FORM FACTORS e DIS
Lezione 20
Riferimenti: Perkins 5
urto elastico
 E ' , k '
E, k 


 , q   , q 
M ,0
ep  ep
p'
urto elastico
E, k 
 




2
p  M ,0; k  E, k ; k '  E ' , k ' ; q 2  k  k '
q  4 EE ' sin
2
2
q2
E ' E   
2M
 E ' , k '

quadrimomento
trasferito
2


 , q   , q 
M ,0
p'
energia trasferita
M E'E   EE' cos 1
le variabili cinematiche dell’urto elastico
urto elastico di fermioni puntiformi
sezione d’urto
3
3
1
1
2 d k ' d p'
4 4
2   k  k ' p  p'
d   
A
3
3
v1  v2 4 E1 E2
2  2 
ampiezza di scattering
2
1
e
A   u k ' , s3   u k , s1  2 u  p' , s2   u  p, s4 
4
q
2
si=1,2 è il fattore di spin che corrisponde alle proiezioni 
il fattore ¼ deriva mediando sugli spin iniziali
si può dimostrare che:
2
2


q
e
2
2
2 
2
L L'  16M EE'  cos 
sin 
A  2 L L'
2 2M
2

q
4 2 E '
d 
q4
2
3
 2  q2


d
p'
2
4
 cos 
q  p  p'
sin 2M

3
2 2M
2
2  dE '

urto elastico di fermioni puntiformi
sezione d’urto
4 2 E '
d 
q4
2
3
 2  q2


d
p'
2
4
 cos 
q  p  p'
sin 2M

3
2 2M
2
2  dE '

supponendo di osservare soltanto l’elettrone diffuso, si integra
sulla particella puntiforme diffusa

d 3 p'
2
4
2





q

p

p
'


p

q

M
 2 3 dE '
d
4 2 E '

dE ' d1
q4
2

2
 2  q2



q
 cos 
sin 2   
2 2M
2 
2M




urto elastico di fermioni puntiformi
d
4 2 E '

dE ' d1
q4
2
 2  q2
q2
2  
 cos 
sin   
2 2M
2 
2M




forme di sezione d’urto equivalenti, usate spesso e già viste
2
2
2
1
4 E ' cos
2

d
2
E

q


2
2
2

sin
sin 
1 
 1 
4
2
d
q
2   2M
2
 M
q2
 2E 2   1 
sin    E '
1 
2  E' 
2M
 M
4 2 E ' cos 2
2
q
4
 E
 
 E'

2
2
2  4 1    q 
q 4  E 4 E 2 
 d 
4 2
 2 
 4
q
 dq  MOTT
  q , E  
2
4 2
q4
scattering di elettroni relativistici in un
campo coulombiano generato da una
carica puntiforme
urto elastico di fermioni puntiformi
 d 
4 2
 2 
 4
q
 dq  MOTT
 d 
E'
 d 
 2   

 dq  ns  d  Mott E
Sezione d’urto di Mott(1929)
scattering di elettroni relativistici in un
campo coulombiano
Sezione d’urto di Rutherglen(1969), detta
anche “non strutturata”
scattering in un campo coulombiano con
rinculo
Si tiene conto della massa finita della
targhetta
Elastic One Photon Scattering, point-like
d
4


e


e


dq 2
q4
d 2 2 s
1  y 

4
dy
q
d
4


ep

ep

po int
po int
dq 2
Q4
2
 2  q 2 ; E  
1  cos 
y

Ee
2
E
d e  e   d 
E' 
q2
2

sin

1 

2
d
2
 d  Mott E  2M
2
la sezione d’urto di
Mott (1929) per
elettroni
relativistici in
campo coulombiano
 d 
4 2  
q2 
 2   4 1   2 
q  E 4E 
 dq  Mott
d
4 2 ( E ' ) 2 
q2

  
dE ' d
q4
2M

compendio delle formule
  2
q2
2 
   cos 

sin
2
2
2
M
2
 

Proton Electron elastic scattering
L’urto elastico ep avviene con scambio di un fotone, proprio
come nell’esempio della diffusione elastica di due fermioni
puntiformi, ma in questo caso non conosciamo l’accopiamento
fotone-protone.
Tenendo conto del fatto che gli spinori del protone
obbediscono all’equazione di Dirac, e che la corrente si
conserva, la forma più generale della corrente
elettromagnetica J del protone può essere scritta come:
 
2

F
Q
2
2 2

J   u  p'F1 Q    k
i  q u ( p)
2M


 
k  1,79
magnetoni di
Bohr
è il momento magnetico
anomalo del protone
   i / 2  ,   
Elastic One Photon Scattering, form-factors

d ep  ep   d 
E ' 
k 2q 2 2  q 2
2



F

F

F

kF
tan

 1

2 
1
2
2
2
d
d

E
4
M
2
M
2

 Mott 



kq2
GE  F1 
F2
2
4M
GM  F1  kF2
d
4 2 ( E ' ) 2 
q2

  
4
dE ' d
q
2M


Q2

4M 2
2
2
G


G
  2  

M
  cos  E
2

 

 G 2 E  G 2 M

2
   Mott 
 2GM tan 
1
2




2 
  2 sin
2 


Q2

4 M p2
Analisi dei fattori di forma elettromagnetici
del nucleone: principi di base
invarianza relativistica
 
F Q 
F1 Q
2
2
corrente
elettromagnetica
2
k
J   F1 Q 2   
F2 Q 2 i  q
2M N
 
Dirac form factor
2
Pauli form factor
k
momento magnetico anomalo
 
invarianza di spin isotopico
fattori di forma
isoscalari
isovettoriali
F1S
F2S
F1V
F2V
Analisi dei fattori di forma elettromagnetici del nucleone:cosa si
misura
Q2

2
2M N
i fattori di forma di Sachs

 F
 F
 F
 

 F    F  F 
 F   F  F 
 F    F  F 
G  F F  F F
p
M
p
E
G
n
M
G
n
E
G
S
1
S
1
S
1
S
1
V
1
V
1
S
2
V
1
S
2
V
2
S
2
V
1
V
2
V
2
S
2
V
2
vincolo cinematico dei ff di SACHS
GM  4M
2
N
  G  4M 
E
2
N
Analisi dei fattori di forma elettromagnetici del nucleone:come si
misura
 G E  G
   Mott 
1

2
2
M

 2G tan 
2
2
M
Q2

4 M p2
metodo di Rosenbluth: si misura la sezione
d’urto a diversi angoli (almeno due)
metodo di Rekalo: si misura la polarizzazione
longitudinale del fascio e trasversa del protone
di rinculo
PT
GE

PL GM
Analisi dei fattori di forma elettromagnetici
del nucleone: misure di GE(q2) (1970)
metodo di Rosenbluth
Essenzialmente, il fattore di forma misura
la probabilità che il nucleone stia insieme
e rinculi come un tutto unico. Essa cala
GE
molto rapidamente con il momento
trasferito
La curva corrisponde alla “formula di
dipolo”. MV =0.8 GeV. Prima evidenza
dell’esiztenza della risonanza mesonica
vettoriale  (760)
urto elastico ep
G (q 2 ) 
q 
2
2
M V2 
q 2 ,GeV 2
5
38
2 per nucleon

,
10
cm
Anche lo scattering quasi elastico debole
dei neutrini è dominato dai fattori di
forma, (MV ed MA, in questo caso, per
l’accoppiamento assiale e vettoriale)
1  q
1
2
25
p-n
n+p
E , , GeV
Analisi dei fattori di forma elettromagnetici del nucleone: risultati
Analisi dei fattori di forma elettromagnetici
del nucleone: conclusioni attorno al 1970
Hofstadter: il nucleone non è puntiforme e ha un
raggio ~ 0,8fm
il rapporto GE,GM ~1 indica una distribuzione
uniforme della carica elettrica nel nucleone
la sezione d’urto (i fattori di forma) calano molto
rapidamente con q2.
l’andamento è tipico di un dipolo, con lo scambio
di un mesone vettoriale di massa circa di
0.8GeV
questa osservazione ha stimolato l’invenzione
degli anelli di collisione e+e-.(Tousheck,Frascati)
Analisi dei fattori di forma elettromagnetici
del nucleone: risultati del 2001
Inaspettatamente
misure molto accurate, con fasci di
elettroni polarizzati e misure della
polarizzazione del protone di rinculo ci
hanno procurato una grossa sorpresa!
metodo di Rekalo
SPACELIKE:
polarisation method
  Q 2 4m2p
 GE2  GM2

2
2
   MOTT 
 2GM tan  2
 1

2m p
PT
GE

PL E  E '  tan(  2) GM


recoil
e p  ep
Analisi dei fattori di forma elettromagnetici del nucleone: risultati
2001

e p  ep

Analisi dei fattori di forma elettromagnetici
del nucleone: risultati del 2001
Il protone appare come una struttura complessa
una struttura intrinseca ( probabilmente 3 quark
di valenza, q3), e una componente mesonica
quark- antiquark
GE del protone tende a zero molto
rapidamente.Si può dimostrare che questo è
dovuto alla invarianza relativistica (che genera i
due termini dei fattori di forma , F1,F2.)
l’andamento di GM è la prova che i mesoni
vettoriali tra 0,5 ed 1 GeV sono importanti
Deep Inelastic Scattering e
funzioni di struttura
urto anelastico
ep  eX
Einc  10GeV
e N  e N * ; N *  n  N
5
1236MeV
e N  e N
 tot
DESY + Stanford
l’ampiezza di questi
picchi dipende dal
quadrimomento
trasferito e
diminuisce al
crescere di q2 circa
come il picco elastico
spettro di
diffusione che
comprende sia
gli eventi
elastici, che
quelli anelastici

 , q   , q 
hadrons
l’assimetria del picco elastico dipende
dalla radiazione di fotoni molli, che
“spostano” il picco verso energie
minori
Ediff , GeV
3
E, k 
 E ' , k '
da ciò concludiamo
che le dimensioni
radiali degli stati
eccitati sono
paragonabili alle
dimensioni dello
stesso nucleone
10
i picchi secondari dell’urto anelastico
sono dovuti agli stati eccitati del
nucleone: sono le 4 risonnze barioniche,
identificate indipendentemente in molti
altri esperimenti
questo implica che
nella condizione di
stato eccitato il
nucleone viene
coinvolto con tutta
la sua struttura
il momento
trasverso è
limitato
il nucleone
è molle
Unelastic Scattering a q alto, 1967
d ep  eX 
 E
 2
Fq
d
4
4 k sin
2
2
2
mesured DESy
1967,2GeV
 
2 2
approssimazione non
relativistica
expected
cross
section
E, k 
 E ' , k '
  Mott
mesured,
SLAC
1968,3Ge
V

 , q   , q 
?
2
q
4
2
6
piccole distanze ed alte energie
• è noto che per separare
nitidamente con un
microscopio due punti di un
oggetto posti a distanza a
bisogna usare luce con
lunghezza d’onda minore di a
• usando luce con lunghezza
d’onda sostanzialmente
maggiore di a, la diffrazione
impedisce un buon potere
risolutivo
• per il principio di
indeterminazione, si può
legare facilmente il
quadrimomento trasferito al
raggio r che si vuole
esplorare
• Alti q2,
piccole distanze
a
bassi q2
medi q2
alti q2
c
E
a

q
r
Deep
Inelastic
Scattering
l  N  l ' X
Deep Inelastic Scattering:esempio
N X
N  X
100GeV

 E ' , k '
E, k 
W
Z
BEBC, camera a bolle al Ne-H2
dis
26
la sezione d’urto
N  X
Sezione d’urto totale
neutrino,antineutrino
CERN,Fermilab,Serpukov
Il rapporto tra la sezione
d’urto e l’energia è
costante per 2 ordini di
grandezza
é la dimostrazione della
natura pointlike
dell’interazione
 G p  G E
2
2
2
ep  eX
SLAC,DESY
CMS
LAB
 E ' , k '
E, k 
 E ' , k '
E, k 

 , q   , q 
 ipotesi di base: la reazione
 , q   , q 
avviene in due tempi
scattering  partone
ricombinazione in adroni
t1   
Pt arg et  ( p,0,0, ip )
m
2
2


0
parton  xP  q
x P  q  2 xPq  0
2
t2   Whadrons
2
2
x 2 P 2  x 2 M 2  q 2
 q2
q2
x

2 Pq 2M
xP
m
infinite momentum frame
protone bersaglio con un
momento P molto grande
consiste in una corrente di
partoni,puntiformi,indipenden
ti,paralleli, con momento xP
abbiamo calcolato il prodotto scalare Pq, che è invariante, nel
LAB, dove l’energia trasferita è , ed il nucleone è a riposo
q 2  q'2  2  2m
q2
m
x

2M M
aprossimazioni
si trascurano
tutte le masse
e tutti i
momenti
trasversi
i partoni del prof Feynmann
il nucleone è costituito da infinite particelle
puntiformi, tutte indipendenti tra di loro: i
partoni
il nucleone nel CMS ha un momento P e i
partoni hanno una frazione x del momento
di P
x è la variabile di Feynmann
il nucleone nel LAB è fermo, ed anche i
partoni che hanno una frazione x della
massa M del necleone
il fotone interagisce con un partone solo,
che diffonde, nel tempo t1
in seguito, in tempi t2 molto più lunghi, i
partoni si ricombinano in hadroni
(fragmentano) che riusciamo a vedere.W è
la massa invariante o effettiva di X
la sezione d’urto dipende prima e
sopratutto dalla dinamica dello stadio
iniziale e solo molto poco o adirittura
niente del tutto da quello che succede
dopo
2
q
m
x

2M M
t1   
t2   Whadrons
t2  t1
elettroni
adroni
 
 

k  E, k

k '  E', k '
 ,  
quadrimomento
elettrone incidente
quadrimomento
elettrone uscente
osservabili
P  M ,0
LAB

P   Eh , ph 
LAB
angoli polare e azimutale
dell’elettrone scatterato
quadrimomento del
nucleo bersaglio
E, k 
quadrimomento di un adrone
rivelato nello stato
E ' ,finale
k'



 , q   , q 
M
grandezze derivate

q  k  k '   , q 
  E  E'
  
q  k k'
LAB
quadrimomentoW 2
fotone virtuale
energia fotone
virtuale
trimomento fotone
virtuale LAB
2
Q   q  4 EE ' sin
2
2

2
massa effettiva
fotone virtuale
LAB
 P  q 
2

Eh , ph
Massa effettiva quadrata dello
stato adronico finale
LAB
 M 2  2M  Q 2
 q 2 LAB Q 2
x

2 P  q 2 M
P  q LAB
y
 E
Pk
variabile di scala
di Bjorken
energia del
fotone
frazionaria
cinematica del DIS,one photon exchange
i partoni sono i quark?
• la distribuzione angolare
delle sezioni d’urto indica
che lo spin dei partoni è
½
• le sezioni d’urto dei
processi ep,en,ed danno
la possibilità di misurare i
relativi form-factors che
possono essere anche
previste nell’ambito del
modello a quark
4 2 E '  2 
q2
 d 
2
cos

sin

  2


2 2m 2
2
 d  m Q E 
scattering
elettrone
nucleone
2
d ep  2 2 F2p x   1  1  y  


 4 xs

dydx
q
x 
2

eN  eX
F2p x  4
1
 u x   u x   d x   d x   sx   s x 
x
9
9
protone
F2n x  4
1
 d x   d x   u x   u x   sx   s x 
x
9
9
neutrone




F2N x  5
1

u x   u x   d x   d x   sx   s x 
x
18
9


protone e
neutrone
scattering elettrone partone (massa m)
d eq  eq   d 


d
 d  Mott
4 2 E '  2 
q2
 d 
2

cos

sin




2
2 2m 2
2
 d  m Q E 
E' 
q2
2
1

sin


E  2M 2
2
d
4 2 ( E ' ) 2 
q2

  
dE ' d
q4
2M

  2
q2
2 
   cos 

sin
2
2
2
M
2
 

inclusive deep inelastic scattering
d

dE ' d
4 2 ( E ' ) 2 cos 2

lN  l ' X
2  2 F ( x, Q 2 ) tan 2   1 F x, Q 2 
1
2
Q4
M
2 







Mott
SLAC,NMC,BCDMS
raccolta dei dati
mondiali
F2p
F2 ottenuta con
scattering su targhetta
fissa
Q2
Q2
cosa si impara dallo scattering neutrino nucleone?
N X
   d   u
   u   d
   u   d
   d   u
via W exchange
interazioni con i quark s e anti-s sono soppresse dal
fattore dell’angolo di Cabibbo, trascurate qui
d p  G 2 xs


d x   u x 1  y 2 
dydx
2
d n  G 2 xs

u x   d x  1  y 2
dydx
2



cosa si impara dallo scattering neutrino nucleone?
su una targhetta isoscalare con ugual numero di neutroni e
protoni si ha, per neutrino e antineutrino:
d N  G 2 xs
ux   d x  u x   d x 1  y 2

dydx
2



d  N  G xs
ux   d x 1  y 2  u x   d x 

dydx
2
2




Si passa da neutrino a antineutrino spostando il fattore (1-y2)
cosa si impara dallo scattering neutrino nucleone?
definiamo le funzioni di struttura in analogia con lo scattering dell’
elettrone
N
F2
x   u x   d x   u x   d x 
x
N
F3
x   u x   d x   u x   d x 
x
la sezione d’urto quindi è:
d  N ,N  G 2 ME  F2 x   xF3 x   F2 x   xF3 x 
2
1  y  





dydx
 
2
2
 


cosa si impara dallo scattering neutrino nucleone?
definendo queste Q:
Q   xu x   d x dx


Q   x u x   d x  dx
si ottengono queste sezioni d’urto e questo rapporto
G 2 ME 
1 
 N  
Q  Q 
 
3 
G 2 ME 
1 
  N  
Q  Q
 
3 
1  3Q Q
R
3Q Q
il rapporto tra sezioni d’urto ed energia deve essere costante
Previsioni dei modelli quark-partoni
la sezione d’urto dello scattering neutrinonucleone deve essere proporzionale all’energia
il rapporto R =0.45 indica che il nucleone
contiene quark ed antiquark in rapporto 0.15
Se si trascurano gli s ed anti-s, ci si aspetta che
il rapporto tra F2eN e F2N sia 5/18. La previsione
è ben verificata ed è la prima prova della carica
elettrica dei quark
la prova che il 50% del momento del nucleone è
portata da quark che non hanno nè interazioni
deboli nè interazioni e.m. si ha
5 N
F x   F2 x 
18
momentum distribution
of quark in nucleon
eN
2
solo il 50% dei
“parton” i hanno
interazioni
elettrodeboli
xQ(x)
xQ
xQ  Q 
xQ
x

1
0

18
u x   d x   u x   d x  dx   F2 x dx   F2eN x dx  0,5
5
N

1
0

REGOLE di SOMMA
18
u x   d x   u x   d x  dx   F2 x dx   F2eN x dx  0,5
5
N
5 N
F x   F2 x 
18
eN
2
1


dx
0 F3 x  x   ux   u x   d x   d x  dx  3
N
Gross Llevellyn Smith
predizione per il modello a partoni semplice ( partoni
indipendenti), per q2 
conservazione dei numeri quantici dei quark
REGOLE di SOMMA,

1
0



dx 1 2
F x   F x 
   u x   d x  dx
x 3 3
ep
2
en
2
 d x 
Gottfried
Sperimentalmente si trova che l’integrale vale
circa 0.24, cosa che dimostra che il mare
quark-antiquark non è simmetrico in flavour.
Nel protone ci sono più anti-d che anti-u
conservazione dei numeri quantici dei quark
Polarized and Unpolarized structure function




1
F1 x    z 2 q  x   q  x   q  x   q  x 
2
1
2
g1 x    z q  x   q  x   q  x   q  x 
2
d   d 
Ax  
d   d 
1
I 
0
1  g A   s



g  g dx   1   ...
6  gV  


p
1
p
1

Bjorken sum rule