CONTINUITÀ LIMITI
E DIFFERENZIABILITÀ
DI FUNZIONI
DI PIÙ VARIABILI
Argomenti della lezione
 Estensione delle nozioni
di continuità e di limite
alle funzioni di più variabili
 Derivate direzionali
e derivate parziali
 Differenziale di una funzione
di più variabili
Continuità di funzioni
:A
Rn

f
R
:A
Rn

f
R
è continua in x0 =
(x01, x02 ,… x0n)T
se per ogni V intorno di
f
esiste U intorno di x0
 x  UA è f(x)  V
(x0)
f(x0)
V
R
X0
U
A
Rn
Limite di funzioni
:A
Rn

f
R
:A
Rn

f
R
ha limite l per x che tende a
x0 = (x01, x02 ,… x0n)T
se per ogni V intorno di
esiste U intorno di x0
 x  UA è f(x)  V
l
Una funzione
di due variabili
non continua in (0,0)T
ma con restrizione
ad ogni retta
per l’origine continua
T (0,0)T,
0
se (x,y)=

f (x ,y)= 
 x y se x2 y 0.
 2
+ 

y
x +
Se prendiamo la restrizione
alla retta per l’origine
x =  t, y =  t, si trova
se t = 0,
0

f ( • t ,  • t ) = 
 •  • t se 2 2
 t + • t  0


2 t + 
lim
f( la
t,restrizione
f (0,0)
Dunque
rette
 t) = 0 =alle
t
0
per l’origine è continua
Ma la restrizione all’iperbole
per l’origine
y = k x2/(x -k), con k ≠ 0,
ha valore costante
k ≠ 0 = f(0,0).
Anche il limite della funzione
preso lungo l’iperbole
vale k ≠ 0 = f(0,0).
La funzione
non è continua in (0,0)T.
Caso k = 2
1
-0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0.5
1
200
100
0
-100
-200
-2
-2
-1
-1.5
0
-1
y
x
1
-0.5
0
2
Derivate
direzionali
e derivate
parziali
(x0, y0)T
A
f(x, y0)-f(x0,y0)
∂f (x0,y0) = lim _____________
x x0
∂x
x- x0
f(x0, y)-f(x0,y0)
∂f (x0,y0) = lim _____________
y y 0
∂y
y- y0
Più in generale
∂f (x 0 ,..,x 0,.., x 0)
=
1
k
n
∂xk
0,..,x ,.., x 0) - f(x0,..,x 0,.., x 0)
f(x
k
n
k
n
= lim 0 ____________________________
xkxk
xk - xk 0
Sia =(1,…, n)T un versore di Rn e sia
x(t)= x0+ t una retta passante per x0
e avente direzione .
La derivata di f in direzione , nel punto x0
è data da
0+ t)- f(x0)
f(x
∂f (x10 ,..,xk0,.., xn0) = lim ____________
t0
∂
t
Funzione
non continua
con tutte le derivate
direzionali
nulle in (0,0)
0
se (x,y)T= (0,0)T,

2

2
f (x, y) =  x y 
 se (x, y)T (0, 0)T.
 4
2 

x
y


 +
Sia  = (cos , sen )T e   t
una retta per l’origine
cos4  sen2  t
f (cos  t, sen t)=
(cos4 t2+sen2 )2
per t ≠ 0, e si ha
lim f (cos   t,sen   t) - f(0,0)
=
t 0
t
lim
t 0
cos4  sen2   t
(cos4   t2 + sen2 )2
= 0.
Ma f(x,y)
non è continua nell’origine.
Infatti la restrizione
alle parabole passanti
per l’origine y =x2 ( ≠ 0)
ha valore costante:
2
2
f(x,x )= /(1+
2
 )
2
1
0. 25
0. 2
0
0. 15
0. 1
0. 05
0
-1
-2
-1
0
x
1
2
-2
y
Differenziale
di una funzione
di più variabili
:A
Rn

f
R
si dice differenziabile in
x0 = (x01, x02 ,… x0n)T
se esiste un’ applicazione
lineare L :
Rn  R tale che
f(x) = f(x0)+ L(x- x0)+e(x)|x- x0|
con e(x)  0 se x  x0.