L’opinione comune etichetta la matematica come
“difficile”; e frasi come “La matematica è
difficile” o “Non sono portato per la matematica”
vengono pronunciate spesso dagli alunni; ma non è
così. Infatti qualsiasi persona può dedicarsi allo
studio della matematica in quanto essa è frutto
dell’intelletto umano. Per studiarla la nostra mente
deve essere, però, abituata ad “una ginnastica
mentale” in quanto occorre trovare relazioni tra
oggetti astratti, che non si toccano e che non si
vedono, ma che esistono perché scaturiscono da
un ragionamento.
Uno degli argomenti in cui gli alunni trovano più
difficoltà è proprio lo studio dei
RADICALI
PREMESSA
La scoperta dei numeri irrazionali avvenne ad opera dei pitagorici, studiosi
greci della famosa scuola pitagorica fondata da Pitagora.
La scuola pitagorica poneva al centro del suo pensiero il numero, che non
rappresentava solo l’espressione della quantità, ma costituiva “l’elemento
dell’Universo”. Tutta la realtà fisica si fondava, infatti sui numeri naturali e sul
loro rapporto, numeri che erano considerati i soli in grado di legare grandezze
geometriche e misure. Per i pitagorici, quindi, ogni misura si doveva esprimere
con un numero naturale o con un rapporto fra due numeri naturali, cioè un
numero razionale.
Questa teoria crollò quando gli stessi studiosi si accorsero che in un quadrato
di lato 1 la misura della diagonale non poteva essere espressa con un numero
razionale. L’applicazione del famoso teorema del loro maestro, il teorema di
Pitagora, stabiliva che tale misura era uguale a 2 e i pitagorici stessi furono
costretti ad ammettere che non esiste nessun numero naturale il cui quadrato
sia due. Essi svilupparono allora una teoria che potesse stabilire delle
proporzioni fra queste grandezze che però si rifiutarono di definire numeri.
Bisognerà aspettare quasi duemila anni perché queste entità entrino a far
parte dell’uso comune e perché il fatidico numero il cui quadrato è 2 diventi il
numero irrazionale 2 . È molto recente, infatti l’introduzione del calcolo con i
numeri irrazionali e si deve principalmente ai matematici Richard Dedekind e
Georg Cantor, mentre Rudolff ha introdotto il simbolo odierno di .
Con l’introduzione quindi, dei numeri irrazionali si
allarga la possibilità di fare delle misurazioni e
dei calcoli, che prima si ritenevano non possibili,
come calcolare le diagonali dei quadrati e dei
rettangoli o trovare le altezze dei triangoli
equilateri, ecc…
Tenuto conto che si lavora in un istituto tecnico per geometri e che i
ragazzi lavorano con aree, lati e volumi, per introdurre il concetto
di radicale e di numero irrazionale si può partire proprio dal
problema di trovare il lato di un quadrato di cui si conosce
l’area. La risoluzione di questo problema necessita quindi
dell’introduzione di una operazione, detta estrazione di radice,
che si definirà come operazione inversa dell’elevamento a
potenza 2. Analogamente dato il volume di un cubo si può
ricavare la misura dello spigolo estraendo la radice cubica, che
pertanto sarà l’ operazione inversa dell’elevamento a potenza
3.
Generalizzando chiameremo radice n-esima (algebrica) del
numero reale a
con
n 
 a  quel numero reale b tale che b
n
n
a
INDICE
n
a b
RADICANDO
RADICE
Lavorando in maniera empirica, partendo dalla definizione
di radicale si fa notare quanto segue:
9  3
• (3)2=9
• (-3)2=9
• (3)3=27
•
(-3)3=-27
3
3
27  3
 27  3
Da ciò si deduce che
Se l’indice della radice è pari il radicando deve essere
positivo
Se invece, l’indice della radice è dispari il radicando può
essere sia positivo e sia negativo
Gli alunni tramite l’utilizzo di software matematici potranno
giungere alla seguente conclusione:
2n
x  y
2 n 1
x  y
2 n 1
 x  y
In base a quanto dedotto dagli esempi,
possiamo dunque affermare che
PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Due radicali si dicono equivalenti
se ammettono la stessa radice
42
4
3
9
16  2
27  3
19683  3
RADICALI EQUIVALENTI
RADICALI EQUIVALENTI
Faremo notare che le radici godono delle
stesse proprieta’ delle potenze perché la
4
6 può essere scritta per convenzione
1
4
anche 6 quindi un radicale può essere
espresso come una potenza con esponente
frazionario.
Utilizzando allora le proprieta’ delle potenze,
che verranno brevemente riprese, si
ricaveranno per analogia quelle dei radicali.
Potenze
Radicali
0n  0
n
1 1
n
n
a1  a
1
2
3
3
213: 73=(21 : 7)3
8   8   8
4 3
34
12
3
3
1  1 n   0
a a
1
5 3  7 3  5  7 
0  0 n   0
5 3 7  3 57
21 : 7  21 : 7
3
3 4
8
3
= 34 8
 12 8
3
21

7
3
3
21
7
Invogliando i ragazzi a tradurre il
linguaggio dei numeri in frasi
italiane ed a dedurre da soli le
regole ed i teoremi relativi al
prodotto, quoziente e potenza di un
radicale potremo dire che,
per il primo caso:
Il prodotto di due radicali aventi lo stesso
indice (in caso contrario è necessario
ridurli allo stesso indice) è uguale a un
radicale avente lo stesso indice e per
radicando il prodotto dei radicandi;
n
a  b  ab
n
n
PRODOTTO
a)
3
2
5b *
3
25b
=
3
5b 2  25b
= 3
125b3
I fattori sono radicali con lo stesso indice e riscriviamo i radicandi
sotto un’unica radice avente l’indice comune.
Moltiplichiamo i radicandi, il risultato 125 b3 si può scrivere anche
come 53 b3, mettendo in evidenza l’esponente 3 del radicando lo si
semplifica con l’indice di radice.
3
5 3 b 3  3 (5b) 3  5b
Per il secondo caso:
Il quoziente di due radicali aventi
lo stesso indice è uguale a un
radicale avente lo stesso indice e
per radicando il quoziente dei
radicandi;
n
x : y  x: y
n
n
Per il terzo caso:
La radice di una radice è una
radice che ha per indice il
prodotto dei due indici e per
radicando lo stesso radicando.
Dai primi due casi nasce la necessità di dover ridurre i radicali
allo stesso indice per poter effettuare il prodotto ed il quoziente
tra radicali. Si troverà allora il m.c.m. tra gli indici(analogamente
al procedimento per la riduzione di frazioni allo stesso
denominatore) e lo si assumerà come nuovo indice per tutti i
radicali poi si moltiplicherà l’esponente di tutti i radicandi per il
quoziente tra il m.c.m.e l’indice primitivo.
8
73
3
2
2
3
m.c.m.8,3,2  24
24
79
24 : 8  3  9
24
28
24 : 3 1  8
24
312
24 : 2 1  12
Ricordando che un radicale può essere scritto come una
potenza con esponente frazionario e che per le frazioni vale
la proprietà invariantiva la applicheremo anche all’esponente
frazionario per cui
16
76  7
6
16
7
6:2
16:2
 16:2 7 6:2  8 7 3
Con 2=M.C.D.(6;16)
3
5
3
75  7  7
54
34
ed anche
7
20
12
 34 7 54  12 7 20
cioè dividendo l’indice del radicale e l’esponente del
radicando per il loro M.C.D. (si parla sempre di numeri
interi, positivi) o anche moltiplicandoli per uno stesso
numero naturale diverso da zero, il valore del radicale non
cambia.
Utilizzeremo questa proprietà per semplificare i radicali (così
come si semplificavano le frazioni) riducendo però indice ed
esponente e chiameremo irriducibile il radicale che ha indice
ed esponente numeri primi tra loro.
Radicale irriducibile
8
73
Per trasportare poi un fattore fuori dal segno di radice l’esponente del
radicando deve essere maggiore dell’indice di radice:Infatti 5
800
scomponendo il radicando si ha
5
2 5  2  5  2 5
5
2
5
5
5
2
5
2
ATTENZIONE: Se l’indice del radicale è pari e
non conosciamo il segno del radicando per
poter effettuare la semplificazione dobbiamo
considerare il valore assoluto
2
a b  a  b
2
2
Per trasportare invece sotto il segno di radice un fattore
che moltiplica un radicale, si moltiplica l’esponente del
fattore per l’indice di radice :
b  a b
3
32
a
ATTENZIONE: se tale fattore è negativo e l’indice di
radice è pari il segno meno si lascia fuori dal
simbolo di radice:
 3 
a   3 a
2
2
ATTENZIONE: E’ facile commettere questo errore
6
(3 4  5 2 )

3
(3 2  5 )
e ancora
2
25  a  b
2
non è =
5a  5 
in presenza di un radicando che sia una somma o
una sottrazione non si può effettuare la
semplificazione tra indice ed esponente cioè
6
(3  5 ) 
4
2
3
3
2
5

3
IL RADICALE
non è
(a 3  b 3 )
semplificabile. Infatti il radicando non è una
potenza con esponente 3 perché (a3 +b3)=(a+b)3
Nel teorema di Pitagora ad
esempio (AC)2= (BC)2+(AB)2
Non è AC = BC+AB
come
succederebbe se si semplificasse
la radice con i due quadrati
( AC ) 2
=
BC 2  AB 2