“UN MODELLO PER
UN IDEALE”
Legge di Boyle - Mariotte
Progetto lauree scientifiche
A.S. 2006-2007
ISTITUTO D’ ISTRUZIONE
SUPERIORE
“ADRIANO
TILGHER”
via casacampora, 3 – 80056
ERCOLANO (NA)
e-mail: [email protected]
web:istitutotilgher.it
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MODELLO MATEMATICO
• Un modello matematico è la rappresentazione
di un “fenomeno”
• Tale rappresentazione non è discorsiva o a
parole,ma formale, espressa cioè in linguaggio
matematico
• Non esiste una via diretta dalla realtà alla
matematica,ovvero,il fenomeno specifico non
determina la sua rappresentazione
matematica; ciò che si fa è tradurre in
formule idee, conoscenze ed esperienze
relative ad un fenomeno
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IPERBOLE
• Definiamo l’iperbole come il luogo geometrico dei punti P del
piano per i quali è costante il valore assoluto della differenza
delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi.
{│d(PF1)- d(PF2)│=k}
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I semiassi a, b, individuano un
rettangolo che ha le seguenti
caratteristiche: mentre l'ellisse è
tutta contenuta dentro a questo
rettangolo, l'iperbole ne è tutta
all'esterno.
In particolare l'iperbole è limitata
dalle rette che contengono le
diagonali di questo rettangolo.
Tali rette sono anche dette asintoti
dell'iperbole.
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Se a = b l’iperbole si dice
•
•
IPERBOLE EQUILATERA
Gli asintoti sono le bisettrici dei quadranti e sono perciò perpendicolari tra loro.
Assumendo come assi cartesiani gli asintoti dell’iperbole equilatera, il nuovo
sistema XOY si può pensare ottenuto dal sistema xOy mediante una rotazione di
un angolo di ampiezza π/4 attorno ad O. Utilizzando le formule di rotazione che
consentono di passare dal sistema xOy al sistema XOY e viceversa, si ottiene
l’equazione di un’iperbole equilatera riferita agli asintoti.
xy = c , con c ≠0
c>0 l’iperbole è nel 1° e 3° quadrante c<0 l’iperbole è nel 2°e 4 quadrante
•
•
XY=-2
XY=2
5
3
4
2
1
3
0
2
-10
1
-8
-6
-8
-6
-4
-2
-1 0
-2
-1 0
2
4
-2
0
-10
-4
2
4
6
-2
-3
-4
-5
-3
L’iperbole è solo un luogo geometrico?.... Proviamo a scoprire quali
fenomeni può rappresentare!...... e così, parlando di gas …….
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6
La legge di Boyle-Mariotte
• La legge di Boyle e Mariotte afferma che in condizioni di
temperatura costante la pressione di un gas è inversamente
proporzionale al suo volume, ovvero che il prodotto della
pressione del gas per il volume da esso occupato è costante. Tale
costante è funzione della temperatura assoluta, della natura e
della mole del gas.
pV = costante
• La legge può essere scritta anche con la seguente notazione più
completa:
[pV]T = K(T)
nella quale viene indicato che la costante varia con la temperatura e che
la legge vale a temperatura costante e non troppo prossima alla
temperatura di liquefazione dei gas.
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La legge di Boyle-Mariotte
Il grafico qui sotto riporta i dati dell'esperimento originale di Boyle (1662);
sull'asse delle x è riportato il volume espresso in pollici cubi, mentre l'asse
delle y riporta l'altezza della colonna di mercurio in pollici, che, per la legge di
Stevin è proporzionale alla pressione a cui è sottoposto il gas. In questi dati il
prodotto della pressione per il volume è effettivamente costante con un
errore relativo dell' 1,4%.
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ESPERIENZA
• Abbiamo ripetuto un’esperienza riportata in rete:
materiale occorrente:
• Una siringa di materiale plastico, graduata in ml munita di
stantuffo e pistone a tenuta d’aria;
• Basi di legno: una per poggiare i carichi sullo stantuffo della
siringa, un’altra per poggiarvi la siringa;
• Pacchetti di piastrelle, ben legate; la massa di ogni pacchetto era
di circa 945 g;
• Un po’ di plastilina per la doppia funzione: fissare la siringa alla
base di legno e tappare il suo ugello per impedire la fuoriuscita
dell’aria intrappolata;
• Colla
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Esecuzione dell’esperienza:
•
Si legge il livello al quale si trova la base inferiore del pistone quando sulla siringa
è poggiata la base di esso; in questo modo si ottiene il volume del gas in cm3 V1=
40cm3
•
Si misura il diametro del cilindro della siringa e si calcola la superficie
(28,55:2)2 x 3,14=639,85mm3
•
L’ aria in questo stato è compressa e la pressione è data dalla somma della
pressione atmosferica con quella esercitata dalla somma dei pesi della base di
legno superiore e dal pistone e dallo stantuffo della stessa siringa.
•
Si carica lentamente la struttura con il primo blocco di piastrelle e si attende che
la posizione si stabilizzi; il volume V1=40cm3;
•
si aggiunge il secondo blocco di piastrelle e si effettua la nuova lettura;
•
si ripetono le operazioni aggiungendo successivamente, uno alla volta, gli altri tre
blocchi.
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TABELLA DEI RISULTATI
situazione
peso
carichi in
grammi
base di
appoggio
+pistone
peso in
grammi
peso in
N:Bx
0,00981
Pressione
dei carichi
:peso
x(1/superfic
e)
65,52
0,6427512
1004,52564
102004,5256
0,000043
4,3861946
pressione totale= pres.
carichi + pres. atmosferica
volume in
m.cubi
PV= k
blocco 1
945
1010,52
9,9132012
15492,8762
116492,8762
0,000037
4,31023642
blocco 2
934
1944,52
19,0757412
29812,5794
130812,5794
0,000032
4,18600254
blocco 3
939
2883,52
28,2873312
44208,9404
145208,9404
0,000028
4,06585033
blocco 4
940
3823,52
37,5087312
58620,6331
159620,6331
0,000025
3,99051583
MEDIA DEI VALORI DI k
4,18775994
Valori di riferimento adottati
Pressione atmosferica (Pa)
101000
Diametro cilindro (mm)
28,55
Sezione pistone(cilindro) in cm2
6,398555
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0,000639855
Considerazioni
• Una volta rilevate le
letture dei volumi e
delle masse utilizzate
sono stati elaborati i
dati nel laboratorio di
informatica. Il valore
della costante prevista
dalla legge di Boyle, con
i dati riportati in
tabella, è molto vicino a
pV=4,16 J
PV= k (Costante di Joule)
4,5
4,4
4,3
4,2
4,1
PV= k
4
3,9
3,8
3,7
1
2
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3
4
5
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8
9
Legge di Boyle
Se si riportano nel piano (p,V) i valori trovati nelle misure di una massa
di gas a temperatura costante in cui varia il volume e si raccordano, si
ottiene un ramo di iperbole equilatera chiamata ISOTERMA.
pressione tot
risultato finale
180000
160000
140000
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
159620,6331
145208,9404
130812,5794
116492,8762
102004,5256
0,000025
0,000028
0,000032
volume in m.cubi
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0,000037
0,000043
Un po’ di storia …………….
Ai risultati sperimentali di Boyle –Mariotte sono poi succeduti i risultati
di Gay-Lussac riguardanti le trasformazioni isobariche:
Vt=V0 (1+αt)
α:=1/273 (coeff. di dilatazione per temperature lontane dal punto di
liquefazione del gas), V0 volume gas a 0°C
ed anche le trasformazioni isometriche:
pt=p0 (1+βt)
β=(1/273) (coeff. di dilatazione per temperature lontane dal p.to di
liquefazione del gas), p0: pressione del gas a 0°C.
Queste leggi “empiriche” hanno contribuito alla formulazione la legge di
stato dei gas perfetti.
Tale legge le contiene tutte come casi particolari
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I GAS IDEALI
•
Iniziamo col dire che “ideale" non significa che non ha difetti ma semplicemente
che si comporta in un certo modo nelle condizioni normali di temperatura e
pressione.
•
Un gas è un insieme di molecole che a differenza degli altri stati della materia
(solido e liquido) si trovano distribuite in modo più "ampio". Proprio per questo
motivo essi non hanno volume proprio e, liberi, tendono ad espandersi occupando
tutto lo spazio disponibile, essendo esigue le forze coesive tra molecole ed atomi.
•
Il gas ideale è un gas composto da atomi elementari che non interagiscono uno con
l’altro ed è quindi molto rarefatto, inoltre un gas si avvicina ad un gas ideale o
perfetto quando la sua temperatura è lontana dalla temperatura di liquefazione
(passaggio dallo stato aeriforme a quello liquido.
•
Il gas ideale, in natura non esiste, però alcuni gas come l’idrogeno o l’elio, si
approssimano bene al comportamento del gas perfetto; questi gas ideali
ubbidiscono a leggi molto semplici, per cui è possibile studiarne facilmente il
comportamento, dopo di chè, facendo riferimento ai gas reali, sarà opportuno
adattare i risultati che si otterrebbero con un gas perfetto, introducendo le
opportune varianti.
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L’equazione di stato dei gas
•
•
•
•
è caratterizzata da alcune variabili
temperatura
pressione
volume
Queste tre grandezze fisiche sono in relazione tra
loro tramite una formula detta dei "gas ideali o
perfetti“
pV=nRT
• dove p è la pressione, V è il volume del gas, n il numero
di moli (ovvero la concentrazione del gas), R è una
costante e T è la temperatura assoluta
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“Gli scienziati di domani?”
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Realizzato da:
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Cataletto Giovanni
Cozzolino Fabio
D’Antonio Gennaro
Garzia Margherita
Leone Vincenzo
Pompameo Cristina
Scognamiglio Giuseppe
Scognamiglio Raffaella
Suarino Giuseppina
Con la collaborazione della Prof.ssa Rita Punzo
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Bibliografia
www.matematicamente.it/lecci
www.wikipedia.org
Alberico;Di fiore
Alberico;Di fiore
Mario Rippa
Caforio; Ferilli
Fisica 1 per licei scientifici
La Nuova Scuola
Fisica 2 per licei scientifici
La Nuova Scuola
La Chimica
Italo Bovolenta Editore
Fisica 2
Le Monnier
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