Le applicazioni induttive del calcolo
della probabilità n
L'A, richiama la distinzione fondamentale, da lui stabilita fin
dal 1907, tra applicazioni deduttive e applicazioni induttive del calcolo della probabilità, delle une e delle altre riassumendo la storia.
Delle prime ricorda gli inconvenienti che portarono al cosidetto
{( scandalo dei geometri », da cui, per reazione, sorsero le seconde.
Di queste pure illustra le difficoltà e suggerisce le precauzioni che
devono accompagnarle e le verifiche che devono seguirle ai fini che
possano raggiungere H loro duplice scopo descrittivo ed euristico.
Mostra in particolare come il calcolo delle probabilità (che non
è che un travestimento del calcolo combinatorio) solo approssimativamente possa prevedere lo svolgimento dei fenomeni aleatori e
come solo il confronto empirico fra le sue previsioni e il comportamento dei giochi d'azzardo possa misurare tale approssimazione.
Si sotterma da ultimo sulle successioni dei numeri decimali, mostrando anche in questo campo l'approssimazione delle previsioni
del calcolo delle probabilità.
On revient toujours aux premières amours. In vena di confessioni, come alla mia età si conviene, devo dire che il mio primo amore fu per la teoria della probabilità.
Il titolo di questo discorso è presso che identico a quello del
mio primo articolo Contributi alle applicazioni statistiche del calcolo delle probabilità, [1] pubblicato sul" Giornale degli economisti », nel dicembre del 1907. E non fu un flirt superficiale.
Le tesi in esso presentate erano svolte ed applicate nel volume
su Il sesso dal punto di vista statistico [2], allora in corso di pubblicazione, che vide la luce l'anno seguente. Le sostenni nel congresso della Società filosofica italiana, tenuto a Parma nel settembre di
quello stesso anno, cimentandomi, non senza onore, con eminenti
cultori di scienze filosofiche e fisiche, che, sotto l'autorevole presidi Federigo Enriques, illustravano la società ed il congresso.
[3, 4, 5].
C) Testo della conferenza tenuta dell' A. presso l'Istituto centrale di statistica
corso della cerimonia in onore del suo ottantesimo anniversario.
I numeri fra parentesi quadre si riferiscono alla lista degli scritti dell'A. che fa
al testo della conferenza.
1060
Corrado Gini
Proprio in questi giorni, rispolverando gli archivi in vista di
una raccolta dei miei scritti sui fondamenti, dirò così filosofici,
della statistica, ebbi a riesumare un voluminoso manoscritto, in
cui la teoria logica e psicologica della probabilità era trattata a
fondo, tenendo presenti tutti gli scritti, da quelli dei primi classici
agli ultimi contributi di quel tempo.
L'Enriques, che ebbe la pazienza di leggerlo, desiderò allora
che ne ricavassi per la « Rivista di scienza" (Scìentìa), di cui era
condirettore, un riassunto delle conclusioni principali nell'articolo
Che cos'è la probabilità? [6].
Rileggendo adesso quella trattazione - messa allora da parte
perché divergente dall'indirizzo statistico che avevo risolto di dare
ai miei studi - ho constatato con vivo compiacimento che, a quasi
sessant'anni di distanza, il mio pensiero è rimasto sostanzialmente
invariato, cosicché essa sarà aggiunta all'edizione con cui i benevoli colleghi intendono ricordare questo purtroppo venerando compleanno.
E, senza menarne vanto, devo dire che quel mio amore non
restò allora incompreso.
Se, giovanissimo d'anni ed ancor più di aspetto, vissuto in
gran parte in campagna, alternando le visite all'Università di
gna con la vita sportiva, ignaro dell'ambiente accademico fino
punto da ignorare i nomi dei professori universitari della materia
a cui intendevo dedicarmi, allievo di un maestro, modello per
scienziosità scientifica e rettitudine, ma inviso ai colleghi
accentuate tendenze politiche e la scabrosità del carattere,
protezioni extra-universitarie e accolto come un intruso
ed indesiderato da una schiera compatta di competitori agguerritissimi, influentissimi ed ultraprotetti, fra cui alcuni,
ni-Turroni, Mortara e Beneduce di altissimo livello scientifico,
tuttavia potei, senza eccessive difficoltà, farmi strada fra
venire, primato effimero, per alcuni mesi il più giovane protesson
delle università statali italiane, fu certo in buona
l'impressione che la lettura dei miei scritti sulle probàbilità
loro applicazioni al sesso delle nascite e più
sostenuta al congresso di Parma, avevano sollevato
delle scienze esatte, che, col loro autorevole gll'UJIWJ,
non influire sui giudici dei concorsi di
CCJrnllèt(')I1fi§§
spesso in altri rami della disciplina, ma della teor-ia
lità pressoché digiuni.
Le applicazioni induttive del catcola della probabilità
1061
Nell'articolo sopra ricordato, io insistevo, credo per primo,
sulla differenza fondamentale che vi è tra le applicazioni deduttive
e le applicazioni induttive del calcolo della probabilità.
Applicazioni deduttive sono, ad esempio, quelle che si fanno,
probabilmente da decine di migliaia di anni, per prevedere i risultati dei giuochi d'azzardo. Poiché è certo che, fin da quando si son
cominciati a praticare tali giuochi (ciò che, dagli astragali, che tenevano il posto dei nostri dadi, venuti alla luce negli scavi archeologici, si pensa che avvenisse già 40.000 anni or sono), qualche valutazione si dovette pur fare delle probabilità dei vari risultati alternativi.
Valutate, in base alla struttura del gioco, codeste probabilità
degli eventi elementari, diviene possibile, a mezzo del calcolo delle
probabilità, prevedere quelle delle loro varie combinazioni, e ciò
in quanto le ipotesi che stanno a base del calcolo delle probabilità
sembrano le stesse che diressero la costruzione degli strumenti
del gioco. Giochi d'azzardo e calcolo delle probabilità ad essi inerenti sono probabilmente sorti insieme ed insieme certamente si
sono sviluppati, molto prima che, a nostra conoscenza, se ne occupassero gli studiosi.
Noi sappiamo che nell'antichità e nel Medioevo si giocava
sfrenatamente, così da provocare, per porvi un freno, l'intervento
delle autorità civili ed ecclesiastiche. 1 primi ricordi invece che si
hanno di applicazioni scientificamente precise del calcolo delle probabilità ai giochi d'azzardo risalgono poco dopo il mille negli scrittori arabi che, come è noto, costituirono il ponte tra la scienza dell'antichità classica e quella dell'età moderna. Di al-Gazali si ricorda
appunto la soluzione data a taluni problemi che si presentavano
nei giochi. Ma i problemi del gioco furono, indipendentemente, pare,
da ogni precedente, e con notevoli sviluppi, trattati dalla fine del
400 alla metà del 500 da un seguito di eminenti matematici italiani,
da Luca Pacioli a Tartaglia, a Cardano, a Peverone, e poi da Galileo
[7, 8, 9].
Solo a qualche distanza di tempo, tali problemi furono ripresi
approfonditi in Francia da Fermat e Pascal, ai quali, con manierrore, se ne è per lungo tempo attribuita la priorità, e, sulla
traccia, esposti organicamente da Huygens. Spetta a Cardano,
giocatore appassionato, il merito di essere assurto molto prima,
pratica dei giochi, a considerazioni scientifiche di carattere
zenerale sul calcolo delle probabilità, che lo possono far conside-
Corrado Gini
Le applicazioni induttive del calcolo della probabUità
rare il primo trattatista della materia. Ma le sue note, non rifinite,
disordinate, talvolta di difficile interpretazione, pubblicate, a distanza di un secolo, quando probabilmente erano già note le limpide considerazioni di Galileo ed erano stampate le lettere scambiate
tra Pascal e Fermat e anche l'opuscolo di Huygens aveva visto la
luce, non esercitarono verosimilmente alcuna influenza sullo sviluppo
della teoria [10 l.
della sua costruzione. E' evidente che egli non si è reso conto delle
difficoltà indiscutibili di estendere ai fenomeni giuridici, morali ed
economici i procedimenti del calcolo della probabilità collaudati
dalla multimillenaria esperienza dei giochi d'azzardo. Se egli aveva
brillantemente superato le difficoltà formali delle elaborazioni matematiche, non aveva esattamente misurato le difficoltà sostanziali
de:ivanti dalla diversa natura degli uni e degli altri. Ciò appare
chiaro dalla corrispondenza scambiata con Leibnitz [11 l.
La corrispondenza durò due anni e fu del tutto inconcludente.
Leibnitz era in quel tempo, sul continente europeo, una specie di
nume scientifico a cui, per quanto invitati, non ci si avvicinava
senza il turibolo dell'incenso. Da lui stimolato a trattare matematicamente dei vari giochi, Bernoulli rispondeva informandolo che da
molti anni egli aveva meditato sulla teoria della probabilità e gli
esponeva fiducioso l'oggetto del suo noto teorema. «Nescio, vir
amplissime ", non 'so, grandissimo uomo, egli concludeva, se a te
sembrerà che in queste mie speculazioni ci sia qualche cosa di
solido.
Rispondeva Leibnitz con cortesia e considerazione, pur mantenendo le distanze, ma facendo, più che circospetto scettico, le sue
riserve sulla possibilità di ottenere empiricamente una stima perfetta della probabilità negli argomenti giuridici e politici.
Bernoulli replicava un po' piccato, sostenendo di aver dato la
dimostrazione del suo assunto. Leibnitz ribadiva le sue obiezioni
a cui Bernoulli non rispondeva, pure riaffermando il suo punto di
vista. Frattanto la morte lo coglieva, esacerbato, oltre che dall'ingratitudine del fratello Giovanni, probabilmente dall'incomprensione del massimo esponente scientifico del tempo.
Tra i due !'incomprensione fu completa, e il motivo risulta
da una frase contenuta nella prima risposta di Leibnitz: "La stima
delle probabilità è utilissima, ma, negli argomenti giuridici e politici, più che le sottigliezze del calcolo, importa un'accurata enurnerazione di tutte le circostanze" . '
Scusabile, se non giustificabile, Bernoulli che, da buon matematico, attribuiva maggior importanza all'aspetto tecnico del suo
teorema, che alle difficoltà delle sue applicazioni al campo giuri.
morale e politico, a cui si proponeva di estenderlo. E' probabile che, se avesse avuto il tempo di portare a compimento, come
aveva in programma, questa parte dell'opera, avrebbe potuto cicon tali difficoltà e rifinire e condizionare il suo pensiero.
1062
Una rivoluzione effettua invece in questo campo l'opera di Giacomo Bernoullì, il quale, partendo dall'opuscolo di Huygens, che
riproduce, commenta e completa, estende le applicazioni del calcolo delle probabilità dai giochi d'azzardo ai fenomeni morali, giuridici ed economici, coordinando le une alle altre e sistemandole in
un trattato di valore fondamentale. Giacomo Bernoulli definisce il
concetto della probabilità, accortamente distinguendolo dalle sue
misure a priori e a posteriori, quella in base alla struttura del fenomeno, questa in base alla sua frequenza in un grande numero di
osservazioni. Si prospetta le difficoltà dell'una e dell'altra via e
della seconda in particolare segnala l'approssimazione crescente
col crescere del numero delle osservazioni, e, nell'intento di rnisurarla , formula il suo celebre teorema che, se non rispondeva veramente al problema propostosi, costituì ad ogni modo il passo decisivo verso la soluzione che un secolo dopo doveva darne Laplace
[11, 12].
L'Ars conjectandi, pubblicata postuma, costituisce un trattato
originale e completo delle applicazioni ai fenomeni giuridici, sociali ed economici (salvo le esemplificazioni che la morte impedì
al Bernoulli di svolgere) della teoria della probabilità, intesa come
un mezzo di indagine adatto a tutti i fenomeni della natura e della
società. Giustamente dunque viene considerato Giacomo Bernoulli
come il fondatore della teoria della probabilità. Quanto profitto
potrebbero trarre dalla sua lettura i moderni statistici che
mente spingono la loro conoscenza delle fonti statistiche a
delle guerre mondiali!
Ma non si può pretendere che Bernoulli tutto facesse, ed è
turale che, come tutti gli innovatori, fosse portato ad esagerare
portata delle sue innovazioni. Non è solo nell'avere presentato
suo teorema come lo strumento per risalire dalla frequenza
probabilità degli eventi, mentre rappresenta solo il mezzo
scendere dalla probabilità alla frequenza, che sta il lato
1063
Corrado Gini
Le applicazioni induttive dei calcolo della probabilità
Scusabile Leìbnìtz, se, senza conoscere del teorema che l'enunciato
comunicatogli dall'autore, non ne apprezzava adeguatamente la
tecnica delle elaborazioni e, non meno che matematico, filosofo, si
preoccupava della sua applicabilità.
Tale incomprensione, oltre che amareggiare gli ultimi giorni
di Giacomo Bernoulli, ebbe effetti deleteri sullo sviluppo della teoria della probabilità.
buon senso che un dì fu caposcuola - ora in parecchie scuole è
morto affatto
la scienza sua figliola - l'ha ucciso per veder com'era fatto ».
Effettivamente, parecchie delle conclusioni raggiunte nelle applicazioni del calcolo delle probabilità risultarono fondate, in quanto la struttura e lo svolgimento degli eventi considerati rispondevano più o meno approssimativamente alle ipotesi implicite nel calcolo delle probabilità; ma parecchie altre lasciarono perplessi o
diffidenti.
Sconcertanti soprattutto risultarono agli ingegni equilibrati
(1es esprits justes di Laplace) le conclusioni, da autore ad autore
divergenti, ma tutte poco persuasive, a cui si giungeva nelle applicazioni del calcolo alle deliberazioni dei collegi giudicanti e degli
altri corpi collettivi.
Né le sottigliezze dei probabilisti erano, d'altra parte, apprezzate in alto loeo. «Voi vi occupate degli Infinitesimi » - dicesi
aver detto Napoleone a Laplace, sollevandolo dalle cure del Ministero delle finanze che gli aveva affidato.
Alla fine il pubblico colto gridò allo « scandalo dei geometri »,
come allora si chiamavano i matematici, e pare verosimile la tesi
che esso abbia determinato un tempo di arresto nel rigoglioso sviluppo che la teoria delle probabilità aveva assunto.
Dicesi che Einstein, di fronte alle moderne teorie dei fisici indeterministi, abbia esclamato che non poteva persuadersi che Dio
giocasse ai dadi col suo creato. Non pare che alcuno degli eccelsi ingegni che coltivavano il calcolo delle probabilità nel suo cosiddetto
periodo d'oro, si sia reso conto della inverosimiglianza che la natura (ché allora Dio era ancora confinato in soffitta) regoli la sua
struttura e la sua evoluzione sugli schemi del calcolo combinatorio.
Per andare contro corrente ci voleva la pignoleria professionale di due ispettori della pubblica amministrazione francese, uno
dell'istruzione, l'altro delle finanze, personalmente amici, idealmente gemelli. Ma dopo tutto - si sarebbero domandati Cournot
Bienaymé - sarebbe poi fuori luogo riscontrare fino a che punto
deduzioni del calcolo delle probabilità si conformano ai fatti?
se la domanda esplicitamente non fu formulata, essa implìcìuunente risulta dal carattere dei loro scritti). Ma non pare che le
riserve trovassero eco di fronte alla travolgente autorità della
scuota di Laplace.
1064
Nelle mani dei matematici, i metodi rifiniti e sistemati da Giacomo Bernoulli sollevarono un entusiasmo sfrenato e dettero luogo
ad applicazioni indiscriminate in tutti i campi dello scibile, talvolta con l'ingenuità che spesso all'entusiasmo si accompagna.
Senza il calcolo delle probabilità -aveva scritto Bernoulli « nec sapientia philosophi nec historici exactitudo, nec medici dexieritas aut politici prudentia consistere queat ", e Condorcet sperava
che per opera sua « notre raison cesserait d'étre l'esclave de nos
impressions ", liberazione ovviamente ben pericolosa, ché, scartate
le impressioni, non resta che fare appello alla fantasia.
Dagli errori di osservazione nelle scienze fisiche alle oscillazioni del rapporto dei sessi nelle nascite e nelle morti, dalla distribuzione dei colpi sul bersaglio, ai rapporti delle nascite illegittime
al totale dei matrimoni e dei nati, dalla teoria meccanica del
alla distribuzione delle varie forme di suicidio, dalla teoria cinetica
dei gas alla percentuale dei semi sterili e alla misura della purezza
delle sementi, dalla frequenza di certi caratteri aberranti
mogli delle piante alle sentenze dei giudici e alle risoluzioni
a maggioranza di voti dagli altri corpi collegiali, tutto era <ntte,rir,C
sto al calcolo delle probabilità per averne le norme e le prèvìsìonl.
Con la pretesa di dedurre dalla probabilità dei f1~rzJn:;~;;ç~i
mentari la descrizione e la previsione di tutti i renornem
e sociali, per complessi che fossero, ci si era illusi
tft:Jyilti:i
nel calcolo della probabilità, la leva che poteva sollevare
delle conoscenze. Ma mancava spesso il
app(]'gg~(),
avrebbe dovuto essere il buon senso.
«La théorie de la probabilité --'- aveva
au [ond que le bon sensréduit au calcul:
exactitude ce que les esprits justes sentent par
sans qu'ils puissent souvent s'en rendre
detto calzantemente il nostro Giusti, se
1065
Corrado Gini
Le applicazioni induttive del calcolo delia probabilità
Ma, se la scuola di Laplace dominava, e in un certo senso opprimeva, gli sviluppi del pensiero nel suo paese nel campo della
teoria delle probabilità, fecondava le iniziative di paesi stranieri,
dando luogo a quella che può considerarsi la seconda rivoluzione
nel campo della teoria delle probabilità.
Era ancor vivo Laplace quando dal Belgio venne a Parigi un
irrequieto indagatore, già maturo di anni e di studi, dal curriculum
quanto mai singolare. Premiato fin dal liceo per l'abilità nel disegno, di cui poi aveva dato lezioni; laureato con una tesi in geometria che aveva riscosso il plauso degli specialisti, egli aveva poi
insegnato, oltre che disegno e geometria, calcolo delle probabilità,
calcolo differenziale e integrale, astronomia 'e fisica, nonché storia
delle scienze, di cui aveva anche pubblicato un vero e proprio trattato e che seguiva in modo continuativo come membro e ben presto
come segretario dell'Accademia di scienze e belle lettere di Bruxelles. Ma solo per assicurarsi l'indipendenza economica, egli si dedicava a tali svariati insegnamenti, ché il suo sogno era di brillare
come poeta ed artista. Componeva versi, era stato in uno studio
di pittore, suonava il flauto, aveva prodotto drammi, 'e si sarebbe
certamente dedicato con successo a tale attività artistica e letteraria se il Garnier, venuto di Francia a Bruxelles ad occupare la
tedra di matematica ed astronomia, non avesse definitivamente
canalato la sua esuberante attività verso queste materie. uncartcato
della fondazione ed organizzazione e poi della direzione
torio astronomico di Bruxelles da lui proposto, egli aveva, nelle
della realizzazione del progetto, intrapreso rilevazioni di
meteorologia e, in dipendenza con i fenomeni meteorologici,
ranica, dando i primi saggi di statistica meteorologica e hl,nm,pt,c;".
Inviato a Parigi per iniziarsi alìa pratica degli strumenti
nornìcì, pur non trascurando la sua missione, era
c6rita't,
to con Laplace, Fourier, Poisson, Lacroix,
pensioni per il calcolo delle probabilità e fondendole
per le rilevazioni statistiche. Certo, se c'era
uscire la teoria delle probabilità dagli scllennì
combinatorio ed adeguarla alla realtà dei renomern naturai:
ciali, questi era Adolfo Quetelet. Va a lui non
stato il fondatore dell'indirizzo moderno
di avere diretto il censimento della pc,pc,la:zio,ne
avere promosso ed organizzato i congressi int:eTnaziC~hfl1i
tistici, ma anche quello, che qui più dìrettamente
avere dato il primo esempio delle applicazioni induttive del calcolo
delle probabilità che ben può dirsi abbiano costituito una seconda
rivoluzione in questo campo (l).
1066
1067
Ma qual'è dunque la loro fondamentale differenza dalle allora
tradizionali applicazioni deduttive? Nel caso, ad es., delle stature,
il probabilista vecchio stile, conosciutone lo scostamento quadratico medio, ne avrebbe dedotto, in base alle relazioni che il calcolo
delle probabilità insegna intercorrere fra i vari scostamenti, qual'è
la probabilità di ottenere uno scostamento uguale ad una frazione
del detto scostamento quadratico medio oppure ad un suo multiplo, descrivendo così una curva della distribuzione del carattere
che però era puramente ipotetica, basandosi sulla supposizione che
il carattere seguisse la curva degli errori accidentali.
Quetelet, invece, verificò la distribuzione delle stature, non
solo, ma di una serie di fenomeni meteorologici e soprattutto antropologici, accertando che essi seguivano veramente, con buone,
approssimazioni, la curva degli errori accidentali. Egli poteva così
operare sui dati osservati secondo le norme che il calcolo delle
probabilità aveva indicato per detta curva, non solo, ma poteva anche trarre, dalla coincidenza delle due distribuzioni, deduzioni sulla struttura dei caratteri studiati [13, 14].
Per detti fenomeni, come per le misure di quantità fisiche affette da errori accidentali, egli concludeva che deve esservi una
causa comune costante, perturbata, nelle sue manifestazioni nei
casi individuali, da un complesso di fattori fortuiti, mutuamente
indipendenti.
Per i caratteri antropologici in particolare la media avrebbe
espresso l'effetto di fattori ereditari comuni a tutti gli individui,
mentre gli scostamenti individuali dalla media avrebbero rappresentato l'effetto di fattori ambientali, da individuo a individuo diversi.
E' singolare che, mentre il Quetelet aveva avvertito l'opportunità di ricerche induttive per le grandezze mìsurabili o, come suol
dirsi, estensive, quali la statura, le temperature e via dicendo, conad eseguire applicazioni deduttive del calcolo della probacurioso come la fama internazionale del Quetelet sorpassi di gran lunga
1~(lf~:~~~er~~~~~ che ha avuto ed ha in patria. forse per l'antipatia sollevata dalla
il
curiosità di sottoporre a misura tutte le dimensioni del corpo umano, in
periodo in cui nella buona società (all'infuori, s'intende, dell'alcova) non era
l'anatomia dal collo alle caviglie.
Corrado Gini
Le applicazioni ìnduttive del caicolo deila probabilità
bilità per le grandezze enumerabili o intensive, quali la frequenza
di maschi nelle nascite, le cui variazioni supponeva, senza verifica,
aver luogo secondo lo schema bernoulliano.
Fu merito di un attuario francese, il Dormoy, e di un insigne
economista e statistico tedesco, il Lexis, di avere alcuni decenni dopo
introdotto anche in questo campo le applicazioni induttive [14].
Lexis, in particolare, studiò a fondo la questione, dando luogo
a quella che fu chiamata la teoria della dispersione.
Egli accertò che il rapporto dei sessi nelle nascite della specie
umana presenta, da intervallo a intervallo di tempo o da circoscrizione a circoscrizione territoriale, variazioni comparabili a quelle
accidentali che si riscontrano nei rapporti tra le palle di due colori
estratte da un'urna e rimessevì dopo ogni estrazione. Ne concludeva
che la probabilità di una nascita maschile era costante nel tempo
e nello spazio e dipendeva completamente dalla donna che avrebbe
prodotto uova dei due sessi in proporzione costante o variabile
accidentalmente.
Sia le conclusioni di Quetelet sia quelle di Lexis erano errate,
ma ciò non deve oscurare i loro meriti. Di ogni cosa il principio
è il più importante e pertanto difficilissimo, ma l'aggiungervi è facile, aveva ben detto Aristotele con una sentenza che Tartaglia assunse a sua divisa. E' una sentenza che dovrebbero ricordare
statistici moderni, che credono di essere superiori ai loro predecessori per aggiungere qualche cosa ai metodi che quelli hanno
dotto, quali mosche che, posate sulla testa dell'aquila, si
volare più in alto.
Sbagliava Quetelet nel ritenere che i caratteri
zione che si distribuiscono secondo la curva degli
tali, hanno cause ereditarie, comuni a tutti gli
riscono tra loro solo per effetto delle condizioni <li anlOJ.~lJ~'"
sperimentalmente dimostrato che ciò è vero solo
vale a dire per la discendenza di animali monoicì
dano o di individui partenogenetici, mentre
nelle monoìche a fecondazione incrociata gli Indìvìduì rliff."risc<
anche per caratteri ereditari. Né, ad
sultò perfettamente esatto che le curve dei renorueur
triei si unìformino alla curva degli errori accicenran
male, ché in realtà da questa si discostano
frequenza dei valori centrali e dei valori ""trelni.
dei valori intermedi, dando luogo a una
seconde
caratteri, più o meno ìpemormale, Fortissima è l'ipernormalità per
la rifrazione dell'occhio, di cui si dà una spiegazione plausibile
considerando che la curva rappresenta la risultante di tre curve,
che possono anche essere tutte normali, una centrale, corrispondente al tipo più frequente, emmetropico, e due laterali, corrispondenti
ai due ectipi dei miopi e degli ìpermetropi.
Analogamente, più approfondite ricerche statistiche misero in
luce che la composizione per sesso delle figliolanze dipende sì, in
gran parte, dal caso, ma non dipende solo dal caso, in quanto le
varie coppie matrimoniali presentano una propria tendenza a produrre prevalentemente maschi o femmine, tendenza che, d'altra
parte, sembra variare nel corso della generazione, mentre il progresso delle scienze biologiche mise fuori discussione che, in contrasto con la conclusione di Lexis, il sesso non è predetermìnato
nell'uovo della donna, ma è determinato all'atto della fecondazione
dallo spermatide del maschio che presenta due tipi, uno ginogeno e
l'altro androgeno.
Anche, in questo caso, elaborazioni statistiche eseguite con
procedimenti più sensibili hanno pure messo in evidenza come in
realtà la dispersione del rapporto dei sessi nel tempo non sia esattamente corrispondente a quella prevista dal calcolo delle probabilità, in quanto una certa solidarietà sussiste tra i rapporti dei
sessi nelle nascite degli Intervalli successivi.
1068
1069
Tutto ciò mostra che ·le applicazioni induttive del calcolo delle
probabilità non sono affatto semplici, come a prima vista potrebbe
parere, e suggerisce un esame approfondito delle condizioni che
esse presuppongono e delle precauzioni che esigono. Esso sarà
tanto più utile in quanto le applicazioni induttive del calcolo delle
probabilità non sono che un caso particolare di quei modelli che
hanno preso tanta voga negli ultimi anni nelle soienze economiche
e sociali, ma che purtroppo vengono spesso applicati senza l'osservanza delle condizioni e precauzioni che ne renderebbero attendibili i risultati [15].
E' opportuno a tal punto richiamare quali sono gli scopi delle
applicazioni induttive del calcolo delle probabilità:
a) il primo scopo è descrittivo. Esse ci mettono in grado di
decidere se i fenomeni considerati si conformano o meno al calcolo
probabilità e se quindi possono, mediante questo, essere rap-
Corrado Gini
Le applicazioni induttive del calcolo della probabilità
presentati con maggiore o minore approssimazione e rettificati, se
del caso, introducendo, nei parametri che col calcolo delle probabilità vengono determinati, opportuni coefficienti per tener conto
delle divergenze. Interessa avere uno schema quanto più possibile
semplice e fedele della distribuzione del fenomeno considerato, che
possa assumersi come la legge della sua distribuzione.
tre che in base alla loro fedeltà, in base alla loro utilità da altri
punti di vista, che possono d'altronde variare da ricerca a ricerca;
1070
b) il secondo scopo 'è euristico. Dal confronto tra i risultati
osservati e quelli previsti mediante il calcolo delle probabilità, ci
si può render conto se le distribuzioni dei lenomeni osservati sono
spiegabili con le ipotesi che del calcolo delle probabilità stanno alla
base o con altre che possono a queste essere sostituite, oppure se
esistono fattori sistematici di divergenza, che ulteriori ricerche potranno determinare.
A raggiungere tali scopi possono essere utili le seguenti considerazioni:
1) è opportuno che, nel tracciare lo schema probabilistico, si
tenga conto di tutte le circostanze note, così da ottenere la massima conformità dei dati teorici ai dati osservati. Non solo ciò risponde allo scopo descrittivo, ma facilita anche il raggiungimento dello
scopo euristico in quanto, più le differenze tra la teoria e le
vazioni sono limitate, e più è facile rendersi conto delle loro cause
2) è nello stesso tempo consigliabile di proporre uno '~J.JCJJJ"
quanto più semplice possibile, in quanto la scienza ha appunto
scopo di condurre a rappresentazioni semplificate della
Evidentemente la fedeltà della descrizione e la 'C1JJjJJJ~1
formule che la esprime possono essere antitetiche:
condo i casi, dare la preferenza all'uno o all'altro requìsito
sto io propendo per dare la preferenza al secondo.
plicati sono da evitare, non solo perché non nS'pC>llClOIIU
mia di pensiero che la scienza intende reanzzare,
rendono più difficile il raggiungimento
confronto a formule complicate, che implicarla
sono pertanto da preferire formule
:a1:tàcdirll:é.ll.t<
fedeltà - si potrebbe dire - non deve condurre
Avviene spesso, d'altra parte, che possano ngualmente 111'8
parecchi schemi diversi, ma equivalenti
semplicità: tra essi, la scelta potrà opportunamente
1071
3) una terza esigenza è quella di procedere a verifiche delle
conclusioni, in modo da essere certi che esse non abbiano un valore limitato ai casi osservati nella ricerca in questione, ma posseggano una validità più generale, sia, nella stessa ricerca, per un
campo di osservazione più vasto, sia per altre ricerche.
E' da osservare, a proposito così di questa esigenza, come dei
requisiti sopra segnalati, che molto diverse sono le condizioni nelle
scienze sociali e nelle scienze naturali. In particolare in quella par.
te della fisica che si occupa delle più minute particelle della materia, lo scienziato lavora su un terreno pressochè vergine e quindi è
facile per esso tener conto di tutte le circostanze note, mentre
ciò presenta generalmente grandi difficoltà nelle scienze sociali. D'altra parte, le scienze fisiche hanno a loro disposizione una fitta rete
di laboratori in cui gli schemi proposti possono essere prontamente
sottoposti a verifica, ciò che non è invece possibile per le scienze
sociali, non solo per la mancanza di una rete analoga, ma anche
per la maggiore complessità dei fenomeni studiati. Queste due circostanze dovrebbero esser tenute ben presenti dai cultori di scienze
sociali, che credono di realizzare un progresso imitando i cultori
delle scienze fisiche nella costruzione dei modelli. In realtà essi li
imitano molto male, sia perché non tengono generalmente conto
di tutte le circostanze note, spesso molto complicate, sia perché,
proposto uno schema e dedottene certe conclusioni, non si curano
poi di sottoporle a verifica. Ogni branca scientifica deve far uso dei
metodi che le sono appropriati. E' questa una condizione essenziale di successo.
E' necessario precisare, a questo proposito, qual'è la portata
della verifica dello schema probabilistico adottato [14].
Dato che la verifica risulti positiva, essa permette di ~ffer­
mare che lo schema fornisce una spiegazione sufficiente dei fenomeni osservati, ma non la spiegazione necessaria.
L'errore di Quetelet, come quello di Lexis, è stato di non esserben reso conto.
E' vero che, se le manifestazioni di un fenomeno sono domi.
nate da una causa costante per tutte le osservazioni eseguite, ma
sono perturbate da un complesso di cause variabili che agi-
1072
Corrado Gini
scono con reciproca indipendenza da gruppo a gruppo e da individuo a individuo, Ia distribuzione del fenomeno assume la forma
della curva degli errori accidentali; ma non è detto affatto che sia
vero l'inverso.
Una curva uguale a quella degli errori accidentali può verlfìcarsi anche con altre ipotesi. Nel caso dei caratteri antropometrici,
è risultato che i fattori ereditari, che, secondo il Quetelet, avrebbero
dovuto essere costanti per tutti gli individui della specie, differiscono invece secondo le sottospecie, le razze, le famiglie, le combinazioni cromosomiche che hanno luogo nella fecondazione, verosimilmente seguendo una curva che, se non è esattamente quella degli
errori accidentali, è di un tipo analogo. L'influenza dei fattori ereditari, sommata a quella dei fattori .ambientalì, determina la distribuzione osservata, che alla curva degli errori accidentali approssimativamente si conforma, pure differendone per essere, come si è detto, più o meno ipernormale.
Similmente è vero che, se la probabilità di un evento resta costante nel tempo e nello spazio e il verificarsi dell'evento in un
caso non influisce sul suo verificarsi nei casi successivi, la dispersione delle frequenze dell'evento nei vari intervalli di tempo e nei
vari territori risulta normale, ma non è vero l'inverso.
Le applicazioni induttive di Quetelet e di Lexis rispondevano,
nella maggior parte dei casi, con sufficiente approssimazione al
scopo descrittivo, ma hanno completamente fallito al loro
euristico.
Per che le applicazioni induttive 'rispondano al loro scopo
stico, è necessario, non solo che si verifichi la corrtspondenza
distribuzione osservata e la distribuzione prevista
schema probabilistico, ma anche che trovino riscontro
tutte le singole ipotesi che lo schema teorico presuppone,
della distribuzione delle stature e degli altri
a.Illtr(jp()Ili~triei, l'ipotesi di una causa costante rappresentata
tari non risultò rispondente ai fatti; nel caso
rapporto dei sessi nelle nascite o nelle morti
rispondente ai fatti l'ipotesi che la probabilità
singoli casi e neppure quella che i casi
l'altro completamente indipendenti.
E' tutt'altro che facile, però, nei f~:O;~~:;dii;:verifica di tutte le ipotesi che lo schema
tendere come solo per pochi fenomeni
Le applicazioni induttive del calcolo della probabilità
1073
del calcolo delle probabilità sieno state sfruttate dal punto di vista
euristico. Finora, che io sappia, uno sfruttamento adeguato si è
avuto solo per i rapporti dei sessi nelle nascite, ma è certo che,
col progredire delle nostre conoscenze e col raffinarsi dei metodi
statistici, questo Indirizzo potrà dare alla scienza contributi più
notevoli.
Credo che valga la pena di ricordare i risultati che si sono via
via ottenuti a proposito del rapporto dei sessi nelle nascite umane.
L'idea che l'approssimativa corrispondenza della dispersione
effettiva con la dispersione teorica dimostrasse la rispondenza e
realtà delle ipotesi implicite nel calcolo della dispersione teorica,
aveva portato, come si è ricordato, 11 Lexis ad ammettere che Ia
probabilità di una nascita maschile fosse costante per tutte le
donne, o tutt'al più variasse dall'una all'altra accidentalmente, e
che le differenze che si osservavano tra i rapporti dei sessi nelle
nascite dei diversi paesi o delle diverse categorie di popolazione
(per es. nascite legittime ed illegittime) fossero dovute ad una diversa frequenza degli aborti tra cui i maschi sono più largamente
rappresentati. Questa tesi 'era stata largamente accolta e confermata da statistici di valore, quali ilCiuproff e .il Wedervang, ma
d'altra parte criticata, in base a ricerche più precise, dal Ciocco e
dal Boldrini che ne dimostrarono, se non l'ìnfondatezza, certamente I'ìnsufficìenza.
D'altra parte, il Poisson e il von Bortkievic avevano messo in
evidenza che una dispersione normale di una serie cronologica di
rapporti di frequenza, in generale, e dei rapporti dei sessi nelle nascite, in particolare, si può verificare anche se le probabilità dell'evento variano da categoria a categoria della popolazione, quando
le probabilità parziali, relative alle singole categorie, presentano
nel tempo dispersione normale e le categorie di popolazione a cui
si riferiscono variano esse pure con dispersione normale. Chè, se
dette categorie rimangono numeticamente invariate o variano con
dispersione subnormale, la dispersione delle probabilità medie
della serie risulta pure subnormale.
Un'altra applicazione induttiva del calcolo delle probabilità
messo d'altronde in bella luce che la probabilità di produrre i
sessi è diversa non solo da categoria a categoria di popolazione.
anche da famiglia a famiglia. Effettivamente le forti differenze,
si riscontrano nella composizione sessuale delle fratellanze, dì-
1074
Corrado Gini
pendono bensì, come già ho accennato, in gran parte dal caso, ma
in una parte non trascurabile (che, da alcune rilevazioni, risult~­
rebbe dal lO al 15 per cento) da una diversa tendenza delle vane
coppie a produrre i due sessi [2], e una ulteriore applicazione. i~dut­
tiva del calcolo delle probabilità, usufruendo del metodo del rìsultati ha messo in luce che tale tendenza delle singole coppie a produrre l'uno piuttosto che l'altro sesso non resta costante nel corso
della generazione, ma mostra una tendenza a variare nel senso
che, nelle nascite future, vi 'è probabilità che sia maggiormente rappresentato il sesso che nelle precedenti era più scarso [16].
Conseguenza di tale tendenza compensatrice è che, nelle fratellanze incomplete, le frequenze delle varie combinazioni dei sessi differiscono dalle frequenze teoriche più che nelle fratellanze complete.
Subnormale - sia detto per incidenza - risulta invece generalmente la dispersione dei rapporti dei sessi nelle covate dei mammiferi pluripari, probabilmente in connessione col fatto che, fra
gli spermatidi androgeni o ginogeni contigui, sussiste ancora nell'organismo della femmina una traccia della ripartizione rigorosam~nte
equalitaria che tra essi si verifica all'atto della loro maturaznone
[ 17].
Un' altra tendenza alla compensazione si verifica tra i rapporti
dei sessi dei nati registrati in giorni successivi. Essa pure è emersa
da un'applicazione induttiva del calcolo delle probabilità, basata
sul confronto delle probabilità teoriche con le frequenze effettive
delle sequenze dei rapporti sessuali crescenti o· decrescenti nei giorni
successivi quali risultano dai registri dello stato civile [18]. Se
desume che il rapporto dei sessi nelle nascite di un giorno
indipendente da quello del giorno precedente, ma tende a var-iare
in senso inverso, ciò che può spiegarsi col fatto che, se in
figurano registrati più maschi o per una variazione accìdentaìe
per uno spostamento nelle registrazioni, ne restano
strare nei giorni immediatamente successivi.
Di mano in mano però che l'unità di te m rio
estende, passando dal giorno alla decade e dalla uecaue
più lunghi, la tendenza compensatrice ben
annulla'
periodi mensili, annuali, quinquennali,
una crescente tendenza continuativa che
gazione nella tendenza del rapporto dei sessi
direzione. Quando queste tendenze
agiscono nell'interno dei singoli termini della
Le applicazioni induttive del calcolo della probabilità
1075
la dispersione, esse possono, come dicevamo, essere compensate da
altre tendenze senza alterare la normalità della dispersione. Ma
quando investono più termini della serie, esse determinano, nella
serie, variazioni che tendono a rendere la dispersione supernormale,
E' probabilmente dovuta a tali variazioni la lieve ìpernormalità
che, nella media dei casi, si è riscontrata nelle serie cronologiche
dei rapporti dei sessi nelle nascite umane.
Se si ammette - ed è difficile non ammetterlo - che la tendenza a produrre l'uno o l'altro sesso sia influenzata dalle condizioni di amhiente naturale e sociale, la constatazione di una quasi
assoluta stabilità dei rapporti dei sessi attraverso il tempo, suggerisce che entrambi i genitori abbiano un'influenza nella determinazione del sesso nella prole, e che le variazioni nelle loro tendenze, determinate dai fattori ambientali, si compensino, ché altrimenti andrebbe crescendo attraverso le generazioni la rappresentanza del sesso che ha influenza prevalente [2].
Non contrasta con tale conclusione il fatto bene stabilito che,
nella specie umana, come in molte altre specie, vi sia un'eterogametia maschile cosicché vengono a maturazione spermati di di due
tipi, di cui uno androgeno e l'altro ginogeno, in quanto le condizioni dell'uovo possono avere, e tutto fa credere che abbiano, influenza decisiva sul sesso del nascituro, dando più o meno facìlmentre accesso all'uno o all'altro tipo di spermatidi [19,20].
Ma perché - potrà domandarsi - nelle scienze sociali non
solo, ma anche nelle scienze fisiche, gli schemi continuamente si
rinnovano e, dopo poco tempo che uno schema è stato adottato,
viene messo da parte come insufficiente od errato?
Ciò dipende da varie cause, che in parte consistono in deficienze della nostra mente, in parte nei progressi della scienza.
Dipende anzitutto da un progresso delle nostre conoscenze.
Non si può fare torto a Quetelet se credeva che tutti gli individui
di una specie avessero lo stesso patrimonio ereditario, né a Lexis
se ammetteva che il sesso del neonato dipendesse solo dall'uovo
della donna, e la probabilità di produrre l'uno o l'altro sesso per
le varie donne fosse costante o tutt'al più variasse solo accìdentalSe queste tesi si dovettero scartare, ciò fu dovuto ai progressi delle scienze biologiche, che Quetelet e Lexìs non potevano
Corrado Gini
Le applicazioni ìnduttive del calcolo del/a probabilità
Altra ragione per cui uno schema sovente si abbandona è perché si è divenuti più esigenti sulla concordanza che gli schemi teorici devono presentare con i dati osservati, e ciò sia perché i dati
osservati sono diventati più precisi, sia perché le nostre ricerche
si sono raffinate. Da ciò dipende il fatto che Quetelet, e dopo di lui
tanti altri, per molto tempo ritennero che le curve di statura o
di altri caratteri antropologici seguissero esattamente la curva degli errori accidentali, mentre poi per la statura, data la molteplicità
delle applicazioni, si può affermare con certezza e per molti altri
caratteri antropologici con verosimiglìanza, che la distribuzione
è ìpernormale,
Non ci si deve però nascondere che altre volte lo schema deve essere abbandonato perchè in realtà, nel formularlo, non si era
avvertita qualche ipotesi che ad esso risulta invece essenziale, oppure perché qualche ipotesi era stata avvertita, ma le si attribuiva
portata trascurabile, mentre questa è importante, se non decisiva.
Già nel 1908, io osservavo che tale teorema non è che approssimativo e ne deducevo, senza però approfondire la questione, che
approssimative dovevano essere quasi tutte le conclusioni che su
esso si basano [6]. E sia pure; non credo che si troverà molta difficoltà ad ammetterlo. Ma un altro problema più ostico si pone. Sono
le divergenze che ne seguono a loro volta accidentali e quindi trascurabìlì, per lo meno in un grande numero di osservazioni, oppure sono sistematiche? E' noto che vi sono autori che hanno sostenuto che i risultati dei giochi d'azzardo non si conformano alle previsioni del calcolo delle probabilità. Fra gli altri, il prof.
Marbe, di psicologia all'Università di Wiìrzburg, ha scritto in proposito centinaia di pagine con conclusioni che sono state criticate
e contraddette, in qualche altro centinaio di pagine, da probabilisti di chiara fama. A me pare che, nel caso specifico, i critici avessero ragione. Ma si trattava per verità di applicazioni a particolari
misure dei fenomeni collettivi, che non risolvono il problema. Questo merita di venire ripreso.
Perché il teorema della probabilità composta è solo approssimativo? E' nota la sua dimostrazione. Si parte dalla misura della
probabilità data dalla così detta definizione matematica, ma il giudizio non cambia se si parte dalla definizione empirica.
Se m sono i oasi favorevoli ed n i casi possibili di un evento
a, ed r ed s rispettivamente i casi favorevoli ed i casi possibili di
un evento b, qual'è la probabilità del loro concorso, supposto che
i due eventi sìeno indipendenti, vale a dire associati a caso? Poichè i due eventi sono indipendenti, ognuno degli n casi possibili
dell'evento a e in particolare ognuno degli m casi favorevoli allo
evento a potrà ugualmente associarsi con ognuno degli s casi possibili dell'evento b e, tra questi, con ognuno degli r casi favorevoli all'evento b. Si avranno quindi mr casi favorevoli al concorso dei fenomeni a e b sopra ns casi possibili. Senonché la conclusione « si
avranno» non segue logicamente dalla premessa: seguirebbe se noi
sostituissimo l'espressione «potrà ugualmente associarsi» con la
espressione « dovrà ugualmente associarsi », ma, se i casi del fenoa dovessero combinarsi con i casi del fenomeno b in un certo
modo, allora non sarebbero più indipendenti e, se sono indipendenti,
non si può dire che debbano combinarsi in un modo piuttosto che
un altro.
1076
E qui vengo alla parte più delicata del mio discorso.
Siamo noi sicuri che, nelle applicazioni del calcolo delle probabilità, non solo ai fenomeni economici, giuridici, morali e sociali, ma anche ai fisici e agli stessi giochi d'azzardo, suo incontrastato dominio ultramillenario, con sia insita qualche ipotesi che
ci è finora sfuggita?
Valga il vero. Si dice che il calcolo delle probabilità ha il compito di determinare, pure avvertendo che l'espressione può apparire contraddittoria, le leggi del caso. Effettivamente nella pratica
il compito essenziale del calcolo della probabilità è di
la portata dei fattori accidentali. Senonchè il calcolo delle probabilità non è che la espressione soggettiva del calcolo comblnatorto
non vi è proposizione del calcolo delle probabilità
formularsi in termini di calcolo combinatorio.
Ora, nel calcolo combinatorio il caso non
le combinazioni sono regolate da leggi ferree, ìnderogàbllì.
mai si può pretendere di calcolare la
di un calcolo che la esclude? Dove sta il
passa dalle distribuzioni combinatorie alle di~;triibuLzi<)hi aleatc.rie
Qui sta il problema.
Il salto sta - io credo - nel così detto ti',w"ma
bilità composta [21].
1077
Corrado Gini
Le applicazioni induttive del calcolo della probabilità
Nel teorema della probabilità composta si sostituisce dunque
inavvertitamente alla distribuzione combinatoria, per cui il teorema vale, la distribuzione aleatoria per cui non vale.
Quello che pare di poter dire è che la distribuzione aleatoria, col crescere del numero di casi considerati, tende alla distribuzione combinatoria. In altre parole, la distribuzione aleatoria
può riguardarsi come un campione estratto a caso dalla distribuzione combinatoria che rappresenterebbe l'universo.
Ricordiamo ora che il valore probabile o medio del campione corrisponde al valore medio dell'universo. Ricordiamo
pure che le applicazioni del prof. Marbe e le critiche che ad esse
si riferiscono riguardano in sostanza le frequenze medie o probabili dei vari risultati dei giochi d'azzardo. Senza studiare a fondo
i suoi ponderosi scritti e le voluminose loro critiche, sono quindi a
priori incline a riconoscere che, nel caso specifico, il Marbe aveva torto e i suoi eminenti critici ragione.
Ma il calcolo delle probabilità non si applica solo a determinare i valori medi o valori probabili.
Esso ha il compito di determinare anche altre costanti,
per esempio le misure della variabilità e della connessione. Ora, il
valore probabile della varianza del campione, misurata dalla media del campione, come è noto, non è uguale alla varianza dello
universo, ma sistematicamente inferiore, e il valore probabile della connessione del campione non è affatto uguale alla misura della
connessione dell'universo, ma sistematicamente maggiore.
Potrà dirsi che il calcolo delle probabilità insegna anche a
surare la differenza tra il valore probabile della varianza
pione e il valore della varianza dell'universo e sìmìtmente
renza tra il valore probabile della connessione del campione
valore della connessione dell'universo. Ma non si
che lo strumento di tale misura è già
rore. In sostanza, chi ben rifletta, il
quando dà la misura della portata del
contrappone ad una distribuzione cOlmtlin:atclI'l'F
ne aleatoria, ma ad una
stribuzione combinatoria più
Quando, ad es., si parla di
tende di campioni scelti a caso) in
dente, perché i campioni non sono scelti a caso, ma formati dalla
massa in tutti i modi possibili, secondo le regole del calcolo combinatorio che escludono !'intervento del caso. Non si ha una distribuzione aleatoria, ma una distribuzione combinatoria. Da questa si potrà ottenere una distribuzione aleatoria estraendo a caso
un numero più o meno grande di campioni; ma le divergenze riscontrate per le varie costanti statistiche fra la distribuzione aleatoria, che così si ottiene, e la distribuzione combinatoria da cui è
derivata, non può essere stabilita teoricamente, ma solo empiricamente. Bisogna riconoscere che il parlare di leggi del caso non
contiene solo una contraddizione verbale, ma una contraddizione
sostanziale e che è un'illusione pretendere di eliminarla.
Ma, se la portata delle divergenze non si può eliminare, si può
però sperare che essa si riduca con la moltiplicazione delle applicazioni? Certamente lo si può sperare. E anch'io lo spero. E nella
speranza conforta il fatto che molte volte, nei procedimenti per
approssimazioni successive, si introduce nei calcoli una quantità
consaputamente errata, la cui influenza perturbatrice però si riduce di mano in mano che il calcolo procede, e ciò può bene avvenire anche per la sostituzione della distribuzione combinatoria alla dlstribuzìone aleatoria che si fa nel teorema della probabilità
composta. Obiettivamente però bisogna pur ricordare che, in altri
casi, la introduzione di una quantità erronea, ha effetti perturbatori che si aggravano nelle elaborazioni successive. Non vi è che
da fare appello all'esperienza, procedendo a più minute verifiche.
Il nostro gioco del lotto sarebbe un campo ideale per sìffatte
verifiche, perché il suo meccanismo e la rigorosa sorveglianza cui
è sottoposto escludono, secondo ogni ragionevole opinione, che
non si tratti di puro gioco d'azzardo, come fu obiettato ad alcune
delle esperienze eseguite dal Marbe sui risultati delle roulettes. lo
ho iniziato alcune elaborazioni sui dati delle estrazioni che ho potuto procurarmi. Spero di poter completare la collezione dei dati
e le conseguenti elaborazioni. Quelle finora eseguite non contrad, dicono né la tendenza dei valori probabili delle distribuzioni aleatorie verso i valori medi delle distribuzioni combinatorie, né le
divergenze sistematiche tra i valori delle varianze e delle connessioni. Alcuni risultati però vanno scrutinati e interpretati. Credo
che valga la pena di proseguire.
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1079
I matematici non si sono limitati ad applicare il calcolo delle probabilità ai giochi d'azzardo, ma lo hanno anche applicato alle
serie dei decimali di certi numeri. Le applicazioni più note riguardano la serie dei primi 707 decimali di " (calcolati dallo Shanks),
applicazioni fatte sia dal Borel, sia, con maggiori dettagli, dallo
Czuber e dal Cassinis. Questi due ultimi autori hanno distinto i
primi 660 decimali in 11 gruppi di 60 decimali ciascuno, e ne hanno ricavato lO serie di 11 termini, ognuna delle quali esprime la
frequenza con cui la rispettiva cifra si presenta negli 11 gruppi,
e viceversa 11 serie di lO termini ciascuna, ognuna delle quali
esprime la frequenza con cui, nel gruppo rispettivo, si presentano
le lO cifre.
I! risultato fu che questi decimali si conformano abbastanza
bene, nelle loro distribuzioni, alle distribuzioni teoriche secondo
lo schema bernoulliano. Lo scostamento quadratico medio effettivo resta, nei due gruppi di serie, leggermente al di sotto dello scostamento quadratico medio teorico dando un indice di depressione leggermente subnormale e il numero delle cifre contenute nei
limiti dello scostamento probabile uguaglia o supera leggermente
quello delle cifre che ne restano fuori.
Quale è la conclusione che se ne può trarre?
E'certo che la successione dei decimali di " non è accidentale, ma ha luogo secondo una certa legge (la legge appunto che
ne permette il calcolo); ma la complicazione della legge è tale, che
la distribuzione delle cifre si uniforma passabilmente a una distribuzione combinatoria. Si avvertiva però che la frequenza della
fra 7 risultava eccezionalmente bassa, sia nei primi 660 decimali,
sia in tutti i 707 fino allora calcolati. Nella serie dei 707 decimali,
essa rappresentava uno scostamento uguale a 2,335
starnento quadratico medio, che avrebbe
bilità teorica di verificarsi, non una volta su lO,
1000 termini.
Dopo la pubblicazione, avvenuta tra il
<te applicazioni, molti altri decimali di " Fnr-ono
gendo al numero di 100.000.
lo ne ho iniziato in questi giorni, alcune elaborazioni
limitate ai primi 3000 decimali. Già nel
fl'€,qU.~l1.i
za della cifra 7 cessa di essere eccezionalmente
quella delle cifre 4 e 6 e, nel secondo migliaio essa supera quella
delle cifre 3, O, 1 e 8.
Distinti i 3000 decimali in 30 gruppi di 100 termini ciascuno,
furono classificate le frequenze delle lO cifre in ciascuno di essi;
si costituirono poi lO serie di 30 termini ciascuna, in cui ognuna
esprime la frequenza con cui la rispettiva cifra si è presentata nei
30 gruppi. Gli indici di dispersione restano superiori all'unità per
due cifre (l'l e il 9) e inferiori per le altre 8, con una media leggermente inferiore all'unità (0,946), confermando così la lieve subnormalità della dispersione.
Se si esamina come le cifre si succedono l'una all'altra, risulta
però che ciò non avviene esattamente secondo il calcolo combinatorio, ossia, come suoi dirsi ,esse non sono completamente indipendenti. Se distinguiamo le lO cifre dallo O al 9 in «basse» (dallo
O al 4) e « alte" (dal 5 al 9), troviamo che ad una cifra bassa o alta
segue più spesso una cifra alta o rispettivamente bassa (sequenza
contrastante). Nel primo migliaio, la somma delle sequenze contrastanti sarebbe di 520 contro 480 concordanti; nel secondo migliaio,
rispettivamente di 518 e 482; nel terzo, di 534 e 466.
La mancanza di indipendenza, con tendenza al contrasto, tra
le cifre successive è confermata dalla frequenza con cui si verifica
la ripetizione della stessa cifra in due decimali successivi. Su 1000
decimali, ciò dovrebbe, secondo la teoria, verificarsi 100 volte;
invece si verifica 98 volte nel primo migliaio, 93 nel secondo, 76
nel terzo.
Una delle ipotesi dello schema bernoulliano, !'indipendenza
tra eventi successivi, non è quindi verificata.
La tendenza compensatrice fra cifre successive certamente,
se non determina, contribuisce a determinare la subnormalità della dispersione.
Altre elaborazioni potranno farsi, ma i risultati, comunque,
non mi paiono equivoci.
Essi illustrano la nostra tesi che le applicazioni induttive del
calcolo delle probabilità non devono limitarsi al confronto tra la
distribuzione effettiva e la distribuzione combinatoria, globalmente considerate.
Questo serve a renderei conto della rassomiglianza superficiale, esterna delle due distribuzioni e risponde così alla funzione
1082
Corrado Gini
Le applicazioni induttive del calcolo della probabilità
descrittiva delle applicazioni induttive del calcolo delle probabilità, ma non serve a renderei conto della struttura interna dei due
fenomeni, che costituisce la funzione euristica di tali applicazioni
da cui molto; a mio credere, deve attendersi il progresso delle investigazioni statistiche.
[15] Intorno all'uso dei modelli nelle scienze e in particolare nella scienza
economica, ~(Rivista di politica economica )}, s- serie, fase. I, gen. 1953,
(traduzione in spagnolo: En torno al uso de Las modelos en las ciencìas
y en particular en la ciencia economica, « Revista economica de la Facultad de ciencias economicas -de La Plata », n. 7-8, 1956).
[16] Considerazioni sulle probabilità a posteriori e applicazioni al rapporto
dei sessi nelle nascite umane, « Studi economico-giuridici della R. Università .di Cagliari »), 1911, 'riprodotto in ({ Metron », vol. 15°, n. 14, 1949.
[17] Comblnations and sequences oi sexes in human: [amilies and mammal
litters, c Acta genetica et statistica medica », val. 2°, fase. 3, 1951.
[18] Sulla probabilità che X termini di una serie erratica siano tutti erescenti (o non decrescenti) ovvero tutti decrescenti (o non crescenti) con
applicazioni ai rapporti dei sessi nelle nascite umane in intervalli successivi e alle disposizioni dei sessi nelle fratellanze umane, c Metron »,
vol.r l?", n. 3-4, apro 1955,
[19] Sul rapporto primario dei sessi nella specie umana, ( Atti della 19a riunione della Società italiana di statistica », Roma, Faìllì, 1961.
[20] Maggiore frequenza dei maschi nei concepimenti e maggiore mortalità
dei maschi durante la gestazione, nel parto e nelle prime settimane di
vita, « Atti della 21a Riunione della Società italiana di statistica », Roma,
Failli, 1962.
-,
[21] Alle basi del calcolo della probabilità (Considerazioni sul problema della
probabilità composta e sulla previsione dei fenomeni aleatori), « Metron »,
val. 23°, 1964 (in corso di stampa).
CORRADO GIN!
BIBLIOGRAFIA
E' sembrato opportuno aggiungere al testo della conferenza i riferimenti
bibliografici degli scritti dell'A. in cui sono stati esposti o 'anticipati gli argomenti che in es-sa sono svolti.
[ 1 ] Contributo alle applicazioni statistiche del calcolo delle probabilità,
« Giornale degli economisti l>, dìc. 1907.
[ 2] Il sesso dal punto di vista statistico, 'Palermo, Sandron, 1908, (ora in vendita presso Ia Direzione di «Metron», Via Terme .dl Diocleziano lO, Roma).
[3] Il Congresso di Parma, « Rivista filosofica », fase. 4
voI. 100 agoset, 1907.
[ 4] Intorno al concetto e alla misura delle probabilità, {{ Bollettino della
Società filosofica italiana », anno 3°, n. 3-4, uovo 1907.
[ 5] Sul concetto di probabilità, én «2° Congresso della Società filosofica
italiana }}, (Biblioteca di filosofia e di pedagogia), Modena, Forrnìgginì, 1908.
[6] Che cos'è la probabilità?, « Rlvìsta di scìenza » (Scientia), vol. 3°, anno
2°, n. 6, 1908.
[ 7] Corso di statistica (a cura di S. Gatti e C. Benedetti), anno ace. 1954-55,
Roma, Veschi.
[ 8] Origenes y prospectivas de la estadistica, Supplemento al n. 31 del «
1etin deestadistica -. Madrid, 1946.
[9] The [irst steps oi statistics;« Educatlonal research forum. Proceedings
New York, Endicott, 1947.
[lO] Gerolamo Cardano e i fondamenti del calcolo delle probobiliià,
tron », val. 19°, n. 1-2, 31 Ing. 1958.
[11] Gedonken zum Theorem von Bemoulli, e Revue suisse
tique et de statìstìque », n. 5, oct. 1946, e A~'~:~ci~7~~n~~J
schen Statistik, Berna, 1946, (edizione italiana:
«Metron », val. 15°, n. 1-2-3-4, 15 otto 1949.
[12] Concept et mesure de la probabilité, « Dialec,tica »,
[13] La distribution des caractères anthropométriques, « Bionlétri"-~'raJ<i~~e;.
trie » n. 1, 1962.
[14] Sur la théorie .de la dispersion et sur la véritication
ques, «"Metron », vol. 14°, n. 1, giu. 1940.
Q
,
1083