Prof.ssa A.Comis
1
Definizione e proprietà
Operazioni
Trasporto dentro e fuori
Radicali simili
Razionalizzazione
Radicali doppi
2
Definizione
Dato un numero n intero positivo, si chiama
radice nma aritmetica del numero non
negativo a il numero reale non negativo b
che, elevato ad n, dà per risultato a.
n
a
3
Questo numero reale non negativo si indica con:
Dalla definizione risulta:
 a
n
n
n
a
a
ovvero, se a e b sono numeri reali non negativi, si ha l’equivalenza
b a
n
b 
n
 a
n
n
a
cioè:
b a
n
• dove a si chiama radicando, n si chiama
indice del radicale e b si chiama radice.
• Possiamo quindi dire che l’operazione di
estrazione di radice è inversa a quella di
elevamento a potenza.
4
Osservazioni importanti
Se n  0
il simbolo
Se n  1
1
Se n  2
2
a a
0
a è privo di significat o.
perchè a1  a.
a si scrive omettendo l' indice , cioè
legge radice quadrata di a.
Se n  3
3
a si legge radice cubica di a.
Se n  0
n
o  0 perchè 0 n  0.
In generale il simbolo
n
a e si
a si legge radice ennesima di a.
5
L’operazione con a quale si passa dal numero a al numero
si chiama estrazione di radice ennesima.
Esempio:
5
32  2
5
n
a
32  ?
poiché
2  32
5
Ricorda che:
 32 
5
5
 32
e si legge : “ la radice quinta di 32 è uguale a 2”. In particolare:
 2 si dice radice;
 32 si dice radicando;
 si dice segno di radice;
 5 32 si dice radicale;
 5 si dice indice del radicale.
6
Proprietà invariantiva
• Il valore di un radicale aritmetico non
cambia se si moltiplicano l’indice e
l’esponente del radicando per uno
stesso numero intero positivo.
np mp
a  a
n m
7
Esempi
3
a2 
4
a 2b 3 
3
4
2x
9

a6
6
20
a10 b15
2
2 x
8

6
4 x8
8
Semplificazione o Riduzione
• La proprietà invariantiva si può “invertire”, cioè
possiamo dire che :
• Il valore di un radicale aritmetico non cambia se si
dividono l’indice e l’esponente del radicando per
uno stesso numero intero positivo.
• Quando ciò è possibile, diciamo che il radicale è
RIDUCIBILE e l’operazione si chiama
semplificazione.
• Se l’indice e l’esponente del radicando non hanno
fattori comuni, il radicale si dice IRRIDUCIBILE.
9
Esempi di riduzione
6
4 x 6  22 x 6  2 x3
8
16a 4b 2c 6  2 4 a 4b 2c 6  4 4a 2bc3
3
a 2 è irriducibi le
3
x 3  y 3 è irriducibi le
4
x 2  4 x  4  4 ( x  2) 2  x  2
6
8a 3b 6  23 a 3b 6  2ab 2
6
3
8
6
10
Riduzione allo stesso indice
La proprietà invariantiva che abbiamo già studiato
permette di ridurre più radicali aritmetici allo stesso
indice, senza alterarne il valore, mediante la seguente
regola:
• Si scrivono i radicali in forma irriducibile.
• L’indice comune dei radicali è il m.c.m. fra
TUTTI gli indici.
• Si divide tale indice comune per ogni indice dei
radicali dati ed il quoziente si moltiplica per il
corrispondente esponente del radicando.
11
Esempi
3
a2
4
a3
6
a
12
a8
12
a9
12
a2
4
3a 2b3
20 5 10 15
3 a b
5
2a 3b
20
2 4 a12b 4
Diventano :
a
Diventano :
20 10
a
12
Prodotto di radicali
• Il prodotto di due o più radicali ridotti allo
stesso indice, è un radicale che ha lo stesso
indice dei radicali dati e per radicando il
prodotto dei singoli radicandi.
Esempi.
3
5
4a 2 3 5a  20a 3
3
2a
35
a
25
3a  6a 9
4
5
13
Quoziente di radicali
• Il quoziente di due radicali ridotti allo stesso
indice, dei quali il secondo abbia il
radicando diverso da zero,è un radicale che
ha lo stesso indice dei radicali dati e per
radicando il rapporto dei singoli radicandi
Esempi
3
a2

3
5
5
5
3x 4
4x
2
3

a2
5
5
3x 4

2
4x
5
3 2
x
4
14
Potenza di un radicale
• La potenza p-esima di un radicale, con p
intero non negativo, è un radicale che ha lo
stesso indice del radicale dato e per
radicando la potenza p-esima del radicando.
Esempi
(
3
(
7
a)
2

2
3
3
3a b )
a
4
2

7
8
12
81a b
15
Radice di un radicale
• La radice m-esima di un radicale è un
radicale che ha per indice il prodotto degli
indici e per radicando lo stesso radicando
del radicale dato.
16
Riassumendo
Abbiamo quindi visto che:
n
a n b  n ab
n
n
(
n
a

b
a)
m n
a
b
n
p

a 
n
a
mn
a
p
17
Trasporto di un fattore sotto il
segno di radice
• Per trasportare un fattore all’interno di un
radicale, basta semplicemente elevarlo ad
un esponente pari all’indice del radicale
dato.
Esempi
3 a 
32 a 
x 2 3 5x 
3
9a
x6 5x 
1 4 3 5
a b 
ab
4
3
5x7
1
3 5
a
b 
4 4
a b
4
b
a
18
Trasporto di un fattore fuori
dal segno di radice
Dato un radicale di indice n, un fattore del
radicando con esponente p multiplo di n,
può essere trasportato fuori dal segno di
radice come potenza di uguale base e con
un esponente pari al quoziente tra p ed n.
Esempi
4
a b a ab a
3
27a b c  3 a b c c  3a bc c
7
4
6 3 5
4 3
3
4
44
a ba a b
3
3 6 3 3 2
4
2
3
3
2
19
Regola per il trasporto di un
fattore fuori dal segno di radice
Se l’esponente p di un fattore del radicando è
maggiore di n ma NON è multiplo di n, il fattore
può essere parzialmente trasportato fuori dal segno
di radice con la seguente regola:
• La parte del fattore che esce fuori, è una potenza
con la stessa base che ha per esponente il
quoziente tra p ed n;
• La parte del fattore che rimane dentro, è una
potenza che ha la stessa base e per esponente il
resto del quoziente tra p ed n.
20
Esempi
3
a b c  ab
5 7 2
23
a 2bc 2
a10 b  a 5 b
4
a 4b  a 4 c  4 a 4 (b  c)  a 4 b  c
a  2ab  b
4a
2
2

( a  b)
22 a
2
ab

2
3
a b c a b c
5
32( a  b) 9  2( a  b)5 ( a  b) 4
8 16 9
2 5 33
1
a
a 2b
21
Radicali simili
• Due o più radicali irriducibili si dicono
simili quando hanno lo stesso indice e lo
stesso radicando.
• Come per i monomi, la somma algebrica di
più radicali simili è un radicale simile a
quelli dati che ha per coefficiente la somma
algebrica dei coefficienti.
22
Osservazione
• E’ importante sottolineare che la somma
algebrica di più radicali con lo stesso indice
NON è il radicale della somma. Cioè sono
ERRATE le seguenti scritture:
a  b  ab
3
2a  3b  2a  3b
2
3
3
2
23
Espressioni con i radicali
• Si chiama Espressione con i radicali una
espressione nella quale figurano operazioni
sui radicali. Vediamo qualche esempio:
125  45  20  5 5  3 5  2 5  4 5
x  y  16 x  16 y  a 2 x  a 2 y  2 9 x  9 y 
 x  y  16( x  y )  a 2 ( x  y )  2 9( x  y ) 
 x y 4 x y a x y 6 x y 
 x  y (1  4  a  6)  (a  1) x  y
24
Altri esempi
84 a 3  33 a  24 a 3  3 a  94 a 3  23 a  4 a 3
9a 3  4ab 2  2a a  3b a  ab 2  3a a  2b a  2a a  3b a  b a 
 a (3a  2b  2a  3b  b)  a a
2 ( 6  2 )  3 (2  3 )  12  2  2 3  3  2 3  1  2 3  1
5
a5  a5 x
b5  b5 x
32  32 x
a 5 (1  x)
b 5 (1  x)
32(1  x)
5
5
5
5
5






5
5
5
5
5
5
1

y
1

y
b b y
a a y
b (1  y )
a (1  y )

a 1 x b 1 x
1 x
1 x a b
5
 5
 25
5
(   2) 
b 1 y a 1 y
1 y
1 y b a
1  x a 2  b 2  2ab
( a  b) 2
5
(
)
1 y
ab
ab
5
1 x
1 y
25
Razionalizzazione
• Razionalizzare significa rendere razionale il
denominatore di una frazione.
• Per razionalizzare una frazione basta
moltiplicare sia il numeratore che il
denominatore per un opportuno fattore
diverso da zero.
26
1° caso
• Se il denominatore della frazione è un
radicale quadratico irriducibile, cioè se è del
tipo :
a
b
Il fattore razionaliz zante è b e quindi si ha :
a
a b
a b


b
b
b b
27
2° caso
• Se il denominatore della frazione è un
radicale irriducibile di indice qualunque,
cioè se è del tipo :
a
n
bm
Il fattore razionaliz zante è
e quindi si ha :
a
n
bm

n
a b
n
n -m
bm bnm
n
n
bnm
n
n -m
a b

b
28
Esempi
3
3 2
3 2


2
2
2 2
3
3 5
15


10
2 5 2 5 5
6
6 2
6 2 3 2



10
5
5 2 5 2 2
3
5
23

a2
7
8 a
4
5
3 22
5

2
35
22

7
a 2 a3
7
8 a
47
a
3
35 4
5
35 4

2
25

7
a 2 a3
7
8 a7
7
7
a 2 a3
a a3


8a
8
29
3° caso
• Se il denominatore della frazione è la
somma algebrica di due radicali quadratici,
cioè se è del tipo :
a
b c
il fattore razionaliz zante è b  c
a
a( b  c )
a( b  c )


bc
b  c ( b  c )( b  c )
30
Osservazione
• Si applica un analogo procedimento se la
frazione è del tipo :
a
a ( b  c)
a ( b  c)


2
b  c ( b  c)( b  c)
bc
Oppure se :
a
a(b  c )
a(b  c )


2
b  c (b  c )(b  c )
b c
31
Esempi
3
3( 5  2 )
3( 5  2 ) 3( 5  2 )



 5 2
52
3
5  2 ( 5  2 )( 5  2 )
4 5
4 5 ( 6  3)
4 5 ( 6  3) 4 5 ( 6  3)



63
3
6  3 ( 6  3 )( 6  3 )
6  2 ( 6  2 )( 3  1)
18  6  6  2 3 2  2 6  2



3 1
2
2
3 1
4 2  2 6 2(2 2  6 )


2 2 6
2
2
4
4(3  7 )
4(3  7 ) 4(3  7 )



 2(3  7 )
97
2
3  7 (3  7 )(3  7 )
32
4° caso
• Se il denominatore della frazione è la
somma di tre o quattro radicali quadratici,
cioè se è del tipo :
m
n
oppure
a b c
a b c d
nel primo caso si procede così :
m
m( a  b  c )
m( a  b  c )


a  b  c ( a  b  c )( a  b  c )
( a  b )2  c
nel secondo il fattore razionaliz zante è ( a  b )  ( c  d )
E' evidente che si ritorna nei casi precedenti .
33
5° caso
• Se, infine, il denominatore della frazione è
la somma algebrica di due radicali cubici,
cioè se è del tipo :
c
3
a 3 b
allora, ricordando i prodotti notevoli, il fattore razionaliz zante è :
( a 2  3 ab  b 2 )
3
3
34
Esempi
2( 2  3  1)
2( 2  3  1)



2
2  3  1 ( 2  3  1)( 2  3  1) ( 2  3)  1
2
2( 2  3  1) 2( 2  3  1)


 .......... .......... .......... ..
2  2 6  3 1
2 64
7
7(3 25  3 10  3 4 )
7(3 25  3 10  3 4 )
 3 3 3

 ......
3
3
3
3
52
5  2 ( 5  2 )( 25  10  4 )
35
Radicali doppi
• Si chiama radicale quadratico doppio ogni
espressione della forma :
a  a2  b
a  a2  b
a b 

2
2
Esempio
5  25  21
5  25  21
52
52




2
2
2
2
7
3
7
3
14
6
14  6




 Razionaliz zando


2
2
2
2
2
2
2
5  21 
E' evidente che ha senso applicare queste formule SOLO se
a 2 - b risulta un quadrato perfetto.
36
Potenza con esponente razionale
• Per concludere l’argomento dei radicali trattato
fin qui, possiamo ampliare il concetto di
potenza di un numero già studiato, e dire che:
m
an

n
am

e
a
m
n
n
1
am
(se
m
 0)
n
Esempi :
4
35

2
 34
5
1
3
3
1
8
(a
3
 b) 7
 7 ( a  b) 3
3
3 5 5 4 3
( )  ( )
4
3
37