I radicali
1
Claudio CANCELLI
(www.claudiocancelli.it)
Ed. 1.0
www.claudiocancelli.it
Dec. 2011
I radicali
2
INDICE DEI CONTENUTI
1.
I RADICALI............................................................................................................................... 3
INDICE DI RADICE PARI .......................................................................................................................................................4
INDICE DI RADICE DISPARI ...............................................................................................................................................5
RADICALI SIMILI ...................................................................................................................................................................6
PROPRIETA’ INVARIANTIVA DEI RADICALI .................................................................................................................6
POTENZA DI UN RADICALE .................................................................................................................................................6
RADICE DI UN RADICALE .....................................................................................................................................................7
RADICALE ED ESPONENZIALE............................................................................................................................................7
TRASPORTO DI UN RADICALE FUORI DAL SEGNO DI RADICE ..............................................................................7
TRASPORTO DI UN RADICALE SOTTO IL SEGNO DI RADICE ................................................................................8
2. OPER AZ IONI CON I R ADICALI......................................................................................... 9
RIDUZIONE DI RADICALI ALLO STESSO INDICE......................................................................................................9
SOMMA E DIFFERENZA DI RADICALI .............................................................................................................................9
PRODOTTO DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE..........................................................................10
QUOZIENTE DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE.......................................................................10
3. SEM PLIFICAZ IONI DI R ADICALI.................................................................................. 12
RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI............................................................................................................................14
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1.
3
I RADICALI
L’espressione radice n-esima di x prende il nome di radicale (fig. 1).
Radicale
n
√ x
Fig. 1 - Radicale
Radicale, indice di radice e radicando sono segnalati in figura 1.
Indice di
radice
√ x
n
Radicando
Fig. 2- Indice di radice e radicando
Il simbolo riportato in fig, 3 è chiamato segno del radicale.
Segno del
radicale
√
Fig. 3- Segno del radicale
Vogliamo rappresentare in inglese la radice cubica di x-4?
Fig.4 - Cube root of "x-4"
E per concludere mettiamo in evidenza l’eventuale coefficiente che precede il radicale con il
segno di prodotto:
Coefficiente
del radicale
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k√ x
n
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I radicali
4
La radice n- esima di x , è quel numero y la cui pot enza n- esima è uguale ad x , ossia:
n
n
√ x =y
y = x
∗ con x maggiore o uguale a zero
∗ con n numero naturale maggiore di zero
∗ con y maggiore o uguale a zero
ESEMPI DI RADICI
SI PRONUNCIA "rraaddiiccee qquuaaddrraattaa di 2 "
SI PRONUNCIA "rraaddiiccee ccuubbiiccaa di 5"
SI PRONUNCIA "rraaddiiccee qquuaarrttaa di 9"
SI PRONUNCIA "rraaddiiccee qquuiinnttaa di 7"
SI PRONUNCIA "rraaddiiccee ddiicciiaasssseetttteessiim
maa di 9234"
IIN
ND
DIICCEE D
DII R
RA
AD
DIICCEE PPA
AR
RII
Con n pari ( 2, 4, 6, 8 …)
Condizione di esistenza
x≥0
Condizione di segno
y≥0
Esempi:
Esempi:
Ed. 1.0
4
16 = 2
Possibile, poiché 16 > 0
− 16
Impossibile, poiché -16 < 0
4
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I radicali
5
IIN
ND
DIICCEE D
DII R
RA
AD
DIICCEE D
DIIS
SPPA
AR
RII
Con n dispari (1, 3, 5, 7, …)
Condizione di esistenza
x≥0
o
x<0
Condizione di segno
y≥0
o
y<0
4=?
Esempio:
Il problema è posto in questi termini: QUAL’E’ QUEL
NUMERO REALE POSITIVO CHE ELEVATO AL QUADRATO DA COME RISULTATO 4. LA
RISPOSTA E’ 2, POICHE’ 22 =4. Quindi
Esempio:
3
− 8 =?
4 =2⇒2 = 4
2
Il problema è posto in questi termini: QUAL’E’ QUEL
NUMERO REALE NEGATICO CHE ELEVATO AL CUBO DA COME RISULTATO -8. LA
RISPOSTA E’ -2, POICHE’( -2)3 = -8. Quindi
3
− 8 = −2 ⇒ (−2) = −8
3
Esempio: Calcolare la radice quinta d i-32.
5
− 32 = −2 ⇒ (−2) = −32
5
infatti l’operazione (-2)(-2)(-2)(-2)(-2) porta al risultato -32.
Esempio: Calcolare la radice quadrata di 49
Mentalmente si può effettuare il calcolo, iniziando da 1. 1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4, 3 * 3 = 9, 4 * 4 = 16, 5 *
5 = 25, 6 * 6 = 36, 7 * 7 = 49. Ecco la soluzione è pari a 7.
49 = 7
Esempio: Per calcolare la radice quadrata di 12, poiché mentalmente si è
constatato con l’esempio precedente che non esiste alcun numero naturale il cui quadrato porta
alla soluzione 12, si può utilizzare la calcolatrice ed ottenere il risultato uguale a 3,46 .
12 = 3, 46
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RADICALI SIMILI
Due radicali si dicono simili se hanno lo stesso indice di radice e lo stesso radicando.
Esempio: i radicali :
7 ; −2 7 ;
sono radicali simili in quanto
hanno diversi coefficienti ma stesso indice di radice, pari a 2, e stesso radicando uguale a 7.
PROPRIETA’ INVARIANTIVA DEI RADICALI
Il valore di un radicando non cambia se si moltiplica per un numero intero positivo p, sia
l’indice di radice sia l’esponente del radicando. Ossia:
x =
m
n
Esempio: il radicale
5
x
np
3
3
6
a bc
mp
3⋅2
equivale al radicale
10
12
3 = 3
5⋅2
4
10
6
3⋅2
a b c = abc
3⋅2
a b c = abc
5⋅2
6⋅2
2⋅2
Esempio: il radicale
equivale al radicale
Indice di radice ed esponente di tutti i fattori sono stati divisi per lo stesso numero (2).
2
abc
3
3
1⋅2
2⋅2
3⋅ 2
3
6
Esempio: il radicale
equivale al radicale
Indice di radice ed esponente di tutti i fattori sono stati moltiplicati per lo stesso numero (2).
5
2
6
4
POTENZA DI UN RADICALE
La potenza m-esima di un radicale è un radicale con lo stesso indice di radice e con il
radicando elevato all’esponente n. Ossia:
( x)
=
m
n
Esempio: il radicale
( 3)
Esempio: il radicale
( 2)
3
Ed. 1.0
3
2
2
2 =2
−
−
31
− ⋅
23
x
equivale a
3
3
n
3
2
m
3
3 = 9
2
3
equivale a
1
2
=2 = 1
−
2
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1
2
= 1
2
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6
I radicali
7
RADICE DI UN RADICALE
La radice n-esima della radice m-esima positiva, è uguale ad una radice avente indice di radice
il prodotto degli indici dei due radicali e per radicando il medesimo radicando. Ossia:
n
m
x =
Esempio: la radice del radicale
x
nm
3
3
3⋅2
equivale a
3= 3
6
RADICALE ED ESPONENZIALE
Per trasformare un radicale nella forma esponenziale, vale la regola:
x =x
m
n
8
3
Esempio: la radice
m
n
può essere riscritta
− 32
Esempio: la radice
5
Esempio: la radice
4
81
Esempio: la radice
6
32
8
1
3
può essere riscritta
può essere riscritta
può essere riscritta
(−32)
(81)
1
5
1
4
(32)
1
6
TRASPORTO DI UN RADICALE FUORI DAL SEGNO DI RADICE
Un fattore di un radicando può essere portato fuori dal segno di radice purchè il suo
esponente sia maggiore dell’indice di radice n. Ossia:
n
a x =
o
m
n
a a x =a a x
n
p
m
n
p
m
Si possono portare fuori dalla radice solo i fattori che hanno l’esponente maggiore o uguale
all’indice della radice (o ≥ n, n+p = o, m < o).
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8
Esempio:essendo 4 > 3, con 4 = 3 + 1, risulta:
Esempio:
3
3
3 = 3 ⋅3 = 3 3
4
3
3
1
3
x z = x ⋅x ⋅z = x x⋅z
4
3
3
1
3
TRASPORTO DI UN RADICALE SOTTO IL SEGNO DI RADICE
Un coefficiente di un radicale lo si può portare sotto il segno di radice e farlo diventare un
fattore del radicando purchè lo si elevi a potenza con esponente uguale all’indice di radice.
Ossia:
a x =
n
Esempio: il radicale
m
n
n
a x
− x x equivale a
m
− x ⋅x =− x
2
3
Attenzione al segno meno: non va portato sotto il segno di radice
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2.
9
OPERAZIONI CON I RADICALI
RIDUZIONE DI RADICALI ALLO STESSO INDICE
Per ridurre due o più radicali allo stesso indice di radice:
Ø si calcola il minimo comune multiplo tra tutti gli indici di radice e si assume come indice
comune a tutti i radicali;
Ø si divide il m.c.m. per ciascun indice e si moltiplica il risultato per l’esponente di ciascun
termine del rispettivo radicando.
Esempio: ridurre i radicali allo stesso indice
3
3
3
Risulta: m.c.m. (3,2) = 6
Quindi
6
6
3
3
6
6
;
2
⇒
2
9; 8
6
6
Esempio: ridurre i radicali allo stesso indice
3
a
a
7
a
5
3
Risulta: m.c.m. (3,2,5) = 30
Quindi
30
a
30
3
;
30
( 302 )⋅7
a
;
30
a
(305 )⋅3
⇒
30
10
a
;
30
105
a
;
30
18
a
SOMMA E DIFFERENZA DI RADICALI
Per poter effettuare la somma algebrica i radicali devono essere simili. In tal caso il
coefficiente del radicale simile è la somma algebrica dei coefficenti dei radicali.
6 7 −2 7
Esempio: eseguire la somma algebrica
Poiché i radicali sono simili, risulta:
(6 − 2)
7=4 7
Esempio: eseguire la somma algebrica
Poiché i radicali sono simili, risulta:
3
Ed. 1.0
(
3
)
3+ 2
3
3
3 −5 3
3
( )
3 1+ 2 − 5 = 3 0 = 0
3
5
3
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10
PRODOTTO DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE
Se due radicali hanno lo stesso indice di radice il loro prodottoo è uguale ad un radicale con lo
stesso indice di radice ed il radicando uguale al prodotto dei due radicandi:
n
x ⋅ w = xw
n
n
Esempio: usare la regola del prodotto per moltiplicare
Risulta:
3
3
3e
3
2
3 ⋅ 2 = 3⋅ 2 = 6
3
3
3
Esempio: le regole della somma e del prodotto siano da applicare all’espressione:
2 2+2 8
Risulta:
2 2 + 2 4 ⋅2 = 2 2 + 2 4 2 = 2 2 + 2⋅2 ⋅ 2 = 2 2 + 4 ⋅ 2 = 6 2
Esempio: applicare la regola del prodotto all’espressione
3 3⋅4 3
Risulta, dopo aver moltiplicato i coefficienti dei due radicali:
12 3 3 = 12 3 ⋅ 3 = 12 9 = 12 ⋅ 3 = 36
3x
3
Esempio: semplificare l’espressione
WARNING
Non commettere l’errore di semplificare la radice di 3 con 3
3x
3⋅ x
=
≠ x
3
3
Il risultato sarà pertanto:
QUOZIENTE DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE
Se due radicali hanno lo stesso indice di radice il loro quoziente è uguale ad un radicale con lo
stesso indice di radice ed il
radicando uguale al quoziente dei
n
due radicandi:
x
x
=
w
w
n
n
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11
Esempio: usare la regola del quoziente per effettuare il quoziente tra
3
Risulta:
e
3
3
3
2
3
3
=
2
2
3
3
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3.
12
SEMPLIFICAZIONI DI RADICALI
RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI
a. Il radicale può essere scritto nella notazione esponenziale rispettando la seguente regola:
m
n
x =x
m
n
Esempi: i seguenti radicali:
notazione esponenziale nel modo seguente:
4 = 41 2
3
4, 8,
3
possono essere espressi con la
243
5
8 = 81 3
5
243 = 2431 5
Per i primi due esercizi i risultati si possono semplificare ulteriormente utilizzando la regola delle
potenze (potenza di potenza).
1
1
1
4 = 4 = (2 ) = 2
2
2
2
8 = (2 ) = 2
3
3
5
3
1
5
243 = 243 = (3 ) = 3
15
5
b. Il radicale può essere semplificato se, dopo aver scomposto in fattori primi l’indice di
radice e l’esponente del radicando, uno dei fattori è comune in entrambe le scomposizioni,
ossia:
x
np
Esempio: il radicale
35
21
2
35
=
mp
x
n
m
può essere semplificato nel modo seguente:
2 = 2 = 2
21
5•7
3•7
3
5
72
Esempio: semplificare il radicale
Dopo aver scomposto il numero 72 in fattori primi si applica la regola appena menzionata:
72 = 36 ⋅ 2 = 6 ⋅ 2 = 6 ⋅ 2
2
c. Un modo per semplificare un radicale quando si presenta nella forma riportata di seguito, con m,
n, o maggiore o uguale ad n:
n
m
n
x w z
o
è riportato con l’esempio riportato di seguito.
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13
Esempio: semplificare
5
6
96 x y z
3
8
Step 1: scomporre in fattori primi ed espandere le potenze
2 ⋅ 2⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅3⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z
3
Step 2: isolare a gruppi di tre (è il valore dell’indice di radice) ciascun fattore e riportarlo
in basso
2 ⋅ 2⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅3⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z
3
2
x
y
y
z
z
Step 3: portare fuori dal segno di radice ciascun fattore individuato nel punto precedente
2 ⋅ x ⋅ y ⋅ y ⋅ z ⋅ z ⋅ 2⋅ 2 ⋅3 ⋅ x ⋅ x ⋅ z ⋅ z
3
Step 4: semplificare effettuando i prodotti
2 ⋅ x ⋅ y ⋅ z ⋅ 12 ⋅ x ⋅ z
2
2
2
3
2
Esempio: come si può semplificare la radice quadrata di x elevato alla settima?
x
Osserviamo la seguente sequenza:
x =x
7
x =x
1
x =x x
2
x =x
5
2
x =x
3
x =x
6
x
3
4
x =x
7
3
2
x
E quindi:
Una reg ol a general e può esser e qu el l a di di vi dere l ’espon en te d el radi cando per du e e
l asci are i l resto nel radi cand o.
Per esten si on e, se n è mag gi ore di m, n/ m = q e resto s
m
Ed. 1.0
x =x
n
q
x
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s
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Esempio: semplificare
x
7
Risulta che 7/2 = 3 con resto 1, quindi
x
3
x
RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI
Ed. 1.0
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I radicali
15
ðððððððððððððððððððððððððððððððððððð
Qualsiasi osservazione che possa contribuire a rendere il
documento più completo è ben accolta!
[email protected]
ðððððððððððððððððððððððððððððððððððð
Ed. 1.0
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