I Radicali
Definizione e caratteristiche
Dato un numero reale non negativo a ed un numero intero positivo n, esiste uno ed un solo numero reale
non negativo b tale che bn = a. Il numero b si dice radice n-esima assoluta di a ed in simboli si scrive
bn a
Il simbolo
n
a
(con n ≥ 2) prende
 il nome di radicale, a è l’argomento del radicale o radicando, il
numero n è l’indice del radicale, il numero n a è la radice n-esima di a.

indice

Se a si può esprimere come potenza, cioè se il radicale
si può esprimere nella forma n p m , il numero
radicando e m si dice esponente del radicando.

pm
è il
3
√
64
esponente del
radicando
radicando
1
I Radicali
Definizione e caratteristiche
• Dalla definizione si ha che
 a  a
n
n
ESEMPIO
 3  3
2

2
• Un radicale di indice 2 è un radicale quadratico.

2
a
: radice quadrata di a
L’indice 2 può essere omesso:
2
a a
• Un radicale di indice 3 è un radicale cubico.
3
a
: radice cubica di a

ESEMPI
7 è un radicale quadratico
3
5
è un radicale cubico
2
I Radicali
Proprietà invariantiva
Il radicale che si ottiene moltiplicando l’indice della radice e l’esponente del radicando per uno stesso
numero intero positivo ha lo stesso valore del radicale dato; in simboli:
n
am 
np
amp
con
p  Z
ESEMPIO

3
72  32 722  6 74

Grazie a questa proprietà si possono definire le seguenti operazioni:

• semplificazione di radicali
• moltiplicazione e divisione tra radicali
• portar dentro o portar fuori dal simbolo di radice i possibili fattori
3
I Radicali
Semplificazione
La semplificazione di un radicale
Se in un radicale l’indice della radice e l’esponente del radicando hanno un fattore comune, il radicale che
si ottiene dividendoli per tale fattore ha lo stesso valore di quello dato; in simboli:
np
amp  n am
ESEMPI

6
42 3
81  3  32  3 9
3
6
4
2 3 
6
2
4


2 3
3
2
 23  3  24
Radicale irriducibile: radicale in cui l’indice della radice e l’esponente del radicando non hanno fattori
comuni.
Per ottenere con la semplificazione un radicale irriducibile basta dividere l’indice e l’esponente del

radicando per il loro M.C.D.
ESEMPIO
8

2 3
2
3

4

8

2 3
2
3

4
 22  33  108
4
I Radicali
Semplificazione
La semplificazione e il valore assoluto
Nella definizione di radicale abbiamo richiesto che il radicando sia positivo o nullo. Se il radicando
contiene una o più lettere dobbiamo porre le condizioni di non negatività.
ESEMPIO
x 1
Ha significato solo se x
– 1 ≥ 0, cioè per x ≥ 1
Nella semplificazione di radicali con radicando letterale a volte si ottiene come risultato un radicale che ha
significato per 
valori delle variabili diverso da quello di partenza.
ESEMPIO
4
2x  1 
2
definito in R
2x  1
definito per 2x + 1 ≥ 0
x≥−
1
2

Per mantenere l’uguaglianza
occorre rendere positiva l’espressione 2x + 1 utilizzando l’operatore valore
assoluto.
5
I Radicali
Proprietà
Ricordiamo la definizione di valore assoluto di un numero:
a
se a
>0
−a
se a
<0
|a|=
Quindi:
4
2x  1 
2
2x  1
con
x R
ESEMPIO

4
a2 b8  a b4
6
I Radicali
Semplificazione
Regola pratica per stabilire quali sono i fattori di cui dobbiamo considerare il modulo:
 in generale, si deve considerare il modulo di quei fattori che, elevati a potenza pari prima della
semplificazione (che garantisce sempre la non negatività) diventano elevati a potenza dispari dopo la
semplificazione (che non garantisce la non negatività).
4
x2 
x2  x
x
 non va mai messo il valore assoluto ai radicandi che, prima della semplificazione, hanno potenza


dispari perché la condizione di esistenza impone già che essi siano positivi.
6
x3  x
3
x3  x
7

I Radicali
Operazioni con i radicali quadratici
Forma del radicale quadratico:
a
con a
>0
Prodotto e quoziente di radicali quadratici
Teorema. Il prodotto o il quoziente di due radicali quadratici è un radicale quadratico che ha come
 il prodotto e il quoziente dei radicandi:
radicando rispettivamente
a  b  ab
con a,
a
a

b
b
b≥0
con a
≥ 0, b > 0
ESEMPIO

3 1 3
3 1 3
3 1 82
1

:

 : 
 

4 6 8
4 6 8
4 63 3
3
8
I Radicali
Operazioni con i radicali quadratici
Elevamento a potenza di radicali quadratici
Per elevare a potenza n-esima un radicale quadratico, si eleva a quella potenza il radicando:
 
a
k
 ak

ESEMPIO
 
3
4
 34  32  9

9
I Radicali
Operazioni con i radicali quadratici
Il trasporto dentro e fuori il simbolo di radice
Per trasportare un fattore esterno a sotto il simbolo di radice quadrata ci si comporta così:
• se a ≥ 0 si eleva a al quadrato e si lascia il segno positivo all’esterno:
a b  a2 b
• se a < 0 si trasforma a in −(−a), si eleva −a al quadrato e si lascia il segno negativo all’esterno:
a b   a2 b

ESEMPI

3 2  32  2  18
2 5   22  5   20


se
x≥0
se
x<0
x 2

x 2  2  2x 2
 x   2   2x 2
2
10
I Radicali
Operazioni con i radicali quadratici
Per trasportare un fattore fuori dal simbolo di radice quadrata ci si comporta così:
am
dato il radicale
con a
≥ 0 e m > 2, se indichiamo con:
• q il quoziente intero della divisione di m per l’indice della radice (nel caso di radicali quadratici m : 2)

• r il resto di tale divisione
am  aq a r
vale la seguente relazione
ESEMPIO
a7

con
a0
quoziente
3
a3 a1
7:2
resto
esponente
quindi
a7  a3 a
1
indice


11
I Radicali
Operazioni con i radicali quadratici
ESEMPIO
24  35  7
Il fattore 7 non si può portare fuori dal simbolo di radice perché il suo esponente 1 è minore dell’indice
2 della radice; agli altri fattori invece si può applicare la regola precedente:

24 esponente 4
35 esponente 5
In definitiva:

4:2=2
5:2=2
con resto 0
con resto 1
fattore esterno 22
fattore esterno 32
fattore interno 20 cioè 1
fattore interno 31 cioè 3
24  35  7  22  32  1 3  7  36 21
12
I Radicali
Operazioni con i radicali quadratici
Addizione e sottrazione
a  b  a b
Infatti:
25  9  5  3  8
mentre
a  b  a b
Infatti:
25  9  5  3  2
mentre
25 9  34
25  9  16  4
L’addizione e la sottrazione
tra più radicali dà come risultato un unico
radicale solo nel caso di radicali


simili.
ESEMPI
Sono simili i radicali

3
e
4 3

perché hanno la stessa parte radicale.
3  4 3  31 4  3 3
4 2  3 2  24  3  7 2



3 4 2 2 3 5 2  3 3 2
13
I Radicali
Radicali cubici e operazioni con i radicali cubici
Forma del radicale cubico:
vale l’uguaglianza
3
3
a
a  3 a
con a
>0
Un segno negativo all’interno di un radicale cubico può essere trasportato all’esterno.

Operazioni con i radicali cubici

3
• Prodotto e quoziente:
3
a  b  ab
3
3
3
a
a

b
b
con
b0
ESEMPIO
3

1 3 3
1
1
1
1
1
3 
3
3
3
3
: 8  16 

  16    16  
4
4 8
4 8
2



14
I Radicali
• Potenza:
 
3
a
n
Operazioni con i radicali cubici
 3 an
ESEMPIO
 3x y   3x y  
3

2
2
3
2
2
3
9x 4 y 2

• Trasporto sotto al simbolo di radice
Si eleva al cubo il valore assoluto del fattore esterno lasciando fuori il segno.
ESEMPIO
3 2  3  2  54
3

3
3
3
2
3
1

2
3
1
2   3 4
2
3
15
I Radicali
Operazioni con i radicali cubici
• Trasporto fuori al simbolo di radice
Si possono trasportare all’esterno solo i fattori il cui esponente m è maggiore o uguale a 3; se q è il
quoziente intero della divisione di m per 3 e r è il resto della divisione:
3
am  aq 3 a r
ESEMPIO
3
25  23 22

nella divisione 5
: 3, il quoziente è 1 e il resto è 2

• Addizione e sottrazione
Si possono eseguire solo tra radicali simili.
ESEMPIO
3
4  23 5  23 4  73 5  1 2 3 4  2  7 3 5  33 4  53 5
16
I Radicali
Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi
Le operazioni che abbiamo imparato ad eseguire tra radicali quadratici e cubici si possono eseguire tra
radicali di indice n qualsiasi con le stesse regole già enunciate tenendo presente che:
• prodotti e quozienti di radicali si possono eseguire solo tra radicali aventi lo stesso indice; in questo
caso:
n
n
a  a  ab
n
n
con a, b
0
n
a na

b
b
con a
 
n
• per elevare a potenza un radicale si eleva a quella potenza il radicando:


 0, b  0
a
• un fattore positivo si può trasportare sotto il
simbolo di radice elevandolo a potenza n:
k
 n ak
a  n b  n an b
• un fattore si può trasportare fuori dal simbolo di radice solo se il suo esponente è maggiore o uguale

all’indice della radice, ed è:
n
am  aq n a r

con q quoziente intero della divisione m:n
e r resto della divisione.
• somme e differenze di radicali si possono eseguire solo tra radicali simili.
17
I Radicali
Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi
ESEMPI
3  4 12  4 3 12  4 36  4 62  6
4
 
5
3
6
4
2
4
3
 5 23  5 8
1 4 4 1 4 3 4
 3   3  27
3
3
128  6 27  26 2
5  24 5  74 5  4 51 2  7  4 4 5
18
I Radicali
Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi
Nel caso di radicali di indici diversi la procedura per eseguire il prodotto o il quoziente è la seguente:
• si riducono i radicali allo stesso indice, che è il m.c.m. tra gli indici delle radici
• si esegue il prodotto o il quoziente
• si semplifica, se possibile, il radicale ottenuto.
Per ridurre i radicali allo stesso indice si applica la proprietà invariantiva.
ESEMPIO
4
25  6 45  3 4
Scomponiamo innanzi tutto i radicali e vediamo se è possibile semplificarli:
4
25  4 52  5

6
45  6 32  5
irriducibile
3
4  3 22
irriducibile
Le tre radici hanno rispettivamente indice 2, 6, 3, quindi l’indice comune è 6:
5  6 53  6 125

6
45
3

22  6 24  6 16
19
I Radicali
Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi
ESEMPIO
Quindi per eseguire la moltiplicazione
4
25  6 45  3 4
bisognerà eseguire la stessa operazione sulle radici di indice 6 e semplificare eventualmente il
radicale ottenuto:

4
25  6 45  3 4  6 125  6 45  6 16  6 125 4516  6 90000
Semplifichiamo il radicale:

6

90000  6 24  32  54  3 22  3  52  3 300
20
I Radicali
n m
a  nm a
con a
≥0
ESEMPI

64 6
4 4

3

3 2

Radice di radicale
6
e semplificando il radicale
6
22  3 2
32  2  4 18
21
I Radicali
Radicali quadratici doppi
Forma del radicale quadratico doppio:
a b
Alcuni radicali doppi possono essere facilmente trasformati nella somma algebrica di radicali semplici,
riconoscendo nel radicando il quadrato di un binomio.

ESEMPIO
7  2 6  6 1 2 6 
 6 1 
2
6 1

22
I Radicali
Radicali quadratici doppi
In alternativa, se a2 – b è un quadrato perfetto, si può usare la formula:
a  a2  b
a  a2  b
a b 

2
2
ESEMPIO
12 3 7  12 63

Calcoliamo
a2 – b = 144 – 63 = 81 = 92

12  92
12  92
12  9
12  9
21
3
12  3 7 





2
2
2
2
2
2
23
I Radicali
Razionalizzazione
Razionalizzare il denominatore di una frazione significa trasformare la frazione in un’altra equivalente
che abbia denominatore razionale.
La trasformazione viene effettuata applicando la proprietà invariantiva della divisione, moltiplicando
numeratore e denominatore per un opportuno fattore razionale, detto fattore razionalizzante.
1
a
• Frazioni del tipo
; il fattore razionalizzante è
a
ESEMPIO
1
1 3
3


3 3  3 3

• Frazioni del tipo
1
3
ak

; con k < 3 il fattore razionalizzante è
3
a3k
ESEMPIO

3
1
1 3 52
25 3 25

3

3
3 
2
3
3
5
5
5 5
5
24
I Radicali
1
a b
Frazioni del tipo
ESEMPIO
1
 
3 2
Razionalizzazione

; il fattore razionalizzante è

2 3 2


3 2
am b

  2 3  2 2 3  2


3

2
    
 2 3  2

2
3 2
3  2
2

a
3
Frazioni del tipo
3
1
a3 b
; il fattore razionalizzante è
ESEMPIO
3
1

3
2 3
3

b 
a2  3 ab  3 b2
2
 3 ab  3
2

3
43 63 9
 2  3 
3
3
3
43 63 9


3
3
23
4 6 9
3

 4
3
3
63 9

25
I Radicali
Potenze ad esponente razionale
Se a ≥ 0 e m, n sono interi positivi, allora:
m
n
a  n am
Il denominatore n della frazione dell’esponente diventa l’indice della radice.
Il numeratore m diventa l’esponente del radicando.

ESEMPI
43 / 2  43  26  23  8
Se l’esponente è un numero negativo, occorre prima invertire la base:
13 / 2
3/2
3
   5  5  5 5
5 
26

I Radicali
Potenze ad esponente razionale
Per le potenze ad esponente razionale valgono le seguenti proprietà che derivano dalle consuete
proprietà delle potenze:
.
am/n  ap/q = am/n + p/q
.
am/n : ap/q = am/n − p/q
.
(a  b)m/n = am/n  bm/n
.
(a : b)m/n = am/n : bm/n
.
(am/n)p/q = amp/nq
ESEMPIO
1
2
2
3
3
4
5
12
2  2 : 2  2  12 25

 
a  
a  a



1
1 2
1 3
2
1
1 2
3 3
2
1
1
 

3
       1 2  3 2
4
3
2
2
4


a


a


a

a


a


a

a


     
 
  
      
 

27