazioni
standard o evidenti dal contesto. I relativi testi,
tabelle, grafici ecc. da interpretare sono semplici;
per ottenere il modello serve di regola un solo
passaggio.
Tradurre in un modello matematico problemi il cui
ambito è facilmente accessibile e per i quali i
processi di matematizzazione sono noti o si possono
desumere facilmente dal contesto grazie a modelli
simili. I relativi testi, tabelle, grafici ecc. da
interpretare sono semplici; per giungere al modello
servono uno o due passaggi.
Trovare modelli adeguati, suggeriti del contesto, per
descrivere situazioni note e sconosciute, , e
descriverli a parole. Utilizzare le informazioni
rilevanti per la matematizzazione, capire e
descrivere le relazioni di dipendenza. I testi, le
tabelle, i grafici ecc. da interpretare sono semplici
ma devono essere posti in relazione tra loro. La
matematizzazione può richiedere vari passaggi.
Sviluppare in modo autonomo modelli per
descrivere situazioni note e sconosciute e descriverli
a parole. Riconoscere e descrivere le relazioni di
dipendenza tra i diversi elementi anche in situazioni
complesse e precisare a parole,, in forma simbolica
o grafica, i passaggi necessari.
Argomentare,
giustificare
Motivare o confutare affermazioni semplici
mediante esempi o controesempi, facendo valere
argomenti evidenti, utilizzando o interpretando dati
disponibili
Giustificare
o
confutare
affermazioni
e
procedimenti
semplici
tramite
esempi
o
controesempi,, facendo valere argomenti evidenti
oppure
mediante
calcoli,
trasformazioni,
interpretazioni, verifiche di alcuni dati.
Interpretare,
riflettere sui risultati
Interpretare
e
verificare
affermazioni,
rappresentazioni e risultati di facile comprensione e
di diversa origine mediante calcoli, schizzi o
ragionamenti.
Interpretare affermazioni, rappresentazioni e
risultati di facile comprensione e di diversa origine,
verificarne la correttezza e valutare la loro
pertinenza.
A partire da un esempio, trovare altri esempi relativi
ad un’affermazione o ad una situazione. Esaminare
sistemi con pochi elementi o una struttura semplice
variando singoli elementi. Formulare domande
proprie relative ad una situazione semplice o un
esempio.
Trovare esempi relativi ad
affermazioni o
situazioni e sulla loro scorta trarre congetture;
convalidare o confutare delle congetture date.
Esaminare la struttura di sistemi variando in modo
sistematico singoli elementi. Il metodo di analisi è
suggerito nell’enunciato del compito o assegnato
mediante esempi.
tentare
Esplorare,
Matematizzare,
trasporre
Livello di competenza I8
*) I livelli di competenza sono stati stabiliti sulla base di riflessioni di natura teorica
– 37 –
Giustificare
o
confutare
affermazioni
e
procedimenti utilizzando le informazioni proposte
nell’enunciato del compito,
analizzando ed
interpretando tali informazioni, producendo esempi
o controesempi opportunamente scelti e facendo
riferimento a proprietà note.
Giustificare
o
confutare
affermazioni
e
procedimenti
individuando,
analizzando
e
strutturando in modo autonomo le relazioni utili e
tenendo in considerazione proprietà note di tipo
generale
Interpretare affermazioni, rappresentazioni e
risultati di diversa origine, verificarne la correttezza
e valutare la loro pertinenza. Confrontare
procedimenti e rappresentazioni ed eventualmente
correggerle. I modelli eventualmente necessari
sono suggeriti dal contesto e/o dall’enunciato.
Esaminare affermazioni, rappresentazioni e risultati
di diversa origine, verificarne la rilevanza e la
correttezza. Confrontare strategie, opzioni e
rappresentazioni ed eventualmente correggerle; i
modelli eventualmente necessari sono suggeriti dal
contesto e/o dall’ enunciato ma devono essere
prodotti in modo autonomo.
Esplorare una situazione provando o simulando in
modo sistematico molte o addirittura tutte le
possibilità. Esaminare strutture variando in modo
sistematico diversi elementi e trarne affermazioni
valide per la situazione specifica.
Formulare congetture per una determinata
situazione e testarle attraverso procedimenti idonei.
Esaminare strutture variando in modo sistematico
diversi elementi e dedurre affermazioni coerenti
sulla base dei risultati ottenuti.
Rappresentare,
comunicare*)
Utilizzare strumenti*)
Eseguire, applicare
Sapere, riconoscere e
descrivere
4.9
Tavola dei livelli di competenza concernente gli aspetti di competenza, 11° anno
Livello di competenza I11
Livello di competenza II11
Livello di competenza III11
Livello di competenza IV11
Riconoscere e descrivere situazioni matematiche
che contengono qualche termine specifico, simboli
e strutture matematiche comuni. Identificare,
denominare e applicare uno o due oggetti o simboli
matematici in un contesto noto e se la situazione
matematica è facilmente comprensibile. Descrivere
situazioni ed operazioni semplici relative a contesti
noti, anche senza ricorrere a strumenti di
visualizzazione.
Riconoscere e descrivere situazioni matematiche
che contengono termini specifici, simboli e strutture
matematiche comuni. Identificare e classificare
elementi proposti secondo diversi registri di
rappresentazione.
Ricavare
informazioni
e
descrivere caratteristiche non immediatamente
evidenti. Conoscere ed utilizzare diverse forme di
rappresentazione.
Descrivere
situazioni
ed
operazioni semplici relative a contesti noti, anche
senza ricorrere a strumenti di visualizzazione.
Riconoscere e descrivere situazioni matematiche
che contengono anche termini specifici, simboli e
strutture matematiche meno comuni. Individuare le
informazioni rilevanti anche in un contesto più
compless e iconoscere relazioni e analogie presenti.
Distinguere varianti e possibilità diverse. Descrivere
situazioni e operazioni anche complesse e non
usuali, senza ricorrere a strumenti di visualizzazione
.
Riconoscere e descrivere situazioni matematiche
che presuppongono una buona conoscenza
matematica di termini specifici, simboli, strutture e
proprietà. Individuare le informazioni rilevanti, gli
errori e le incoerenze anche in un contesto
complesso. Riconoscere spontaneamente varianti e
possibilità diverse. Descrivere situazioni e
operazioni matematiche, senza ricorrere a strumenti
di visualizzazione.
Eseguire calcoli e applicare procedimenti semplici
che richiedono solo pochi passaggi, in un contesto
noto e chiaramente strutturato. Trasformare e
semplificare gli elementi forniti sfruttando proprietà
di operazioni e di figure geometriche.
Eseguire calcoli e applicare procedimenti
relativamente complessi con simboli, numeri o altri
oggetti matematici. Semplificare e effettuare
operazioni sfruttando proprietà note.
Eseguire calcoli e applicare procedimenti in contesti
complessi. Passare da un codice di rappresentazione
ad un altro, sfruttandone i vantaggi; i modelli
eventualmente necessari non sono forniti. .Stimare,
calcolare e rappresentare i risultati di operazioni o
procedimenti.
Utilizzare compasso, squadra, righello, calcolatrice
e computer per operazioni e rappresentazioni che
vanno oltre il livello elementare. Utilizzare un
formulario per calcolare il valore di semplici
espressioni letterali, in cui sono necessarie delle
semplici trasformazioni.
Utilizzare gli strumenti tradizionali e informatici
anche per operazioni e rappresentazioni complesse e
non usuali. Usare strumenti di consultazione in
modo autonomo.
Eseguire calcoli e applicare procedimenti semplici,
che richiedono solo uno o due passaggi, in un
contesto noto e chiaramente strutturato.
Il procedimento è indicato o ben conosciuto.
Stimare risultati di calcoli o procedimenti.
Utilizzare compasso, squadra, righello, calcolatrice,
strumenti di consultazione e computer per eseguire
operazioni elementari e per rappresentare situazioni
semplici. Utilizzare un formulario per calcolare il
valore di semplici espressioni letterali, in cui non
sono necessarie delle trasformazioni.
Capire rappresentazioni prodotte da altri che
contengono solo pochi simboli, termini specifici e
grafici fondamentali ed esprimere riflessioni in
merito, con parole proprie. Sono concessi singoli
errori e imprecisioni.
Utilizzare compasso, squadra, righello, calcolatrice,
strumenti di consultazione e computer per svolgere
operazioni e per rappresentare situazioni anche non
elementari. Utilizzare un formulario per calcolare il
valore di semplici espressioni letterali, in cui non
sono necessarie delle trasformazioni.
Capire rappresentazioni prodotte da altri che
contengono solo simboli, termini specifici e grafici
fondamentali ed esprimere con parole proprie e
pochi termini specifici le proprie riflessioni in
merito. Sono concessi errori e imprecisioni isolate.
– 38 –
Capire rappresentazioni prodotte da altri che fanno
uso di simboli, termini specifici e grafici. Esprimere
proprie riflessioni in merito in modo differenziato,
con parole proprie e facendo capo a termini
specifici. Correggere errori e imprecisioni con un
aiuto
Capire rappresentazioni prodotte da altri, anche se
contengono errori e lacune o termini specifici
sconosciuti, il cui significato può essere desunto dal
contesto. Esprimere le proprie riflessioni in merito
in modo differenziato ed adeguato al contesto.
Correggere autonomamente, dietro la richiesta di
chiarimenti, eventuali errori e imprecisioni.
Argomentare,
trasporre
giustificare
riflettere sui risultati
Interpretare,
Esplorare,
tentare
Matematizzare,
Livello di competenza I11
Tradurre in un modello matematico problemi (del
quotidiano) il cui ambito è facilmente accessibile e
per il quale vengono fornite delle matematizzazioni
standard o evidenti dal contesto. I relativi testi,
tabelle, grafici ecc. da interpretare sono semplici;
per ottenere il modello sono necessari uno o due
passaggi.
Motivare o confutare affermazioni o fenomeni
semplici mediante esempi o controesempi, facendo
valere
argomenti
evidenti,
utilizzando
o
interpretando dati disponibili .
Livello di competenza II11
Tradurre in un modello matematico problemi il cui
ambito è facilmente accessibile e per i quali i
processi di matematizzazione sono noti o si possono
desumere facilmente dal contesto grazie a modelli
simili. I relativi testi, tabelle, grafici ecc. da
interpretare sono semplici; per giungere al modello
servono uno o due passaggi.
Motivare o confutare semplici affermazioni o
fenomeni mediante esempi o controesempi,
attraverso calcoli, trasformazioni o interpretazioni
di pochi valori numerici o singole espressioni
letterali, ricorrendo a relazioni semplici e evidenti.
Livello di competenza III11
Livello di competenza IV11
Trovare modelli adeguati per descrivere situazioni
sia note sia sconosciute, sulla base del contesto.
Utilizzare le informazioni rilevanti per la
matematizzazione, capire e descrivere le relazioni di
dipendenza. Interpretare i modelli con l’aiuto di dati
concreti e descriverli anche in termini generali. La
matematizzazione richiede due o tre passaggi.
Sviluppare e motivare in modo autonomo modelli
concreti e astratti per situazioni note o sconosciute.
Riconoscere e descrivere le relazioni di dipendenza
tra i diversi elementi anche in situazioni complesse
e precisare, a parole, in forma simbolica o grafica, i
passaggi necessari.
Motivare o confutare affermazioni, situazioni e
fenomeni individuando ed utilizzando informazioni
e relazioni proposte nell’enunciato del compito,
analizzando ed interpretando i dati alla luce di
proprietà conosciute.
Motivare o confutare affermazioni, situazioni e
fenomeni individuando ed utilizzando in modo
autonomo informazioni e relazioni proposte
nell’enunciato del compito, analizzando e
strutturando i dati, alla luce di proprietà generali.
Interpretare
e
verificare
affermazioni,
rappresentazioni e risultati di facile comprensione e
di diversa origine mediante calcoli, schizzi o
ragionamenti. I modelli eventualmente necessari
sono forniti nell’enunciato.
Interpretare affermazioni, rappresentazioni e
risultati di facile comprensione e di diversa origine,
verificarne la correttezza e valutarne la pertinenz. I
modelli eventualmente necessari risultano evidenti
dal contesto.
Interpretare affermazioni, rappresentazioni e
risultati di diversa origine, verificarne la correttezza
e valutarne la pertinenza. Confrontare strategie e
rappresentazioni e correggerle se necessario. I
modelli eventualmente necessari sono suggeriti dal
contesto e/o dall’enunciato ma devono essere
prodotti in modo autonomo.
Analizzare affermazioni, rappresentazioni e risultati
di diversa origine, verificarne la correttezza e
valutarne la pertinenza Confrontare strategie,
opzioni e rappresentazioni e correggerle o
perfezionanrle quando è il caso. I modelli
eventualmente necessari devono essere prodotti in
modo autonomo.
A partire da un esempio, trovare altri esempi relativi
ad un’affermazione o ad una situazione. Esaminare
sistemi con pochi elementi e una struttura semplice
variando i singoli elementi.
Trovare esempi relativi ad
affermazioni o
situazioni e sulla loro scorta trarre congetture;
convalidare o confutare delle congetture date.
Esaminare la struttura di sistemi variando in modo
sistematico singoli elementi. Il metodo di analisi è
suggerito nell’enunciato del compito o assegnato
mediante esempi.
Esplorare una situazione provando e simulando in
modo sistematico molte o addirittura tutte le
possibilità. Esaminare strutture variando in modo
sistematico i diversi elementi e trare affermazioni
valide per la situazione specifica.
Formulare congetture per una situazione e testarle
attraverso procedimenti idonei. Esaminare strutture
variando in modo sistematico i diversi elementi,
individuare le soluzioni ottimali e - sulla base dei
risultati ottenuti - formulare congetture relative a
proprietà generali.
*) I livelli di competenza sono stati stabiliti sulla base di riflessioni di natura teorica
– 39 –
5.
Il modello di competenza a livello micro
5.1
Quadro generale per il 4°, 8° e 11° anno scolastico
Al livello micro, il modello di competenza HarmoS matematica viene affinato in modo da consentire la
definizione degli standard di base. A tal fine, le matrici con le descrizioni dei can-do devono essere messe in
relazione con le tavole dei livelli di competenza. Ne deriva un modello tridimensionale, come delineato al
livello macro. Avrebbe però poco senso riformulare in modo esplicito il contenuto di ogni singola cella del
modello tridimensionale perché questo porterebbe ad una moltitudine di formulazioni altamente ridondanti, a
scapito della chiarezza. Abbiamo quindi optato per una diversa rappresentazione, che potesse tener conto
delle diverse caratteristiche del 4° anno da un lato e dell’8° ed 11° anno dall’altro.
4° anno: una mappa per ognuno dei due settori di competenza “Numeri e calcolo” e “Geometria“.
8° ed 11° anno: una mappa per ognuno dei degli otto aspetti di competenza, che riprende nella prima
colonna i can-do corrispondenti ai cinque campi di competenza. Le rimanenti 4 colonne riportano le
descrizioni dei livelli di competenza. Ad esempio, per capire cosa si debba intendere per "livello di
competenza III11 nel campo "Geometria" in relazione all’aspetto "Argomentare, giustificare“, basta mettere
in relazione la descrizione dei can-do con la descrizione del livello in questione (cfr. figura 5-1).
Figura 5-1
– 40 –
5.2
Livelli di competenza per il campo di competenza “Numeri e calcolo”, 4° anno
Livello di competenza I4 (soglia < 369)
Livello di competenza II4 (369 ≤ soglia < 572)
Livello di competenza III4 (572 ≤ soglia)
Numeri fino a 20, decine fino a 100
Numeri fino a 100, operazioni senza passaggio
di decina
Numeri fino a 100, operazioni con passaggio di
decina
Rappresentare, comunicare
L’A. è in grado di descrivere e presentare le
proprie soluzioni e i procedimenti seguiti in
modo tale che risultino comprensibili ai propri
compagni. È in grado di comprendere soluzioni
e procedimenti prodotti dai compagni.
Argomentare, giustificare
L’A. è in grado di formulare congetture sul
Scrivere i calcoli fatti per risolvere un problema Scrivere i calcoli fatti per risolvere un problema
legame esistente fra calcoli e rappresentazioni
additivo (a un passaggio).
additivo di confronto (ritrovare lo stato iniziale
grafiche assegnate.
o a più passaggi).
Interpretare, riflettere sui risultati
Ragionare,
comunicare
Descrizione dei can-do
non testato e difficile da valutare
La verifica di questi can do, per questa età, è difficilmente valutabile in modo indipendente dalla forma del test.
Spesso agli allievi di 8 anni mancano i mezzi verbali per descrivere in modo preciso il loro modo di procedere; focalizzano un aspetto particolare
oppure utilizzano espressioni personali magari corrette ma che però sono difficilmente comprensibili.
non testato
non testato e difficile da valutare
La verifica di questi can do, per questa età, è difficilmente valutabile in modo indipendente dalla forma del test.
L’A. è in grado, se richiesto esplicitamente, di
Allievi di 8 anni sono in grado di interpretare e verificare, ma è loro loro ancora troppo difficile organizzare i pensieri in parole per esprimere dei
verificare le soluzioni trovate di problemi
procedimenti o per generalizzare.
aritmetici.
– 41 –
tentare
Utilizzare
strumenti
Esplorare,
trasporre
Eseguire,
applicare
L’A. è in grado di eseguire addizioni, sottrazioni
e di determinare il complemento di numeri nel
campo del cento, come pure e utilizzare,
laddove necessario, le proprietà commutativa e
associativa.
È in grado di eseguire scomposizioni additive,
dimezzare e raddoppiare numeri e di
riconoscere strutture numeriche.
L’A. è in grado di leggere ed impiegare
differenti rappresentazioni e tabelle numeriche
(ad es. la tavola pitagorica fino al cento). È
capace di usare i raggruppamenti per contare gli
oggetti.
Matematizzare,
L’A. è in grado di risolvere con strumenti
aritmetici (addizione, sottrazione) problemi
semplici in situazione (ad es. situazioni che
necessitano un confronto, la combinazione e/o il
complemento di numeri).
Sapere, riconoscere
e descrivere
Risolvere problemi,
utilizzare strumenti e tecniche
Sapere, riconoscere
e descrivere
L’A. è in grado di risolvere problemi Fare delle prove con numeri semplici (numeri Fare delle prove con i numeri fino a 100 per
procedendo per tentativi in modo sistematico o fino a 20 oppure con le decine) per trovare una trovare una o più soluzioni accettabili per un
raccogliendo le differenti possibili soluzioni.
soluzione accettabile per un problema
problema.
Risolvere problemi additivi, di confronto o che
richiedono più passaggi. Completare sequenze
di numeri (con passo massimo di 10).
Riconoscere una legge di regolarità in una
Risolvere problemi additivi a un passaggio39 .
successione di semplici calcoli e continuare in
base alla stessa (con numeri fino a 20)
Trovare una soluzione di un problema
moltiplicativo (di ripartizione) presentato
attraverso immagini (con numeri fino a 20).
Addizionare e sottrarre senza contare.
Raddoppiare e dimezzare con/senza passaggio
Addizionare, sottrarre, raddoppiare e dimezzare
di decina. Determinare il complementare di un
(senza contare con le dita)41
numero rispetto ad una decina data.
Determinare il complemento alla decina
Contare in avanti di due in due, contare indietro
successiva con numeri fino a 100
di 1 in 1o di 10 in 10.
Contare fino a 100, di 1 in 1 (non testato)
Completare parti di una striscia numerica (con
Completare parti di una striscia numerica (con
la possibilità di introdurre passaggi intermedi).
numeri fino a 20) (non testato)
Mettere in relazione le informazioni di una
tabella.
non testato
Risolvere problemi additivi di confronto40 o che
richiedono passaggi
Riconoscere una legge di regolarità in una
certa successione di calcoli e produrre altri
elementi della successione coerenti con la
legge.
Risolvere un problema.
(non testato)
Risolvere problemi di divisione (non testato)
Addizionare,
sottrarre,
determinare
il
complementare, raddoppiare e dimezzare.
Contare con scioltezza avanti di due in due,
contare indietro di 1 in 1o di 10 in 10.
Completare in modo fluido parti di una striscia
numerica (senza la possibilità di introdurre
passaggi intermedi).
non testato
Contare quantità di oggetti rappresentati anche
Contare quantità quantità di oggettipresentati
in modo disordinato (numeri fino a 20) (non Contare quantità di oggetti concreti (numeri fino
in modo disordinato (aiutandosi con i
testato)
a 100) (non testato)
raggruppamenti)
L’A. conosce la scrittura simbolica e i nomi dei
numeri
fino
a
100.
È in grado di riconoscere piccole quantità senza
contare e di determinare il complementare al 10
dei numeri da 1 a 9.
Orientarsi sulla striscia dei numeri fino a 100:
determinare numeri che precedono e che
seguono.
Leggere e completare una tabella
Riconoscere, in un’immagine data, delle strutture
moltiplicative descritte verbalmente
Leggere e completare una tabella.
39
Esempio di problemi additivi: a) Maria ha 3 biglie, Giovanni ne ha 5. Quante biglie hanno assieme ? b) Maria ha 2 biglie, Giovanni gliene dà altre 5. Quante biglie ha adesso Maria?
Esempio di problema di confronto: Maria ha 5 biglie, Giovanni ha 8 biglie, quante biglie ha Giovanni in più di Maria?
41
La specificazione “senza contare con le dita“ risponde solo in parte ai risultati empirici ma, in base allo stato della ricerca, deve essere pretesa perlomeno per le cosiddette “richieste fondamentali“
(complemento al 10 o al 20, raddoppiare e dimezzare) (cfr. documento per la consultazione “Modello di competenze HarmoS matematica" cap. 7).
40
– 42 –
5.3
Livelli di competenza per il campo di competenza “Geometria” , 4° anno
tentare
Interpreta
Argoment Rappresen
re,
are,
tare,
riflettere
giustificar comunicar
sui
e
e
risultati
Matematizzare,
trasporre
L’A. è in grado di descrivere verbalmente figure e motivi
geometrici come pure eventuali irregolarità rispetto ad una
norma assegnata.
non testato
L’A. è in grado di riconoscere irregolarità o errori presenti in
un motivo geometrico e di darne una descrizione orale.
non testato
L’A. è in grado di riconoscere irregolarità o errori presenti in
un motivo geometrico e di darne una descrizione orale.
non testato
L’A. è in grado di risolvere problemi procedendo per
tentativi in modo sistematico o raccogliendo le differenti
possibili soluzioni.
non testato
Continuare dei motivi semplici (ad es. motivo dato da una Continuare dei motivi complessi o completare parti mancanti
linea senza incroci, semplici ornamenti a nastro, …)
(ad es. motivo dato da una linea con incroci, tassellazioni, ...)
L’A. è in grado di risolvere problemi geometrici utilizzando
Riconoscere il principio della simmetria assiale
Completare figure simmetriche
l’invarianza della forma, quando sono in gioco
Confrontare le dimensioni di figure solide disegnate.
trasformazioni nello spazio.
Comporre una figura prestabilita a partire da determinate
figure geometriche a disposizione
Traslare, simmetrizzare o ruotare figure proposte su di un
L’A. è in grado di confrontare semplici figure geometriche.
Continuare una successione di semplici figure geometriche
reticolo
È capace di riprodurre o completare figure geometriche
semplici con l’aiuto di un reticolo (ruotare, rimpicciolire,
Riconoscere figure indipendentemente dalla loro posizione
ingrandire) oppure di completarle mediante procedimenti –di
nello spazio
traslazione o di simmetria assiale. Sa scomporre e Utilizzare un reticolo per disegnare percorsi o linee
Utilizzare un reticolo per disegnare figure prestabilite
ricomporre figure più complesse.
poligonali
Utilizzare
strumenti
Eseguire,
applicare
Livello di competenza II4 369 ≤ soglia
Livello di competenza I4 soglia < 369
L’A. è in grado di utilizzare un mezzo idoneo per
confrontare lunghezze. Sa utilizzare delle griglie per
completare, riprodurre, rimpicciolire o ingrandire delle
figure.
Sapere, riconoscere
e descrivere
Sapere, riconoscere
e descrivere
Risolvere problemi,
utilizzare strumenti e tecniche
Esplorar,
Ragionare,
comunicare
Descrizione dei can-do
L’A. comprende indicazioni concernenti la posizione relativa
nello spazio (come "tra", "su", "sotto", "sopra", "al di sotto",
Conoscere le figure geometriche elementari cerchio,
"davanti", "dietro", "a sinistra di", "a destra di") oppure la
Conoscere alcune figure geometriche (cerchio, rettangolo,
direzione ("a sinistra", "a destra", "avanti diritto") ed è anche
rettangolo, quadrato e triangolo e associare loro il nome
quadrato, triangolo) e associare loro il nome specifico.
specifico.
in grado di utilizzare correttamente tali espressioni. Conosce
delle figure geometriche semplici (cerchio, rettangolo,
quadrato, triangolo) e sa associare loro il nome specifico
– 43 –
non testato
5.4
Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Sapere, riconoscere e descrivere”, 8° anno
Numeri e calcolo
L’A. conosce e sa utilizzare termini specifici (in particolare: addizione, sottrazione,
moltiplicazione, divisione, addendo, fattore, somma, differenza, prodotto, quoziente, resto,
divisore, multiplo) e simboli algebrici e aritmetici (=, ≠, <, ≤, >, ≥, +, –, •, :, ()). Conosce
semplici criteri di divisibilità ed è in grado di leggere, scrivere ed ordinare i numeri naturali e
i decimali, nonché di spiegare la scrittura decimale (sistema posizionale).
Geometria
L’A. conosce e sa utilizzare termini e concetti geometrici fondamentali (punto, segmento,
angolo, parallela, diametro, perimetro, asse di simmetria, diagonale, verticale, triangolo,
rettangolo, quadrato, cerchio, superficie, cubo) e simboli geometrici (ad es. segno
dell’angolo retto). È in grado di valutare e spiegare il significato di schizzi e disegni relativi a
situazioni geometriche.
Grandezze e
misure
L’A. conosce i termini specifici e le abbreviazioni delle unità di misura delle principali
grandezze (come: capitale, lunghezza, superfice, peso/massa, tempo, capacità), è in grado di
proporre esempi concreti relativi alle principali unità di misura e di spiegare il sistema
decimale sottogiacente.
Funzioni
L’A. ha dimestichezza con tabelle di valori generate da una funzione (anche se ancora non
dispone di una definizione esatta del concetto). È in grado di riconoscere la variazione
proporzionale in contesti numerici e grafici.
Analisi di dati e
caso
Descrizione dei can-do
L’A. conosce e sa utilizzare alcuni termini e modalità di rappresentazione specifiche relative
a insiemi di dati (media, diagramma a settori, diagramma a barre, diagramma a colonne), è in
grado di leggere le rappresentazioni e di dare informazioni sui dati alla base dei diagrammi.
– 44 –
Livello di competenza I8
Livello di competenza II8
Livello di competenza III8
Livello di competenza IV8
L’A. è in grado di riconoscere
e descrivere singoli oggetti
matematici d’uso comune
(operazioni, figure, solidi,
misure, frazioni, espressioni,
tabelle, ecc.) e strutture
semplici in situazioni date. È
capace
di
individuare,
denominare e applicare singoli
oggetti matematici
d’uso
comune come
pure
di
comprendere il significato di
simboli comuni. Sa descrivere
situazioni
ed
operazioni
semplici in contesti noti,
anche senza ricorrere a
strumenti di visualizzazione.
L’A. è in grado di riconoscere
e descrivere singoli oggetti
matematici
d’uso comune
(operazioni, figure , solidi,
misure, frazioni, espressioni,
tabelle ecc.) e strutture
semplici delle situazioni. Sono
capaci di individuare e
classificare oggetti matematici
in
diverse
forme
di
raffigurazione.
Sanno
descrivere semplici situazioni
ed operazioni in contesti noti,
anche senza ricorrere a
strumenti di visualizzazione .
L’A. è in grado di riconoscere
e
descrivere
situazioni
matematiche che contengono
anche
termini
specifici
matematici, simboli e strutture
meno comuni. Sa individuare
le informazioni rilevanti anche
in un contesto più complesso e
riconoscere le analogie. È
capace di rappresentarsi anche
situazioni ed operazioni più
complesse e non abituali,
senza ricorrere a strumenti di
visualizzazione.
L’A. è in grado di riconoscere
e
descrivere
situazioni
matematiche che richiedono
una
buona
conoscenza
matematica
per
quanto
riguarda termini specifici,
simboli, strutture e relazioni.
Sa individuare le informazioni
rilevanti anche in un contesto
più complesso e riconoscere
analogie, errori e incoerenze.
È capace di rappresentarsi
situazioni
ed
operazioni
matematiche, senza ricorrere a
strumenti di visualizzazione.
5.5
Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Eseguire, applicare”, 8° anno
Numeri e calcolo
Grandezze e
misure
L’A. è in grado di eseguire calcoli con le principali grandezze (denaro, lunghezze, superfici,
peso/massa, tempo, misure di capacità), di misurarle, stimarle, arrotondarle e di confrontarle
tra loro.
Funzioni
L’A. è in grado di orientarsi nello spazio. Sa riconoscere e descrivere la posizione di oggetti
del piano e dello spazio e le modifiche generate su di essi mediante spostamenti (traslare,
ruotare, capovolgere, specchiare). Sa fare uno schizzo e disegnare semplici figure e motivi
geometrici regolari (ornamenti, parquet). È capace di scomporre poligoni in figure semplici
(triangolo, rettangolo, quadrato). Sa determinare, contando oppure con il calcolo, il perimetro
e l’area di figure semplici che si possono scomporre in rettangoli con lunghezze dei lati
espresse mediante numeri interi oppure che si lasciano ricondurre facilmente a rettangoli di
tale tipo.
L’A. è in grado di riconoscere la variazione regolare in un successione di numeri e di
continuarla, di completare tabelle di valori e di eseguire semplici calcoli di proporzionalità. È
capace di interpretare in senso qualitativo punti e semplici rappresentazioni frafiche in un
sistema di coordinate. Sa completare delle rappresentazioni grafiche di funzioni semplici.
Analisi di dati e
caso
L’A. è in grado di eseguire, con tecniche di calcolo mentale-scritto, addizioni e sottrazioni
con numeri naturali e decimali finiti nonché moltiplicazioni e divisioni di numeri naturali fino
a 5 cifre. È capace di stimare i risultati di calcoli più complessi e di approssimare numeri. Sa
applicare le proprietà delle operazioni ai fini di una semplificazione del calcolo.
Geometria
Descrizione dei can-do
L’A. è in grado, sulla scorta di un insieme di dati assegnati, di calcolare la media, di
completare delle tabelle, dei diagrammi a colonna e dei diagrammi a barre e di eseguire le
operazioni adeguate per rispondere ad un semplice quesito statistico.
– 45 –
Livello di competenza I8
Livello di competenza II8
Livello di competenza III8
Livello di competenza IV8
L’A. , in un contesto noto e
chiaramente strutturato, è in
grado di eseguire calcoli o
procedure
geometriche
semplici, che richiedono solo
un passaggio. I passaggi
intermedi vengono forniti o
sono ampiamente acquisiti
dalla scuola elementare. Sa
stimare il risultato di un
calcolo.
L’A. , in un contesto noto e
chiaramente strutturato, è in
grado di eseguire calcoli o
procedure
geometriche
semplici, che richiedono solo
pochi passaggi, noti agli
allievi.
Sa
eseguire
e
semplificare calcoli, figure e
dati sfruttando le proprietà
delle operazioni.
L’A. è in grado di eseguire
operazioni più complesse
utilizzando simboli, numeri ed
altri oggetti matematici. Sa
eseguire e semplificare calcoli
e
procedure
sfruttando
proprietà matematiche.
L’A. è in grado di eseguire
operazioni
in
contesti
complessi ed è capace di
passare da un codice di
rappresentazione ad un’altro,
sfruttandone i vantaggi. Le
eventuali
matematizzazioni
necessarie sono deducibili dal
contesto. Sa stimare, calcolare
e rappresentare i risultati.
5.6
Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Utilizzare strumenti”*), 8° anno
Numeri e calcolo
Grandezze e
misure
L’A. è in grado di utilizzare strumenti di misura (tra cui l’orologio, il metro, la bilancia, il
recipiente graduato) idonei rispetto alla situazione.
Funzioni
L’A. è in grado di usare gli strumenti geometrici di base (compasso, righello, squadra) per
disegnare due rette parallele o perpendicolari, come pure per stabilire se sono parallele o
perpendicolari.
(vuoto)
Analisi di dati e
caso
L’A. conosce le funzioni e i tasti più importanti di una calcolatrice (+, –, /, *, =, …).
Geometria
Descrizione dei can-do
(vuoto)
*) I livelli di competenza sono stati stabiliti sulla base di riflessioni di natura teorica
– 46 –
Livello di competenza I8
Livello di competenza II8
Livello di competenza III8
Livello di competenza IV8
L’A. è in grado, guidato, di
utilizzare compasso, squadra,
righello,
calcolatrice,
computer e strumenti di
consultazione per eseguire
operazioni di base e per
rappresentare
situazioni
semplici.
L’A. , on un piccolo aiuto, è in
grado di utilizzare compasso,
squadra, righello, calcolatrice,
computer e strumenti di
consultazione per eseguire
operazioni di base e per
rappresentare
situazioni
semplici.
L’A. è in grado di utilizzare
compasso, squadra, righello,
calcolatrice
computer
e
strumenti di consultazione per
eseguire
operazioni
e
rappresentazioni che vanno
oltre il livello elementare.
L’A. è in grado di utilizzare
gli strumenti tradizionali e
informatici anche per eseguire
operazioni e rappresentazioni
complesse, non usuali. È
capace di usare strumenti di
consultazione
in
modo
autonomo.
5.7
Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Rappresentare, comunicare”*), 8° anno
Numeri e calcolo
Grandezze e
misure
L’A. è in grado di capire schizzi di situazioni ed oggetti che comportano delle misure e di
rappresentare lui stesso situazioni ed oggetti mediante schizzi muniti di misure, in modo che
siano comprensibili agli altri. Sa illustrare in modo corretto e comprensibile calcoli e
procedimenti risolutivi che prevedono l’uso di unità di misura.
Funzioni
(vuoto)
L’A. è capace di ricavare informazioni relative a relazioni funzionali semplici tra grandezze
(in particolare la proporzionalità) e di organizzare e comunicare con parole proprie le
informazioni acquisite (senza necessariamente far uso della terminologia specifica).
Analisi di dati e
caso
L’A. è in grado di produrre calcoli scritti con numeri naturali e decimali e di presentare i
propri calcoli ed argomentazioni in modo tale che risultino comprensibili agli altri. Sa
rappresentare soluzioni di problemi aritmetici (operazioni di base) a parole, con simboli,
schizzi o disegni.
Geometria
Descrizione dei can-do
L’A. è in grado di capire informazioni fornite dai media che contengono rappresentazioni
statistiche riferite alla quotidianità, di rappresentarle e di commentarle con parole proprie. In
casi semplici, è capace di utilizzare tabelle e grafici (diagrammi a barre e diagrammi a
colonne) per illustrare dei documenti.
*) I livelli di competenza sono stati stabiliti sulla base di riflessioni di natura teorica
– 47 –
Livello di competenza I8
Livello di competenza II8
Livello di competenza III8
Livello di competenza IV8
L’A. è in grado di capire le
rappresentazioni di altri che
contengono
solo
pochi
simboli, termini specifici e
grafici di base e di esprimere a
parole proprie riflessioni in
merito. Sono concessi singoli
errori o imprecisioni.
L’A. è in grado di capire le
rappresentazioni di altri che
contengono solo simboli,
termini specifici e grafici di
base e sa esprimere a parole
proprie riflessioni in merito
facendo capo anche a termini
specifici. Sono concessi errori
sporadici e imprecisioni.
L’A. è in grado di capire le
rappresentazioni di altri che
fanno uso di simboli, termini
specifici
e
grafici.
Sa
esprimere proprie riflessioni in
merito in modo differenziato,
con parole proprie e facendo
capo anche a termini specifici.
Con aiuto è in grado di
correggere eventuali errori e
imprecisioni.
L’A. è in grado di capire le
rappresentazioni di altri, anche
se contengono errori e lacune
o termini specifici sconosciuti,
il cui significato può essere
dedotto dal contesto. Sa
esprimere le proprie riflessioni
in
merito
in
modo
differenziato e adeguato al
contesto ed è capace di
correggere
autonomamente,
dietro richiesta di chiarimenti,
eventuali errori e imprecisioni.
5.8
Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Matematizzare, trasporre ”, 8° anno
Numeri e calcolo
L’A. è in grado di comprendere problemi e consegne concernenti diversi ambiti del
quotidiano, formulati facendo ricorso a numeri e lettere, e di ricondurli a concetti aritmetici
(ad es. relazione d’ordine, operazioni ed operazioni inverse). Sa riconoscere, continuare e
completare sempici successioni aritmetiche.
Geometria
L’A. è in grado di porre in relazione oggetti e situazioni reali con rappresentazioni
geometriche (ad es. piante e schizzi).
Grandezze e
misure
L’A. è in grado di comprendere correttamente problemi concernenti diversi ambiti del
quotidiano, in cui hanno un ruolo misure e calcoli con grandezze. come pur di organizzare in
passaggi adeguati un percorso risolutivo (trasformazioni, schizzi).
Funzioni
L’A. è in grado di scoprire in situazioni c quotidianità relazioni di proporzionalità e di
linearità e di utilizzarle per descrivere (senza terminologia specifica) e risolvre problemi.
Analisi di dati e
caso
Descrizione dei can-do
L’A. è capace di ricavare da rappresentazioni statistiche date le informazioni per risolvere un
problema ed è in grado di pianificare e svolgere anche modesti rilevamenti di dati.
– 48 –
Livello di competenza I8
Livello di competenza II8
Livello di competenza III8
Livello di competenza IV8
L’A. è in grado di tradurre in
un
modello
matematico
problemi (di vita quotidiana) il
cui ambito è facilmente
accessibile e se i modelli
necessari gli vengono forniti
oppure risultano evidenti
dall’enunciato. I relativi testi,
le tabelle, i grafici ecc. da
analizzare sono semplici; per
la matematizzazione basta di
regola un passaggio.
L’A. è in grado di tradurre in
un
modello
matematico
problemi (di vita quotidiana) il
cui ambito è facilmente
accessibile e se i modelli
necessari gli vengono forniti
oppure risultano evidenti
dall’enunciato. I relativi testi,
le tabelle, i grafici ecc. da
analizzare sono semplici; per
la matematizzazione basta di
regola un passaggio..
L’A. , sulla base del contesto,
è capace di trovare forme di
matematizzazione adatte per
affrontare situazioni note o
sconosciute e descriverle a
parole. È capace di utilizzare
le informazioni rilevanti per la
matematizzazione, di capire e
descrivere le relazioni di
dipendenza. I testi, le tabelle, i
grafici ecc. da interpretare
sono semplici ma devono
essere posti in relazione tra
loro. La matematizzazione può
richiedere vari passaggi.
L’A. sa produrre in modo
autonomo modelli adeguati
per
situazioni
note
o
sconosciute e descriverle a
parole.
È
capace
di
riconoscere
e
descrivere
relazioni di dipendenza tra i
diversi elementi anche in
situazioni
complesse
e
precisare in forma verbale ,
simbolica o grafica, i vari
passaggi necessari.
5.9
Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Argomentare, giustificare”, 8° anno
Numeri e calcolo
Grandezze e
misure
L’A. è capace di precisare e motivare affermazioni qualitative in cui sono in gioco grandezze
(ad es. grande-piccolo, lungo-corto). È in grado di capire argomentazioni anche
relativamente complesse, in cui le delle grandezze giocano un ruolo e di prendere una
posizione critica in merito.
Funzioni
(vuoto)
L’A. è capace di prendere decisioni coerenti (ad es. d’acquisto), fondandole sull’analisi di
relazioni funzionali, di giustificare affermazioni concernenti relazioni di proporzionalità e
condurre un’ argomentazione semplice.
Analisi di dati e
caso
L’A. è in grado di motivare affermazioni concernenti leggi numeriche, aritmetiche. Sa
distinguere argomentazioni e calcoli in più passaggi parziali e rendere conto del
procedimento seguito.
Geometria
Descrizione dei can-do
L’A. è in grado di formulare dei pronostici e motivare conclusioni basate sui dati disponibili.
– 49 –
Livello di competenza I8
Livello di competenza II8
Livello di competenza III8
Livello di competenza IV8
L’A. è in grado di giustificare
o
confutare
semplici
affermazioni, mediante una
verifica basata su un esempio
centrato sui dati esistenti
oppure facendo capo ad
argomenti evidenti.
L’A. è in grado di giustificare
o
confutare
semplici
affermazioni e procedimenti
mediante esempi, calcoli,
trasformazioni, interpretazioni
e verifiche di pochi dati
oppure facendo capo ad
argomenti evidenti.
L’A. è in grado di giustificare
o confutare affermazioni e
procedimenti
individuando,
analizzando ed interpretando i
dati e le relazioni fornite
dall’enunciato del problema,
lavorando con esempi adeguat
o facendo roferiemento a
proprietà note
L’A. è in grado di giustificare
o confutare affermazioni e
procedimenti individuando ed
utilizzando i dati e le relazioni
in modo autonomo attraverso
il reperimento, l’analisi e la
strutturazione dei dati e
facendo
riferimento
a
proprietà note.
5.10 Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Interpretare, riflettere sui risultati”, 8° anno
Numeri e calcolo
L’A. è capace, nell’ambito dei numeri naturali, di verificare, con il calcolo ed un confronto
con la realtà, rappresentazioni, affermazioni e risultati calcolati sia propri sia di altri,. Sa
prendere spunto da problemi numerici risolti per riflettere sull’idoneità dei mezzi impiegati,
sulla possibilità di generalizzare il risultato e sulla trasferibilità del metodo ad altri problemi.
Geometria
L’A. è capace di verificare affermazioni e risultati concernenti proprietà di semplici figure
geometriche.
Grandezze e
misure
L’A. è capace di verificare con il calcolo, la misura ed un confronto con la realtà,
rappresentazioni, affermazioni e risultati calcolati sia propri sia di altri, concernenti misure e
grandezze. Sa prendere spunto da problemi numerici risolti per riflettere sull’idoneità dei
mezzi impiegati, sulla possibilità di generalizzare il risultato e sulla trasferibilità del metodo
ad altri problemi.
Funzioni
Livello di competenza I8
L’A. è capace di controllare i risultati ottenuti da lui stesso o da altri concernenti semplici
funzioni (in particolare di proporzionalità).
Analisi di dati e
caso
Descrizione dei can-do
L’A. è in grado di verificare affermazioni e decisioni basate su presentazioni statistiche
(insiemi di dati, tabelle, diagrammi), di compararle e di formulare ulteriori domande a partire
dai risultati ottenuti.
– 50 –
L’A. è in grado di interpretare
e verificare affermazioni,
rappresentazioni e risultati di
facile comprensione e di
diversa
natura
mediante
calcoli, schizzi o semplici
ragionamenti.
Livello di competenza II8
Livello di competenza III8
Livello di competenza IV8
L’A. è in grado di interpretare
affermazioni, rappresentazioni
e
risultati
di
facile
comprensione e di diversa
natura, di verificarne la
correttezza e di valutare la
pertinenza dei dati.
L’A. è in grado di interpretare
affermazioni, rappresentazioni
e risultati di diversa natura, di
verificarne la correttezza e di
valutare la pertinenza dei dati.
Sa confrontare strategie e
rappresentazioni
ed
eventualmente correggerle. I
modelli
eventualmente
necessari sono evidenti dal
contesto o sono forniti
nell’enunciato.
L’A. è in grado di analizzare
affermazioni, rappresentazioni
e risultati di diversa natura e di
valutarne la pertinenza e la
correttezza. Sa confrontare
strategie,
scelte
e
rappresentazioni
ed
eventualmente correggerle. I
modelli
eventualmente
necessari sono suggeriti dal
contesto o dall’enunciato,
devono però essere realizzati
in modo autonomo.
5.11 Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Esplorare, tentare”, 8° anno
Numeri e calcolo
L’A. è capace di esaminare figure geometriche semplici (ad es. pentamini, sviluppi del cubo)
e situazioni (ad es. posizioni possibili di oggetti diversi), di formulare congetture e di
confermarle o confutarle attraverso prove sistematiche
Grandezze e
misure
L’A. è capace di esplorare insiemi numerici o aritmetici nell’ambito dei numeri naturali, di
giungere a soluzioni o congetture variando sistematicamente numeri, cifre o operazioni e di
indagare su delle generalizzazioni mediante esempi numerici scelti autonomamente.
Geometria
Descrizione dei can-do
L’A. è capace di esplorare ed indagare relazioni tra grandezze dello stesso tipo (ad es. i
volumi di diversi oggetti) e relazioni tra grandezze diverse (ad es. superficie e perimetro)
effettuando misurazioni ed esperimenti semplici, di giungere a soluzioni o congetture
mediante variazione sistematica delle misure, come pure di mettere alla prova le congetture
trovate.
Livello di competenza I8
Livello di competenza II8
Livello di competenza III8
Livello di competenza IV8
L’A., partire da un esempio, è
in grado di trovare altri esempi
relativi ad un’affermazione o
ad
una
situazione.
Sa
esaminare sistemi con pochi
elementi o una struttura
semplice variando singoli
elementi.
È
capace
di
formulare domande proprie
relative ad una situazione
L’A. è in grado di trovare
esempi
relativi
ad
affermazioni o situazioni e
sulla loro scorta trarre
congetture;
convalidare o
confutare delle congetture
date. È capace di esaminare la
struttura di sistemi variando in
modo sistematico singoli
elementi. Il metodo di analisi è
suggerito nell’enunciato del
compito o assegnato mediante
esempi.
L’A. è in grado di esplorare
una situazione provando o
simulando
in
modo
sistematico molte o addirittura
tutte le possibilità. È capace di
esaminare strutture variando
in modo sistematico diversi
elementi e trarne affermazioni
valide per la situazione
specifica.
L’A. è in grado di formulare
congetture
per
una
determinata
situazione
e
testarle
attraverso
procedimenti idonei.
Funzioni
L’A. è capace di formulare congetture concernenti funzioni (in particolare di proporzionalità)
e di metterne alla prova la validità.
Analisi di dati e
caso
semplice o ad un esempio.
L’A. è capace di eseguire semplici esperimenti aleatori con dadi, monete o carte, di contare il
numero di risultati e di determinare qualitativamente, procedendo per tentativi, la probabilità
di un evento (“ci sono più o meno possibilità che …”,).
– 51 –
È capace di esaminare
strutture variando in modo
sistematico diversi elementi e
dedurre affermazioni coerenti
sulla base dei risultati ottenuti.
5.12 Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Sapere, riconoscere e descrivere”, 11° anno
Numeri e calcolo
L’A. comprende e sa utilizzare termini di tipo aritmetico-algebrico (in particolare: equazione,
disequazione, espressione numerica o letterale, incognita, soluzione, stima, approssimazione,
divisore, multiplo, numero primo, radice quadrata, radice ); conosce le principali forme di
rappresentazione di un numero (decimale, frazionaria, percentuale, scientifica, potenza con
base reale ed esponente naturale).
Geometria
L’A. conosce i principali termini e concetti della geometria del piano e dello spazio, è in
grado di riconoscere, anche nel mondo quotidiano, figure piane e solide assieme alle loro
proprietà come pure di descriverle e di classificarle con un linguaggio adeguato. Conosce i
teoremi fondamentali della geometria del piano ( ad es. Pitagora, Somma degli angoli interni
in un triangolo, …).
Grandezze e
misure
L’A. conosce le grandezze usuali (in particolare lunghezza, area, volume, capacità,
massa/peso, tempo, velocità) e conosce le unità di misura più importanti. Conosce la struttura
del sistema metrico decimale fondata sulla rappresentazione mediante potenze di dieci.
Conosce i prefissi mega, kilo, deci, centi, milli ed è in grado di associarli alle corrispondenti
potenze di dieci.
Funzioni
L’A. riconosce e sa descrivere il concetto di funzione (come relazione univoca fra due
insiemi), conosce la terminologia e i simboli più importanti relativi a tale concetto e alle sue
rappresentazioni, è in grado di distinguere i principali tipi di funzioni (in particolare le affini
dalle altre.
Analisi di dati e
caso
Descrizioni Dei can-do
L’A. conosce e utilizza termini della statistica e del calcolo delle probabilità (in particolare:
valore medio; frequenza assoluta o relativa; evento certo, possibile, impossibile). Conosce
varie modalità di rappresentazione di insiemi di dati (in particolare: tabelle, diagrammi a
colonna, diagrammi a settori, istogrammi, diagrammi cartesiani) con il relativo linguaggio.
– 52 –
Livello di competenza I11
Livello competenza II11
Livello di competenza III11
Livello di competenza IV11
L’A. è in grado di riconoscere
e
descrivere
situazioni
matematiche che contengono
qualche termine specifico,
simboli
e
strutture
matematiche
comuni.
Sa
identificare, denominare e
applicare uno o due oggetti o
simboli matematici in un
contesto noto e se la
situazione
matematica
è
facilmente comprensibile. Sa
descrivere
situazioni
ed
operazioni semplici relative a
contesti noti, anche senza
ricorrere a strumenti di
visualizzazione.
L’A. è in grado di riconoscere
e
descrivere
situazioni
matematiche che contengono
termini specifici, simboli e
strutture matematiche comuni.
Sa identificare e classificare
elementi proposti secondo
diversi
registri
di
rappresentazione. Sa ricavare
informazioni e descrivere
caratteristiche
non
immediatamente
evidenti.
Conosce e utilizza diverse
forme di rappresentazione. Sa
descrivere
situazioni
ed
operazioni semplici relative a
contesti noti, anche senza
ricorrere a strumenti di
visualizzazione.
L’A. è in grado di riconoscere
e
descrivere
situazioni
matematiche che contengono
anche
termini
specifici,
simboli
e
strutture
matematiche meno comuni.
Sa
individuare
le
informazioni rilevanti anche in
un contesto più compless e
iconoscere relazioni
e
analogie
presenti.
Sa
distinguere
varianti
e
possibilità
diverse.
Sa
descrivere
situazioni
e
operazioni anche complesse e
non usuali, senza ricorrere a
strumenti di visualizzazione .
L’A. è in grado di riconoscere
e
descrivere
situazioni
matematiche
che
presuppongono una buona
conoscenza matematica di
termini specifici, simboli,
strutture e proprietà.
Sa
individuare le informazioni
rilevanti, gli errori e le
incoerenze anche in un
contesto complesso. È capa ce
di riconoscere spontaneamente
varianti e possibilità diverse, e
di descrivere situazioni e
operazioni matematiche, senza
ricorrere a strumenti di
visualizzazione.
5.13 Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Eseguire, applicare”, 11° anno
Numeri e calcolo
L’A. è capace di confrontare diversi metodi risolutivi di semplici equazioni lineari (ad es. per
tentativi sistematici, risoluzione algebrica, risoluzione grafica) per controllare un risultato
ottenuto oppure valutare l’adeguatezza del metodo utilizzato.
Analisi di dati e
caso
Funzioni
Grandezze e
misure
L’A. è capace di verificare, mediante il calcolo e il confronto con la realtà, risultati attenuti da
lui stesso o proposti da altri, concernenti grandezze e misure. È in grado di giudicare se
l’unità di misura e e il suo ordine di grandezza sono adeguate alla situazione proposta come
pure se l’approssimazione utilizzata nel calcolo del risultato ha senso o meno. È capace di
sfruttare le misure ottenute per fare dei paragoni e riflettere sul proprio apprezzamento di tali
grandezze e rapporti fra grandezze.
Geometria
Descrizioni dei can-do
L’A. è in grado di riflettere e di porsi domande su affermazioni e decisioni fondate su dati
statistici e valori di probabilità. È capace, ed è disposto a farlo, di valutare se i mezzi di
rappresentazione usati da altri o da lui stesso sono appropriati e sono stati utilizzati
correttamente.
L’A. è capace di prendere in considerazione e di esplorare relazioni numeriche, aritmetiche e
algebriche. Attraverso la variazione sistematica di numeri e operazioni è in grado di giungere
alla formulazione di soluzioni o congetture, come pure di giustificare quest’ ultime mediante
esempi adeguati, scelti autonomamente.
L’A. è capace di esplorare aspetti della geometria a lui sconosciuti, di formulare delle
congetture e di confermarle o di confutarle mediante delle verifiche.
– 53 –
Livello di competenza I11
Livello competenza II11
L’A. è in grado di eseguire
calcoli
e
applicare
procedimenti semplici, che
richiedono solo uno o due
passaggi, in un contesto noto e
chiaramente strutturato, in cui
il procedimento è indicato o
ben conosciuto. È capace di
stimare risultati di calcoli o
procedimenti.
L’A. è in grado di eseguire
calcoli
e
applicare
procedimenti semplici che
richiedono
solo
pochi
passaggi, in un contesto noto e
chiaramente strutturato. È
capace di trasformare
e
semplificare gli elementi
forniti sfruttando proprietà di
operazioni
e
di
figure
geometriche.
Livello di competenza III11
Livello di competenza IV11
L’A. è in grado di eseguire
calcoli
e
applicare
procedimenti
relativamente
complessi con simboli, numeri
o altri oggetti matematici. È
capace di semplificare e
effettuare
operazioni
sfruttando proprietà note.
L’A. è in grado di eseguire
calcoli
e
applicare
procedimenti
in
contesti
complessi. Sa passare da un
codice di rappresentazione ad
un altro, sfruttandone i
vantaggi;
i
modelli
eventualmente necessari non
sono forniti. È capace di
stimare,
calcolare
e
rappresentare i risultati di
operazioni o procedimenti.
5.14 Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Utilizzare strumenti”*,11° anno
Grandezze e
misure
L’A. è capace di interpretare e di analizzare criticamente da un punto di vista geometrico
affermazioni riguardanti la geometria o altri campi della matematica. Sa verificare la
correttezza di un risultato geometrico ed è capace di riflettere sulla possibilità di applicarlo
per risolvere altri problemi.
L’A. sa giustificare la correttezza di semplici formule e l’esistenza di determinate relazioni
concernenti figure geometriche a partire dalle proprietà delle figure geometriche elementari.
Funzioni
L’A. sa interpretare problemi della vita quotidiana alla luce dei loro aspetti statistici e
probabilistici e, sulla loro scorta, prendere decisioni adeguate. È in grado di determinare,
ordinare ed elaborare i dati pertinenti relativi ad una piccola inchiesta o a una raccolta di dati.
È capace di risolvere semplici problemi combinatori di vita corrente, mediante l’elencazione
e il conteggio sistematico oppure il calcolo. .
L’A. è capace di esaminare e controllare risultati, rappresentazioni e affermazioni numeriche
proprie o proposte da terzi, mediante il calcolo e il controllo della loro coerenza con la realtà.
Sa approfittare di problemi numerici risolti per riflettere sull’idoneità dei mezzi utilizzati,
sulla possibilità di generalizzare e di riutilizzare per analogia i metodi usati.
Analisi di dati e
caso
Numeri e calcolo
Livello di competenza I11
Geometria
Descrizioni dei can-do
L’A. è in grado di analizzare criticamente delle semplici affermazioni concernenti insiemi di
dati, rappresentazioni statistiche e probabilità di eventi semplici, come pure di giustificare
delle proprie affermazioni su tali aspetti proponendo diagrammi e calcoli.
È capace di formulare congetture su semplici teoremi di geometria e di proporre argomenti a
sostegno.
*) I livelli di competenza sono stati stabiliti sulla base di riflessioni di natura teorica
– 54 –
L’A. è in grado di utilizzare
compasso, squadra, righello,
calcolatrice,
strumenti
di
consultazione e computer per
eseguire operazioni elementari
e per rappresentare situazioni
semplici. Sa utilizzare un
formulario per calcolare il
valore di semplici espressioni
letterali, in cui non sono
necessarie
delle
trasformazioni.
Livello competenza II11
Livello di competenza III11
Livello di competenza IV11
L’A. è in grado di utilizzare
compasso, squadra, righello,
calcolatrice,
strumenti
di
consultazione e computer per
svolgere operazioni e per
rappresentare situazioni anche
non elementari. Sa utilizzare
un formulario per calcolare il
valore di semplici espressioni
letterali, in cui non sono
necessarie
delle
trasformazioni.
L’A. è in grado di utilizzare
compasso, squadra, righello,
calcolatrice e computer per
operazioni e rappresentazioni
che vanno oltre il livello
elementare. Sa utilizzare un
formulario per calcolare il
valore di semplici espressioni
letterali, in cui sono necessarie
delle semplici trasformazioni.
L’A. è in grado di utilizzare
gli strumenti tradizionali e
informatici
anche
per
operazioni e rappresentazioni
complesse e non usuali. Sa
usare
strumenti
di
consultazione
in
modo
autonomo.
5.15 Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Rappresentare e comunicare”*, 11° anno
Numeri e calcolo
Grandezze e
misure
L’A. sa utilizzare la geometria per interpretare, comprendere e matematizzare situazioni della
realtà quotidiana. È in grado di far capo alle sue conoscenze geometriche per prendere
decisioni relative alla scelta di strumenti e all’acquisto di beni.
Funzioni
L’A. conosce e utilizza termini della statistica e del calcolo delle probabilità (in particolare:
valore medio; frequenza assoluta o relativa; evento certo, possibile, impossibile). Conosce
varie modalità di rappresentazione di insiemi di dati (in particolare: tabelle, diagrammi a
colonna, diagrammi a settori, istogrammi, diagrammi cartesiani) con il relativo linguaggio.
L’A. è capace di risolvere problemi della vita quotidiana che mettono in gioco misure o che
richiedono un approccio mediante grandezze adeguate (area di un appartamento, velocità di
un’automobile, consumo di carburante, … )
Analisi di dati e
caso
L’A. riconosce e sa descrivere il concetto di funzione (come relazione univoca fra due
insiemi), conosce la terminologia e i simboli più importanti relativi a tale concetto e alle sue
rappresentazioni, è in grado di distinguere i principali tipi di funzioni (in particolare le affini
dalle altre.
Geometria
Descrizione dei can-do
L’A. è in grado di comprendere affermazioni e seguire argomentazioni fondate su diagrammi,
tabelle di valori o altre forme di rappresentazioni statistiche. È capace di far capo a
rappresentazioni statistiche esistenti
per documentare e sostenere il proprio punto di
vistaL’A. è in grado di individuare relazioni di tipo funzionale in situazioni di esperienza
quotidiana e di utilizzarle per descrivere e risolvere un problema..
*) I livelli di competenza sono stati stabiliti sulla base di riflessioni di natura teorica
– 55 –
Livello di competenza I11
Livello competenza II11
Livello di competenza III11
L’A. è in grado di capire
rappresentazioni prodotte da
altri che contengono solo
pochi
simboli,
termini
specifici
e
grafici
fondamentali ed esprimere
riflessioni in merito, con
parole proprie. Sono concessi
singoli errori e imprecisioni.
L’A. è in grado di capire
rappresentazioni prodotte da
altri che contengono solo
simboli, termini specifici e
grafici
fondamentali
ed
esprimere con parole proprie e
pochi termini specifici le
proprie riflessioni in merito.
Sono concessi errori e
imprecisioni isolate.
L’A. è in grado di capire
rappresentazioni prodotte da
altri che fanno uso di simboli,
termini specifici e grafici. Sa
esprimere proprie riflessioni in
merito in modo differenziato,
con parole proprie e facendo
capo a termini specifici. Se
aiutato, è capace di correggere
errori e imprecisioni.
Livello di competenza IV11
L’A. è in grado di capire
rappresentazioni prodotte da
altri, anche se contengono
errori e lacune o termini
specifici sconosciuti, il cui
significato può essere desunto
dal contesto. Sa esprimere le
proprie riflessioni in merito in
modo
differenziato
ed
adeguato al contesto. È capace
di correggere autonomamente,
dietro richiesta di chiarimenti,
eventuali errori e imprecisioni.
5.16 Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Matematizzare, trasporre ”, 11° anno
Numeri e calcolo
L’L’A. è capace di comprendere e di affrontare vari problemi e situazioni provenienti dai
diversi ambiti della vita quotidiana e a metterne in relazione i vari aspetti facendo uso di
concetti aritmetici o algebrici.(ad es. relazione d’ordine, operazioni e operazioni inverse)
Geometria
L’A. sa utilizzare la geometria per interpretare, comprendere e matematizzare situazioni della
realtà quotidiana. È in grado di far capo alle sue conoscenze geometriche per prendere
decisioni relative alla scelta di strumenti e all’acquisto di beni.
Grandezze e
misure
L’A. è capace di risolvere problemi della vita quotidiana che mettono in gioco misure o che
richiedono un approccio mediante grandezze adeguate (area di un appartamento, velocità di
un’automobile, consumo di carburante, … )
Funzioni
L’A. è in grado di individuare relazioni di tipo funzionale in situazioni di esperienza
quotidiana e di utilizzarle per descrivere e risolvere un problema.
Analisi di dati e
caso
Descrizioni dei can-do
L’A. sa interpretare problemi della vita quotidiana alla luce dei loro aspetti statistici e
probabilistici e, sulla loro scorta, prendere decisioni adeguate. È in grado di determinare,
ordinare ed elaborare i dati pertinenti relativi ad una piccola inchiesta o a una raccolta di dati.
È capace di risolvere semplici problemi combinatori di vita corrente, mediante l’elencazione
e il conteggio sistematico oppure il calcolo.
– 56 –
Livello di competenza I11
Livello competenza II11
Livello di competenza III11
L’A. è capace di tradurre in un
modello matematico problemi
(del quotidiano) il cui ambito
è facilmente accessibile e per
il quale vengono fornite delle
matematizzazioni standard o
evidenti dal contesto. I relativi
testi, tabelle, grafici ecc. da
interpretare sono semplici; per
ottenere il modello sono
necessari uno o due passaggi.
L’A. è capace di tradurre in un
modello matematico problemi
il cui ambito è facilmente
accessibile e per i quali i
processi di matematizzazione
sono noti o si possono
desumere
facilmente
dal
contesto grazie a modelli
simili. I relativi testi, tabelle,
grafici ecc. da interpretare
sono semplici; per giungere al
modello servono uno o due
passaggi.
L’A. è capace di trovare
modelli
adeguati
per
descrivere situazioni sia note
sia sconosciute, sulla base del
contesto. È in grado di
utilizzare le informazioni
rilevanti
per
la
matematizzazione, capire e
descrivere le relazioni di
dipendenza, interpretare i
modelli con l’aiuto di dati
concreti e descriverli anche in
termini
generali.
La
matematizzazione richiede due
o tre passaggi.
Livello di competenza IV11
L’A. è capace di sviluppare e
motivare in modo autonomo
modelli concreti e astratti per
descrivere situazioni note o
sconosciute. È in grado di
riconoscere e descrivere le
relazioni di dipendenza tra i
diversi elementi anche in
situazioni
complesse
e
precisare, a parole, in forma
simbolica o grafica, i passaggi
necessari.
5.17 Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Argomentare, giustificare”, 11° anno
Livello di competenza I11
Livello competenza II11
Livello di competenza III11
Livello di competenza IV11
L’A. è in grado di motivare o
confutare
affermazioni
o
fenomeni semplici mediante
esempi
o
controesempi,
facendo valere argomenti
evidenti,
utilizzando
o
interpretando dati disponibili .
L’A. è in grado di motivare o
confutare
semplici
affermazioni
o
fenomeni
mediante
esempi
o
controesempi,
attraverso
calcoli,
trasformazioni
o
interpretazioni di pochi valori
numerici o singole espressioni
letterali, ricorrendo a relazioni
semplici e evidenti.
L’A. è in grado di motivare o
confutare
affermazioni,
situazioni
e
fenomeni
individuando ed utilizzando
informazioni
e
relazioni
proposte nell’enunciato del
compito,
analizzando
ed
interpretando i dati alla luce di
proprietà conosciute.
L’A. è in grado di motivare o
confutare
affermazioni,
situazioni
e
fenomeni
individuando ed utilizzando in
modo autonomo informazioni
e
relazioni
proposte
nell’enunciato del compito,
analizzando e strutturando i
dati, alla luce di proprietà
generali.
L’A. è in grado di prendere in considerazione e di giustificare affermazioni relative a
proprietà numeriche, aritmetiche e algebriche. È capace di suddividere in più passaggi calcoli
e argomentazioni complesse e di motivare il proprio procedimento.
L’A. sa giustificare la correttezza di semplici formule e l’esistenza di determinate relazioni
concernenti figure geometriche a partire dalle proprietà delle figure geometriche elementari.
Grandezze e
misure
L’A. è in grado di giustificare affermazioni concernenti grandezze e rapporti fra grandezze
utilizzando in modo pertinente le grandezze, le misure e le trasformazioni adeguate. È in
grado di prendere delle decisioni facendo riferimento a misure e norme.
Funzioni
È capace di formulare congetture su semplici teoremi di geometria e di proporre argomenti a
sostegno.
L’A., a partire dall’analisi di una relazione funzionale, è in grado di prendere delle decisioni
giudiziose (ad es. relative ad un contratto d’acquisto), sa giustificare affermazioni mediante
l’impiego di tabelle, di rappresentazioni grafiche e di calcoli, sa proporre dei semplici
ragionamenti.
Analisi di dati e
caso
Geometria
Numeri e calcolo
Descrizione dei can-do
L’A. è in grado di analizzare criticamente delle semplici affermazioni concernenti insiemi di
dati, rappresentazioni statistiche e probabilità di eventi semplici, come pure di giustificare
delle proprie affermazioni su tali aspetti proponendo diagrammi e calcoli.
– 57 –
5.18 Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Interpretare, riflettere sui risultati”, 11° anno
Numeri e calcolo
Grandezze e
misure
L’A. è capace di verificare, mediante il calcolo e il confronto con la realtà, risultati attenuti da
lui stesso o proposti da altri, concernenti grandezze e misure. È in grado di giudicare se
l’unità di misura e e il suo ordine di grandezza sono adeguate alla situazione proposta come
pure se l’approssimazione utilizzata nel calcolo del risultato ha senso o meno. È capace di
sfruttare le misure ottenute per fare dei paragoni e riflettere sul proprio apprezzamento di tali
grandezze e rapporti fra grandezze.
Funzioni
L’A. è capace di interpretare e di analizzare criticamente da un punto di vista geometrico
affermazioni riguardanti la geometria o altri campi della matematica. Sa verificare la
correttezza di un risultato geometrico ed è capace di riflettere sulla possibilità di applicarlo
per risolvere altri problemi.
L’A. è capace di confrontare diversi metodi risolutivi di semplici equazioni lineari (ad es. per
tentativi sistematici, risoluzione algebrica, risoluzione grafica) per controllare un risultato
ottenuto oppure valutare l’adeguatezza del metodo utilizzato.
Analisi di dati e
caso
L’A. è capace di esaminare e controllare risultati, rappresentazioni e affermazioni numeriche
proprie o proposte da terzi, mediante il calcolo e il controllo della loro coerenza con la realtà.
Sa approfittare di problemi numerici risolti per riflettere sull’idoneità dei mezzi utilizzati,
sulla possibilità di generalizzare e di riutilizzare per analogia i metodi usati.
Geometria
Descrizione dei can-do
L’A. è in grado di riflettere e di porsi domande su affermazioni e decisioni fondate su dati
statistici e valori di probabilità. È capace, ed è disposto a farlo, di valutare se i mezzi di
rappresentazione usati da altri o da lui stesso sono appropriati e sono stati utilizzati
correttamente.
– 58 –
Livello di competenza I11
Livello competenza II11
L’A. è in grado di interpretare
e verificare affermazioni,
rappresentazioni e risultati di
facile comprensione e di
diversa
origine
mediante
calcoli,
schizzi
o
ragionamenti.
I
modelli
eventualmente necessari sono
forniti nell’enunciato.
L’A. è in grado di interpretare
affermazioni, rappresentazioni
e
risultati
di
facile
comprensione e di diversa
origine,
verificarne
la
correttezza e valutarne la
pertinenz.
I
modelli
eventualmente
necessari
risultano evidenti dal contesto.
Livello di competenza III11
Livello di competenza IV11
L’A. è in grado di interpretare
affermazioni, rappresentazioni
e risultati di diversa origine,
verificarne la correttezza e
valutarne la pertinenza. È
capace di confrontare strategie
e
rappresentazioni
e
correggerle se necessario. I
modelli
eventualmente
necessari sono suggeriti dal
contesto e/o dall’enunciato ma
devono essere prodotti in
modo autonomo.
L’A. è in grado di analizzare
affermazioni, rappresentazioni
e risultati di diversa origine,
verificarne la correttezza e
valutarne la pertinenza. È
capace
di
confrontare
strategie,
opzioni
e
rappresentazioni e correggerle
o perfezionanrle quando è il
caso. I modelli eventualmente
necessari
devono
essere
prodotti in modo autonomo.
5.19 Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Esplorare, tentare”, 11° anno
Livello di competenza I11
Livello competenza II11
Livello di competenza III11
Livello di competenza IV11
L’A. è in grado di esplorare
una situazione provando e
simulando
in
modo
sistematico molte o addirittura
tutte le possibilità. È capace di
esaminare strutture variando
in modo sistematico i diversi
elementi e trare affermazioni
valide per la situazione
specifica.
L’A. è in grado di formulare
congetture per una situazione
e
testarle
attraverso
procedimenti idonei. È capace
di
esaminare
strutture
variando in modo sistematico i
diversi elementi, individuare
le soluzioni ottimali e - sulla
base dei risultati ottenuti formulare congetture relative
a proprietà generali.
L’A. è capace di prendere in considerazione e di esplorare relazioni numeriche, aritmetiche e
algebriche. Attraverso la variazione sistematica di numeri e operazioni è in grado di giungere
alla formulazione di soluzioni o congetture, come pure di giustificare quest’ ultime mediante
esempi adeguati, scelti autonomamente.
Grandezze e
misure
L’A. è capace di effettuare delle misurazioni di prova per esplorare una situazione e di
scegliere e confrontare grandezze appropriate per comprendere esempi, proprietà, relazioni, e
strutture in gioco.
Funzioni
L’A. è capace di esplorare aspetti della geometria a lui sconosciuti, di formulare delle
congetture e di confermarle o di confutarle mediante delle verifiche.
L’A. è in grado di esprimere e di testare congetture relative a relazioni funzionali osservabili
nella realtà e in matematica, come pure di ricavare proprietà di funzioni e di loro
rappresentazioni grafiche mediante ricerca e riflessione personale.
Analisi di dati e
caso
Geometria
Numeri e calcolo
Descrizione dei can-do
L’A. è in grado di esplorare semplici situazioni di natura statistica, combinatoria o
probabilistica, di ricercare e di verificare congetture o soluzioni mediante prove sperimentali
concernenti il caso.
– 59 –
L’A., a partire da un esempio,
è in grado di trovare altri
esempi
relativi
ad
un’affermazione o ad una
situazione. È capace di
esaminare sistemi con pochi
elementi o una struttura
semplice variando i singoli
elementi.
L’A. è in grado di trovare
esempi
relativi
ad
affermazioni o situazioni e
sulla loro scorta trarre
congetture;
convalidare o
confutare delle congetture
date. È capace di esaminare la
struttura di sistemi variando in
modo sistematico singoli
elementi. Il metodo di analisi è
suggerito nell’enunciato del
compito o assegnato mediante
esempi.
6.
Ambienti di prova ed esempi di problemi
6.1 Ambienti di prova
Gli strumenti didattici più recenti orientano ed organizzano la lezione sulla base dei cosiddetti ambienti
di apprendimento 42. Essi predispongono di solito una serie di problemi che possono essere considerati e
gestiti come un unico grande problema perché presentano la stessa struttura per quanto concerne la
materia o l’oggetto. C’è ampio consenso tra i didattici di lingua tedesca sui vantaggi di questo
orientamento didattico: soffermarsi su un enunciato comune consente di approfondire, concentrarsi
sulla cosa specifica, confrontare diversi lavori e discutere. Ciononostante, spesso i test sono configurati
seguendo i soliti modelli, che prevedono una serie di problemi per lo più indipendenti tra loro. Spesso si
scelgono i problemi sulla base di un tema matematico comune ed essi vengono generalmente ordinati
per grado di difficoltà. Il Consorzio Matematica ha deciso, per motivi didattici, di non utilizzare questa
impostazione tradizionale delle prove per il test principale HarmoS ma di impostarlo orientandosi agli
ambienti di apprendimento.
In linea col paradigma didattico della lezione, i quaderni dei test per l’8° e l’11° anno comprendono
principalmente problemi che si collocano nel contesto di un “ambiente di prova“. Ciò consente agli
allievi di concentrarsi maggiormente su una struttura, una questione, un enunciato. In questo modo essi
beneficiano delle riflessioni fatte in occasione di problemi già risolti in passato, non devono
familiarizzare ogni volta con un contesto nuovo ed hanno la possibilità di correggere gli errori di
ragionamento fatti nei problemi precedenti. Dal punto di vista della teoria dei test vi sono però anche
degli svantaggi. I risultati dei problemi devono essere interpretati di regola nel contesto dell’ambiente di
prova in cui sono stati risolti. E’ assolutamente possibile che alcuni problemi risultino più difficili da
risolvere se proposti agli allievi senza collegarli agli altri problemi dell’ambiente di prova. Abbiamo
comunque optato per questo approccio per due ragioni: da un lato anche nel test PISA vari problemi
sono stati presentati sotto forma di problemi parziali, valutati separatamente ma i cui risultati possono
essere anche considerati in un contesto generale. D’altro lato bisogna attendersi che i problemi di
HarmoS Matematica diano anche dei segnali su come impostare in generale la verifica in futuro.
Predisponendo i quaderni si è però fatto attenzione che le singole soluzioni fossero tra loro autonome,
nel senso che la soluzione di un item non può essere utilizzata per risolverne un altro né ne rappresenta
un presupposto.
Si riporta di seguito, a titolo esemplificativo, l’”ambiente di prova“ concernente “geometria”, per la
classe 8, non utilizzato nel test per la validazione del Modello di competenza HarmoS (e quindi
disponibile per la pubblicazione).
42
Ad esempio "Zahlenbuch" e "mathbu.ch"
60
«Ornamenti orientali»
Problema 1
Spesso in Oriente i pavimenti sono
decorati con ornamenti fantastici,
ottenuti per lo più attraverso la
ripetizione di forme semplici. Si crea
innanzitutto una figura di base,
lasciando libero il quadrato al centro.
A
Descrivi come si ottiene la figura di
base.
B
La superficie colorata ottenuta con
la figura di base quante volte è più
grande del quadrato centrale?
Grundfigur
Problema 2
Più figure di base vengono messe
insieme per formare un ornamento. Qui
mostriamo come nasca un ornamento di
questo tipo.
Completa il disegno con una figura di
base rossa ed una gialla.
Problema 3
Questi ornamenti sono facilmente
disegnabili su un foglio di carta a righe.
Due righe orizzontali e due righe
verticali sono già disegnate. Disegna
altre 4 righe.
Problema 4
80 cm
Per coprire il pavimento, si realizzano
delle piastrelle d’argilla. Esse vengono
accostate le une alle altre e talvolta
bisogna girarle. Ne risulta un motivo
tipicamente orientale.
Platte
Aggiungi una piastrella al motivo.
61
Problema 5
Platte
80 cm
Una piastrella è larga 80 cm. Inserisci
nelle caselle le due misure richieste.
Problema 6
Il Signor Aziz forma lo stesso motivo
ma usa delle piastrelle speciali. Afferma
che la sua piastrella è grande
esattamente quanto la piastrella del
problema 5. Spiega perché.
Mostriamo nuovamente le due piastrelle,
una di fianco all’altra.
Problema 7
Due piastrelle del Signor Aziz sono già
state disegnate sulla pianta. Disegnane
altre due, utilizzando i punti già
predisposti.
Gli ambienti di prova sono costituiti di norma da problemi chiusi, ovvero da problemi che lasciano agli
allievi poco margine per decisioni e azioni “libere“. Tuttavia, gli ambienti di prova soddisfano molte
esigenze dal punto di vista didattico:
•
•
•
•
•
si concentrano su idee fondamentali specifiche
i problemi condividono uno stesso contesto di significato, che si comprende via via che procede
il lavoro
si perseguono diversi aspetti di competenza ovvero diversi obiettivi generali di apprendimento
è ragionevole affrontare alcuni problemi compiendo tentativi ed esperimenti propri
è possibile solo in misura molto limitata esercitarsi a risolvere i problemi con soluzioni
standard.
Così come per altri ambienti di prova di HarmoS Matematica, il contesto dei mosaici orientali può
essere ulteriormente elaborato nel quadro di una lezione impostata sugli ambienti di apprendimento. Si
potrebbe richiedere per esempio agli allievi di:
62
disegnare delle loro piastrelle e realizzare con esse degli ornamenti
calcolare (anche approssimativamente) il numero di piastrelle necessario per pavimentare l’aula
scolastica
• verificare quali motivi si possono creare con le piastrelle
• riflettere sulla grandezza ovvero la lunghezza e larghezza delle piastrelle e di conseguenza sul
numero delle piastrelle necessarie
• minimizzare lo scarto per una determinata superficie
E’ evidente che questi enunciati devono essere presentati, valutati e discussi in classe. E’ un peccato che
attualmente non possano trovare posto in un test sugli standard di formazione ma questo non cambierà
nel prossimo futuro per ragioni di costo.
•
•
6.2 Esempi di problemi relativi ai settori delle matrici delle competenze
Sono stati elaborati problemi per l’8° e l’11° anno per tutti i campi di competenza e 6 aspetti di
competenza ciascuno. Per mancanza di risorse non è però stato possibile includere nella validazione
tutti i settori della matrice. In allegato, a titolo illustrativo delle formulazioni delle competenze,
riportiamo i problemi per tutti i settori della matrice dei can-do per l’8° anno.
6.3 Test pilota e pre-test
Nel quadro dei lavori preparatori all’elaborazione del test di validazione per l’8° e l’11° anno, sono stati
svolti due test esplorativi. Con un pre-test nel giugno del 2006 si sono chiariti gli aspetti quantitativi in
relazione alla valutazione della difficoltà e dei vari livelli. Inoltre il pre-test fungeva anche da
simulazione di svolgimento del test principale, consentendo di valutare alcune questioni operative e di
definire delle misure qualitative per il successivo svolgimento del test principale.
Il test pilota aveva invece una funzione puramente qualitativa. Lo scopo era una valutazione dei
problemi, sulla scorta di un elenco di criteri, da parte di esperti della pratica didattica. Sebbene i
problemi fossero stati elaborati da didattici provvisti anche di un’esperienza “della classe“, la qualità
dei problemi andava verificata sulla scorta del feedback dato dai docenti attivi, che hanno proposto i
problemi ai propri allievi e hanno poi analizzato le soluzioni. Laddove necessario, sono state avanzate
proposte concrete di miglioramento dei problemi. Bisognava inoltre controllare la valutazione della
difficoltà, misurare il tempo di svolgimento dei problemi e prendere nota dei procedimenti risolutivi
alternativi applicati dagli allievi. Infine, le soluzioni dovevano essere corrette e le indicazioni per la
correzione chiare.
6.4 Test principale – panoramica della distribuzione per regioni linguistiche
In totale hanno partecipato al test di validazione dell’8° ed 11° anno circa 12 000 allievi delle tre regioni
linguistiche (italiana, francese, tedesca). All’8° e 11° anno, tutti gli allievi hanno elaborato 4 quaderni di
test, di cui 2, 3 o 4 di matematica e 0, 1 o 2 di scienze naturali. Gli allievi ticinesi hanno svolto tutti 4
quaderni di matematica e non sono stati testati in scienze. Di conseguenza il campione comunque
relativamente corposo del Ticino si è concentrato sui quaderni dei test di matematica. Per questa
ragione la percentuale dei quaderni di test provenienti dal Ticino per la matematica è
sovraproporzionata43.
All’8° anno si sono utilizzati 26 quaderni di test con 5 – 10 problemi ciascuno.
43
I numeri riportati sono arrotondati, il Consorzio Matematica non è riuscito ad ottenere numeri più precisi.
63
Numero di allievi
Totale
Svizzera tedesca
Svizzera romanda
Svizzera italiana
6500
2500
2800
1300
2.3
2.3
4
Numero medio di quaderni di test / allievo
Numero medio di allievi / quaderno di test
500
160
180
160
Ritorno di quaderni in totale (26 quaderni di test)
13’000
4’100
4’800
4’100
circa 73%
circa 75%
circa 79%
9%
12%
22%
Ritorno in % (valori approssimativi)
Problemi non risolti in % (valori approssimativi)
14.2%
All’11° anno si sono utilizzati 34 quaderni di test con 6 – 11 problemi ciascuno.
Numero di allievi
Totale
Svizzera tedesca
Svizzera romanda
Svizzera italiana
6500
2500
2800
1200
2.3
2.3
4
Numero medio di quaderni di test / allievo
Numero medio di allievi / quaderno di test
440
143
179
118
Ritorno di quaderni in totale (34 quaderni di test)
15’000
4’900
6100
4000
circa 85%
circa 95%
circa 83%
12%
16%
22%
Ritorno in % (valori approssimativi)
Problemi non risolti in % (valori approssimativi)
16%
6.5 Differenze nei risultati tra le regioni linguistiche
11° anno
difficoltà media degli item
Numero di item
Campo di competenza
total
273 Tutti gli item
ted.
fra.
ital.
612
607
612
627
84 Numeri e calcolo
606
610
600
617
71 Funzioni
614
607
621
624
61 Geometria
650
642
648
676
57 Analisi di dati e caso
577
563
580
592
I campi di competenza in cui una regione linguistica ha avuto risultati relativamente buoni rispetto alle
altre due regioni sono inseriti in neretto, mentre i campi di competenza i cui item sono stati risolti
relativamente male nella regione linguistica sono riportati in corsivo. In base alle percentuali di riuscita
si potrebbe concludere che nella Svizzera tedesca si sono risolti di più i problemi di «analisi di dati e
caso» mentre nella Svizzera romanda assume molto peso il campo parziale «numeri e calcolo».
11° anno
Difficoltà media degli item
Numero di item
Aspetto di competenza
total
273 Tutti gli item
ted.
fra.
ital.
612
607
612
627
46 Sapere, riconoscere, descrivere
555
546
556
573
39 Eseguire, applicare
597
593
597
604
62 Matematizzare, trasporre
629
625
631
639
39 Argomentare, giustificare
641
636
635
664
43 Interpretare, riflettere sui risultati.
597
596
595
607
44 Esplorare, tentare
650
641
652
673
64
Le differenze tra le regioni linguistiche per gli aspetti di competenza sono meno marcate che nei campi
di competenza. Si delineano tuttavia alcune tendenze.
Gli aspetti di competenza in cui una regione linguistica ha avuto risultati relativamente buoni rispetto
alle altre due regioni sono inseriti in neretto, mentre gli aspetti di competenza, i cui item sono stati
risolti relativamente male nella regione linguistica sono riportati in corsivo. Si può desumere dalle
percentuali di riuscita che nella Svizzera tedesca si sono risolti di più i problemi di carattere esplorativo
mentre nella Svizzera romanda si attribuisce molto peso all’argomentazione. Ciò vale ancora di più se si
considera che la maggior parte dei problemi concernenti l’aspetto «argomentare, giustificare»
presuppongono una argomentazione a priori mentre i problemi concernenti «interpretare, riflettere sui
risultati» di norma richiedono argomentazioni a posteriori.
Come ci si attendeva, i risultati per i singoli item differiscono notevolmente nelle regioni linguistiche,
nella maggioranza dei casi senza motivi apparenti. A titolo illustrativo, si riporta l’item M92201ZO.
M92201ZO
Problema francese:
Le tableau ci-dessus donne des
informations sur les cantons
suisse et leur population en 2002.
Quel est, en moyenne, le nombre
d'habitants par canton?
Problema tedesco:
Abgebildet ist eine Tabelle zur
Schweizer Bevölkerung im Jahr
2002. Wie gross ist die
durchschnittliche
Anzahl
Einwohner je Kanton?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
abr.
ZH
BE
LU
UR
SZ
OW
NW
GL
ZG
FR
SO
BS
BL
SH
AR
AI
SG
GR
AG
TG
TI
VD
VS
NE
GE
JU
Canton
Zurich
Berne
Lucerne
Uri
Schwytz
Obwald
Nidwald
Glaris
Zoug
Fribourg
Soleure
Bâle-Ville
Bâle-Camp.
Schaffhouse
Appenzell RE.
Appenzell RI.
Saint-Gall
Grisons
Argovie
Turgovie
Tessin
Vaud
Valais
Neuchâtel
Genève
Jura
Total
Suisse
Superficie
[km2]
1'729
5'959
1'494
1'077
908
491
276
685
239
1'671
791
37
518
299
243
173
2'026
7'105
1'404
991
2'813
3'212
5'225
803
282
839
Population
1'250'000
950'000
354'000
35'000
136'000
33'000
39'000
38'000
106'000
245'000
246'000
188'000
263'000
74'000
54'000
15'000
458'000
187'000
558'000
231'000
315'000
633'000
283'000
168'000
420'000
69'000
41'285
7'348'000
Communes
171
398
103
20
30
7
11
27
11
182
126
3
86
33
20
6
89
208
231
80
201
382
158
62
45
83
2'773
Densité pop.
723
159
237
33
150
67
141
55
444
147
311
5067
508
248
222
87
226
26
398
233
112
197
54
209
1488
82
178
La tabella riporta i dati della
popolazione svizzera nel 2002.
Quanti abitanti ha in media un
cantone?
M92201ZO (si veda sopra) è stato risolto correttamente nel 64% dei casi. La percentuale di riuscita
nelle tre regioni linguistiche varia però molto: nella Svizzera tedesca è stato risolto correttamente dal
76% degli allievi, in Ticino dal 61% e nella Svizzera romanda dal 46%. Il modo più semplice per
risolvere il problema è sicuramente quello di dividere il totale della popolazione riportato (7'348'000)
per il numero di cantoni (26). Probabilmente l’elenco dei singoli cantoni avrà irritato gli allievi non
abituati alla ridondanza, spingendoli a scegliere un procedimento risolutivo più complicato e magari a
sbagliare il calcolo.
Si ravvisano differenze analoghe – anche di segno opposto – in vari problemi. M92505RM (si veda
sotto), ad esempio, è stato risolto correttamente nella Svizzera francese dal 30% degli allievi, in quella
tedesca solo dal 13% (TI 17%).
65
M92005RM
Si è ritagliato da un rettangolo di
5 m di lunghezza e 4 m di
larghezza un quadrato di 2 m di
lato.
Quanto è lungo il tratto x = AP, se
il tratto PQ suddivide la figura in
due parti di uguale superficie?
La percentuale di riuscita misurata ovvero il parametro di difficoltà misurato (threshold) non è quindi
riconducibile solo alle richieste cognitive dei singoli item perché altrimenti la valutazione darebbe
necessariamente risultati analoghi per la Svizzera tedesca, la Svizzera romanda e il Ticino. Partiamo dal
presupposto che le sfumature di traduzione, il curriculum locale, la rispettiva cultura per quanto
concerne la lezione in classe e i problemi proposti e anche altri fattori influenzino i risultati. Sarebbe
sicuramente sbagliato ritenere che la difficoltà empirica misurata rappresenti solo le richieste cognitive
dei singoli problemi. Di norma il Consorzio Matematica pubblica item dalla prestazione simile nelle
regioni linguistiche, in caso contrario lo si indica espressamente.
Un’analisi degli item che si pongono in evidenza a livello di regione linguistica lascia ravvisare in
alcuni casi delle tendenze. Se un’analisi approfondita di tutti gli item dovesse confermare tali tendenze,
sicuramente si potrebbe ricondurre parte delle differenze ad abitudini culturali e/o curriculari diverse. Si
riportano di seguito una serie di punti di forza e di debolezza degli allievi della Svizzera tedesca rispetto
agli allievi della Svizzera francese, desunta dall’analisi degli item che si sono posti in evidenza.
Tabella 1. Allievi dell’11° anno: punti deboli della Svizzera tedesca rispetto alla Svizzera francese
Campo
Descrizione
Significatività
F
interpretare funzioni
chiara
Z
argomentare, esplorare in relazione a termini con
media/chiara
variabili
R
sistematica e terminologia quadrilateri
media/chiara
Tabella 2. Allievi dell’11° anno: punti di forza della Svizzera tedesca rispetto alla Svizzera francese
Campo
Descrizione
Significatività
R
lunghezze/superfici/volumi (nei parallelepipedi)
media/chiara
F
calcolo interessi
media
rappresentazione delle frazioni, diverse
Z
rappresentazioni numeriche
vaga
In relazione ai campi di competenza si pone in evidenza per l’11° anno che gli allievi della Svizzera
tedesca se la sono cavata meglio rispetto agli altri nei problemi concernenti «analisi di dati e caso»,
mentre gli allievi della Svizzera francese sono stati più bravi nei problemi di «numeri e calcolo».
6.6 Correlazione tra i singoli campi di competenza ed aspetti di competenza
66
Il calcolo della correlazione degli aspetti di competenza testati per tutti gli item fa vedere in quale
misura i singoli aspetti di competenza si differenzino tra loro e lo stesso vale per i campi di competenza.
La valutazione dei test per l’11° anno, di tutti gli item e quindi anche di quelli che presentano delle
peculiarità riconducibili alla regione linguistica, ha mostrato una correlazione compresa tra 0.75 e 0.87
sia tra due campi di competenza qualsiasi come tra due qualsiasi aspetti di competenza. I valori sono
sufficientemente alti da dimostrare che le varie dimensioni fanno parte di una competenza
“matematica“ sovraordinata ma sono anche abbastanza bassi da indicare che si tratta di competenze ben
distinte e a se stanti. Non sorprende molto il fatto che gli allievi con buone conoscenze di geometria non
risolvano necessariamente bene anche i problemi concernenti "numeri e calcolo" (correlazione 0.764).
Poiché le correlazioni tra gli aspetti di competenza presentano valori simili a quelle relative ai campi di
competenza, i problemi in questione concernono effettivamente attività ovvero competenze diverse. A
Aspetti di competenza*)
Dimensione
Arg.
Espl.
Trasp.
Eseg.
Rifl.
Sap.
1 Argomentare
0.676
0.764
0.807
0.653
0.715
2 Esplorare
0.826
0.705
0.773
0.589
0.650
3 Trasporre
0.856
0.827
0.891
0.693
0.734
4 Eseguire
0.830
0.832
0.879
0.745
0.773
5 Riflettere..
0.834
0.788
0.849
0.838
0.647
6 Sapere_ricono..
0.847
0.805
0.834
0.807
0.839
-------------------------------------------------------------------------------Varianza
0.856
0.782
0.931
1.104
0.715
0.833
Campi di competenza*)
Dimensione
Dati:
Funz…
Geom…
Numeri…
1Dati,caso
0.663
0.657
0.747
2Funzioni
0.829
0.598
0.676
3Geometria
0.793
0.746
0.678
4Numeri&calc.
0.843
0.787
0.764
----------------------------------------------------------Varianza
0.826
0.775
0.829
0.952
*) Sotto la diagonale: correlazione,
sopra le diagonali (in corsivo): covarianza
Figura 0-1
titolo di esempio, si cita solo la correlazione piuttosto bassa tra "interpretare, riflettere sui risultati" ed
"esplorare, tentare" (0.788). I risultati confermano le nostre decisioni didattiche per quanto riguarda la
scelta dei campi di competenza e degli aspetti di competenza44. Sono risultati valori simili per l’8° anno
ma non erano ancora disponibili su formato elettronico al momento della stesura del rapporto.
6.7 Conferma dei livelli di difficoltà
La definizione dei livelli di competenza – soglie a 540, 635 e 726 per l’11° anno – è avvenuta sulla base
di dati empirici. Fortunatamente con le soglie scelte si è riusciti anche ad effettuare una buona
distribuzione degli item tra i livelli di difficoltà, perlomeno per l’11° anno. Per i livelli di difficoltà I e
II, rilevanti ai fini della definizione degli standard minimi, all’11° anno vi sono abbastanza problemi per
tutti i campi e gli aspetti di competenza mentre per l’8° anno i problemi per alcuni settori della matrice
sono piuttosto carenti. Con i valori soglia stabiliti è altresì possibile procedere ad una caratterizzazione
qualitativa dei livelli di competenza.
Per l’11° anno si è rivelato difficile formulare problemi semplici per "geometria" (campo di
44
Va tuttavia evidenziato che due aspetti di competenza – "utilizzare strumenti" e "rappresentare, comunicare" – non sono stati
testati.
67
competenza). Per l’8° e l’11° anno sono pochi gli item semplici concernenti gli aspetti di competenza
"esplorare, tentare" e "argomentare, giustificare".
Come previsto, la percentuale media di riuscita per
gli item dell’aspetto di competenza «sapere,
riconoscere, descrivere» è leggermente superiore a
quella per gli item degli altri aspetti di
competenza.
Il diagramma qui a fianco, concernente l’11° anno,
conferma ciò che si attendeva e cioè che per
l’aspetto di competenza «sapere, riconoscere,
descrivere» - sulla base dei risultati empirici – si
sono potuti assegnare gli item ai quattro livelli di
competenza. Sull’asse delle x sono riportati i
livelli di competenza I11, II11, III11 e IV11. Da
sinistra verso destra sono indicati per ciascun
livello di competenza i relativi item concernenti
«geometria», «numeri e calcolo», «funzioni» e
«analisi di dati e caso». L’asse delle y è stata
graduata sulla base delle threshold rilevate
empiricamente. 500 corrisponde ad un problema di
media difficoltà.
Sap ere, ricono scere, descrivere 9° anno
21 + 11 + 1 2 + 3 = 47
800
M92901.2
700
600
M92901. 1
500
400
300
200
1
2
3
4
Figura 0-2
I due punti più grandi del diagramma rappresentano la
difficoltà empirica del problema riportato. Quattro
attribuzioni corrette su cinque corrisponde ad una difficoltà
empirica di 503, un indice di difficoltà assegnato al livello di
competenza I11. Un’attribuzione corretta di tutti e cinque i
triangoli corrisponde ad una difficoltà empirica di 715 e
viene assegnato al livello di competenza III11.
68
E‘ ampiamente diffusa l’opinione secondo la quale
«esplorare, tentare» rappresenterebbe un’attività
molto impegnativa, che ci si può aspettare solo da
un gruppo ridotto di allievi. Il diagramma qui a
fianco dimostra però che si possano proporre
problemi anche su «esplorare, tentare» che siano
risolvibili correttamente da (quasi) tutti gli allievi.
All’11° anno, 18 problemi su 41 relativi ad
«esplorare, tentare» sono assegnati ai livelli di
competenza
I11
o
II11.
Il punto rappresenta l’item M91804DE («analisi di
dati e caso», «esplorare, tentare»).
Esplorare & tentare 11° ann o
7 + 12 + 13 + 10 = 4 3
900
800
700
600
500
M91804
400
300
200
1
2
3
4
Figura 0-3
M91804,
Testo
del
problema:
Jeanine e Olivier discutono su chi debba lavare i
piatti. Decidono di tirare una monetina:
se esce «testa» tocca a Jeanine lavare i piatti, se
esce
«croce»
ad
Olivier.
I due trovano però solo un dado da gioco a 6
facce. Come fanno ad usare il dado da gioco al
posto della monetina?
Per gli altri 4 aspetti di competenza si ha una distribuzione analoga degli item come per «esplorare,
tentare». Si rinuncia in questa sede a riportare i relativi grafici.
6.8 Modello di competenza e problemi dei test validati
Il test principale nell’aprile / maggio 2007, che ha coinvolto circa 12'000 allievi dell’8° ed 11° anno,
perseguiva anche lo scopo di verificare se i problemi elaborati soddisfacessero i criteri indicati dal
gruppo metodologico. In particolare, i problemi dovevano discriminare a sufficienza tra allievi
M91802DA
Ferdi tira per 200 volte
contemporaneamente una
moneta da due franchi e
una da cinque. Ottiene:
A
48 volte „testa“ su
entrambe
B
53 volte „croce“ su
entrambe
C
99 volte una testa e
una croce.
Come mai C è
frequente di A o B?
Discriminazione 0.47
Figura 0-4
69
più
competenti e meno competenti. All’aumentare della competenza degli allievi dovrebbe aumentare
anche la percentuale di riuscita dei singoli item. La discriminazione di un problema può essere
rappresentata mostrando la percentuale di riuscita di gruppi dalla prestazione il più possibile omogenea.
Nel diagramma sottostante si sono suddivisi gli allievi in 10 gruppi di questo tipo, ponendo sull’asse
delle x la competenza crescente. La curva continua corrisponde al modello teorico, la curva formata dai
punti è stata calcolata in modo specifico per gli item. Il problema rappresentato discrimina un po’ di più
rispetto alla curva teorica e corrisponde alle aspettative del modello.
Sia all’8° che all’11° anno, una grande maggioranza dei problemi è risultata abbastanza in linea con le
aspettative del modello.
Nel capitolo 6.5 si è detto che si sono rilevate differenze marcate tra le regioni linguistiche per quanto
concerne il comportamento risolutivo in relazione ad alcuni problemi. Il gruppo dei metodologi ha
definito una differenza critica per le diversità tra le regioni linguistiche. Il 25% circa degli item per l’8°
e l’11° anno ha presentato differenze così elevate che sono stati definiti per loro solo dei parametri di
difficoltà regionali (e non nazionali). Questi problemi sono stati utilizzati solo in singole e motivate
eccezioni per illustrare le affermazioni o per test-tipo. Per ciascuna regione linguistica (ted. / ital. / fra.)
si sono raccolti i problemi che si sono posti più in evidenza. Essi sono riportati nel rapporto finale
completo e possono essere utilizzati per svolgere ulteriori analisi linguistiche regionali. Poco più del
70% dei problemi rispondono però sia alle aspettative del modello che al criterio della comparabilità tra
le regioni linguistiche.
70
7 Particolarità del modello di competenza per il 4° anno
7.1 Scelta dei campi di competenza e degli aspetti di competenza
Il modello di competenza per il quarto anno scolastico comprende due campi di competenza: “numeri &
calcolo” e “geometria”. Ci si è limitati a questi due campi per ragioni specialistiche ed attinenti alla
psicologia dell’età evolutiva. L’obiettivo dell’apprendimento della matematica nell’anno d’ingresso è
quello di acquisire competenza nel contare, costruire concetti numerici, comprendere i rapporti tra i
numeri fino a 100, sviluppare la comprensione delle operazioni in relazione all’addizione e la
sottrazione e distinguere, denominare e descrivere le figure geometriche ovvero sperimentare con esse.
A “grandezze e misure” non è stato assegnato un campo specifico perché gli allievi dell’anno di
ingresso devono innanzitutto fare esperienze proprie in tal senso. Determinati contenuti su questo
argomento sono stati inseriti nel campo “numeri e calcolo”.
Anche per quanto concerne gli aspetti di competenza, per il quarto anno si sono dovute effettuare delle
precisazioni. In particolare per gli aspetti che prevedono comunicazione e riflessione, per il quarto anno
si possono formulare richieste di prestazioni solo in modo molto limitato. Gli allievi di otto anni sono
perfettamente in grado di esprimere delle riflessioni ma di solito lo fanno utilizzando il linguaggio
corrente e spesso concentrandosi sulle loro personali esperienze ed interpretazioni. Questo rende
difficile valutare i ragionamenti. Inoltre, verificare tali competenze è oneroso e dispendioso in termini
di tempo perché i bambini di otto anni sono in grado di esprimersi per iscritto solo in misura limitata.
Si è posta poi la difficoltà di assegnare in modo chiaro alcuni problemi ad un aspetto di competenza. La
competenza di elaborare problemi matematici è in corso di formazione. Per riuscire a risolvere un
problema di calcolo, nel senso di “eseguire“ operazioni, la capacità di matematizzazione da un lato può
rappresentare un presupposto e dall’altro essere sviluppata ulteriormente proprio eseguendo le
operazioni. Lo stesso vale per i campi “eseguire” ed “esplorare”: la capacità di esplorare (ad es. trovare
diversi calcoli con lo stesso risultato) è strettamente connessa con la capacità di eseguire e quindi anche
di matematizzare. I risultati empirici hanno confermato questa difficoltà e hanno portato ad una sintesi
degli aspetti di azione (vedi sotto).
7.2 Fondamenti delle competenze matematiche dei bambini di 8 anni in
relazione alla psicologia dell’età evolutiva, l’ambito specialistico e quello
empirico
7.2.1
Geometria
Ci sono varie teorie (di psicologia dell’età evolutiva) sullo sviluppo del sapere e delle conoscenze di
geometria nella fase di inserimento scolastico e solo mettendole insieme si comprende il pensiero
spaziale /geometrico. Si tratta di conoscenze sullo sviluppo cognitivo e l’assunzione di prospettiva, sui
livelli del pensiero geometrico e sullo sviluppo del disegno, che spesso sono sussunte, come sinonimi,
nel concetto di “pensiero spaziale / geometrico“. Queste teorie e i risultati empirici che su di esse si
basano rappresentano un fondamento importante, in particolare per il campo della geometria, nel
momento in cui si vogliono formulare richieste prestazionali per bambini di 8 anni perché il pensiero
spaziale / geometrico è determinato anche da aspetti concernenti la maturazione (e in maggiore misura
rispetto, ad esempio, al pensiero aritmetico). Si riportano alcune di queste conoscenze e le loro
conseguenze per lo sviluppo di un modello di competenza.
Livelli del pensiero geometrico
71
Per descrivere il pensiero geometrico si utilizza di norma il modello di van Hiele (1986). Van Hiele
descrive cinque livelli o fasi del pensiero geometrico che i bambini attraversano nel loro apprendimento
della geometria. I livelli vengono considerati in senso gerarchico, nel senso che bisogna fare proprie
parte delle competenze di un determinato livello per acquisire i processi di pensiero del livello
successivo. I concetti che sono impliciti ad un livello si esplicitano in quello successivo. Si parte anche
dal presupposto che questo sviluppo possa essere stimolato o influenzato attraverso l’incoraggiamento
(Hellmich 2007, 301). Per la fase di ingresso nella scuola si descrivono i seguenti livelli:
Livello 0: pensiero legato alla contemplazione spaziale: i bambini comprendono e riconoscono forme o
oggetti geometrici ma tendono a concepirli come “forma visiva“. Ciò significa che non si riconoscono o
si riconoscono solo parzialmente le proprietà e le componenti che definiscono gli oggetti. I bambini
sanno distinguere le forme con linee rette da quelle con linee arcuate ma hanno difficoltà a compiere
ulteriori distinzioni all’interno di queste categorie (ad es. cerchio ed ovale, rettangoli di dimensioni
diverse).
Livello 1: pensiero visivo: gli oggetti vengono descritti in base alle loro caratteristiche visive e i
bambini rivolgono la propria attenzione alle proprietà degli oggetti o delle forme. Franke (2000) indica
come esempi la selezione e la descrizione di figure geometriche, il riconoscimento di figure
parzialmente nascoste o la verifica se le figure possiedano determinate caratteristiche. Ciò avviene
tuttavia solo al livello della forma visiva e non a quello delle caratteristiche geometriche. “There is no
why, one just sees it” (van Hiele 1986, 83).
Assunzione di prospettiva e distinzione tra la sinistra e la destra
Il pensiero spaziale presuppone una percezione pluridimensionale della realtà, ad es. quando si tratta di
considerare equivalenti le parti di un’immagine e l’immagine intera oppure di correlare tra loro oggetti
diversi. I bambini del primo anno di scuola tendono – tanto di più quanto più giovani sono – a
focalizzare l’azione su un aspetto di una cosa e a non considerare gli altri aspetti (Moser Opitz, Christen
& Vonlanthen Perler 2007, 140). Questo influenza il modo di rapportarsi alle forme e alle figure, di
confrontarle e di percepirle. A ciò si collega la capacità di assumere una prospettiva spaziale. Si tratta in
questo caso di figurarsi la prospettiva spaziale da cui una persona vede un oggetto (Lohaus et al.1999).
E’ importante a tal fine la distinzione tra destra e sinistra. Le indagini mostrano come le definizioni
verbali di destra e sinistra e la consapevolezza che i rapporti tra destra e sinistra possano cambiare nella
prospettiva di un’altra persona, si sviluppino solo all’inizio dell’età scolare (ibidem).
Lo sviluppo del disegno e la grafomotricità
Eichler (2004) ci dice che la capacità di manipolare gli strumenti (penne) influisce sulla soluzione di
problemi geometrici. Il movimento della scrittura e del disegno, l’adeguamento della forza, la
percezione tattile-cinestetica e la registrazione visiva delle forme sono le componenti di un processo
complesso verso la produzione di tratti con un orientamento e la scrittura, che i bambini acquisiscono
tra il quarto e l’ottavo anno di vita circa. Inoltre, lo sviluppo del disegno riveste un ruolo fondamentale.
Fino all’età di otto anni, i bambini tendono a disegnare le “immagini che hanno in testa“ e ad orientarsi
solo in misura limitata a modelli (Meili-Schneebeli 1994, 133). Inoltre i bambini tendono a
rappresentare gli oggetti l’uno accanto all’altro e separati tra loro, sebbene riconoscano e sappiano in
effetti che essi sono presentati sovrapposti (Lohaus et al. 1999, 53).
Conseguenze per la formulazione di standard di base per bambini di 8 anni nel campo della geometria
Gli standard di base per il quarto anno scolastico nel campo “geometria“ devono seguire queste
indicazioni, in linea con i presupposti teorici ed empirici illustrati:
72
•
ci si può attendere la competenza di distinguere e descrivere gli oggetti sulla base delle loro
caratteristiche visive.
•
In parte ci si può aspettare, a livello concettuale, la distinzione tra destra e sinistra.
•
Bisogna tenere conto delle competenze grafomotorie in via di sviluppo.
•
Ci si può attendere che i bambini del 4° anno si orientino sempre di più alla realtà invece che alle
immagini che hanno in testa nel disegnare/copiare gli oggetti.
•
Ci si può aspettare che i bambini del 4° anno siano sempre più capaci di assumere una prospettiva
spaziale.
7.2.2
Numeri e calcolo
Negli ultimi anni sono stati molti gli studi ad occuparsi del sapere numerico dei bambini in età
prescolare ovvero dello sviluppo delle competenze aritmetiche nella fase di ingresso nella scuola. Si
presenta una sintesi di alcuni di questi risultati, concentrandosi sui fattori di rischio ovvero sugli
elementi centrali nello sviluppo dei processi di apprendimento dell’aritmetica. Si tratta di fattori
particolarmente importanti ai fini della formulazione di standard di base.
Importanza della competenza nel contare
C’è ampio consenso sull’importanza centrale della competenza nel contare per l’apprendimento
aritmetico e lo hanno anche dimostrato vari studi. Krajewski & Schneider (2006, 251; cfr. anche
Krajewski 2007) mostrano come solo mettendo insieme schemi quantitativi (ad es. confronti tra
quantità nel senso di maggiore, minore, uguale) e la capacità di contare - che si sviluppa in parallelo – si
pongano le basi per la comprensione del sistema numerico.
Nelle loro indagini, Geary, Bow-Thomas e Yao (1992 e Geary 2004, 6) hanno accertato che i bambini
con difficoltà di apprendimento in matematica sono meno competenti nel contare rispetto ai bambini
senza quei problemi. Inoltre è stato stabilito un nesso tra le strategie impiegate per contare, non ancora
mature, e un numero maggiore di errori di calcolo nell’addizione. Di conseguenza gli autori
attribuiscono una grande importanza alla competenza nel contare per l’acquisizione di conoscenze
aritmetiche. Altri studi, che hanno esaminato età diverse, hanno dato gli stessi risultati. Un’indagine
svizzera, ad esempio, ha mostrato come allievi del settimo e decimo anno - deboli nel calcolo – non
riuscissero a risolvere semplici problemi incentrati sul contare (ad es. contare di due in due con i numeri
fino a 200) (cfr. Moser Opitz 2007, 188 e 217 e ss.) e che queste capacità sono collegate alle prestazioni
matematiche nei successivi anni scolastici.
Per quanto concerne l’apprendimento della serie dei numerali, bisogna considerare le difficoltà
derivanti dalle irregolarità, presenti soprattutto nella lingua tedesca. Prescindendo dalle decine, nel
campo dei numeri fino a 100 prima si citano le unità e poi le decine. Questo induce spesso i bambini a
“sbagli” (logici) nel contare. In francese e in italiano la serie dei numerali segue regole più rigorose
(perlomeno se in francese si usano i numerali „septante“, „huitante“ e „nonante“). La parola per la
decina viene sempre detta prima e poi seguono i numerali per uno, due fino a nove e poi il nome della
decina successiva. Bisogna presupporre che queste diverse esigenze linguistiche influiscano
sull’acquisizione della competenza nel contare.
Rapporti parte – parte – tutto
Una serie di studi recenti indica la particolare rilevanza assunta dal rapporto parte-tutto per
l’apprendimento dell’aritmetica. Si parte dal presupposto che questa comprensione costituisca la base
per capire l’addizione e la sottrazione e anche per elaborare strategie di calcolo. Cowan (2003, 439)
73
osserva come gli allievi che hanno sviluppato questa comprensione siano svantaggiati nei calcoli orali e
scritti. Riveste una particolare importanza eseguire la scomposizione delle decine ovvero di cento.
Secondo i primi risultati della ricerca, sembra che lavorare sul rapporto tra parte e parte e tutto nella
fase iniziale della scuola si ripercuota positivamente sulle prestazioni in aritmetica. In un’indagine di
Ennemoser & Krajewski (2007) è stato dimostrato l’effetto di una specifica concentrazione sui rapporti
parte-tutto anche per gli allievi deboli nel calcolo.
Capacità di calcolo mentale
Nella fase di ingresso nella scuola si attribuisce molta importanza all’acquisizione di capacità di calcolo
mentale. A questo proposito va sottolineata, in particolare, la necessità di fare attenzione in classe che
gli allievi siano in grado di risolvere problemi con i numeri fino al 20 senza applicare strategie di
calcolo (contare ad alta voce, uso delle dita o di strumenti). I ricercatori concordano che i bambini
carenti nel calcolo continuano a fare i calcoli contando fino al livello secondario (Moser Opitz 2007;
Geary 2004, 138; Jordan & Hanich 2000; Ostad 1997 e 1998). E’ quindi molto importante abbandonare
il più presto possibile il calcolo basato su strategie di conta. I problemi che prevedono raddoppiamenti e
dimezzamenti influiscono in modo particolare su questo aspetto (Mabott e Bisanz 2003, 1092).
Applicazione delle leggi di calcolo – esercizio produttivo – abbandono del calcolo basato sul contare
Per sviluppare competenze flessibili di calcolo mentale è importante che gli allievi riconoscano i
rapporti tra i numeri 45 ed imparino ad utilizzarli, assieme alle leggi di calcolo. Si presuppone che questo
migliori la competenza di calcolo mentale perché diminuisce la necessità di memorizzazione. Questo è
particolarmente rilevante per gli allievi con esigenze speciali, che spesso hanno problemi di memoria.
Sviluppo del sistema decimale
Un contenuto fondamentale dell’apprendimento nel quarto anno di scuola è lo sviluppo dei numeri fino
al 100. Questo comprende vari aspetti e rappresentazioni, che devono essere compresi e correlati tra
loro. Vanno elaborati i simboli numerici, la serie dei numerali, la serie numerica, il principio del fascio,
la scrittura del sistema posizionale e l’aspetto della quantità. Si osservi però che si può arrivare a
comprendere a fondo il sistema decimale solo lavorando con i numeri nel campo del mille perché solo
in questo ambito si può dedurre pienamente - in particolare - il principio del fascio. Per questa ragione
ci si può attendere solo una comprensione limitata del sistema decimale al termine del 4° anno.
Matematizzare, trasporre
La capacità di matematizzazione costituisce la base per comprendere le operazioni. Matematizzare
implica la capacità di estrapolare il contenuto matematico da situazioni reali e di elaborarlo con metodi
matematici. Questo comprende anche il processo inverso: partendo da problemi di calcolo si deve
stabilire il rapporto con fatti reali. Da un lato la matematizzazione costituisce la premessa per la
risoluzione dei problemi (al quarto anno, in particolare, per risolvere problemi formulati attraverso
figure o testi), dall’altro la capacità di matematizzare si sviluppa anche proprio risolvendo tali problemi.
Indagini approfondite condotte sui problemi formulati attraverso un testo hanno mostrato come tipi
diversi di problemi vengano risolti con una diversa frequenza (Stern 1998): i cosiddetti problemi di
confronto sono i più difficili da risolvere (Maria ha 5 biglie, Giovanni ha 8 biglie, quante biglie ha
Giovanni in più di Maria?), perché non si tratta di confrontare concretamente delle quantità ma di
stabilire dei rapporti tra di esse. Stern (ibidem 135) lo chiama “numero relazionale”. I problemi additivi
(Maria ha 3 biglie, Giovanni ne ha 5. Quante biglie hanno assieme? oppure Maria ha 2 biglie, Giovanni
45
Si entra nel merito dei rapporti tra i numeri, ad esempio, quando si deve individuare una regola per una serie variata di
problemi o continuarla o se si riconosce che un problema come 17 + 65 può essere risolto più facilmente applicando la legge
commutativa.
74
gliene dà altre 5. Quante biglie ha adesso Maria?) sono più facili da risolvere.
Conseguenze per la formulazione di standard di base per bambini di 8 anni nel campo “numeri e
calcolo”
Gli standard di base per il quarto anno nel campo “numeri e “calcolo devono seguire queste indicazioni,
in linea con i presupposti teorici ed empirici illustrati. Come standard di base, ci si attendono le seguenti
competenze:
•
competenze nel contare (contare di 1 in 1) con i numeri fino a cento
•
comprensione dei rapporti parte – parte – tutto (scomporre, integrare, dimezzare, raddoppiare)
•
soluzione di problemi concreti (problemi additivi con numeri semplici) e rappresentazione dei
relativi calcoli
•
riconoscere i rapporti tra numeri e/o calcoli
•
elaborazione parziale di elementi del sistema decimale (scrittura, serie numerica, principio del
fascio)
7.3 Differenze tra le regioni linguistiche
Le analisi dei piani di studio e dei libri scolastici hanno mostrato che la Svizzera tedesca e quella
romanda si sono in parte concentrate su contenuti di apprendimento matematico diversi.
Svizzera romanda: nella lezione si tiene maggiormente conto della geometria rispetto a quanto
accada nella Svizzera tedesca. Inoltre si attribuisce un peso significativo alla matematizzazione.
Le operazioni di base sono sempre inserite in un contesto. La tavola pitagorica viene elaborata
al 5° anno.
Svizzera tedesca: si punta sul calcolo mentale flessibile (ad es. completare fino alle decine,
raddoppiare e dimezzare). La tavola pitagorica viene elaborata al 4° anno.
Vi sono inoltre illustrazioni come la “tabella centesimale”, usate più frequentemente in questa
regione linguistica rispetto alle altre.
Ticino: visto che nel Cantone Ticino non c’è un libro di testo obbligatorio per il 4° anno e i
singoli docenti scelgono liberamente come procedere e quali materiali usare, non è possibile
formulare considerazioni specifiche sulle particolarità di questa regione linguistica.
Alla luce di queste risultanze empiriche e teoriche si può affermare che sia nella Svizzera tedesca che in
quella romanda si attribuisce importanza a determinati aspetti centrali ma se ne trascurano anche altri.
Si propone pertanto per il modello di competenza di a) attribuire alla geometria un peso maggiore di
quanto si faccia attualmente nella Svizzera tedesca, b) puntare sulla capacità di matematizzazione come
avviene nella Svizzera romanda c) richiedere il calcolo mentale flessibile come avviene abbastanza
comunemente nella Svizzera tedesca.
7.4 Sviluppare gli standard di base – prevenire le carenze nel calcolo
Ai fini della formulazione degli standard di base, è importante tenere conto delle competenze che
notoriamente giocano un ruolo importante per l’ulteriore processo di apprendimento matematico. I
risultati della ricerca hanno dimostrato che la conoscenza di determinati contenuti dell’apprendimento
consente di predire la prestazione in matematica negli anni scolastici successivi. Ciò vale in particolare
per la conoscenza della serie dei numerali, la capacità di matematizzazione, la comprensione dei
75
rapporti tra i numeri (parte-tutto e numeri decimali) e anche per la capacità di risolvere problemi
semplici senza strategie di conta. Gli standard di base devono verificare tali competenze, per
individuare i ragazzi che necessitano di un sostegno particolare in questo campo.
Per tenere conto di queste esigenze, nella prova dei problemi dei test si è attribuita una particolare
importanza al coinvolgimento dei ragazzi che necessitano di un sostegno speciale (ragazzi con esigenze
educative speciali in classi ad hoc o nel quadro di forme scolastiche integrative) e all’analisi dei loro
risultati nei test.
7.5 Sviluppo e prova pratica dei problemi
Una volta sviluppato il modello di competenza, sono stati elaborati problemi per le diverse celle della
matrice, cercando di formulare problemi di diversi gradi di difficoltà. In generale si è tenuto conto dei
seguenti aspetti:
•
al quarto anno scolastico i bambini stanno ancora sviluppando le proprie competenze di lettura e
questo può pregiudicare la risoluzione di problemi scritti.
•
I bambini di 8 anni sono in grado di esprimersi per iscritto solo in modo limitato.
•
Nei problemi che presuppongono il calcolo mentale va osservato se i bambini li risolvano con
strategie di conta (contando con le dita, con strumenti o a voce alta) o ricorrendo ad un’altra
strategia.
•
Determinati problemi vanno presentati per forza oralmente (ad es. nella verifica della competenza
nel contare).
•
I bambini di 8 anni hanno bisogno di speciali aiuti (ad es. lettura a voce alta dei problemi; verifica
della completezza dei quaderni dei test ecc.).
7.6 Test principale
7.6.1
Descrizione del campione
Per gli standard del 4° anno non era stata prevista in origine alcuna validazione con un campione
rappresentativo nel quadro del progetto complessivo. Tuttavia, la disponibilità di speciali risorse
finanziarie ha consentito di testare 60 problemi con un campione di 1236 bambini46 (per le
caratteristiche del campione si veda la Figura 7-1). Il campione non è rappresentativo e i risultati vanno
quindi interpretati con la dovuta cautela.
46
Si è cercato di formare un campione della stessa popolazione coinvolta per l’8° ed 11° anno. Ci si è rivolti alle scuole che
partecipavano ai test per l’8° ed 11° anno e in cui erano presenti sia la quarta che l’ottava classe. Ciò comportava lo svantaggio
dell’assenza di classi di cantoni col modello scolastico 5/4. Visto che in questo modo nella Svizzera romanda sarebbero rimasti
esclusi due grandi cantoni, nei cantoni VD e NE si sono cercate classi aggiuntive attraverso gli ispettorati scolastici.
76
Svizzera tedesca
Svizzera romanda
Ticino
Totale
552
571
113
1236
Femmine/maschi
269/283
255/316
56/57
580/656
Età media
Differenze significative di
età p<0.05
8;7***
8;5***
8***
8;4
Allievi
con
esigenze
educative speciali
34
28
4
66
Numero di classi
35
32
9
75
N
*** Differenze significative di età F=141.07, df 2, p<0.001
Figura 7-1
I test sono stati somministrati dagli incaricati (studenti delle alte scuole pedagogiche – formazione di
base - e pedagogia curativa scolastica), che hanno testato metà classe e che hanno fornito degli aiuti
attenendosi ad indicazioni standardizzate (leggendo se necessario ad alta voce i problemi, verificando la
completezza dei quaderni dei test, segnalando i problemi non risolti ecc.). In totale sono stati testati
cinque quaderni di dieci problemi ciascuno. Ogni bambino ha svolto un quaderno, avendo a
disposizione 60 minuti, incluse le indicazioni per lo svolgimento del test. Inoltre in ogni classe sono
stati scelti a caso quattro bambini che hanno eseguito i problemi oralmente (problemi di conta, calcolo
mentale con verifica contando con le dita ecc.).
7.6.2
Commento dei risultati
a
Nella 4 classe sono state verificate empiricamente con esercizi di test le seguenti celle:
illustration 7-2
In generale, il test principale ha dato risultati altamente soddisfacenti (affidabilità test nel suo
complesso 0.8; varianza 0.96). Gli item sono stati analizzati singolarmente. Alcuni non soddisfacevano
i requisiti e non sono stati mantenuti.
Inoltre, come previsto, tra le regioni linguistiche ci sono state delle differenze statisticamente
significative per singoli item di geometria, nel calcolo applicato e mentale. Per affrontare questa
situazione, i problemi sono stati "regionalizzati", sono stati cioè trattati in modo autonomo per ogni
regione. Sulla base di specifici criteri contenutistici (cfr.7.4) si è mantenuto di volta in volta l’item che
presentava le richieste più elevate47. Poi gli item sono stati ordinati in base alla difficoltà dei problemi e
si sono definiti i livelli di competenza. Da un lato ciò è avvenuto sulla base dei dati. Nella serie di item,
47
Visto che nel cantone Ticino è stato testato solo un numero ridotto di allievi, per questa analisi si sono prese in
considerazione solo la Svizzera romanda e la Svizzera tedesca.
77
ordinati in base alla loro difficoltà, si sono cercati i punti in cui c’erano delle grandi differenze tra gli
item o i gruppi di item. D’altra parte si sono applicati dei criteri qualitativo-contenutistici valutando se i
gruppi di problemi ovvero i livelli, formati secondo criteri empirici, fossero sintetizzabili su base
teorica.
Si è stabilita come soglia tra il livello di competenza I4 e II4 il valore 369. Il livello di competenza II
comprende problemi con un indicatore della difficoltà compreso tra 369 e 572, il livello di competenza
III problemi con un indicatore superiore a 572. Applicando questi criteri, per il campo “geometria” sono
risultati due livelli di competenza, che corrispondono al modello dei livelli di van Hiele, presentato alla
sezione 7.2.1.
Nei livelli di competenza così definiti c’è la difficoltà che – diversamente rispetto alla formazione dei
livelli per l’8° e l’11° anno – il livello di competenza 1 è il più basso, con un limite inferiore
determinato dal grado di difficoltà dei problemi più semplici. Ciò rappresenta la conseguenza della
situazione particolare del 4° anno. Il livello di competenza 1 deve includere problemi che (quasi) tutti
gli allievi sono in grado di risolvere. Per verificare un livello inferiore al livello 1, così definito, si
sarebbero dovuti testare problemi semplici che comprendessero le conoscenze numeriche possedute al
momento dell’ingresso nella scuola e le conoscenze di base dei contenuti di apprendimento del primo
anno scolastico. Spesso i problemi di questo tipo possono essere testati solo nella singola situazione (ad
es. contare oggetti concreti, comprendere il rapporto parte-tutto con oggetti reali, lettura rapida delle
facce dei dadi ed altre rappresentazioni quantitative ecc.) ma ciò non è stato possibile, per ragioni
finanziarie e di tempo.
7.6.3 Correlazione tra settori di competenza e aspetti operativi
La correlazione tra i settori di competenza Numeri & calcolo e Geometria è pari a 0.75 e pertanto la
distinzione operata tra i due settori trova conferma empirica. Più delicata appare invece la distinzione
degli aspetti di competenza. Come abbiamo già esposto nell'introduzione, la concezione del modello di
competenza ha messo in evidenza la difficoltà di assegnare i compiti ai diversi aspetti di competenza.
L'analisi empirica ha confermato questo risultato. Per ottenere un risultato migliore abbiamo pertanto
raggruppato gli aspetti di competenza:
•
Parlare e ragionare sulla matematica: rappresentare, comunicare, argomentare, giustificare,
interpretare e riflettere sui risultati
•
Risolvere problemi matematici: esplorare, tentare, matematizzare, trasporre, eseguire, applicare,
utilizzare strumenti
•
Sapere, riconoscere e descrivere: rimane invariato
Tuttavia le correlazioni sono così forti che occorre domandarsi se è veramente possibile provare in
modo affidabile che bambini di 8 anni sono in possesso di queste diverse competenze.
Aspetti operativi
1
2
3
Ragionare e comunicare sulla matematica
Risolvere problemi matematici
0.95
Sapere, riconoscere e descrivere
0.86
0.87
Varianza
1.69
1.08
0.63
Figura 7-3
7.6.4
Standard di base per il 4° anno
Gli standard di base si riferiscono a tutte le competenze formulate nella matrice delle competenze per il
4° anno, al termine del quale tutti gli allievi sono in grado di risolvere i problemi sulla soglia col livello
di competenza II4 con una percentuale di riuscita del 67%.
78
8 Proposte di standard di base
Le proposte di futuri standard nazionali di formazione, come formulati nel documento, stabiliscono da
un lato cosa devono conoscere e saper fare tutti gli allievi nei vari campi tematici ed operativi della
matematica scolastica, dall’altro in quale misura ciò debba avvenire. Esse stabiliscono gli standard di
formazione sotto forma di standard di base, che definiscono in quale misura tutti gli allievi dovrebbero
disporre delle competenze descritte nelle matrici dei can-do e come dovrebbero comportarsi nella zona
grigia che sta tra ”l’essere in grado” e il “non essere ancora in grado”. Essi indicano infatti non solo
le attese nei confronti di un problema proposto nel quadro di un test, ma contengono anche delle
richieste, che si manifestano in primo luogo con un approccio costruttivo a quei problemi che
risultassero non risolvibili in modo autonomo
Livelli di competenza per l’aspetto di competenza “Eseguire, applicare”, 8° anno
L’A. è in grado di eseguire, con tecniche di calcolo mentale-scritto, addizioni e sottrazioni con numeri naturali e decimali finiti nonché
moltiplicazioni e divisioni di numeri naturali fino a 5 cifre. È capace di stimare i risultati di calcoli più complessi e di approssimare numeri. Sa
applicare le proprietà delle operazioni ai fini di una semplificazione del calcolo.
L’A. è in grado di orientarsi nello spazio. Sa riconoscere e descrivere la posizione di oggetti del piano e dello spazio e le modifiche generate su
di essi mediante spostamenti (traslare, ruotare, capovolgere, specchiare). Sa fare uno schizzo e disegnare semplici figure e motivi geometrici
regolari (ornamenti, parquet). È capace di scomporre poligoni in figure semplici (triangolo, rettangolo, quadrato). Sa determinare, contando
oppure con il calcolo, il perimetro e l’area di figure semplici che si possono scomporre in rettangoli con lunghezze dei lati espresse mediante
numeri interi oppure che si lasciano ricondurre facilmente a rettangoli di tale tipo.
Funzioni
Grandezze
misure
e
Geometria
Numeri e calcolo
Descrizione dei can-do
L’A. è in grado di eseguire calcoli con le principali grandezze (denaro, lunghezze, superfici, peso/massa, tempo, misure di capacità), di
misurarle, stimarle, arrotondarle e di confrontarle tra loro.
L’A. è in grado di riconoscere la variazione regolare in un successione di numeri e di continuarla, di completare tabelle di valori e di eseguire
semplici calcoli di proporzionalità. È capace di interpretare in senso qualitativo punti e semplici rappresentazioni frafiche in un sistema di
coordinate. Sa completare delle rappresentazioni grafiche di funzioni semplici.
Figura 8-1
e che comprendono, parallelamente ad aspetti cognitivi, anche aspetti motivazionali e sociali (come, ad
esempio, il fatto di essere capaci di farsi aiutare per risolvere un problema, discutendone con altri
invece di rinunciare, ecc.).
Mentre il modello parziale per il 4° anno, pur derivando dallo stesso modello di base, richiede alcuni
adeguamenti a causa della fascia d’età, i modelli parziali per l’8° e l’11° anno sono strutturalmente
identici e differiscono solamente per le particolarità delle descrizioni concrete dei can-do e dei livelli di
richiesta. Per questo abbiamo scelto anche formulazioni strutturalmente identiche o simili nelle
proposte di standard di formazione per i due anni, nel documento “Proposte di standard di formazione
HarmoS Matematica".
79
Al termine del 4° anno di scuola, tutti gli allievi hanno superato la soglia del livello di competenza II4 in
relazione a tutti i campi e tutti gli aspetti di competenza48. In riferimento al test di validazione 2007, ciò
corrisponde a problemi con un grado di difficoltà pari a 369.
Al termine dell’8° anno di scuola, tutti gli allievi hanno raggiunto almeno il livello di competenza I8 in
tutti i campi e tutti gli aspetti di competenza Nel caso del test di validazione 2007, ciò corrisponde ad un
valore di difficoltà pari a 400.
Inoltre sono capaci di contribuire - manifestando disponibilità nel farlo - alla risoluzione in gruppo di
problemi del livello II8 e in alcuni casi del livello III8, con domande, idee o schizzi, e di analizzare e
risolvere assieme ad altri quei problemi che non hanno saputo risolvere autonomamente in modo
soddisfacente.
Al termine dell’11° anno di scuola, tutti gli allievi hanno raggiunto almeno il livello di competenza I11
in tutti i campi e tutti gli aspetti di competenza. Nel caso del test di validazione 2007, ciò corrisponde ad
un valore di difficoltà pari a 400.
Inoltre sono capaci di contribuire - manifestando disponibilità nel farlo - alla risoluzione in gruppo di
problemi del livello II11 e in alcuni casi del livello III11, con domande, idee o schizzi, e di analizzare e
risolvere assieme ad altri quei problemi che non hanno saputo risolvere autonomamente in modo
soddisfacente.
8.1 Distribuzione degli allievi nei test di validazione
Gli standard di base proposti si situano sulla soglia del livello di competenza I (8° ed 11° anno) ovvero
sulla soglia del livello di competenza II (4° anno). Nel test di validazione, in tutti gli anni, un numero
quasi equivalente di allievi si è trovato al di sotto di questa soglia e quindi non avrebbe raggiunto gli
standard di base49 (4° anno: 10%, 8° anno: 14%, 11° anno: 16%). I grafici che seguono riportano i
grafici del test di validazione per il 4° e 11° anno50.
48
Le indicazioni si riferiscono al modello presentato nel documento “Modello di competenza HarmoS Matematica”
Va però considerato che il test si presta principalmente a validare il modello di competenza e a definire i livelli di
competenza e non a rilevare la competenza matematica individuale.
50
Sono ponderati e questo significa che le regioni linguistiche sono rappresentate nel grafico in relazione alla loro quota di
popolazione. Non si riporta il grafico corrispondente per l’8° anno, simile a quello dell’11° anno.
49
80
Figura 8-2
Sulla scala orizzontale è riportato il livello di competenza, sulla verticale il numero di allievi (a sinistra
per il 4° anno) ovvero il tasso per mille (a destra per l’11° anno) degli allievi in possesso del relativo
livello di competenza51. La rappresentazione della curva a campana può però dare facilmente adito ad
interpretazioni errate. Per questo precisiamo espressamente che né il Modello di competenza HarmoS
Matematica né le proposte di standard di formazione sono concepiti in modo da attendersi a priori una
quota di non soddisfacimento del 14%-16%. Si tratta unicamente di un approccio, che va migliorato con
l’impegno di tutti quanti partecipano al sistema formativo svizzero e che secondo il Consorzio può
essere effettivamente migliorato nel medio periodo. Un ulteriore possibile fraintendimento concerne la
presunta riduzione ad una soglia monodimensionale: in effetti, invece, tutti gli standard di base proposti
considerano i diversi aspetti (e campi) di competenza e comprendono anche la capacità e disponibilità a
risolvere problemi più difficili insieme agli altri.
8.2 Giustificazione degli standard di base proposti
Nella “Klieme Expertise“ (2002) si citano in totale 10 criteri che devono soddisfare gli standard di
formazione. I primi tre criteri circoscrivono il concetto degli standard di formazione utilizzato nella
Expertise rispetto ad altre concezioni e sono perciò essenziali per gli standard di formazione in linea
con l’Expertise mentre i rimanenti sette indicano caratteristiche qualitative che i buoni standard di
formazione dovrebbero soddisfare. Di seguito entriamo brevemente nel dettaglio di ciascun criterio.
Orientamento agli obiettivi formativi 52: il compito della scuola dell’obbligo, formulato nel
concordato HarmoS, di assicurare che ogni allievo acquisisca la formazione di base che gli consente di
51
I valori sulla scala della competenza non equivalgono ai punti ottenuti nel test ma vengono calcolati sulla base del modello
psicometrico. Il fatto che le distribuzioni – idealizzate - della percentuale di riuscita assumano una forma di curva a campana
gaussiana è dovuto innanzitutto alle trasformazioni effettuate: la media ovvero la prestazione media è stata fissata a 500 (o ad
un valore vicino al 500), la deviazione standard a 100 (precisamente 113).
52
“Gli standard di formazione sono orientati agli obiettivi formativi, a cui deve far seguito l'apprendimento scolastico, e li
trasformano in richieste concrete.” (traduzione da Klieme 2003, 20)
81
accedere alla formazione professionale o a scuole di formazione generale al livello secondario II 53 è
stato determinante nella scelta del campo matematico centrale, per sottolineare maggiormente gli aspetti
di competenza ed integrare aspetti motivazionali e sociali. Alla luce degli sviluppi internazionali,
abbiamo tenuto conto del concetto ad orientamento operativo della "mathematical literacy" di PISA
2003, ampliandolo nel senso di una formazione di base matematica, come nelle direttive KMK in
Germania e nei concetti equivalenti in Austria.
Ordinamento sistematico attraverso un modello di competenza 54: rifacendosi alla matrice euristica
si è sviluppato un modello di competenza a cui fanno riferimento le richieste di competenza degli
standard di formazione.
Concretizzazione attraverso gli enunciati dei problemi e le procedure di prova 55: per HarmoS sono
stati stilati molti item, poi testati nel quadro di ambienti di prova. Per ragioni di tempo e costo però non
è stato possibile testare gli item per tutti i settori e gli aspetti di competenza e si è dovuto anche
rinunciare - per il momento - a rilevare gli aspetti non cognitivi della competenza.
Legame con le singole discipline56: sebbene le competenze matematiche non possano essere acquisite
e dimostrate separatamente rispetto alle competenze di altre materie (soprattutto la competenza nella
lettura), con il modello di competenza basato sulle matrici dei can-do si dispone certamente di una
sistematica matematica.
Focalizzazione57: di proposito, nelle matrici dei can-do non si è tenuto conto di tutti i temi dei piani di
studio ma ci si è concentrati su un nucleo di temi fondamentali da un punto di vista specialisticodidattico.
Cumulatività 58: le proposte tengono conto della richiesta di un apprendimento sistematicamente basato
sulle interrelazioni, nel senso che i contenuti dei campi di competenza vengono connessi
sistematicamente e in modo diverso con le varie attività (aspetti di competenza). Chi non solo conosce
le situazioni ma è in grado con esse di eseguire, argomentare e sperimentare, di usarle in un modello
matematico e di interpretare e riflettere sui risultati, dispone di un sapere flessibile e basato sulle
interrelazioni. Di qui la richiesta di competenze (almeno minime) in tutti gli aspetti di competenza.
Obbligatorietà per tutti 59: il grado in cui tutti gli allievi devono disporre delle competenze derivate dal
“nucleo di temi“ è stato fissato in modo vincolante per tutti gli allievi, come richiesto. Gli standard di
formazione formulati vanno intesi ed applicati come standard minimi e non come standard normali 60.
Differenziazione61: nel modello di competenza si sono definiti 4 livelli di competenza per l’8° e l’11°
53
“Nel corso della scuola obbligatoria, ogni allieva e ogni allievo acquisisce la formazione di base che le/gli permette
d’accedere ai cicli di formazione professionale o di formazione generale di grado secondario II (...)” CDPE 2006 Concordato
HarmoS articolo 3.
54
"Gli standard di formazione concretizzano gli obiettivi come requisiti di competenze. Essi fissano le competenze di cui un
allievo deve disporre affinché possano considerarsi raggiunti i principali obiettivi dell'insegnamento. Tali requisiti vengono
ordinati sistematicamente in modelli di competenza, che espongono gli aspetti, i gradi e le progressioni delle competenze.”
(traduzione da Klieme 2003, 21)
55
"Gli standard di formazione, come esito dei processi di apprendimento, sono concretizzati in enunciati di problemi ed infine
procedimenti con i quali è possibile rilevare in modo empirico ed affidabile il livello di competenza effettivamente raggiunto
dagli allievi." (traduzione da Klieme 2003, 23)
56
“Legame con le singole discipline: gli standard di formazione sono riferiti ad un determinato campo di apprendimento e
fanno emergere chiaramente i principi fondamentali della disciplina o della materia d'insegnamento.” (traduzione da Klieme
2003, 24)
57
“Focalizzazione: gli standard non coprono il campo di apprendimento/la materia in tutta la sua estensione e in tutte le sue
ramificazioni ma si concentrano su un nucleo di temi.” (traduzione da Klieme 2003, 25)
58
“Cumulatività: gli standard di formazione rinviano a delle competenze acquisite nel corso del percorso individuale di
apprendimento fino ad un determinato momento. Pertanto mirano ad un apprendimento cumulativo e sistematicamente basato
sulle interrelazioni.” (traduzione da Klieme 2003, 25)
59
"Obbligatorietà per tutti: esprimono i requisiti minimi che ci si può attendere da tutti gli allievi. Questi standard minimi
devono valere per tutti gli allievi, in ogni tipo di scuola." (traduzione da Klieme 2003, p.25)
60
Si veda in merito anche Linneweber-Lammerskitten/Wälti (2007)
61
“Differenziazione: gli standard di formazione non si limitano però a fissare una scala, bensì distinguono tra livelli di
competenza che si trovano al di sopra o al di sotto oppure dopo o prima il raggiungimento del livello minimo. In tal modo
permettono di comprendere i progressi nell'apprendimento e di definire ulteriori gradazioni e profili i quali rappresentano le
82
anno. Il livello di competenza I proposto come standard ha, come gli altri livelli di competenza, una
certa estensione. Ci si attende che i problemi semplici del livello di competenza I (difficoltà empirica di
400 o poco più) vengano risolti con una elevata percentuale di riuscita (2/3). I test devono sempre
comprendere anche problemi di livelli superiori. La capacità e disponibilità a misurarsi anche con
problemi più complessi e contribuire alla loro risoluzione in gruppo fa parte degli standard proposti.
Per il 4° anno, con le risorse disponibili si sono elaborati e testati problemi che verificano nella pratica
lo standard di base. Tuttavia, da un lato mancano problemi che descrivano le competenze sottese e
dall’altro andrebbero sviluppati e testati anche problemi per i livelli di competenza superiori.
Comprensibilità62: formulare in modo comprensibile e sintetico gli standard di base di matematica per
l’8° e l’11° anno rappresenta una grossa sfida. Gli esempi di problemi riportati nell’allegato hanno
come scopo quello di aiutare a farsi un’idea concreta delle competenze richieste.
Applicabilità 63: riteniamo fondamentale l’applicabilità (2003) richiesta e pertanto le dedichiamo più
attenzione.
Nel corso del progetto HarmoS ci siamo continuamente trovati di fronte all’aspettativa che con gli
standard di base venisse pubblicato un elenco il più possibile compatto ed attuabile delle competenze da
conseguire. Per il 4° anno è possibile soddisfare questa richiesta, almeno in parte, perché la quantità
delle cose da imparare è minore. Per l’8° e l’11° anno gli standard di base si lasciano ridurre alla lista
attesa solo in modo limitato perché altrimenti non si terrebbe sufficientemente conto della complessità
degli apprendimenti matematici. Da anni gli USA riportano esperienze negative in relazione alla
fissazione di standard orientati al prodotto, semplicemente verificabili.
Audrey Amrein e David Berliner (2002) indicano in merito le seguenti problematiche:
1) Una prestazione scolastica prevalentemente in calo dopo l’introduzione di test capillari, basati sugli
standard.
2) Un numero maggiore di bocciature ed abbandoni scolastici.
3) Limitazione del piano di studio ai contenuti e alle forme di apprendimento indicati da standard e test.
La sfida citata da Klieme (2003) per gli allievi si presenta anche in classe. La riduzione ad un elenco di
competenze centrali, da “esaurire”, impoverirebbe per molti versi la lezione e minimizzerebbe le sfide
per una parte (troppo elevata) di allievi. E peggio ancora: in questo modo si darebbe l’impressione a
molti allievi svizzeri che poche competenze fondamentali, chiaramente delineate, siano sufficienti per
entrare nel mondo degli adulti. Ridurre in questo modo gli standard di base ad un elenco sintetico di
competenze porrebbe inevitabilmente al centro i due aspetti di competenza “sapere, riconoscere,
descrivere“ ed “eseguire, applicare“. Oggi però le competenze che rientrano in questi due aspetti
vengono delegate in larghissima misura alla calcolatrice ed hanno perso quindi rilevanza – sia nel
lavoro che nella vita di ogni giorno – a beneficio di altre competenze. Non ci viene quasi più richiesto
di “produrre” risultati statistici, aritmetici o geometrici e, di conseguenza, il fatto di padroneggiare le
relative operazioni e concetti mantiene un suo valore solo in un ambito scolastico, senza una
comprensione profonda dei rapporti. E’ importante perciò che tutti gli allievi analizzino e comprendano
i processi e i rapporti, che si destreggino in questo flusso strabordante di informazioni e che sappiano
giudicare il valore e il significato delle affermazioni e dei risultati. Per questa ragione, gli standard di
base che proponiamo richiedono competenze per tutti gli aspetti di competenza. Già nel 1999 Johann
Welsch ammoniva che l’attuale sistema formativo, prettamente riconducibile ad una società di tipo
industriale, rispondeva sempre meno alle esigenze dell’economia e della società e che andava
esigenze complementari nell'ambito di un Paese, una scuola o un tipo di scuola.” (traduzione da Klieme 2003, p.25)
62
“Comprensibilità: gli standard di formazione sono formulati in modo chiaro, sintetico e comprensibile.” (traduzione da
Klieme 2003, p. 25)
63
“Applicabilità: i requisiti rappresentano una sfida per gli allievi e gli insegnanti ma sono raggiungibili con uno sforzo
realistico." (traduzione da Klieme 2003, p.25)
83
riformato 64. Col progressivo passaggio alla società dell’informazione sarebbe infatti un errore fatale
concentrarsi sulle competenze proprie della società industriale, che da tempo hanno perso la propria
importanza, nella vita quotidiana così come professionale.
8.3 Significatività dei risultati del test sul piano individuale
Nonostante il fatto che la competenza della maggior parte degli allievi – situata su una scala da 200 a
800 – suggerisca che la misurazione sia precisa, essa procede in realtà solo da una stima
approssimativa. Ripetendo il test con una trentina di item, la competenza misurata a livello individuale
differirebbe in media di circa 60 unità. Questo scostamento viene designato come errore standard.
Pertanto non si può desumere con sufficiente precisione se, sottoposti ad una misurazione «precisa», gli
allievi con un livello di competenza stimato tra 340 e 460 avrebbero soddisfatto gli standard di base.
Ripetendo il test, gli allievi con uno score di 340 avrebbero pur sempre il 17% di probabilità di
soddisfare gli standard di base, raggiungendo o superando il risultato minimo di 400; la probabilità
salirebbe al 50% per gli allievi con uno score di 400 e all'83% per quelli la cui competenza è risultata
460. Nel test principale svolto per l'11° anno, circa il 10% degli allievi ha raggiunto una competenza di
valore compreso tra 340 e 400 e il 17% degli allievi una di valore compreso tra 400 e 460. Ripetendo
due volte il test, circa 1/3 di questo gruppo (27% degli allievi con una competenza tra 340 e 460) una
volta raggiungerebbe gli standard minimi (risultato di almeno 400) e una volta non li raggiungerebbe.
Una previsione individuale, ovvero la verifica degli standard di base presso singoli allievi, non permette
di esprimersi con certezza sul raggiungimento degli standard, neppure svolgendo un test relativamente
impegnativo di due lezioni con un gruppo di allievi di grosse dimensioni. Le sole interpretazioni
possibili dei risultati sono quelle che si riferiscono a un gruppo di allievi di notevoli dimensioni, per
esempio in merito alla percentuale di allievi che raggiungono gli standard di base .65
64
Welsch 1999.
Naturalmente gli insegnanti possono svolgere il test con l'intera classe e dedurre dai risultati così ottenuti il livello di
apprendimento raggiunto dalla classe. Tuttavia non sarebbe giustificato basare sui risultati di un test HarmoS delle decisioni
concernenti il percorso formativo di singoli allievi.
65
84
9. Limiti del modello di competenza HarmoS Matematica
Il modello di competenza sviluppato nel quadro del progetto HarmoS Matematica, o almeno la sua
concezione pluridimensionale, lo strumento metodologico rappresentato dalla matrice euristica,
l’organizzazione delle condizioni della prova di validazione, ecc., presentano aspetti di interesse e
possono costituire un utile riferimento per lo sviluppo di ulteriori progetti complementari. E’ importante
tener presente il fatto che il modello in sè, così come si presenta attualmente, è stato elaborato
essenzialmente come strumento teorico utile per pervenire ad una definizione degli standard di base
relativi ai tre periodi prefissati della scuola obbligatoria, scopo per il quale è costruito in un certo senso
su misura. Questa impostazione ci ha costretti, da un lato, a ridurre i contenuti matematici considerati
ad un nucleo di temi e e aspetti operativi e, dall’altro, a mirare ad un livello realisticamente
raggiungibile da (quasi) tutte le allieve e gli allievi. Per fissare standard degli normali e degli standard
ideali, come pure gli standard per le scuole del livello secondario 2 (liceo e scuola professionale)
sarebbe necessario, e anche possibile, sviluppare ulteriormente questo modello di competenza. Per
utilizzare il modello ai fini di una valutazione individuale, ad esempio con lo scopo di individuare una
via di sviluppo ottimale o di prendere decisioni fondate concernenti la promozione, sarebbero necessari
ulteriori lavori di ricerca e di sviluppo, come pure sarebbe indispensabile procedere a fare una
distinzione chiara tra i test finalizzati al monitoraggio della formazione e quelli che servono per
misurare lo stato individuale dell’apprendimento.
Per come è stata concepita la struttura del presente modello, non è stato affrontato il tema di come
evolvono determinate competenze relative a temi centrali sia per l’80 sia per l’110 anno di scolarità
(come ad esempio il calcolo con numeri decimali). In uno studio successivo, sarebbe interessante
sviluppare famiglie di problemi proponibili in entrambi i livelli scolastici, allo scopo di paragonare il
comportamento dei due gruppi d’età.
Vanno pure ricordate in questo contesto le difficoltà di elaborazione di concetti simili, dovute a
differenze linguistiche e culturali fra due termini che non si riferiscono alla medesima rappresentazione
(ad esempio il vocabolo géométrie in Svizzera romanda non copre il medesimo campo di Geometrie in
Svizzera tedesca oppure geometria nella Svizzera italiana. Per tentare di chiarire queste differenze è
stato necessario investire parecchio tempo; in alcuni casi le cose si sono appianate per altri invece
sussistono elementi ancora poco stabilizzati, che andrebbero chiariti in occasione di eventuali sviluppi
del progetto. Un aspetto importante da considerare, in vista un eventuale passo in tale direzione, è il
tempo. Se ne dovrebbe prevedere a sufficienza per permettere di stabilizzare concetti e rappresentazioni
comuni; tutto ciò a vantaggio sicuro sia della qualità sia della speditezza del lavoro. Infine, ma non
meno importante per ulteriori sviluppi futuri, occorrerà considerare che il modello di competenza, in
quanto orientato agli standard di formazione, si riferisce appunto alla formazione e che come tale è stato
concepito per contribuire a capire quale formazione matematica di base debba essere fornita a tutti i
membri di una società organizzata in modo democratico quale è la Svizzera.
85
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88
11. Allegato 1 - Questionario sulla motivazione M11
Tra i problemi di matematica che hai elaborato, probabilmente alcuni ti sono sembrati difficili, altri facili. Forse ti
sono sembrati interessanti anche alcuni problemi che non sei riuscito a risolvere. Osserva i seguenti sei problemi:
non devi risolverli, ma solo mettere una crocetta a destra in corrispondenza di ogni frase.
11.
Problema 1:
a
Due campi all'interno del quadrato
hanno la superficie a ● b (vedi
figura).
b
Scrivi le superfici c2 e b2 nei campi
giusti!
b
c
ab
a
ab
c
Compiti di questo tipo…
… li trovo difficili
… mi divertono
… li trovo importanti
… li trovo noiosi
… per me sono irrilevanti
… so risolverli bene
proprio
così






abbastanza
piuttosto
no






assolutamente
no






proprio
così





abbastanza





piuttosto
no





assolutamente
no









piuttosto
no






assolutamente
no






piuttosto
no






assolutamente
no






assolutamente
no











12.
Problema 2:
Calcola approssimativamente i risultati senza calcolatrice e
metti il simbolo giusto: <, >, =
a)
3456 + 5678 
b)
654 – 379

644 – 389
c)
158

58 ● 71
d)
960 : 16

1440 : 48
● 61
1456 + 7678
Compiti di questo tipo…
… li trovo difficili
… mi divertono
… li trovo importanti
… li trovo noiosi
… per me sono irrilevanti
… so risolverli bene
13.
Compiti di questo tipo…
Problema 3:
… li trovo difficili
… mi divertono
… li trovo importanti
… li trovo noiosi
… per me sono irrilevanti
… so risolverli bene
Le formule sotto radice sono state
composte in base a una struttura
precisa. Completa la tabella!
proprio
così






abbastan
za
proprio
così






abbastan
za
proprio
così





abbastan
za





piuttosto
no









proprio
così





abbastan
za





piuttost
o no





assolutamente
no















14.
Compiti di questo tipo…
Problema 4:
… li trovo difficili
… mi divertono
… li trovo importanti
… li trovo noiosi
… per me sono irrilevanti
… so risolverli bene
È possibile che uno numero della seguente serie
7, 12, 17, 22, 27, …
sia divisibile per 5 senza resto? Giustifica!






15.
Problema 5:
Moltiplicando un numero a 3 cifre con un numero a 4 cifre,
il risultato può essere un numero…
A a 5 cifre
D a 8 cifre
B a 6 cifre
E a 9 cifre
C a 7 cifre
F a 10 cifre.
Fai una crocetta su tutte le soluzioni possibili.
Compiti di questo tipo…
… li trovo difficili
… mi divertono
… li trovo importanti
… li trovo noiosi
… per me sono irrilevanti
… so risolverli bene
16.
Problema 6:
4•6+5+6=5•7
Compiti di questo tipo…
8•3+9+3=9•4
12 • 7 + 13 + 7 = 13 • 8
Qui sopra ci sono tre esempi di una proprietà di calcolo.
Trova due altri esempi:
I)
…… • …… + …… + …… = …… • ……
II)
…… • …… + …… + …… = …… • ……
… li trovo difficili
… mi divertono
… li trovo importanti
… li trovo noiosi
… per me sono irrilevanti
… so risolverli bene
Formula la proprietà generale
Grazie della tua collaborazione!
89
12. Allegato 2 - Valutazione sintetica della motivazione M11
In aggiunta al test di validazione è stata effettuata - su scala ridotta - un’indagine esplorativa degli
aspetti motivazionali della competenza matematica, con l’intento di verificare lo strumento, di chiarire
se la motivazione cambi in relazione agli aspetti di competenza e di accertare in quale misura la
convinzione motivazionale influenzi la prestazione degli allievi.
Gli item del test aggiuntivo HarmoS sugli aspetti motivazionali della competenza matematica si basano
sulle componenti del modello valore-aspettativa di Eccles & Wigfield (2005). Si sono rilevate emozioni
legate all’apprendimento e alla prestazione, specifiche per domini, in relazione a problemi concernenti
gli aspetti di competenza del modello di competenza HarmoS.
Lo strumento di misurazione consiste in sei problemi di matematica del campo di competenza “numeri
e calcolo“ per ciascun aspetto di competenza (si veda l’allegato 1). Ognuno dei sei problemi è proposto
in rappresentanza di problemi analoghi dello stesso aspetto di competenza. Si ricercano le convinzioni
motivazionali per “questi problemi”. Ci sono sei item per ciascuno dei sei problemi, che corrispondono
a livello tematico a componenti del modello valore-aspettativa. I sei item possono essere a loro volta
sintetizzati in una scala dell’“elemento motivazionale dell’aspetto di competenza“.
Le scale impiegate nel quadro del test di validazione, per valutare la convinzione motivazionale in
relazione a specifiche tipologie di problemi, si sono dimostrate affidabili per il gruppo di lingua tedesca
e francese. Lo strumento italiano deve essere adattato. Il fatto che non tutti gli item presentassero la
stessa difficoltà empirica ha ulteriormente complicato l’interpretazione dei risultati. Pertanto, in
occasione di una futura ripetizione del test, i problemi per l’aspetto “trasporre” e “riflettere” andrebbero
sostituiti da problemi del livello di competenza 1, impedendo così che i risultati siano influenzati dal
fattore “difficoltà”. E’ possibile aumentare l’affidabilità di svolgimento del sondaggio. O tutti i soggetti
sottoposti all’indagine devono conoscere i problemi per via del test o nessuno. Sebbene i problemi nel
test di validazione si siano dimostrati rappresentativi di un aspetto di competenza, sarebbe opportuno
procedere ad una verifica dell’affidabilità dei risultati in un test parallelo.
Il confronto dei tre gruppi linguistici attesta un diverso grado di motivazione in relazione agli aspetti di
competenza. In generale, la motivazione nel gruppo di lingua tedesca è più alta che negli altri due.
I valori di correlazione spiegano il senso di una differenza nella convinzione motivazionale in relazione
a singoli aspetti di competenza. In altre parole: gli allievi sono motivati in modo diverso rispetto ai
problemi dei vari aspetti di competenza e lo confermano anche i valori beta, diversi, nell’analisi della
regressione. La convinzione motivazionale degli allievi ha un effetto significativo sulla loro prestazione
nel test di validazione. Gli allievi con una maggiore convinzione motivazionale raggiungono una
prestazione migliore e viceversa. Bisognerebbe capire come mai singoli aspetti di competenza
contribuiscono molto a questo effetto ed altri no. Questo però assumerebbe significato solo in un test in
cui tutti i problemi presentassero lo stesso livello di competenza.
Eccles, J.S. (2005). Subjective Task Value and the Eccles et al. Model of Achievement-Related Choices. In A.J. Elliot & C.S.
Dweck, (Eds.) Handbook of Competence and Motivation. New York: The Guilford Press.
90
13. Allegato 3 - Esempi di problemi HarmoS M8
Premessa: tutti i compiti, elencati nel documento di standard per il procedimento di audizione e la
consultazione, sono inclusi nella raccolta seguente. Essi sono brevemente commentati (intitulato
„caratteristiche di compiti“) e illustrano tutti gli standard di base (livello I). Inoltre, il documento
comprende più di 50 compiti non commentati dal test di validazione nel 2007. Sono segnati con un
asterisco prima del titolo (*). Illustrano in generale i livelli di abilità II e III.
Gli esempi sono presentati qui in un modo abbreviato o ridotto. Le percentuali si riferiscono alla
risoluzione di frequenza del test di giugnio 2007 con quasi 13'000 allievi.
SAPERE, RICONOSCERE E DESCRIVERE | 8° ANNO
Percentuale di riuscita nel test 2007: 68%
Numeri e calcolo WE8#1
500
0
CRITERIO
1000
M61901.2
Scrivi i numeri
corrispon-denti nelle
caselle.
Soluzione completa: 50, 250, 850, 1250
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La retta numerica serve in tutte le classi della scuola obbligatoria per presentare in modo
ordinato i numeri e per illustrare gli ordini di grandezza. Su questa retta si deve innanzitutto determinare l’intervallo di lunghezza 50.
Si trovano poi i numeri cercati contando di 50 in 50 e annotando i numeri corrispondenti nelle caselle.
* Numeri e calcolo WE8#2
Fai una crocetta su due moltiplicazioni
che danno lo stesso risultato!
SOLUTION
Percentuale di riuscita nel test 2007: 40%
A
 1.5 • 0.02
B
 0.15 • 20
C
 15 • 0.02
D
 0.015 • 2
E
 0.015 • 200
F
 20 • 1.5
A et D et / ou B et E
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
91
M62103
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Geometria WE8#1
Verpackung für 1 Ball
Qual è la scatola adatta a contenere le 3
palline?
A
Fai una crocetta sulla risposta giusta,
scelta fra le seguenti tre:
B
C
CRITERIO
O
A
O
B
O
C
scatola B
CARATTERISTICA DELL'ESERCIZIO L’esercizio testa quanto l’allievo sia in grado di collegare gli sviluppi dei parallelepipedi
ai solidi in gioco (confezione per 3 palline). Questo presuppone di avere già avuto delle prime esperienze con gli sviluppi dei
parallelepipedi. Sostanzialmente si tratta di determinare una dimensione della confezione, in modo che vi sia posto per tre palline una
accanto all’altra – problema che molti allievi sono in grado di risolvere con un colpo d’occhio.
* Geometria WE8#2
Non testato (livello di competenza stimato III)
25°
A
Nelle figure uno dei segmenti è più lungo
di tutti gli altri. Evidenziali.
B
Da cosa si riconoscono?
C
SOLUTION
D
In Figur B. Sie geht durch den Mittelpunkt / durch das Kreiszentrum
Grandezze e misure WE8#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 64%
A  Lunghezza di una matita
D  Altezza di un tavolo
B  Lunghezza di un'automobile
E  Larghezza di una stanza
C  Altezza di una pagina A4
F
CRITERIO
Larghezza di un
materasso
DeF
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
92
M62006
Quali sono le due
lunghezze che possono
misurare circa 1 m?
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA È importante avere un quadro chiaro delle unità di misura più comuni per comprendere
testi che fanno riferimento a grandezze o per parlare di oggetti del mondo reale. Ciò può essere testato con esempi di misure semplici.
Ad esempio la lunghezza «1 m» può essere posta in relazione con la propria altezza o con un passo lungo ed essere poi confrontata
con gli oggetti dei singoli item.
*Grandezze e misure WE8#2 Percentuale di riuscita nel test 2007: 46%, livello di competenza II M62007
Indica con una crocetta
i tre oggetti la cui
superficie può misurare
circa 1 m2 .
B, D, F
SOLUTION
Percentuale di riuscita nel test 2007: 68%
Funzioni WE8#1
Mario
min
Jeanne
Lara
Konrad
S
Nadia
20
2 km
1 km
0
M60401
Jeanne, Konrad, Lara, Mario e Nadia frequentano la
stessa scuola (S).
Questa informazione è stata rappresentata nel
diagramma cartesiano qui sotto con il punto J.
10
J
1
2
km
3
Gli altri tre punti nel diagramma cartesiano rappresentano le informazioni sul tragitto che Konrad, Lara
e Mario compiono per andare a scuola. A quale bambino si riferisce ogni punto? Rispondi scrivendo
correttamente le lettere K, L e M accanto ai punti corrispondenti.
CRITERIO
Sono indicate da sinistra a destra: L, M, K
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La soluzione del problema presuppone che si riconoscano semplici rapporti (percorso,
tempo) in un contesto grafico. Gli allievi leggono le distanze sulla cartina e le trasferiscono sull’asse dei km nel sistema di riferimento
cartesiano. Il tempo necessario per andare a scuola è stato utilizzato in altri problemi della stessa serie di test e non è rilevante in
questa richiesta. Agli allievi che non hanno esperienza di rappresentazioni di questo tipo è richiesto innanzitutto un processo di
matematizzazione ( matematizzare, trasporre).
Percentuale di riuscita nel test 2007: 25%, livello di competenza III
* Funzioni WE8#2
In un supermercato si possono acquistare i seguenti
prodotti:
M60401
g
C
B
A
Fr.
A
B
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
C
93
Il grafico indica il prezzo (in Fr.) ed il peso (in g) di una confezione di biscotti (A), di una treccia (B) e
di un pacchetto di pasta (C).
«Vero» o «falso»? Fai una crocetta!
A
C e B costano più o meno lo stesso.
 vero
B
Il prodotto più leggero è il più caro.
 vero
C
 falso
Il pacchetto di pasta costa meno di tutti.
 vero
D
 falso
 falso
Se la treccia pesa circa 500 g anche i biscotti pesano circa 500 g.
 vero
SOLUTION
 falso
A falsch, B wahr, C wahr, D falsch
Analisi di dati e caso WE8#1
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
5 ragazzi guardano sia dei programmi
sportivi sia dei film. Quanti ragazzi
guardano sia show sia doc.
(documentari)?
CRITERIO
Indicato: 1 (bambino) o Dieter
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Nel risolvere il problema, gli allievi leggono la tabella riportata e forniscono informazioni
in merito. Gli allievi che manifestano difficoltà a comprendere la situazione, dovrebbero poter discutere sul significato degli enunciati
«non», «e», «sia … sia», «o … o», «soltanto».
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
94
Analisi di dati e caso WE8#2
Percentuale di riuscita: 21%, livello di competenza III
M60304
È vero che un bambino solo
paga, per 10 carte giornaliere,
più o meno quanto un genitore
che accompagna i propri
bambini e che acquista un
abbonamento per 10 giorni (4a
colonna)?
Giustifica la tua risposta.
Es stimmt.
Begründung mit Preisangaben bzw. Berechnung oder Angabe der
SOLUTION
Preisdifferenz
(3 Fr.)
10-Tageskarte für Eltern: 313 Fr. -10 einzelne Tageskarten für Kinder: 310 Fr.
APPLIQUER DES PROCÉDURES ET UTILISER DES TECHNIQUES | 8e ANNÉE
Numeri e calcolo OB8#1
A
 45
B
 450
C
 4'500
D
 45'000
E
 450'000
F
 4'500'000
CRITERIO
Percentuale di riuscita nel test 2007: 67%
M60507
Qual è approssimativamente la tua età in
giorni?
Fai un conto approssimativo e fai una
crocetta accanto al numero più vicino.
È indicato C 4’500
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La richiesta implica una moltiplicazione di numeri naturali e una stima e un ricorso
all’uso dell’ordine di grandezza. Inoltre, visto che le possibili risposte differiscono tra loro per un fattore di 10, si nota come «450
giorni» sia sicuramente troppo poco e come «45’000 giorni» sia troppo. Si potrebbe quindi trovare la risposta procedendo per
esclusione o con un calcolo approssimato (come ad es. 12 * 400). Entrambi i metodi presuppongono il ricorso al valore posizionale
delle cifre e la conoscenza del numero di giorni che formano un anno.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
95
* Numeri e calcolo OB8#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 29%
M61305
Nelle seguenti equazioni manca una cifra. Scrivi la cifra giusta!
Esempio:
100 : 4 =
……
: 12
Soluzione:
100 : 4 =
300
: 12
A
1'345 – 692
= ……… – 700
B
24 • 35
=
C
800 : 25
= ……… : 125
SOLUTION
120 • ………
A 1’353; B 7; C 4’000; Es werden zwei richtige Lösungen erwartet.
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Geometria OB8#1
La lettera «F» è stata riprodotta “simmetrica”
rispetto alla retta a.
Fai la medesima cosa per la «S».
a
CRITERIO
Si considerano risposte corrette lo scostamento della figura verso destra o sinistra di un
quadratino e anche “strisce” orizzontali lunghe 3 o 5 quadratini.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La consegna richiede che si esegua una modifica della posizione (simmetria assiale),
suggerita dall’esempio stesso. La tolleranza indicata per la soluzione come pure il reticolo presente, semplificano la richiesta.
* Geometria OB8#2
Non testato, livello di competenza stimato III
Quante volte l’intera figura rappresentata
è più grande del quadrato nero?
SOLUTION
8.5 Mal (bzw. 7.5 Mal, falls das schwarze Quadrat nicht mitgezählt wird).
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
96
Percentuale di riuscita nel test 2007: 62%
Grandezze e misure OB8#1
M61706
Il segmento da 0 a 1’000 su questa retta
numerica misura 4 cm. Quanto è lungo il
segmento:
CRITERIO
A
Da 0 fino a 2'500?
B
Da 0 fino a 100'000?
A: 10 cm (1 dm / 0.1 m) e B: 400 cm (40 dm / 4 m); ci si attende almeno una risposta
corretta.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La richiesta può essere associata al campo di competenza «Funzioni». L’allievo confronta
una lunghezza con un numero dato e determina la lunghezza corrispondente per un altro numero dato.
Grandezze e misure OB8#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 59%
M60901
La figura con il perimetro maggiore è:
A

B

C

D

La figura con l’area maggiore è:
CRITERIO
A

B

C

D

È indicata la soluzione B / B.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA L’allievo confronta le lunghezze e le superfici di 4 figure. Si è notato che alcuni allievi
fanno ancora degli errori nel determinare l’area di figure come queste. In caso di difficoltà, si può chiedere agli allievi di determinare
l’area e il perimetro di una delle quattro figure, prendendo come unità di misura per la lunghezza il segmento individuato da due punti
consecutivi del reticolo e come unità di misura per la superficie il quadrato individuato da quattro segmenti unitari.
* Grandezze e misure OB8#3
Percentuale di riuscita: 36%, livello di competenza III M61406
Trova le misure uguali e collegale con delle linee. (vedi
esempio)
10 cm 2 mm
1200 mm
12 cm
102 mm
1.2 m
1200 cm
1 m 2 cm
102 cm
12 m
1 dm 2 cm
SOLUTION
10 cm 2 m
12 cm
1.2 m
102 mm
1 dm 2 cm
1200 mm
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
97
1 m 2 cm
102 cm
12 m
1200 cm
Percentuale di riuscita nel test 2007: 72%
Funzioni OB8#1
M62505
Se tra Berna e Coira ci sono circa 240 km, allora
tra il punto F e Coira ci sono circa:
CRITERIO
A

30 km
B

70 km
C

110 km
D

140 km
È indicata la soluzione A: 30 km
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Agli allievi è chiesto di interpretare un semplice grafico spazio-tempo; per rispondere è
sufficiente che vedano l’orientamento descritto sull’asse delle ordinate. Se i dati sono interpretati correttamente, la soluzione può
essere stimata oppure determinata misurando i singoli tratti; entrambi i procedimenti presuppongono un ragionamento di tipo
proporzionale.
Funzioni OB8#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 67%
1 kg di albicocche costa 5 Fr,
kg
Fr
0,5 kg costa 2,50 Fr.
1
5,00
Completa la tabella con i prezzi mancanti!
0,5
2,50
5
5,5
4,5
……
……
……
CRITERIO
M60101.2
È fornita la soluzione 25,00 - 27,50 - 22,50 con tutti i tre risultati corretti.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Il completamento della tabella di valori presuppone chiarezza nel quadro della variazione
proporzionale, almeno per ciò che concerne la riduzione all’unità come pure nella comprensione di strutture sia moltiplicative sia
additive (ad es. •10 + il prezzo di un mezzo chilo).
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
98
* Funzioni OB8#3
Percentuale di riuscita nel test 2007: 36%, livello di competenza III M61201
In linea d'aria da Manchester a
Zurigo ci sono circa 1'100 km.
Misura le seguenti distanze sulla
carta e indica approssimativamente
le distanze in chilometri.
A da Manchester a Vienna

1'500 km

2'000 km

2'500 km

3'000 km
B da Manchester ad Amburgo
SOLUTION

500 km

800 km

1'100 km

1'400 km
Manchester - Vienne: 1500 km; Manchester - Hambourg: 800 km
Analisi di dati e caso OB8
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Nel diagramma a colonne è indicato che 3 bambini
guardano la TV da 1 a 3 giorni la settimana.
Completa il diagramma a colonne.
In un sondaggio è stato chiesto agli allievi di una
I media quanti giorni la settimana guardano la
televisione.
CRITERIO
Nel diagramma è aggiunta almeno una colonna di altezza corretta.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Si fa capo contemporaneamente a due forme di rappresentazione usuali (tabella doppia
entrata, diagramma a colonne). Agli allievi è chiesto di completare un diagramma a colonne, riportandovi altri numeri ricavati dalla
tabella. Se gli allievi non hanno familiarità con questo tipo di rappresentazione, entra in gioco oltre a «Eseguire, applicare» anche
l’aspetto di competenza «Matematizzare, trasporre».
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
99
UTILIZZARE STRUMENTI | 8° ANNO
Numeri e calcolo IWV8
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Calcola, usando la calcolatrice:
5,5 • (70,2 – 2,8) =
CRITERIO
È indicato il valore 370,7
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Ci sono diversi metodi per calcolare il risultato usando la calcolatrice: o si esegue prima
la sottrazione e poi si moltiplica il risultato per 5,5 oppure si premono i tasti nella sequenza data. Ciò consente di arrivare al risultato
corretto con la maggior parte dei modelli di calcolatrice. Anche se la calcolatrice viene usata sistematicamente solo a partire dal livello
secondario I (in TI dalla I media), gli allievi dovrebbero essere in grado di determinare con essa il risultato di semplici espressioni
come quella data.
Geometria IWV8
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
La figura è composta da 5 cerchi di uguali
dimensioni.
Sono stati disegnati due suoi assi di
simmetria.
Disegna una figura che possiede 2 assi di
simmetria, composta da 4 cerchi di uguali
dimensioni.
CRITERIO
È proposta una fra le possibili soluzioni; ad esempio
- la figura data senza cerchio centrale
- quattro cerchi su un asse, a distanze regolari
- quattro cerchi nei vertici di un rettangolo,
…
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
La risoluzione implica l’uso mirato di squadra e compasso. La squadra può essere
utilizzata per disegnare rette perpendicolari (assi di simmetria).
Grandezze e misure IWV8
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Misura con un righello:
quanto misurano lunghezza e larghezza di un foglio A4?
Il foglio su cui è scritto questo
problema è un foglio A4.
È proposta la soluzione: 21 cm x 29,7 cm, con l’indicazione dell’unità di misura, margine
d’errore ± 0,2 cm
CRITERIO
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Si può presupporre la conoscenza di concetti come quello di lunghezza e larghezza (
«Sapere, riconoscere, descrivere» nel campo «Geometria»). La richiesta testa quindi innanzitutto l’uso preciso di uno strumento di
misurazione.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
100
RAPPRESENTARE E COMUNICARE | 8° ANNO
Numeri e calcolo IWV8
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Anja fa la somma dei cinque numeri indicati.
Cosa intende indicare con la freccia e la
parola «media»?
CRITERIO
La soluzione proposta illustra uno dei seguenti ragionamenti:
• 630 : 5 = 126 oppure 126 • 5 = 630.
• 126 è la mediana ( oppure la media aritmetica) dei 5 numeri.
• La somma si ottiene mediante 5 • 126.
• altre possibili varianti equivalenti
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA In questo problema l’allievo ricostruisce e spiega l’esposizione di Anja. Se il
concetto di “media” non è sufficientemente solido, lo stesso si può dedurre dalla situazione presentata.
Grandezze e misure IWV8
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Fai uno schizzo del tuo banco.
Nello schizzo, indica la lunghezza e la larghezza del banco.
CRITERIO
La figura non deve essere precisa, basta uno schizzo, è sufficiente che l’impressione visiva
sia corretta.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La richiesta implica che si produca uno schizzo comprensibile di un oggetto (il banco),
completo di indicazioni delle misure. Questo presuppone la misurazione corretta del banco, che il disegno contenga un rettangolo
(eventualmente con una linea mediana) e che siano indicate le misure corrispondenti.
Funzioni IWV8
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Madeleine ha preso nota dei prezzi al
discount per l’Ice –Tea Classic (Rp.
significa cent.)
Cosa vuole indicare con le scritte a sinistra e
a destra della tabella
(•2 e + 15 cent., + 25 cent., + 70 cent.)?
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
101
CRITERIO
• A sinistra: il volume raddoppia (il contenuto, la quantità, i dl o indicazioni analoghe),
a destra: è indicata l’aumento di prezzo [in cent.]
• oppure: a sinistra si raddoppia, a destra no
• oppure: quantitativi maggiori sono più convenienti
• oppure: formulazioni analoghe
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Vi è la richiesta di interpretare una presentazione e non di produrne una propria. Le
informazioni presentate sono semplici e si possono dedurre anche senza gli operatori aggiunti.
Analisi di dati e caso IWV8
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Per quale dei 5 settori
considerati le spese per la
protezione dell’ambiente sono
maggiori?
CRITERIO
A
Protezione della natura
B
Ricerca
C
Aria e rumore
D
Rifiuti
E
Depurazione acque
È indicata la risposta E (Acqua di scarico).
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
Il problema testa la capacità di leggere una rappresentazione grafica comune e di
dedurne semplici considerazioni. Ai fini dello sviluppo della capacità critica degli allievi è opportuno far esprimere quante più
osservazioni diverse possibili su rappresentazioni di questo tipo. Per contro, se una richiesta simile viene fatta nell’ambito di un test, le
risposte sono difficili da valutare; per questo motivo si è optato in questo caso per una domanda di tipo chiuso.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
102
MATEMATIZZARE E TRASPORRE | 8° ANNO
Percentuale di riuscita nel test 2007: 75%
Numeri e calcolo MM#1
M61606
Il calcolo 52 • 60 ha le seguenti caratteristiche:
- I due fattori sono maggiori di 50.
- Il prodotto è un numero tra 3'000 e 10'000.
Trova un'altra moltiplicazione con le
stesse caratteristiche.
- Il prodotto è un numero pari.
………
CRITERIO
• ………
È accettata una risposta in cui i due fattori sono maggiori di 50, almeno un fattore è pari e
il prodotto è dell’ordine di grandezza richiesto.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
Qui gli allievi ricercano fattori che soddisfino le condizioni date. Per risolvere il
problema basta modificare uno dei fattori dati in modo che le condizioni siano ancora soddisfatte. Naturalmente si possono anche
modificare entrambi i fattori. Spesso, negli esercizi di calcolo aritmetico, è necessario impostare un’equazione. In questo caso non
serve.
* Numeri e calcolo MM#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 23%, livello di competenza III M62304.1
Una pulce salta da un punto all'altro del cerchio nel seguente
modo: parte da A, e atterra su D (non passando per B e C), poi
salta su G, poi su B ecc.
A
Su quale lettera si trova la pulce dopo il 17° salto?
B
Su quale lettera si trova la pulce dopo il 3'200° salto?
Spiega come si può determinare su quale lettera si troverà dopo
un certo numero di salti!
SOLUTION
A: Auf D; B: Auf A
Für Kompetenzniveau III werden korrekte Ergebnisse für A und B verlangt, jedoch nicht
unbedingt eine schlüssige Erklärung.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
103
Geometria MM8#1
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
1° piano di costruzione
2° piano di costruzione
Inserisci nel 1°
piano di
costruzione i
numeri
2
corrispondenti
alla figura 1.
4
1
2
1
1
L’esempio a
destra mostra il
piano di
costruzione
corrispondente
alla figura 2)
figura 1
CRITERIO
figura 2
È indicata una soluzione del tipo: 2, 1, (0, 0) / 3, 2, 1, (0) / 2, 1, (0, 0) / (0, 0, 0, 0).
Nota: non sono richiesti gli zeri nei campi senza cubi.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA In questo problema gli allievi traspongono semplici immagini spaziali in una tabella di 4
x 4 campi. L’esempio mostra il tipo di codifica da usare, ovvero l’indicazione su ogni casella del reticolo di base (pianta della figura
tridimensionale) del numero di cubi che vi sono posati sopra.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
104
* Geometria MM8#2
Non testato (livello di competenza stimato II)
A
Zuschauer
Luftaufnahme
B
SOLUTION
In marzo 2006 il popolo ha respinto il
progetto di un nuovo stadio a Thun.
Nell'immagine a destra vedi l'area destinata
allo stadio e una pianta.
Il parcheggio sotterraneo è situato sotto il
centro commerciale (nella figura delimitato
dalla linea nera grassetta). Nella pianta è
disegnato un posto macchina.
Il campo di calcio (superficie chiara nello
stadio) è lungo 100 m e largo 70 m.
Disegna sulla foto aerea la posizione prevista
per lo stadio ed il centro commerciale.
Es wird ein Rechteck eingezeichnet, alle Eckpunkte liegen innerhal des Trapezes, das die 4
Strassenabschnitte bilden. Die Länge des Rechtecks ist parallel zur von unten rechts nach
oben Billdmitte verlaufenden Strasse.
Grandezze e misure MM8
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
La bilancia è in equilibrio.
I tre pesi indicati sono da 1 kg, 250 g e 0,5 kg.
Quanto pesa il pompelmo?
CRITERIO
È data la risposta: 0,75 kg o 0,750 kg o 750 g
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Normalmente il problema viene risolto correttamente se gli allievi sanno che 1 kg =
1000 g e se interpretano correttamente la figura. Visto che la bilancia è in equilibrio, la massa sui due piatti deve essere la stessa e
quindi pari a 1250 g. Di conseguenza il pompelmo deve pesare 750 g.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
105
Percentuale di riuscita nel test 2007: 73%
Funzioni MM8#1
50
Fr.
45
40
35
M60306
A Les belles Noires
1h
2h
3h
4h
10.–
20.–
20.–
28.–
 blu
 nero
5h
6h
28.–
36.–
 rosso
B Divertimento bianco
1h
2h
3h
4h
22.–
22.–
22.–
22.–
 blu
 nero
5h
6h
32.–
32.–
 rosso
C Schneeparadies
1h
2h
3h
4h
15.–
18.–
21.–
24.–
 blu
 nero
5h
6h
27.–
30.–
 rosso
30
25
20
15
10
5
0
h
0
2
4
6
8
Indica con una crocetta il colore con il quale ogni
stazione invernale si trova rappresentata nel grafico.
CRITERIO
A blu (a scaletta, con crocette); B rosso (due livelli, con cerchietto); C nero (a scaletta, con
quadratini)
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA In ognuno dei tre casi proposti gli allievi devono farsi un’idea della relazione esistente
tra numero di ore e prezzo e poi collegarla a uno dei grafici proposti. Ciò è possibile concentrandosi sugli importi di denaro in termini
assoluti, sul numero di fasce di prezzo o sull’entità della differenza di prezzo (ad es. la più costosa è «Les belles Noires»  blu; ha più
fasce di prezzo «Schneeparadies»  nero; solo 2 fasce di prezzo a «Divertimento»  rosso; nessuna differenza di prezzo  nero;
…). Nota: il grafico andrebbe rielaborato in occasione di un nuovo test.
*Funzioni MM8#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 26%, livello di competenza III
M61502
6 cornetti di pasta pesano 1 g. 500 g degli stessi cornetti corrispondono a 6 porzioni. Quanti cornetti
contiene, circa, una porzione?
SOLUTION
500
Analisi di dati e caso MM8#1
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
In un’inchiesta i 20 allievi di una classe hanno indicato la
loro materia preferita. I risultati sono riportati nel
diagramma.
In seguito nella classe arrivano due nuove allieve,
Rebecca e Claudia: entrambe dicono che la loro materia
preferita è la musica.
Ora si dovrebbe costruire un nuovo diagramma per 22
allievi.
A Per quali settori l’ampiezza aumenterà?
B Per quali settori l’ampiezza resterà uguale?
C Per quali settori l’ampiezza diminuirà?
CRITERIO
È indicata la risposta corretta almeno per la domanda A (musica)
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
106
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA L’informazione che altri 2 allievi hanno scelto «musica» come materia preferita implica
che si faccia un nuovo diagramma. Per rispondere alla domanda A basta essere consapevoli del significato dell’ampiezza dei settori.
Le domande B e C presuppongono la nozione di frequenza relativa, tematizzata in varie forme al livello secondario I.
Grandezze e misure MM8#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 25%
M61403.2
Maria si lava i denti la mattina, a mezzogiorno e la sera. Ogni volta mette circa 1,2 cm di dentifricio
sullo spazzolino.
Un tubetto contiene 140 g di dentifricio, costa 2,80 Fr. e premendolo completamente escono circa 180
cm di dentifricio.
Dopo quanti giorni finirà il dentifricio nel tubetto?
SOLUTION
Es wird eine vollständige Lösung (mit 50 Tagen als Ergebnis) verlangt.
ARGOMENTARE E GIUSTIFICARE | 8° ANNO
Numeri e calcolo AB8#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 74% (Svizzera tedesca)
M60204
Giustifica perché la seguente affermazione è corretta:
«Se la somma di due numeri è maggiore di 100, almeno uno dei due numeri dev'essere maggiore di
50»
CRITERIO
È proposta una giustificazione (indiretta) del tipo: se entrambi i numeri non superano il 50
(oppure la metà di 100), la somma massima possibile è 50 + 50 = 100 (si accetta anche 49
+ 49 = 98);
oppure: se entrambi i numeri sono minori di (non maggiori di) 50, la somma può essere al massimo 98 (100).
oppure: giustificazioni analoghe
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA L’affermazione può essere giustificata a partire da esempi concreti. Si può presumere
che le conoscenze aritmetiche necessarie siano acquisite a questo livello.
* Numeri e calcolo AB8#2 Percentuale di riuscita nel test 2007: 17%, livello di competenza III M62101.3
Verifica se con i numeri 1, 2, 3, 4 al livello base
è possibile avere il numero 19 al vertice.
Giustifica la tua risposta
SOLUTION
Per il livello III8 si esige una delle seguenti giustificazioni:
• Al vertice possono trovarsi solo numeri pari
OR
• i numeri al vertice differiscono di 2
OR
• si trovano tutti i possibili numeri che possono stare al vertice (16, 18, 20, 22, 24)
Grandezze e misure AB8#1
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
107
Secondo Bianca, in Australia un secondo dura di più che in Svizzera. Perché si tratta di un’assurdità?
CRITERIO
Viene indicata perlomeno una ragione fra le tante possibili:
• Per poter misurare il tempo, un secondo deve rappresentare la stessa identica durata dappertutto;
• la durata del tempo è stata concordata per tutto il mondo;
• un minuto è composto (ovunque) da 60 secondi;
• in Australia un giorno è lungo come in Svizzera;
• non si riuscirebbe a intendersi sul tempo (come durata);
• sarebbe faticoso fare le trasformazioni (da un tipo di secondo a un altro);
• bisognerebbe creare altri orologi per l’Australia;
• oppure altre ragioni pertinenti.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA È generalmente noto che la misura del tempo effettuata mediante l’unità 1 secondo è
accettata in tutto il mondo. Agli allievi viene richiesto di indicare almeno un motivo per il quale ciò sia utile o almeno di notare che
così è stato concordato.
* Grandezze e misure #2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 40%, livello di competenza II M61102
Si sa che 10 quaderni di 32 pagine ciascuno, pesano complessivamente 1 kg.
Secondo Viola una pagina pesa circa 1 g. Wania invece pensa che una pagina pesi sicuramente più di 1
g.
Chi ha ragione? Perché?
SOLUTION
Wanja hat recht. Die Begründung erfolgt entweder rechnerisch (z.B. 1 kg : 320 > 1). Oder:
argumentativ mit einem Vergleich zwischen Anzahl g (1000) und Anzahl Seiten (320).
* Grandezze e misure AB8#3 Percentuale di riuscita nel test 2007: 26%, livello di competenza III M61103
Alla nascita, i bambini sono lunghi circa 50 cm.
A

2 cm
Di quanti cm crescono in media ogni anno i bambini fino all’età di
12 anni?
B

4 cm
C

9 cm
Fai una crocetta sulla risposta secondo te più corretta e spiega
perché!
D

14 cm
SOLUTION
C 9 cm Und eine Begründung:
Bei einem Wachstum von 9 cm / Y erreichen Kinder eine für 12 jährige häufige Grösse
von 158 cm.
Oder A und B ist zu klein, D zu gross.
Funzioni AB8#1
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
108
In un discount compri per la festa di compleanno 4
l di Ice-Tea.
Secondo le note di Madeleine, quanto spendi se
vuoi fare l’acquisto più conveniente possibile?
Motiva la risposta!
CRITERIO
È indicata la risposta 3 Fr, con motivazione relativa al prezzo o alle dimensioni della
confezione.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Il problema richiede che si decida un acquisto confrontando i prezzi e che lo si motivi. A
tale scopo vanno analizzate e confrontate le diverse dimensioni delle confezioni.
*Funzioni AB8#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 44%, livello di competenza II
Cinque persone preparano acqua zuccherata.
M61102
Amélie mette 15 g di zucchero in 6 dl d'acqua.
Bertrand mette 20 g di zucchero in 10 dl d'acqua.
Chi ha preparato l'acqua più dolce? Giustifica!
Claudine mette 10 g di zucchero in 3 dl d'acqua.
Daniel mette 25 g di zucchero in 12 dl d'acqua.
Etienne mette 5 g di zucchero in 2 dl d'acqua.
SOLUTION
Es werden Verältnisse für den Korrigierenden sichtbar Verhältnisse untersucht.
Es wird angegeben, dass Claudine das Claudine das süsseste Wasser zubereitet hat.
*Funzioni AB8#3
Percentuale di riuscita nel test 2007: 25%, livello di competenza IIIM61804
In ognuna di queste nazioni si può partecipare ad un
concorso che dà la possibilità di vincere 1'000'000
nella valuta della nazione corrispondente. Così in
Svizzera si vinceranno 1'000'000 di Franchi, in
America 1'000'000 di Dollari e così via.
Qui di seguito trovi il costo di 1 Euro:
In quale nazione preferiresti vincere il milione?
Perché?
1 Euro costa 200 Yen giapponesi.
SOLUTION
1 Euro costa 1,50 Franchi svizzeri.
1 EURO costa 1,25 $ (Dollari americani)
1 Euro costa 0,75 Sterline inglesi.
1 Euro costa 8 Corone norvegesi.
In England.
Und Begründung:
1’000’000 hat in England am meisten Wert.
Oder: Andere einleuchtende Begründungen, z.B. durch Umrechnen in CHF.
Analisi di dati e caso AB8#1
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
109
4P
7
3
5
4
1
Sport
Ed. visiva
Italiano
Matematica
Musica
3P
2
8
5
2
1
2P
4
2
3
3
8
1P
3
5
2
4
6
0P
4
2
4
7
3
Ai 20 allievi di una classe è stato chiesto
di dare un punteggio da 4 a 0 a ciascuna
delle materie Sport, Educazione visiva,
Italiano, Matematica e Educazione
musicale: 4 punti (4P) alla materia più
amata, poi 3P, 2P, 1P fino a 0 punti (0P)
per la materia meno amata.
Risulta che la matematica è la più amata
da 4 allievi e la meno amata da 7.
Quale tra le quattro ragazze seguenti fornisce l’argomentazione meno convincente? Indicala con una
crocetta
• Anna: sport è la materia preferita perché la maggior parte degli allievi l’ha messa al primo posto.
• Bettina: educazione musicale è la materia preferita perché ha ottenuto 2 punti più spesso di tutte le
altre materie.
• Claudia: tedesco è la materia preferita perché è quella che ha ottenuto meno 1 P o 0 P.
• Désirée: educazione visiva è la materia preferita perché per 11 volte ha ottenuto 4 P o 3 P.
La meno difendibile è l’opinione di Bettina,
CRITERIO
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La richiesta può essere messa in relazione anche con “Interpretare, riflettere sui
risultati“. Gli allievi sono sollecitati a individuare la materia preferita sulla base delle indicazioni della tabella e a giustificare la loro
conclusione. Non è decisivo quale tra le materie in questione venga scelta bensì la capacità di argomentare la propria posizione.
Non testato (livello di competenza stimato II)
* Analisi di dati e caso AB#2
4P
Sport
Gestalten
Deutsch
Mathematik
Musik
3P
7
3
5
4
1
2P
2
8
5
2
1
1P
4
2
3
3
8
Sport
Educazione visiva
Italiano
Matematica
Musica
SOLUTION
0P
3
5
2
4
6
4
2
4
7
3
Ai 20 allievi di una classe è stato chiesto di
dare 4 P, 3 P, 2 P, 1 P o 0 P alle materie
Sport,
Educazione
visiva,
Italiano,
Matematica
e
Educazione
musicale,
assegnando 4P alla materia preferita e 0 P a
quella meno simpatica.
La matematica piace moltissimo a 4 allievi e
per niente a 7.
Secondo te qual è la materia preferita in
questa classe? Giustifica.
Il faut donner des raisons pour l'éducation physique, le dessin ou le français. On aurait
aussi pu classer cette tâche dans la catégorie Analyser, interpréter des résultats.
INTERPRETARE E RIFLETTERE SUI RISULTATI | 8° ANNO
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
110
Percentuale di riuscita nel test 2007: 72%
Numeri e calcolo IR8#1
Nella moltiplicazione seguente manca una cifra. Quale cifra è sostituita da «
3
M61004
∆»?
∆ • 41 = 1'558
∆=
CRITERIO
È indicata la cifra 8 (si considerano corrette anche soluzioni col fattore 38 al posto della
cifra 8).
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La soluzione implica che si scomponga il numero 1558 in due fattori di due cifre ?? • ??,
conoscendo già tre delle quattro cifre. Per ottenere 8 come cifra finale nel prodotto c’è una sola possibilità: ?x • ?1 = ???8 – la cifra
ricercata deve essere un 8. Non si è potuto verificare se alcuni allievi abbiano risolto l’esercizio eseguendo la divisione.
Numeri e calcolo IR8#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 63%
M61604
Annalena esegue le moltiplicazioni usando un suo metodo personale.
Indica, tra le seguenti uguaglianze, quali sono «vere» e quali «false»?
CRITERIO
A
3 • 1,02 = 3,06
 vero
 falso
B
2 • 4,3 = 8,6
 vero
 falso
C
5 • 2,3 = 10,15
 vero
 falso
D
6 • 3,6 = 18,36
 vero
 falso
Il livello dello standard di base corrisponde alla valutazione corretta dei quattro
prodotti. È quindi richiesto: A vero, B vero, C falso, D falso.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Per valutare l’applicabilità del metodo di Annalena nel quadro di questi quattro calcoli,
basta verificare i risultati rifacendo il calcolo. Per valutare la validità generale del metodo bisogna riflettere e questo vale anche per
l’eventuale produzione di esempi.
* Numeri e calcolo IR8#3
Percentuale di riuscita nel test 2007: 37%, livello di competenza III M61604
Caroline ha fatto questo calcolo:
5.3 • 4.12 = 20.36
Fai una crocetta sull’affermazione giusta, scelta fra le seguenti quattro.
A
 Il risultato è corretto perché 5 • 4 = 20 e 3 • 12 = 36
B
 Il risultato è corretto perché l’ultima cifra è un 6. Deriva da 3 • 2 = 6
C
 Il risultato è sbagliato. Dovrebbe essere superiore a 21.
D
 Il risultato è sbagliato. 0.3 • 0.12 = 0.036. Il risultato deve quindi essere 20,036.
SOLUTION
Geometria IR8
C
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
111
In una delle stelle raffigurate è possibile
che gli angoli con vertici in A, B, C, D ed
E abbiano la stessa ampiezza? Fai una
crocetta sulla risposta giusta, scelta fra le
seguenti quattro.
I
II
No, non è possibile perché ogni
segmento ha una direzione diversa.
B
No, non è possibile poiché gli
angoli cambiano girando la figura.
C
Sì, è possibile. I punti sulla
circonferenza dovrebbero avere tutti
la stessa distanza tra loro.
D
Sì, è possibile. Tuttavia sarebbe un
caso se tutti i punti si trovassero
sulla circonferenza.
IV
III
CRITERIO
A
È indicata la risposta C.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Questo problema pone al centro un’affermazione che per essere individuata fra le 4
proposte necessita un lavoro di analisi con l’ausilio delle figure presenti. A differenza dei problemi su «Argomentare, giustificare», in
questo caso gli allievi partono da schizzi e risultati forniti, che devono interpretare per trarre una conclusione. La figura IV illustra
l’affermazione C.
Percentuale di riuscita nel test 2007: 76%
Grandezze e misure IR8#1
M60105
Stefano compera un vasetto contenente 500 g di miele svizzero.
Pone poi il vasetto ancora chiuso su una bilancia digitale e legge
0,609 kg.
Quanto pesa circa il vasetto vuoto?
A
B
C
D
CRITERIO
 10 g
 110 g
 190 g
 609 g
È indicata la risposta B.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Sulla base dei dati forniti si può dedurre in più modi quanto pesa il vasetto vuoto
(che è circa 110 g). La risposta giusta implica che si comprendano il testo e la misura 0.609 kg.
* Grandezze e misure IR8#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 31%, livello di competenza III
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
112
M61105
Marina disegna la sua nuova stanza.
La misura di uno dei mobili è
chiaramente sbagliata. Quale?
SOLUTION
Die Länge für den Schreibtisch (1 m 20 cm) kann nicht stimmen
Oder: Der Schreibtisch wurde falsch eingezeichnet.
Funzioni IR8#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 74%
M60403
Mario
Jeanne
min
Konrad
Lara
Nadia
S
Matteo
20
Matteo
Secondo te, osservando il diagramma cartesiano
seguente, da che cosa si può capire che Matteo va
molto probabilmente a scuola (S) a piedi?
CRITERIO
10
1
2
3
km
È proposta una risposta del tipo: per fare la strada impiega tanto tempo oppure 1,5 km in
20 minuti corrisponde ad un tragitto per andare a scuola effettuato a piedi oppure altre
argomentazioni analoghe.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Bisogna confermare un’affermazione (Matteo va a piedi) confrontando percorsi e tempi
rispetto ad altre strade per andare a scuola. Sono ipotizzabili diverse possibilità. Come molti altri, anche questo problema era posto in
un contesto più ampio con più domande nell’ambito del test – di conseguenza qui appare piuttosto isolato. E’ più difficile proporre una
soluzione senza il contesto e le domande degli altri esercizi.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
113
Funzioni IR8#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 86%
M60102
In una confezione a forma di cassettina in plastica vengono sempre riposti
esattamente 9 vasetti di yogurt.
Paolo ha completato la seguente tabella, nella quale C indica il numero di
confezioni e Y il numero di vasetti di yogurt.
Monica pensa che la tabella di Paolo contenga degli errori.
Chi dei due ha ragione e perché?
CRITERIO
È data la risposta: Monika ha ragione; inoltre si contesta almeno una delle due ultime
coppie di valori.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Gli allievi devono analizzare una tabella di valori e scoprire una corrispondenza di tipo
proporzionale. Nelle prime righe il fattore di proporzionalità è 9, nelle ultime due righe tale relazione non è più rispettata.
*Funzioni IR8#3
Percentuale di riuscita nel test 2007: 32%, livello di competenza III
Il prodotto da spalmare sul pane preferito dalla famiglia
Bianchi è venduto in confezioni da 500 g, da 800 g oppure da
2 kg.
SOLUTION
M60106
Quale confezione permette al signor
Bianchi di avere il prodotto più a buon
mercato?
A
 Non si può decidere.
B
 500 g
C
 800 g
D
 2 kg
E
 Quella da 800 g o quella da
2 kg, non fa differenza
C
Analisi di dati e caso IR8
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Gli allievi hanno indicato quale tipo di
programma tele-visivo piace loro.
(Shows sta per spettacoli di divertimento; Doku
sta per documentari).
Artan prima crea una tabella e poi una classifica
di chi guarda di più la TV.
Può davvero farlo?
CRITERIO
È data una risposta del tipo: No, non può farlo. La motivazione fa riferimento alla
mancanza delle indicazioni sul tempo.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
La decisione di poter desumere la durata della fruizione televisiva da questa
rappresentazione-tabella (e di fare quindi una «classifica») deve essere verificata e/o interpretata sulla base dei dati disponibili. Gli
allievi che ritengono che sia possibile potrebbero essere invitati a calcolare quanto tempo si guarda la TV alla settimana.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
114
ESPLORARE E TENTARE | 8° ANNO
Percentuale di riuscita nel test 2007: 81%
Numeri e calcolo EE8#1
Esempi:
M60202
123 + 456 = 579
231 + 564 = 795
Con le cifre 1, 2, 3, 4, 5 e 6, costruisci due numeri di tre cifre e poi sommali, come proposto negli esempi.
Devi però fare in modo che la somma sia maggiore di 900. Puoi usare ogni cifra solo una volta.
……… + ……… = ………
CRITERIO
Una risposta è considerata giusta se contemporanamente:
• vengono usate le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e ogni cifra viene usata una volta
• l’addizione è di due numeri a tre cifre
• la somma è superiore a 900 ed è calcolata correttamente
Esempi :
412 + 536 = 948
/ 631 + 542 = 1173
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La struttura dell’enunciato viene spiegata con degli esempi. Variando in modo mirato le
cifre, gli allievi possono ottenere una somma maggiore di 900, operando correttamente.
Numeri e calcolo EE8#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 70%
M61601
Scrivi tutti i numeri tra 21,3 e 21,5 che puoi formare con le cifre 1, 2, 3, 4 e 5.
Dopo la virgola devono esserci esattamente 2 cifre.
Esempi:
CRITERIO
21,31 ; 21,33
Per il livello di base devono essere riportati almeno 4 numeri non citati nell'esempio, che
soddisfano le due condizioni.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Il problema consiste nel determinare numeri decimali sulla base di strutture e criteri dati.
In totale 10 numeri (21,31; 21,32; 21,33; 21,34; 21,35; 21,41; 21,42; 21,43; 21,44; 21,45) soddisfano i criteri. Poiché vengono richiesti
solo quattro numeri non citati nell’esempio, anche un procedimento di tipo non sistematico può consentire di pervenire al risultato.
* Numeri e calcolo EE8#3
Percentuale di riuscita nel test 2007: 45%, livello di competenza III M60804
Forma dei numeri decimali con le cifre 1, 2, 3, 4 e 5. Utilizza ogni cifra una sola volta e metti la virgola
prima dell’ultima cifra.
Esempi: 1324.5 2315.4
Scrivi tutti i numeri compresi tra 4’300 e 4’400 che puoi trovare in questo modo. Sono meno di 10.
SOLUTION
4312.5 4315.2 4321.5 4325.1 4351.2 und 4352.1
Es werden maximal 8 Zahlen akzeptiert (wovon ja genau 6 richtig sein müssen).
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
115
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Geometria EE8#1
ESEMPIO
CONTROESEMPIO
Alcuni quadrilateri hanno i 4
angoli congruenti.
Per questa affermazione si
possono fare un esempio ed
un controesempio (vedi
figura).
Talvolta due dirconferenze
hanno due punti di
intersezione. Disegna un
esempio e un controesempio.
Sono forniti un esempio ed un controesempio come disegno o schizzo.
CRITERIO
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La posizione relativa di circonferenze può variare. Agli allievi viene chiesto di disegnare
due circonferenze e di esaminare come sia la situazione rispetto ai punti di intersezione. Per molti allievi, la difficoltà del problema
non consiste nel trovare circonferenze con e senza punti di intersezione ma proprio nel capire la domanda in sé. L’esempio
introduttivo degli angoli nei quadrilateri intende chiarire in che cosa consiste la richiesta.
Non testato (livello di competenza stimato II)
* Geometria EE8#2
s2
s1
F5
F2
F1
s3
F4
Disegna 4 segmenti nel rettangolo qui sotto. I
segmenti devono suddividere il rettangolo in 10 o
11 superfici. Numera i segmenti e le superfici.
F3
SOLUTION
Il rettangolo viene suddiviso in 5 superfici da 3
segmenti (s1, s2, s3).
Individuell. Es sind maximal 11 Flächen möglich.
Grandezze e misure EE8#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 71%
M60601
Disegna une figura B, con la stessa area della figura A, ma con
una forma diversa.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
116
CRITERIO
Viene disegnata una figura non congruente ad A, di area pari a 9 u2, determinabile usando
il reticolo.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Il problema può anche essere messo in relazione con il campo «Geometria». Esso invita
ad esplorare figure con la stessa superficie (determinabile contando), rappresentabili e controllabili su un reticolo.
Grandezze e misure EE8#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 73%
M62407
Quadrato unitario
La figura A ha l’area di 12 quadrati unitari.
Disegna nella griglia una figura con un’area di 50 quadrati
unitari.
Viene proposto un rettangolo di dimensioni 5 x 10 unità oppure oppre rettangolo di
dimensioni 12,5 x 4 unità, oppure qualsiasi altra figura con un’area pari a 50 quadrati unitari.
CRITERIO
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Il problema può essere messo in relazione anche con il campo «Geometria». Come nel
problema precedente, gli allievi devono disegnare una figura con una determinata area. A seconda dell’esperienza che hanno nel
calcolare le aree, la richiesta può essere messa in relazione anche con l’aspetto di competenza «Eseguire, applicare».
* Grandezze e misure EE8#3 Percentuale di riuscita nel test 2007: 34%, livello di competenza III M61702
Raddoppiando la lunghezza del
rettangolo …
Fai una crocetta sull’affermazione
giusta, scelta fra le seguenti
quattro.
A
 … raddoppiano la superficie ed il perimetro.
B
 … raddoppia la superficie e aumenta il perimetro.
C
 … raddoppia il perimetro e aumenta la superficie.
D
 La superficie ed il perimetro aumentano ma non si può dire di quanto.
SOLUTION
B
Funzioni EE8#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 79%
M61505.1
Un pacchetto contiene 500 g di cornetti.
6 cornetti pesano 1 g.
Per una porzione servono 100 g di cornetti crudi.
Una porzione di cornetti cotti pesa 300 g.
Con questi dati inventa un «problema sui cornetti» e risolvilo.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
117
CRITERIO
Sono soddisfatti almeno tre dei seguenti quattro criteri:
• è stato formulato un problema sui cornetti.
• il problema è risolvibile con le indicazioni fornite nel testo.
• l’enunciato del problema contiene almeno un’indicazione derivante dal testo.
• la soluzione è corretta.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
La formulazione esplicita di un problema presuppone che gli allievi riflettano sullo
specifico contesto funzionale e, per tentativi, trovino un nesso idoneo. Questo rappresenta il carattere esplorativo del problema.
Percentuale di riuscita nel test 2007: 29%, livello di competenza III
*Funzioni EE8#2
M62501.2
Per fare una serie di 7 triangoli servono 15 fiammiferi.
Quanti fiammiferi ci vogliono per 20 triangoli?
…… fiammiferi
Descrivi il calcolo che fai.
SOLUTION
41 allumettes ET explication
• Doubler le nombre de triangles et ajouter 1.
• 2x+ 1 (OR 2 • triangles + 1 OR 2 • n + 1 OR 2 + 1 / …)
• Formule équivalente, par ex. 3+ 2(x – 1)
• Formulations synonymes ou similaires
Analisi di dati e caso EE8#1
OR
OR
OR
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Estrai 3 carte da un mazzo di 36 carte da gioco.
Quale dei due seguenti risultati è più probabile che succeda?
A
B
Tutte le tre carte sono rosse.
Due carte (o tutte e tre) hanno lo stesso valore (ad es. 10)
Esegui l’esperimento almeno 40 volte e poi rispondi.
CRITERIO
La risposta fornita è coerente con l’esperimento.
Le probabilità teoriche sono:
A: 4/35 (tra 1/8 e 1/9)
B: circa ¼.
Su 40 tentativi dovrebbe quindi essere più frequente la soluzione B; può però anche
accadere che l’esperimento dia come risposta la A.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA In questa situazione gli allievi devono compiere un’esperienza sul caso con carte da
gioco, segnare i risultati e cercare, sulla base di un numero sufficientemente elevato di esperimenti, di determinare e di confrontare le
probabilità dei due risultati oggetto dell’esperienza. Vista la sua natura ludica, il problema non è idoneo per tutte le situazioni di test.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
118
Analisi di dati e caso EE8#2
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Somma delle cifre di un numero. Esempio: la somma delle cifre del numero 247 è 2 + 4 + 7 = 13.
Colora nella tabella numerica tutti i numeri la cui somma delle cifre sia 5.
CRITERIO
Sono colorati almeno 10 dei numeri 5, 14, 23, 32, 41, 50, 104, 113, 122, 131, 140, 203,
212, 221, 230 oppure i 9 numeri più grandi con la proprietà richiesta (104, 113, … , 230).
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Il problema può essere anche messo in relazione con il campo «Numeri e calcolo». Lo si
può risolvere variando in modo sistematico le cifre. Il fatto che abbia 6 + 5 + 4 = 15 soluzioni (ovvero 15 + 3 + 2 + 1 = 21 per numeri
fino a 1000), mostra l’affinità con molti altri problemi di tipo combinatorio.
* Analisi di dati e caso EE8#3
Non testato (livello di competenza stimato III)
Si fa un gioco con due dadi che sulle facce
hanno da 1 a 6 puntini. Si tirano i dadi e si
contano i puntini.
Cosa è più probabile? Prima di rispondere fai
diverse prove aiutandoti con la tabella.
A
I
II
III
con due dadi la somma 7 oppure
con due dadi la somma 10?
Entrambi i risultati hanno la stessa
probabilità.
B
I
Con due dadi la somma 10.
II
Con un solo dado il numero 6.
III
Entrambi i risultati hanno la stessa
probabilità.
SOLUTION
AI, BII
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M8
119
14. Allegato 4 - Esempi di problemi HarmoS M11
SAPERE, RICONOSCERE E DESCRIVERE | 11° ANNO
Percentuale di riuscita nel test 2007: 68%
Numeri e calcolo WE11#1
0
M93102
Rappresenta i numeri seguenti sulla
retta numerica, come è stato fatto per
0,23:
1
0.23
0,01; 0,59; 1,08
CRITERIO
Sono riportati tutti e tre i valori numerici (sotto o sopra la semiretta) (± 0,02)
0.01
0.23
0.59
1.08
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La maggior parte degli allievi sa come riportare i numeri decimali sulla retta numerica. Il
problema presuppone la conoscenza del principio del sistema di scrittura posizionale, della scrittura dei numeri decimali e della
nozione di scala. Qui bisogna individuare la lunghezza dei due livelli di suddivisione sulla semiretta (0,1 per le suddivisioni maggiori
e 0,02 per le successive).
Numeri e calcolo WE11#1
a
b
a
Percentuale di riuscita nel test 2007: 81%
b
c
ab
Due superfici all’interno del quadrato hanno
un’area pari ad a • b (vedi figura).
ab
Scrivi il valore delle aree c2 e b2 nelle superfici
giuste.
c
CRITERIO
M91101
Sono proposti b2 e c2 come nella figura a lato
L’indicazione della superficie di altri rettangoli non viene presa
in considerazione,
indipendentemente dal fatto che sia corretta o meno.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
La richiesta presuppone la capacità di rappresentazione
geometrica di lettere (numeri) tramite lunghezze (ad es. b per un segmento) e di un prodotto di due
lettere (numeri) tramite aree (ad es. ab per un rettangolo). Queste risorse sono utili per comprendere
il calcolo letterale applicato al calcolo di aree.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
120
a
b
a
c
ab
b
c
2
b
ab
2
c
* Numeri e calcolo WE11#3
Percentuale di riuscita nel test 2007: 32%
M91902
Nell’immagine seguente trovi quattro possibili
rappresentazioni della frazione
1
4
.
Completa analogamente le rappresentazioni da
A a D così da indicare la frazione
SOLUTION
1
.
6
Alle vier Teilaufgaben richtig.
A 6 (ungefähr gleich grosse) Felder, ein Feld markiert.
es ist ausreichend, wenn die Linien skizziert werden
B 5 Streichhölzer
C … einem Drittel OR … 1/3
D 0.16 OR 0.17 OR 0.166 OR 0.166… OR 0.167 …
Percentuale di riuscita nel test 2007: 70%
Geometria WE11#2
M93208
(confermato a livello empirico solo per la Svizzera tedesca e francese)
A
B
D
E
C
Le sei figure dalla A alla F si riferiscono a
due soli
solidi differenti.
Ciò significa che per ogni solido ci
sono tre diverse rappresentazioni.
F
Quali altre due figure rappresentano il
solido A?
A e .......... e ..........
CRITERIO
Sono indicati: (A), B e E
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Questo problema verifica la capacità di riconoscere solidi osservati in diverse posizioni.
Per gli allievi che non sono in grado di risolvere problemi geometrici di questo tipo a mente o servendosi di procedimenti fondati su
rappresentazioni mentali, è utile avere un modello reale dei due solidi, ognuno costituito da cinque cubi: potranno girarli nelle diverse
posizioni e confrontarli con le figure.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
121
* Geometria WE11#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 21%, livello di competenza III
M91206
Disegna due diversi sviluppi del tetraedro.
SOLUTION
Beide (und damit alle möglichen) Netze, keine falschen
Skizzen. Die Grösse und die Exaktheit der Netze wird nicht
bewertet.
Grandezze e misure WE11#1
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Quale uguaglianza è sbagliata?
A 1 d = 24 h
B 24 h = 60 min
C 60 min = 3600 s
D 1 h = 3600 sec
CRITERIO
Risposta: B
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Il problema presuppone la conoscenza dei simboli d, h, min, sec per le unità di tempo
comuni. L’unica operazione eventualmente necessaria (60 . 60) è così semplice da non mettere in discussione l’appartenenza
dell’attività all’aspetto di competenza «Sapere, riconoscere, descrivere».
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
122
Grandezze e misure WE11#2
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Misura il diametro della moneta da
1 franco raffigurata e confrontalo
con la misura reale. In quale scala
sono raffigurate le monete?
Fra le quattro possibilità proposte,
indica con una crocetta quella che
ritieni corretta.
La scala costituisce un rapporto.
Ad es. 1:10 significa: «la misura
dell’immagine misura 1/10 di
quella dell'originale»
A
1 : 1,5
B
1:2
C
1 : 0,5
D
1 : 0,7
Risposta A 1 : 1,5 (indipendentemente dalle dimensioni della figura, è il valore di scala più
verosimile fra quelli proposti)
CRITERIO
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Per rispondere è necessario saper cogliere le indicazioni delle grandezze proposte nelle
tabelle e sapere come si indica una scala. Le possibili risposte sono scelte in modo che si possa arrivare alla soluzione corretta
misurando la figura e facendo un confronto con le misure reali riportate.
Funzioni WE11#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 80%
Misurazione pezzi di legno di faggio
M92501
Durante la lezione di scienze, gli allievi di una
classe hanno studiato le caratteristiche del legno di
faggio.
In particolare hanno determinato il volume (in cm3)
e la massa (in g) di diversi pezzi di legno che hanno
raccolto durante la loro passeggiata. I pezzi sono
stati dapprima pesati e poi, per determinare il loro
volume, sono stati immersi in un cilindro graduato
contenente dell'acqua. L'aumento del livello
dell'acqua (in ml) ha poi permesso di determinare il
volume corrispondente in cm3.
Nel grafico hanno rappresentato i valori trovati,
quindi la relazione tra la massa e il volume di ogni
pezzo di legno.
Evidenzia sul grafico, con un cerchio colorato, il
punto di coordinate 14,8 cm3 e 11 g.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
123
CRITERIO
Come risposta indicato il punto indicato nella figura
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
La richiesta permette di valutare la capacità di individuare punti in un sistema di
coordinate sulla base delle loro coordinate. La piena comprensione del testo del problema non costituisce un presupposto per risolvere
l’esercizio. Si tratta della prima di una serie di richieste sulla densità del legno di faggio proposte in un unico quaderno. Di seguito, in
questo stesso documento si utilizzano altri problemi dello stesso quaderno per illustrare altri aspetti di competenza.
*Funzioni WE11#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 32%, livello di competenza III M92501
Sono raffigurate le cinque curve delle
funzioni A, B, C, D ed E. Due curve
rappresentano le seguenti funzioni:
I
y = 4!
II
y=
x
x
2
16
Scrivi le lettere corrispondenti:
curva dell'equazione I: ………
curva dell'equazione II: ………
SOLUTION
ID, IIB
* Analisi di dati e caso WE11#1 Percentuale di riuscita nel test 2007: 28%, livello di competenza IIIM91404
A Nell'anno 2005 circa un
terzo dei candidati che hanno
partecipato agli esami finali
"Pittura" erano donne.
 vero
 falso
B Circa il 50 % di tutti i nuovi
contratti di tirocinio stipulati
nel 2005 nel settore tessile,
della carta e della pelle sono
stati stipulati con donne.
 vero
 falso
C Complessivamente il numero
di uomini che fanno un
tirocinio professionale è
nettamente superiore di
quello delle donne.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
124
 vero
 falso
D Le professioni commerciali
(«ufficio») costituiscono il
secondo
gruppo
professionale in ordine di
grandezza.
 vero
SOLUTION
 falso
A vero, B falso, C vero, D vero
Analisi di dati e caso WE11#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 78%
M90601
In un’inchiesta i 20 allievi di una classe
hanno indicato la loro materia preferita.
Per 3 allievi la materia preferita è
l’educazione visiva.
Per quanti allievi la materia preferita è
invece:
CRITERIO
A
La matematica ?
B
L’italiano ?
Risposta: Matematica: 4 (3 anche accettato)
Italiano: 5 (se matematica 3, si accetta anche 4)
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La richiesta verifica se gli allievi leggono correttamente i diagrammi a settore e se sono
in grado di dedurre dalla frequenza relativa (ampiezza del settore) quella assoluta (numero), nel caso iin cui i rapporti numerici sono
semplici. Visto che la superficie del settore per la materia «italiano» è esattamente un quarto della superficie del cerchio e quella per
«matematica» un po’ meno di un quarto, non è necessario misurare l’ampiezza dei settori.
ESEGUIRE E APPLICARE | 11° ANNO
Numeri e calcolo OB11#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 75%
M90403
Quale valore assume l'espressione T, se alle lettere sostituisci i seguenti valori:
x = 3, y = 4, p = 5, q = 6
T = (6 • x : y) + (p • (q – 1))
CRITERIO
Risposta: 29,5
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Questo problema chiede di calcolare il valore di un’espressione letterale, sostituendo alle
lettere dei valori dati. Visto che per questo item non è permesso l’uso della calcolatrice, per determinare la soluzione bisogna fare dei
calcoli a mente e anche saper gestire correttamente le parentesi.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
125
Numeri e calcolo OB11#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 65%
M90498
Sostituisci le lettere nell’espressione T con dei numeri a tua scelta, in modo che il valore
dell’espressione sia 100.
T = (6 • x : y) + (p • (q – 1))
CRITERIO
Risposta: è indicata una fra le molte possibili soluzioni; ad es.: (6 • 10 : 1) + (5 • (9 – 1))
Oss: i quattro numeri per p, q, x ed y non devono essere necessariamente tutti diversi.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
In modo analogo al problema precedente, si tratta di calcolare il valore di
un’espressione, con la novità che l’allievo deve prima scegliere personalmente dei valori per le lettere; il fatto che in questo caso il
risultato sia dato, costringe l’allievo a fare delle scelte strategiche. Per trovare una soluzione, ad esempio, può essere utile determinare
innanzitutto i valori dei due addendi fra parentesi (60 + 40, 0 + 100, 30 + 70, …); oppure, come hanno fatto nel test molti allievi,
scegliere x=0 semplificando abilmente il problema. L’elevata percentuale di riuscita nel test per questo item è spiegata in parte dal
fatto che fosse stato preceduto da altre domande appartenenti allo stesso contesto e riferite alla stessa espressione.
* Numeri e calcolo OB11#3
Percentuale di riuscita nel test 2007: 30%, livello di competenza III
M91505
Aumenta i due fattori del calcolo in modo che il nuovo risultato sia 20 volte maggiore di quello attuale.
6.4 • 42
SOLUTION
a = 64, b = 84
OR a = 12.8, b = 420
OR a = 32, b = 168
OR a = 25.2, b = 210
Oder ein anderes Produkt mit a • b = 5376 und a > 6.4 und b > 42
Geometria OB11#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 77%
M91601.1
Il volume del cubo è 1'000 cm3, gli spigoli misurano 10 cm.
Qual è il volume dei tre solidi grigi inscritti?
A
V=
cm3
B
V=
cm3
C
V=
cm3
D
V=
cm3
Sono richieste almeno tre risposte corrette fra le seguenti: A 500 cm3; B 250 cm3; C 500
cm ; D 375 cm3
CRITERIO
3
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA A seconda del livello di apprendimento raggiunto, il problema può essere risolto facendo
capo all’aspetto di competenza «Sapere, riconoscere, descrivere». Gli allievi possono stabilire per confronto le lunghezze degli spigoli
in cm e poi calcolano i volumi dei parallelepipedi oppure direttamente i volumi per confronto con il volume V = 1000 cm3 del cubo.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
126
Percentuale di riuscita nel test 2007: 32%, livello di competenza III
* Geometria OB11#2
A
M91602
Il volume del cubo è 1'000 cm3, i lati misurano 10 cm.
B
Calcola il volume di due dei tre solidi grigi inscritti.
C
SOLUTION
A
V=
cm3
B
V=
cm3
C
V=
cm3
D
V=
cm3
D
A 250 cm3 B 625 cm3
Grandezze e misure OB11#1
C 375 cm3
D 167 cm3 / 166 cm3 / 166 2/3 cm3 / 166.6 cm3
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Esprimi in centimetri:
CRITERIO
A
1,5 m
B
0,83 m
C
720 mm
Risposta: A 150 cm; B 83 cm; C 72 cm
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Agli allievi è chiesto di trasformare le misure di lunghezza passando da un’unità a
un’altra; la richiesta potrebbe essere utilizzata già nell’8° anno per illustrare gli standard di base. In questo stadio, per rispondere è
richiesto un procedimento quasi automatizzato, fondato sullo spostamento della virgola di un numero appropriato di posizioni.
Grandezze e misure OB11#2
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Nella realtà, quanto è lungo questo tratto?
Su una cartina in scala 1: 25’000, un tratto misura 4 cm.
CRITERIO
Risposte: 1 km oppure 100’000 cm oppure 25'000 volte più lungo
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Come per la richiesta precedente, qui si verifica la conoscenza dei rapporti tra diverse
unità di lunghezza. Alcuni allievi potrebbero risolvere mnemonicamente (  aspetto di competenza «Sapere, riconoscere e
descrivere»).
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
127
* Grandezze e misure OB11#3
Non testato (livello di competenza stimato III)
Qual è la lunghezza del lato di quadrati con le seguenti
superfici:
A
10 m2
B
10 a
C
10 ha
SOLUTION
Percentuale di riuscita nel test 2007: 70%
Una banca offre un conto di risparmio per la
gioventù. Per permettere ai giovani di determinare
velocemente l’interesse maturato, pubblica su di un
opuscolo la seguente tabella:
Interesse annuo (al tasso
d’ interesse i = 4,5%)
100.– Fr
4.50 Fr
200.– Fr
9.00 Fr
500.– Fr
22.50 Fr
1'000.– Fr
45.00 Fr
2'000.– Fr
90.00 Fr
5'000.– Fr
225.00 Fr
CRITERIO
10 = 3.2
A 3.2 m B 32 m C 320 m
Funzioni OB11#1
Capitale
Considera
Possibili risposte:
M91707
Chi vuole conoscere l’interesse generato da un
capitale di 700 Fr, può sommare ad esempio
l’interesse maturato su di un capitale di 500 Fr,
cioè 22,50 Fr, con quello di un capitale di 200 Fr,
cioè 9,00 Fr, ottenendo così l’interesse totale, pari
a 31,50 Fr
Indica in che modo puoi utilizzare i valori nella
tabella per calcolare l’interesse annuo di un
capitale di 4'500 Fr
• 225 Fr – 22,50 Fr = 202,50 Fr
• oppure 90 Fr + 90 Fr + 22,50 Fr = 202,50 Fr
• oppure
9 • 22,50 Fr = 202,50 Fr
• oppure un altro calcolo che fa capo a valori della colonna relativa
all’interesse annuale.
Non è richiesta l’indicazione della valuta
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA In questo problema gli allievi sono chiamati a calcolare l’immagine di un determinato
importo rispetto ad una funzione definita mediante una tabella e mediante un procedimento suggerito. Le vie possibili sono molte. Chi
ha compreso la natura delle variazioni proporzionali è senz’altro in grado di individuare diversi procedimenti di calcolo.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
128
Percentuale di riuscita nel test 2007: 30%, livello di competenza III M92103
*Funzioni OB11#2
Sconto in %
0
Prezzo/pezzo [Fr.]
500
Guadagno [Fr.]
300
Guadagno in %
150
SOLUTION
10
Sigla
ZH
BE
LU
UR
SZ
OW
NW
GL
ZG
FR
SO
BS
BL
SH
AR
AI
SG
GR
AG
TG
TI
VD
VS
NE
GE
JU
Cantone
Zurigo
Berna
Lucerna
Uri
Svitto
Obvaldo
Nidvaldo
Glarona
Zugo
Friborgo
Soletta
Basilea Città
Basilea Camp.
Sciaffusa
Appenzello E.
Appenzello I.
San Gallo
Grigioni
Argovia
Turgovia
Ticino
Vaud
Vallese
Neuchâtel
Ginevra
Giura
Totale Svizzera
CRITERIO
30
X
Durante il periodo dei saldi la
ditta «M&G» fa degli sconti
sulle giacche descritte negli
esercizi
precedenti.
Esse
vengono vendute dapprima con
uno sconto del 10%, poi del
20%, poi del 30% e infine del
40% sul prezzo di vendita
iniziale di 500 Fr. Completa la
tabella.
• 225 Fr. - 22.50 Fr. = 202.50 Fr.
Percentuale di riuscita nel test 2007: 87%
Analisi di dati e caso OB11#1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
20
Superficie
[km2]
1'729
5'959
1'494
1'077
908
491
276
685
239
1'671
791
37
518
299
243
173
2'026
7'105
1'404
991
2'813
3'212
5'225
803
282
839
Numero di
abitanti
1'250'000
950'000
354'000
35'000
136'000
33'000
39'000
38'000
106'000
245'000
246'000
188'000
263'000
74'000
54'000
15'000
458'000
187'000
558'000
231'000
315'000
633'000
283'000
168'000
420'000
69'000
Comuni
171
398
103
20
30
7
11
27
11
182
126
3
86
33
20
6
89
208
231
80
201
382
158
62
45
83
Densità di
populazione
723
159
237
33
150
67
141
55
444
147
311
5067
508
248
222
87
226
26
398
233
112
197
54
209
1488
82
41'285
7'348'000
2'773
178
M92203
Per poter rappresentare il numero di
comuni di alcuni cantoni, l'asse y non è
stato suddiviso come di consueto.
Tieni conto dellla suddivisione usata per
l’asse delle y e completa il grafico
disegnando la colonna relativa al numero
di comuni del canton Sciaffusa..
Nella rispostafornita la colonna relativa a SH è più alta della colonna di UR e meno alta di
quella di JU.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Per questo compito gli allievi devono rappresentare una colonna corrispondente a
un valore individuato in una tabella data. È indispensabile orientarsi confrontando colonne relative valori vicini ma non è necessario
comprendere la scala logaritmica presente sull'asse y ( «Matematizzare, trasporre»).
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
129
Analisi di dati e caso OB11#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 85%
M90901
Numero di abitanti per distretto FR
Il diagramma a sinistra mostra la
distribuzione percentuale del numero di
abitanti dei 7 distretti del canton Friburgo.
Nel 2004 il canton Friburgo aveva 254'000
abitanti.
Quanti abitanti aveva il distretto di Sarine?
CRITERIO
Risposta: 91'400 (± 600).
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La richiesta può anche essere messa in relazione con il settore «Funzioni». A partire da
un diagramma a settori con indicazioni sulla frequenza relativa, agli allievi è chiesto di determinare la frequenza assoluta (numero di
abitanti) di un distretto conoscendo quella di un altro.
Analisi di dati e caso OB11#3
Percentuale di riuscita nel test 2007: 22%, livello di compet. III
Martedì
Sabato
Un comune ha effettuato un conteggio del
traffico in una strada di quartiere. I dati sono
stati rilevati nel corso di un martedì e di un
sabato.
0.00 - 4.00
2
17
4.00 - 8.00
162
21
8.00 - 12.00
132
55
12.00 - 16.00
95
90
Quante automobili sono
mediamente in un'ora?
16.00 - 20.00
196
90
Riporta i dati nella tabella.
20.00 - 24.00
27
40
Numero medio di auto
l'ora
Martedì tra le 4.00 e le 12.00
Martedì tra le 0.00 e le 24.00
(tutto il giorno)
SOLUTION
A 36.75 ± 0.05
B 25.58… OR 25.6 OR 26
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
M90303.2
130
state
contate
UTILILZZARE STRUMENTI | 11° ANNO
Numeri e calcolo IWV11
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Calcola i seguenti valori usando la calcolatrice.
CRITERIO
A
73
B
La radice quadrata di 28
C
2 : 125
A 243
B 5,3; 5,29…; o 5,292… (attenzione all’approssimazione corretta)
C 0,016
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Questa richiesta verifica la capacità di usare correttamente alcuni tasti e alcune funzioni
importanti della calcolatrice. Nel item parziale B, il risultato della calcolatrice dev’essere arrotondato ad alcune cifre dopo la virgola.
Geometria IWV11
Non testato (costruito secondo i criteri per il livello di base)
A
«Misura» con il compasso.
B
2 km
Se da A a B ci sono 2 km,
qual è la distanza tra B e C?
C
CRITERIO
Risposta: 6 km
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
In questo problema gli allievi utilizzano il compasso per trovare una risposta,
confrontando con il compasso il segmento AB con il segmento AC (riportando AB sulla retta (3 volte) fino a “raggiungere” il punto C.
Grandezze e misure IWV11
Non testato (costruito secondo i criteri per il livello di base)
Disegna i seguenti angoli (per es. con l'aiuto del goniometro)
a) angolo di 70°
a) angolo di 100°
CRITERIO
Richiesto un angolo dell’ampiezza data, con livello di tolleranza di 2°.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA In situazioni di test, l'utilizzo corretto di strumenti di misurazione può essere verificato
solo in misura molto limitata, ragione per la quale in questo caso, a titolo rappresentativo viene richiesta una misurazione con il
goniometro.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
131
Funzioni IWV11
Non testato (costruito secondo i criteri per il livello di base)
Con una formula inserita nelle celle della colonna B si calcola quanto costa la quantità di mele indicata
nelle corrispondenti celle della colonna A (ad es. 0,500 kg costano 2,15 Fr.).
Com'è la formula che conduce al risultato presente nella casella
B12?
Scegli quella corretta fra le 4 proposte sotto.
Attenzione: tre delle formule date portano al risultato giusto ma
solo una ha senso.
A
=A12/4,3
B
=4,3
C
=A12*4,3
D
=B11+0,43
CRITERIO
Risposta C
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA In situazioni di test svolti con carta e matita è difficile verificare conoscenze e capacità
di tipo informatico, poiché il lavoro concreto con programmi di calcolo presuppongono sia conoscenze specifiche sia disponibilità ad
un modo di procedere esplorativo. Pertanto questa richiesta non può sostituire il lavoro al computer.
Per rispondere è necessario aver riconosciuto la situazione di proporzionalità diretta (fattore di proporzionalità).
Analisi di dati e caso IWV11
Non testato (costruito secondo i criteri per il livello di base)
Quale dei 7 diagrammi a colonne proposto nella figura a sinistra va selezionato
per ottenere il diagramma raffigurato a destra?
Indica con una crocetta il diagramma scelto .
CRITERIO
Risposta: Il terzo o il sesto.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
132
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
Come per altri problemi precedenti, va notato che è difficile valutare il lavoro al
computer per mezzo di test normali. Qui si richiede di indicare come si può procedere per generare un particolare diagramma a
colonne per mezzo di un programma di calcolo. Il tipo di diagramma selezionato deve mostrare quote percentuali (le lingue nei
distretti del Cantone di Friburgo). Pertanto possono essere selezionati solo i due tipi di diagramma a destra.
RAPPRESENTARE E COMUNICARE | 11° ANNO
Numeri e calcolo DF11
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Cosa potrebbe voler dire questo
allievo di scuola elementare, con il
numero 15 che ha scritto in margine a
destra?
Risposta: «vuole dire che la somma aumenta ogni volta di 15» o altre equivalenti;
formulazioni del tipo «cresce di 15» sono tollerate.
CRITERIO
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA All’allievo è chiesto di mostrare se capisce calcoli fatti per iscritto da un'altra persona.
Per arrivare alla conclusione è sufficiente confrontare le somme con i numeri a destra.
Geometria DF11
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
In un formulario figura la formula V = A • h : 3, riferita
alle piramidi.
Illustra con uno schizzo il significato di A ed h.
CRITERIO
Risposta: soluzioni individuali, comprendente uno schizzo di una piramide (non un cono).
Devono essere indicati esplicitamente A = area di base e h = altezza.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Questa richiesta permette di valutare se gli allievi sono in grado di associare semplici
formule ad uno schizzo, creando rappresentazioni adeguate alla comunicazione. Per rispondere devono essere noti il concetto di
«piramide» (con in particolare il significato e il ruolo di A e h nel procedimento per il calcolo del suo volume). Il fatto che molti
allievi rappresentino una piramide a base quadrata non è rilevante in questo contesto.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
133
Grandezze e misure DF11
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Il cubo raffigurato ha lo spigolo di lunghezza di 1 m.
Avresti spazio sufficiente per nasconderti nel suo interno?
In caso affermativo: colora lo spazio che occuperesti (non devi
disegnare la tua sagoma ma solo lo spazio occupato).
In caso negativo: quanto dovrebbe misurare il lato del cubo affinché tu
possa entrarci?
CRITERIO
Risposta: Sì. Diverse soluzioni ammesse. Al minimo 1/30, al massimo 1/4 del cubo viene
colorato.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Per poter rispondere a questa richiesta è necessario avere un'idea chiara delle dimensioni
di 1 m3 in relazione al volume del proprio corpo ( «Sapere, riconoscere e descrivere»). Tuttavia il problema mira sostanzialmente a
verificare la capacità di rappresentare il proprio volume in questa situazione specifica. La risposta potrebbe essere facilitata
comunicando che nel cubo ci stanno 1000 litri d'acqua.
Funzioni DF11#1
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Rappresenta i prezzi proposti a destra, in modo tale
che si possa vedere al primo colpo d'occhio quale
frutta è la più cara e quale la meno cara.
CRITERIO
Mele
Albicocche
Arance
Uva
3.70 Fr/kg
5.20 Fr/kg
2.20 Fr/kg
3.00 Fr/kg
Risposte possibili: rappresentazione dei prezzi che mostri al primo colpo d'occhio il
prodotto più caro e quello meno caro; ad esempio mediante un diagramma a colonne, un
disegno con i costi, un grafico cartesiano della relazione-funzione quantità-prezzo oppure
una lista ordinata secondo il prezzo.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA In questo problema gli allievi sono chiamati a rappresentare la semplice relazione
funzionale tra quantità e prezzo, in un caso particolare. Non importa la modalità di rappresentazione, l'importante è l'informazione che
dev'essere trasmessa: il confronto dei prezzi dei vari tipi di frutta.
Funzioni DF11#2
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Rappresenta i prezzi proposti a destra, in modo tale
che si possa vedere quale frutta è la più cara / la
meno cara.
CRITERIO
Pere
Pesche
Mandarini
Ananas
307 g
424 g
845 g
560 g
1,25 Fr
2,30 Fr
2,70 Fr
3,25 Fr
Risposte possibili: come per la domanda precedente, dopo aver calcolato il prezzo di ogni
prodotto riferito ad una quantità uguale per tutti (ad es. 1 kg)
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA In questo problema gli allievi sono chiamati a rappresentare la semplice relazione
funzionale tra quantità e prezzo. A seconda del tipo di risposta, prima dovranno calcolare i prezzi per una determinata quantità.
Basterebbe stimare ad es. il prezzo di 100 g. Come nel caso precedente non importa la modalità di rappresentazione, l'importante è
l'informazione da trasmettere: il confronto dei prezzi dei vari tipi di frutta.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
134
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Analisi di dati e caso DF11
Max ha lanciato diverse volte due dadi
segnandosi i risultati. Poi ha costruito la
seguente tabella al computer.
A Quanti lanci ha rappresentato Max nella
tabella?
B Perché questa forma di rappresentazione
non si può ritenere molto adeguata per un
numero molto elevato di lanci (ad es. 1000)?
CRITERIO
Risposte; A 25 lanci
B
Risposte accettabili: occupa troppo spazio / ci vuole troppo / non si legge
bene oppure altri motivi pertinenti
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
Per rispondere a questa richiesta gli allievi prima devono interpretare la tabella e
successivamente giudicarne l'adeguatezza per rapporto alla quantità di dati. Nel farlo riflettono sulla leggibilità e la praticabilità di tale
tipo di rappresentazione statistica.
MATEMATIZZARE E TRASPORRE | 11° ANNO
Percentuale di riuscita nel test 2007: 88%
Numeri e calcolo MM11#1
Esempio
Scrivi
numero
un
Esempio
personale
Espressione
letterale
3
x
Raddoppialo
6
2x
Aggiungi 12
18
Raddoppia
36
Dividi per 4
9
Sottrai 6
3
CRITERIO
A
M93304.1
Scegli un numero e segui le
istruzioni della tabella
completando la colonna grigia.
Troverai il numero che hai scelto
all'inizio come risultato finale.
B
Risposta: è proposto un esempio numerico calcolato conformemente alle consegne date.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
Con questa richiesta si verifica la capacità di eseguire istruzioni operando con dei
numeri (parte A) oppure di tradurle in espressioni letterali (parte B). Per lo standard di base ci si aspetta la soluzione della parte A
(Esempio personale). I numeri nella colonna «Esempio» hanno carattere illustrativo e servono a facilitare la comprensione delle
istruzioni.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
135
* Numeri e calcolo MM11#2
1
2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 24%, livello di compet. III
3
L’ immagine mostra delle frecce
costruite con dei fiammiferi. Nella
tabella sono indicati il numero di
elementi di una freccia e il numero di
fiammiferi necessari per costruirla.
4
Numero di elementi
della freccia:
1
2
3
4
10
n
Numero
fiammiferi:
5
8
11
14
?
?
SOLUTION
di
M92301.2
Quanti fiammiferi servono per :
A
una freccia di 10 elementi?
B
una freccia di n elementi?
A 10  32
B 3n + 2 (OR äquivalente Formel)
Geometria MM11#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 83%
M91002
La superficie colorata (A) delimitata dai 6 tavoli, di
quanto è maggiore della superficie di un solo tavolo (B)?
CRITERIO
Risposta: è grande il doppio.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Questa domanda è parte di una serie di domande riferite ad un’unica situazione. Le
prime domande della serie concernono forma, area ed ampiezza di angoli di un tavolo (B). Per questa domanda due figure (A e B)
devono essere analizzate e messe in relazione tra loro. Per rispondere alcuni allievi sono chiamati a creare modelli nuovi per loro, altri
riconoscono subito una situazione nota ( in quest’ultimo caso  «Sapere, riconoscere e descrivere»). La chiave del problema consiste
nell’individuare la possibilità di scomporre la figura A in due trapezi congruenti (simmetrici).
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
136
* Geometria MM11#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 22%, livello di competenza III
M91001
Per una riunione vengono disposti nella
sala riunioni 6 tavoli (a forma di
trapezio) come indicato nella figura.
Quanto dev'essere la larghezza minima
della sala riunioni affinché gli angoli a
destra e sinistra distino almeno 1 m dalla
parete? I lati s e t sono paralleli alla
parete.
SOLUTION
4 • 75 cm + 200 cm = 500 cm
Oder 1 m + 1.5 m + 1.5 m + 1 m = 5m
Da es mögich ist, die Aufgabe im Kopf zu lösen, wird der Lösungweg nicht eingefordert.
Grandezze e misure MM11 Non testato (costruito in base ai criteri relativi allo standard di base, parte A o B del problema)
In scala 1:100'000 la distanza orizzontale tra Binn e il sito
H è indicata sulla carta dal segmento BH lungo
esattamente 5 cm.
Binn è situato all'altitudine di 1004 m slm, mentre H si
trova a 1504 m slm.
A Quanto distano i due punti nella
realtà? …… km
Stima quanto è lungo nella realtà il
percorso a piedi da B a H
B Tra B e H vi sono 500 m di
dislivello.
Ciò corrisponde ad una pendenza
media del 10% per il percorso che li
unisce.
Disegna un triangolo rettangolo in
cui l’ipotenusa abbia una pendenza
del 10% rispetto ad un suo cateto.
CRITERIO
Risposte: A 5 km e stima tra circa 6 km e 14 km
B Viene disegnato un triangolo rettangolo con i cateti in rapporto 10 : 1
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Per allievi abituati ad affrontare compiti di questo tipo sono richieste competenze del
tipo «Eseguire, applicare», altrimenti del tipo «Matematizzare, trasporre». Per rispondere, prima va calcolata la lunghezza del
segmento; per la stima della lunghezza del sentiero reale è poi necessario considerare una misura ragionevolmente più lunga. Per della
quanto riguarda la parte B del problema è necessario mettere in relazione il dislivello con (500 m) con la distanza orizzontale (5 km).
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
137
Percentuale di riuscita nel test 2007: 68%
Funzioni MM11#1
La persona che si occupa degli acquisti
per il negozio «mkz» compera in Italia
2'000 giacche di pelle al prezzo di 200 Fr
l’una.
Le giacche vengono poi rivendute a 500
Fr l'una.
Supponiamo che «mkz» venda tutte le
2'000 giacche.
CRITERIO
M92102
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
Fai una crocetta sull’affermazione giusta, scelta fra le
seguenti quattro:.
A  Le giacche sono vendute con più del 100% di
guadagno.
B
 Le giacche sono vendute con meno del 100% di
guadagno.
C
 Il guadagno non può mai essere superiore al
100%.
D
 Il guadagno è esattamente del 100%.
Risposta: è crociata A
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
L'affermazione A è l'unica delle quattro che descrive correttamente la relazione
(acquisto per 200 Fr, vendita per 500 Fr). Il modello matematico corrispondente (200 Fr – 100%, 300 Fr – 150%) è semplice ma reso
complesso dal contesto.
Percentuale di riuscita nel test 2007: 26%
*Funzioni MM11#2
M93003.1
Notizia sul giornale: la Terra sarebbe sterile se non ci fossero i
lombrichi. I circa 5'000'000 di lombrichi che vivono in una superficie
di un ettaro (= 10'000 m2) lavorano circa 2'000 t di terra l'anno. Lo
fanno ingerendo la terra per filtrarne le sostanze nutritive.
Nb de lombrics
Superficie [m2]
Nel testo è indicata la relazione tra la superficie del suolo, il tempo,
il peso della terra lavorata ed il numero di lombrichi che vivono in
quella superficie.
Dunque, per esempio il numero di lombrichi è più o meno
proporzionale alla superficie.
Indica 2 altre relazioni proporzionali!
SOLUTION
2 der 3 proportionalen Zusammenhänge Und keine falschen Zusammenhänge
Zeit
Fläche
Anzahl



Gewicht
Gewicht
Gewicht
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
OR
OR
OR
Gewicht  Zeit
Gewicht  Fläche
Gewicht  Anzahl
138
Analisi di dati e caso MM11
Percentuale di riuscita nel test 2007: 73%
M90902
Nel 2004 il canton Friburgo aveva 254'000 abitanti, A
suddivisi in 7 distretti.
Quali tra le seguenti affermazioni sono «vere» e
quali sono «false»?
I due distretti con il minor numero di
abitanti hanno, insieme, meno della metà
degli abitanti del distretto con più
abitanti.
 vero  falso
B
Più della metà degli abitanti del canton
Friburgo vivono nei distretti di Gruyère e
Sarine assieme.
 vero  falso
CRITERIO
C
l distretto con il minor numero di abitanti
ha meno di 10'000 abitanti.
 vero  falso
D
In media 1 abitante su 6 del canton
Friburgo vive nel distretto della Gruyère.
 vero  falso
E
Esattamente un quarto degli abitanti del
canton Friburgo abita nel distretto di
Sense.
 vero  falso
Risposte: A vero, B vero, C falso, D vero, E falso ; livello di base: almeno 4 crocette corrette.
Osservazione: Livello superiore (tutte le 5 affermazioni corrette): 32% di riuscita nel test
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA In questo problema gli allievi sono chiamati a valutare semplici affermazioni statistiche,
interpretando il diagramma ed eseguendo semplici calcoli; è sufficiente un calcolo approssimativo.
ARGOMENTARE E GIUSTIFICARE | 11° ANNO
ILLUSTRAZIONI | ARGOMENTARE E GIUSTIFICARE | 11° ANNO
Numeri e calcolo AB11#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 80%
M90809.1
La somma n + (n + 1) + (n + 2) è sempre divisibile per 3.
Sostituisci la lettera n con un numero e verifica che l’affermazione è vera per il numero che hai
scelto.
CRITERIO
Risposta: è proposto un esempio, calcolato correttamente.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La soluzione del problema richiede almeno un approccio all'argomentazione. A tale
scopo è necessario capire l'affermazione e illustrarla con almeno un esempio. A partire da alcuni esempi ordinati sistematicamente (ad
es. per n = 1, 2, 3, …6) sarà più facile trovare una giustificazione generale.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
139
Numeri e calcolo AB11#2
62 = 36
Percentuale di riuscita nel test 2007: 89%
M93107.1
Scegli due numeri naturali consecutivi, ad esempio 10 e 11, e verifica
se il procedimento suggerito è ancora valido.
72 = 49
6 2 + 6 + 7 = 72
36 + 6 + 7 = 49
CRITERIO Risposta: è proposto un esempio calcolato correttamente.
Soluzione generale:
• con trattamento dell'espressione a2 + a + (a + 1) = a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
si può vedere che l'affermazione è corretta, ovvero che le parti di sinistra e di
destra dell’uguaglianza sono uguali;
oppure
• con uno schizzo o a parole: “ad un quadrato con lato di lunghezza a vengono aggiunte due strisce
(di larghezza 1), una di lunghezza a, l'altra di lunghezza a + 1. Ne deriva un quadrato con lato di
lunghezza a + 1”.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La soluzione richiesta prevede soltanto il primo passo di un'argomentazione: riprodurre
un fatto attraverso un esempio proprio. A tale richiesta quasi tutti gli allievi hanno risposto correttamente. La dimostrazione della la
validità generale dell'affermazione richiede l’analisi di altri casi numerici per poi arrivare ad una matematizzazione algebrica o
geometrica (la lunghezza a dei lati di un quadrato viene aumentata di 1).
Percentuale di riuscita nel test 2007: 65%
Geometria AB11#1
M92905
Mostra, tramite uno schizzo o un calcolo, che la lunghezza x è il
doppio della lunghezza s, cioè che x = 2s.
d
x
d
s
Se ricorri al calcolo puoi usare s = 10 cm.
s
CRITERIO
Sono proposte argomentazioni del tipo:
. fondate su un disegno completato in modo da
mostrare un grande quadrato di lato
x = 2 s ( prima figura), oppure
. viene suddiviso in tre triangoli congruenti
(seconda figura) poi con il calcolo:
d = √2s
x = √2d
 x = 2s
oppure s= 10 cm
d = √200 cm, o 14,1 cm
x = √(14.122 + 14.122) = 20 cm
d
d
s
x
x
d
s
d
s
s
s
s
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Il problema tematizza i le proprietà dei lati di semplici figure (quadrati e triangoli
rettangoli isosceli) e la loro giustificazione. Con il calcolo o geometricamente (completando il disegno) si dimostra che s misura la
metà di x.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
140
* Geometria AB11#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 69%
M90202
La seguente affermazione è giusta:
«Un rettangolo dal lato a = 3.2 cm e b = 31.25 cm ha una superficie di 100 cm2. Vi sono infiniti
rettangoli che hanno una superficie di 100 cm2.»
Motiva questa affermazione.
SOLUTION Zu jeder beliebigen Seitenlänge a gibt es eine Seitenlänge b, so dass der Flächeninhalt 100
cm2 ist.
Die Argumentation lässt erkennen, dass eine der Seitenlängen frei gewählt werden kann
Oder: dass (unendlich) viele verschiedene Produkte 100 möglich sind.
* Geometria AB11#3
Percentuale di riuscita nel test 2007: 31%, livello di competenza III M92907
A  I quattro triangoli hanno uguale superficie.
B  La superficie dei quattro triangoli è uguale
solo
scegliendo
opportunamente
la
lunghezza e la larghezza del rettangolo.
Tracciando le diagonali di questo rettangolo lo si
suddivide in quattro triangoli.
Fai una crocetta sull’ affermazione giusta, scelta
fra le seguenti quattro.
SOLUTION
C  La superficie dei quattro triangoli non è
uguale, visto che i triangoli sono diversi.
D  Per dimostrare che la superficie dei quattro
triangoli è uguale bisogna misurare i
relativi segmenti e calcolare le superfici.
A
Grandezze e misure AB11
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Normalmente la lunghezza del percorso per andare a scuola viene indicata in m o km, e non in cm.
Perché?
CRITERIO
È proposta un’argomentazione del tipo:
A Perché indicandola in cm si dovrebbero utilizzare numeri (troppo) grandi; oppure
B perché con tali misure non ci si può immaginare la lunghezza del percorso; oppure
C perché l'indicazione in cm non potrebbe essere precisa vista la difficoltà di fare la
misurazione con tale unità; oppure
• altre motivazioni pertinenti e comprensibili
Non è sufficiente affermare che l'indicazione in cm è inconsueta
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Il problema richiede la motivazione di un'affermazione concernente la relazione tra
grandezze (il percorso per andare a scuola in relazione all'unità di misura 1cm). L'aspetto comune delle tre diverse soluzioni più
comuni (A, B, C, vedi sopra) è la riflessione contenuta implicitamente sul fatto che la scelta dell'unità di misura deve alla essere
congrua con la situazione. Per la verifica è sufficiente l'indicazione di una sola motivazione.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
141
Funzioni AB11#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 69%
M91308
NB. A causa delle forti oscillazioni delle percentuali di riuscita, questo esercizio è stato validato
solo per il livello di base della Svizzera tedesca e italiana.
Il signor Rossi apre un conto con un capitale di 50'000 Fr, ad un tasso di interesse annuo del 4%.
Dopo un anno i soldi sul conto sono aumentati di 2'000 Fr e sono quindi 52'000 Fr; nel 2o anno
aumentano ancora di 2'080 Fr, arrivando a un totale di 54'080 Fr.
Perché al signor Rossi viene dato un interesse maggiore nel secondo anno nel rispetto al primo?
CRITERIO
Accettate risposte del tipo:
- nel secondo anno si calcolano gli interessi anche sugli interessi del primo anno, oppure
- espresso aritmeticamente: ad es. 52'000 • 1.04 = …
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Il problema richiede di motivare perché in determinate condizioni gli interessi aumentano
anno dopo anno. Un'analisi mostra che il capitale è costante solo in apparenza, poiché ad esso ogni anno si aggiunge l’interesse
maturato nell’anno stesso (capitalizzazione composta). La domanda è stata formulata in modo tale che - se necessario - prima di
motivare è possibile verificare con il calcolo.
*Funzioni AB11#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 17%, livello di competenza IV M91307
Quale dei tre grafici qui accanto rappresenta il corso del
cambio EUR in $?
A

B

C

Giustifica la tua risposta.
SOLUTION
Graph A. Und Begründung
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
142
Da der Euro-Kurs ziemlich stabil ist, fällt vor allem der Dollar Kurs ins Gewicht.
Oder: Der Verlauf ist ähnlich wie der Verlauf des Dollar Kurses. (Dieses Argument is
ausreichend).
Oder: Kursberechnung zu einem beliebigen Zeitpunkt durch zweimaliges Umrechnen (z.B.
Jan 1999: 1.60 CHF – 1 EUR  1.60 CHF – 1.13 $  0.87 EUR – 1 $, also A
Oder: Andere korrekte Begründungen.
Percentuale di riuscita nel test 2007: 82%
d
Elt er m
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it
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c
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i
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i
Kin
Analisi di dati e caso AB11#1
CHF
54
95
CHF
31
55
CHF
CHF
1
2
3
4
5
136
175
210
78
100
120
122
158
189
70
89
108
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
236
271
297
323
348
374
392
408
422
434
135
155
170
184
199
213
224
233
241
248
212
244
267
391
313
337
353
367
380
391
121
139
152
165
178
191
201
209
216
223
CRITERIO
M92802
Walter ha 13 anni e vorrebbe sciare per 5 giorni,
poi fare una pausa di 2 giorni e poi sciare di nuovo
per altri 5 giorni.
Gli conviene comprare un abbonamento per 12
giorni oppure due abbonamenti per 5 giorni?
Giustifica la tua risposta.
È proposta la motivazione: «l'abbonamento da 12 giorni è più economico», sostenuta da
affermazioni del tipo (anche senza calcolo):
2 abbonamenti da 5 giorni: 240 CHF (oppure 216 Fr se Accompagnati dai genitori)
1 abbonamento da 12 giorni: 224 CHF (oppure 201 Fr se Accompagnati dai genitori)
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
La risposta richiede un'analisi aritmetica dei dati messi a disposizione
seguita da un confronto tra le due varianti per arrivare a motivare facilmente l'acquisto dell'abbonamento da 12 giorni.
* Analisi di dati e caso AB11#2 Percentuale di riuscita nel test 2007: 34%, livello di competenza IIIM90306
Alla fine del 2006 nel magazzino di una ditta c'erano i
seguenti articoli:
La seguente tabella mostra quanti articoli erano stati
venduti alla fine di gennaio e quanti erano stati rimessi in
magazzino come scorta:
Il numero di articoli presenti in magazzino è aumentato o
diminuito? Giustifica brevemente.
SOLUTION
Articolo
A
B
C
Quantità
136
257
1178
Prezzo
unitario
355.-
78,50
5,75
Articolo
A
B
C
Articoli venduti
277
356
738
Articoli rimessi
in magazzino
200
300
500
Der Gesamtwert hat sich vermindert. Und Begründung:
Sie zeigt auf, dass mehr Ausgänge als Eingänge zu verzeichnen sind.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
143
INTERPRETARE E RIFLETTERE SUI RISULTATI | 11° ANNO
Percentuale di riuscita nel test 2007: 89%
Numeri e calcolo
Quali parentesi puoi eliminare nella seguente espressione senza che
il risultato cambi? Evidenzia con un colore tali parentesi.
CRITERIO
M90404
T = (6 • x : y) + (p • (q – 1))
Risposta: T = 6 • x : y + p • (q – 1)
Per lo standard di base si è richiesto che almeno una coppia di parentesi fosse identificata
correttamente e che la parentesi (q-1) non fosse eliminata. Solo il 30% degli allievi ha
evidenziato entrambe le parentesi non necessarie.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA A seconda del livello di apprendimento raggiunto dall’allievo, il problema può essere
associato anche agli aspetti di competenza «Eseguire, applicare» oppure «Sapere, riconoscere, descrivere». È richiesta l'interpretazione
di un'espressione letterale e la ricerca di possibili semplificazioni. Ciò richiede la conoscenza di regole di scrittura e proprietà di
calcolo (precedenza della moltiplicazione rispetto alla somma) e il significato delle parentesi.
* Numeri e calcolo IR11#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 23%, livello di competenza III
M92304
La figura rappresenta catene
di fiammiferi di diverse
lunghezze.
Carla, Damaris e Estelle
hanno trovato delle formule
per determinare il numero di
fiammiferi. Inoltre hanno
fatto
dei
disegni
per
illustrare le loro formule.
I
II
III
Carla: 3 • x + 2
Disegno
I
 II
 III
Damaris: 3 • (x – 1) + 5
Disegno
I
 II
 III
Estelle: (4 – 1) • x + 2
Disegno
I
 II
 III
SOLUTION
Carla
III
Damaris
Estelle
II
I
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
144
Geometria IR11#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 83%
M92002
Marco è convinto che il rettangolo A e il trapezio B
abbiano un’area uguale.
Lo puoi dimostrare?
Per la tua spiegazione puoi utilizzare la figura C.
CRITERIO
La soluzione proposta (schizzo e/o parole) evidenzia una delle seguenti riflessioni:
• al rettangolo (A) sono stati tolti due triangoli che poi gli sono stati riaggiunti (in posizione
simmetrica),
oppure
• due triangoli rettangoli vengono tagliati a sinistra e a destra del rettangolo e
poi vengono riattaccati (in posizione simmetrica)  trapezio; oppure
• soluzione algebrica, che indica l'uguaglianza della superficie del trapezio e del rettangolo.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Il propblema richiede la verifica oppure la giustificazione di una proprietà geometrica (figure
diverse, stessa area). La spiegazione può avvenire tramite schizzi, calcoli o con argomentazione a parole.
* Geometria IR11#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 27%, livello di competenza III
M92906
La superficie della terrazza raffigurata è 12 m2,
l'immagine è ridotta.
Luca dice che può ricoprirla con 12 pezzi quadrati
di prato artificiale di 1 m2 ciascuno, senza tagliarli.
Luc ha ragione? Disegna i quadrati di prato e
motiva la tua risposta.
Die Quadrate sind eingezeichnet und auf den ersten Blick als
solche erkennbar. Und zustimmende Antwort
SOLUTION
Da «Reflektieren der Resultate» im Vordergrund steht, wird keine exakte
Begründung eingefordert. Diese würde etwa lauten: Das Verhältnis von
Länge zu Breite ist 4 zu 3.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
145
Grandezze e misure IR11#1
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Perché queste affermazioni sono false?
CRITERIO
A
20 m > 10 cm2
B
1 m3 è un cubo
C
È possibile indicare la superficie di un parallelepipedo in cm.
Per lo standard di base si pretendono 2 motivazioni corrette (su 3). Possibili motivazioni:
A Non si può confrontare una superficie con una lunghezza
B Può anche avere un'altra forma, oppure può anche essere un parallelepipedo a base rettangolare, oppure spiegazioni simili
C La superficie può essere indicata in cm2 oppure la superficie non può essere indicata con una lunghezza
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Il problema richiede agli allievi di giudicare se le unità utilizzate sono adeguate alle situazioni
proposte. Per la soluzione di problemi di questo tipo è necessario avere un quadro chiaro su lunghezze, superfici e volumi oltre che sulle
relative unità di misura.
Grandezze e misure IR11#2
CRITERIO
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
A
Scrivi une frase che esprime
l'informazione riportata nell'immagine
(WC <-- 0.0006 km).
B
Perché l'informazione riportata appare
strana?
È accettata una delle seguenti motivazioni:
A Il gabinetto dista 0.006 km oppure 6 m
B in situazioni di questo tipo, di solito la distanza non viene indicata oppure questa distanza
andrebbe indicata in metri
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Il problema richiede di prendere posizione su una misura che in questo contesto è piuttosto
inconsueta. La risposta dovrebbe comunicare in qualche modo che l'unità indicata (km) non è adatta alla situazione.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
146
Funzioni IR11#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 85%
M92505
Lorena pesa un pezzo di legno di faggio di
20cm3 ottenendo 7g.
Cosa potresti dire a Lorena a proposito della
sua misurazione?
CRITERIO
È accettata una delle seguenti risposte:
• ha fatto errori di misurazione
• il materiale non è legno di faggio
• la densità di questo pezzo di legno è 0,35 g/cm3
• altre osservazioni che fanno notare che questa misurazione non è compatibile con le altre.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA La domanda fa parte di una serie di item riferiti allo stesso contesto; ciò facilita l’approccio e si
ripercuote positivamente sulla percentuale di riuscita. Gli allievi possono utilizzare la rappresentazione grafica per il controllo del risultato
oppure per il confronto con una nuova misurazione. Inserendo il punto di coordinate (20;7) nel sistema di riferimento proposto, è facile
scoprire che la misurazione effettuata da Lorena non è conforme alle altre misurazioni riportate nel grafico.
*Funzioni IR11#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 35%
M91705
Pedro ha 2 conti di risparmio con diversi tassi d'interesse:
9'000 franchi al 4% d'interesse.
3'000 franchi al 2% d'interesse.
Pedro dice che il suo intero capitale beneficia di un interesse medio del 3% e che può contare su u interesse
di 360 Fr.
Ha ragione? Giustifica!
SOLUTION
Nein Und
• Die Antwort macht klar, dass die unterschiedlichen Kapitalien den Zinssatz unterschiedlich
beeinflussen
Oder der effektive Zins (420 Fr) OR Zinssatz (3.5%) wird berechnet.
Oder andere Begründung
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
147
Analisi di dati e caso IR11#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 67%
Materie preferite
La tua idea è che i ragazzi preferiscono lo
«sport», mentre le ragazze danno pari preferenza
a «sport» e «educazione visiva».
Vorresti fare un’intervista per verificare questa
tua supposizione. Quali due domande, tra quelle
proposte, devi assolutamente inserire
nell'intervista?
CRITERIO
M90607
A
Quanti anni hai?
B
Sei un ragazzo o una ragazza?
C
Dove abiti?
D
Qual è la tua materia preferita?
E
Preferisci lo «sport» all’ «educazione visiva»
oppure queste due materie ti piacciono nella
stessa misura?
Risposte accettate: B e E oppure B e D (ma non B, D e E)
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
Questa domanda fa parte di una serie di item riferiti ad una situazione complessa.
L'interpretazione e la riflessione richieste si riferiscono alle cinque domande A – E e alla supposizione espressa. Gli allievi riflettono su come
confermare o confutare una supposizione (un risultato possibile) creando un questionario. Si noti che le domande A e C non hanno alcuna
relazione con la supposizione.
Analisi di dati e caso IR11#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 67%
M90908
La densità di popolazione del Vallese, 54 abitanti/ km2 , è una delle più basse tra tutti i cantoni.
Il Vallese però, con i suoi 283'000 abitanti, è anche uno dei cantoni più popolati.
Come si può spiegare questo fatto?
CRITERIO
È proposta una risposta del tipo:
• VS ha una vasta superficie
• oppure: VS è uno dei Cantoni più grandi
• oppure: nel VS ci sono molte aree non abitate
• oppure: dalla risposta risulta che la densità dipende dalle dimensioni del cantone.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA
Questa domanda è una fra le tante della serie di domande relative ad un situazioneproblema complessa imperniata sulla la popolazione residente in Svizzera. Qui è richiesta una riflessione per cogliere una relazione tra i dati
proposti in due colonne di una tabella demografica (che qui non è raffigurata) cioè di individuare la superficie come parametro di riferimento
tra la densità di popolazione ed il numero di abitanti.
* Analisi di dati e caso IR11#3
Percentuale di riuscita nel test 2007: 34%
M90304
Sulla base di un altro conteggio del traffico, Laura ha calcolato i seguenti dati. Andrea è dell'avviso che i
dati di Laura contengono almeno un errore. Tu cosa ne pensi? Giustifica.
Numero medio di auto l'ora
00.00 – 12.00
Numero medio di auto l'ora
12.00 – 24.00
Numero medio di auto l'ora
Tutto il giorn o
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
148
Mercoledì
35
Sabato
12
45
56
25
34
SOLUTION
Die Daten von Mittwoch sind nicht möglich.
(Fehler bei 45, 35 --> 25.)
Zum Beispiel wird erwähnt, dass der Durchschnitt für Mittwoch mindestens 35 betragen muss
bzw. nicht tiefer als der kleinere der beiden Werte liegen kann
Oder: Wenn der Durchschnitt so tief liegt (25) können die Werte 35 und 45 nicht stimmen
Oder: Andere Begründung, die die Daten vom Mittwoch in Frage stellt.
ESPLORARE E TENTARE | 11° ANNO
Numeri e calcolo EE11#1
L’uguaglianza
Percentuale di riuscita nel test 2007: 70%
a + b = 100
è vera per diversi valori di a e b, dove a e
b sono numeri naturali.
M92307
Quante addizioni ci sono la cui somma sia 100?
Descrivi come giungi al risultato.
Ad esempio è vera per a = 53 e b = 47
CRITERIO
Risposta attesa: andranno effettuate 50, 51, 99, o 101 addizioni, a seconda di come si conta (con
o senza lo 0, oppure se gli addendi scambiati contano due volte o meno). Si considera giusta
anche la risposta 100.
La soluzione deve mostrare, anche solo in parte, il procedimento utilizzato.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Svolgendo questo compito gli allievi esplorano la scomposizione additiva di un numero dato
(100) in due addendi, variando sistematicamente coppie di numeri. La generalizzazione del problema (quante scomposizioni in due addendi
esistono per il numero naturale n) esula dal livello dello standard di base, mentre una semplificazione del problema (ad es.: quante addizioni
sono possibili con somma 6 ?) pur essendo possibile, ridurrebbe di molto il carattere esplorativo della richiesta (si potrebbero scrivere tutte le
addizioni e poi semplicemente contarle).
* Numeri e calcolo EE11#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 28%, livello di competenza III
Come cambia il valore di una frazione positiva minore di 1 (come p.es.
6
10
M91905
) se
I
si aumentano di due unità il numeratore e il denominatore? Fai una crocetta sull’ affermazione
giusta, scelta fra le seguenti quattro.
 Il valore aumenta.
 Il valore rimane invariato.
 Il valore diminuisce.
 Non si può dire senza sapere numeratore e denominatore.
II
si raddoppia il numeratore, si divide il denominatore? Fai una crocetta sull’ affermazione giusta,
scelta fra le seguenti quattro.
 Il valore aumenta.
 Il valore rimane invariato.
 Il valore diminuisce.
 Non si può dire senza sapere numeratore e denominatore.
SOLUTION
I La valeur augmente
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
II La valeur augmente
149
Percentuale di riuscita nel test 2007: 65%
Geometria EE11#1
P1 e P2 sono due parallelepipedi
rettangoli con lo stesso volume.
c
b
M90702
Gli spigoli di P2 misurano 2a ; 0,5b ;c
P2
0.5b
a
CRITERIO
Gli spigoli di P1 misurano a, b, c
c
P1
2a
Determina la lunghezza degli spigoli di
un terzo parallelepipedo rettangolo P3
che abbia lo stesso volume di P1 e P2.
È proposta una soluzione in cui il prodotto dei tre lati sia abc. Esempio: 0.5a ; 0,5b ; 4c
Le lunghezze degli spigoli di P1 e P2 (1,1,1 e 2, 1, 0.5) non vengono accettae.
Il parallelepipedo non dev'essere disegnato.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Per la soluzione di questo problema è necessario conoscere come si può calcolare il volume di
un parallelepipedo. Occorre capire che basta fissare le lunghezze di due degli spigoli, per poi ricavare quella del terzo con il calcolo. Per
evitare calcoli troppo complessi si possono proporre soluzioni tipo 1/3a, b, 3c oppure 1/4a, b, 4c.
* Geometria EE11#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 65%, livello di competenza III
M90705
Determina la lunghezza degli spigoli di un parallelepipedo
rettangolo di 24 cm3 di volume e con:
A
Le lunghezze degli spigoli di questo
parallelepipedo rettangolo sono:
a = 2 cm
c = 6 cm.
Il suo volume misura quindi 24 cm3 .
SOLUTION
a =  cm; b =  cm, c =  cm
B
b = 2 cm
l’area totale maggiore di quella del parallelepipedo
raffigurato.
l’area totale minore di quella del parallelepipedo
raffigurato.
a =  cm; b =  cm, c =  cm
A
1 x 1 x 24 OR 1 x 2 x 12 OR 1 x 3 x 8 OR 1 x 4 x 6
Oder: gebrochene Grössen, eine der Längen ist grösser oder gleich 6.
B
2 x 3 x 4 OR andere (auch gebrochene) Längen.
Alle Strecken sind kleiner als 6 und grösser oder gleich 2, das Produkt ergibt 24.
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
150
Grandezze e misure EE11
Non testato (costruito secondo i criteri per lo standard di base)
Nella griglia sono disegnate due diverse
figure con area uguale a quella di una
casella.
Entrambe le figure hanno i vertici in
corrispondenza di punti del reticolo.
Disegna un'altra figura della stessa
grandezza.
CRITERIO
Risposta: ci sono numerose possibilità.
Oss. Tra l'altro l'area di tutti i quadrilateri, i cui vertici corrispondono a punti del reticolo e che
non hanno un punto del reticolo al loro interno della figura, misura 1 unità (casella).
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Il problema potrebbe anche essere associato al campo «Geometria». L'esplorazione con unità di
misura presuppone di saper utilizzare strumenti di misurazione. Pertanto molte situazioni di apprendimento si possono testare solo in misura
limitata con l'uso di carta e matita. Questo problema richiede di rappresentare in diversi modi l'area di 1 unità (1 casella).
Percentuale di riuscita nel test 2007: 73%
Funzioni EE11
Il 1° gennaio il signor Rossi apre un conto con
un capitale di 50'000 Fr.
Il tasso di interesse annuo è del 4%. Il 31
dicembre riceve il seguente interesse:
M91702
Un altro capitale gli frutta 1'000 Fr di interesse.
Quanto potrebbe essere il capitale e quanto il tasso
d'interesse? Scrivi due possibili soluzioni.
1a soluzione
Capitale C =
4% di 50'000 Fr =
4
• 50'000 Fr = 2'000 Fr
100
tasso
i=
Fr
%
2a soluzione
Il suo capitale
aumenta di 2'000 Fr passando
!
così a 52'000 Fr
Capitale C =
tasso
CRITERIO
i=
È proposta una soluzione corretta fra le tante possibili. Esempi:
C = 10’000, i = 10%
C = 20’000, i = 5%
C = 40’000, i = 2,5%
C = 80’000, i = 1,25%
C = 12'500, i = 8%
C = 25'000, i = 4%
C = 50’000, i = 2%
C = 100’000. i = 1%
E molte altre soluzioni come ad es. C = 28’571, i = 3.5%
Per tutte le soluzione deve valere: C • i = 1'000 (± 1 Fr)
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
151
Fr
%
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Il problema richiede un approccio esplorativo in una situazione di tipo inversamente
proporzionale. Uno dei due valori può essere scelto liberamente, mentre l'altro va calcolato in base a quello scelto. Alcune soluzioni, semplici
e facilmente reperibili, sono elencate sopra.
Analisi di dati e caso EE11#1
Percentuale di riuscita nel test 2007: 80%
Jeanine ed Olivier non si trovano d'accordo su chi
deve lavare i piatti. Così decidono di tirare una
monetina:
- se viene «testa» deve rigovernare Jeanine,
M91984
Purtroppo i due non trovano una monetina, ma solo
un dado con 6 facce.
Come possono usare il dado al posto della moneta?
- se viene «croce» deve rigovernare Olivier.
CRITERIO
È indicata una risposta del tipo:
3 facce contano come «testa» e 3 facce come «croce».
oppure: proposte concrete con 3 facce (ad es. 1, 2 e 3: testa; 4, 5 e 6: croce)
oppure: si considerano solo 2 numeri (p.es. 1 e 2) e si tirano i dadi finché non esce un 1 o un 2.
oppure: un altro esperimento sul caso, con un dado da gioco con due eventi di uguale probabilità.
CARATTERISTICA DEL PROBLEMA Gli allievi sono chiamati ad indagare una situazione semplice (lancio di un dado ideale con 6
possibili risultati) per cercare un nesso con il lancio di una monetina (con solo 2 possibili risultati). Poiché l'analogia tra monetine e dadi è
semplice, il problema può essere proposto come un «esperimento mentale». In caso di esperimenti più complessi, agli allievi dev'essere data
l'opportunità di svolgere personalmente l’esperienza prima di esprimere congetture sulle relazioni.
* Analisi di dati e caso EE11#2
Percentuale di riuscita nel test 2007: 22%
M92806.2
Per i numeri 123, 234, 156, 379 il valore delle cifre che li compongono aumenta da sinistra a destra,
mentre per i numeri 321, 335, 517, 688 non succede così. Nella tabella sono riportati i numeri da 100
a 400. I primi 13 numeri con sequenza di cifre crescente sono evidenziati.
A
Evidenzia almeno i successivi 9 numeri in cui le cifre che li compongono aumentano
da sinistra a destra.
B
Quanti numeri di questo tipo ci sono tra 100 e 999?
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
152
SOLUTION
Die Aufgabe wird mindestens nach Zahlen strukturiert
Oder: zwischen 100 und 200: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = [28] oder zwischen 200 und 300
strukturiert: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = [21]
Oder Zahlenterm für B: 1 • 7 + 2 • 6 + 3 • 5 + 4 • 4 + 5 • 3 + 6 • 2 + 7 • 1
Oder Folgende Zahlen sind markiert:
Allegato – Esempi di problemi HarmoS M11
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