LA VARIABILITA’
IV lezione di Statistica Medica
Sintesi della lezione






Il concetto di variabilità
Campo di variazione
Differenza interquartile
La varianza
La deviazione standard
Scostamenti medi
Il concetto di variabilità
3
2,75
2,5
2,25
1,5
1,25
1
0,75
0,5
0,25
0
65
75
85
95
105
115
125
135
Q.I.
10
9
8
7
N. studenti
Si definisce come
l’attitudine di un
fenomeno ad
assumere valori
diversi
N. studenti
2
1,75
6
5
4
3
2
1
0
65
75
85
95
105
Q.I.
115
125
135
Il concetto di variabilità
10
3
9
2,75
2,5
8
2,25
2
6
5
Gruppo 1
Gruppo 2
4
N. studenti
N. Studenti
7
1,75
1,5
Gruppo 1
Gruppo 2
1,25
1
3
0,75
2
0,5
1
0,25
0
0
65
75
85
95
105 115 125 135
In assenza di variabilità
all’interno dei gruppi è evidente
che i Q.I. del primo gruppo sono
più elevati rispetto a quelli del
secondo gruppo
Q.I.
65
75
85
95
105 115 125 135
In presenzaQ.I.di una forte
variabilità all’interno dei gruppi
non è evidente in quale gruppo
sono più elevati i Q.I.
INDICI DI VARIABILITA’
1. Indici di diversità
2. Indici di disuguaglianza
rispetto a un valore
medio
3. Indici di disuguaglianza
a coppie
1. Indici di variabilità
assoluta
2. Indici di variabilità
relativa
Requisiti di un indice di variabilità
1.
2.
3.
Indici di diversità
Indici di diversità
Campo di variazione
E’ anche denominato “range” ed è espresso da:
R = xN – x1
Può essere elevato anche se la variabilità della distribuzione è
prossima a zero
Es. 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 12
Indici di diversità
Differenza interquartile
Sia data una distribuzione x1, x2….xn tale indice è espresso da:
IR = Q3 – Q1
 Può essere nullo anche se non è nulla la variabilità della
distribuzione
Es. 1 2 10 10 10 10 10 10 10 10 11 12
dove Q1 = Q3 = 10
Indici di diversità
Scarto interquartile
Sia data una distribuzione x1, x2….xn lo scarto interquartile è
espresso dalla semidifferenza tra Q3 e Q1:
Q 3 Q1
IRs 
2
IR %
Si ottiene rapportando IR alla mediana e moltiplicando il rapporto per 100:
Q 3 Q1
IR % 
*100
Me
Indici di disuguaglianza
rispetto a un valore medio
Valore medio

3
2,75
2,5
2,25
N. studenti
2
1,75
1,5
Intuitivamente la variabilità è
vista come la distanza media
di un’”osservazione tipo”
rispetto al valore medio per la
popolazione
1,25
1
0,75
0,5
0,25

0
65
75
85
95
105
115
125
Tuttavia:
135
Q.I.
Distanza
rispetto alla
media
k
 x  M n
i
i 1
N
i
0
La varianza
( X   ) 2 ni

N




La varianza si calcola come la
media degli scarti al quadrato
La varianza è utilizzata per
standardizzare le misure di
variabilità e renderle relative
Il valore della varianza è
indipendente rispetto al numero
delle osservazioni
Il numeratore della varianza si
chiama devianza
xi
ni
xi*ni x i -M
( x i -M)^2*nI
124
-15,5
480,5
132
-11,5
264,5
210
-7,5
168,75
219
-4,5
60,75
300
-2,5
25
304
-1,5
9
79
1,5
2,25
162
3,5
24,5
249
5,5
90,75
172
8,5
144,5
92
14,5
210,25
282
16,5
816,75
2325
2297,5
62
2
66
2
70
3
73
3
75
4
76
4
79
1
81
2
83
3
86
2
92
1
94
3
Totale
30
MEDIA=77,5
VARIANZA = DEVIANZA / N =
76,58
La deviazione standard
2
(
X


)
ni

N

Si ottiene dalla radice
quadrata della varianza
della popolazione
Si definisce deviazione standard o scarto quadratico
medio la media quadratica degli scarti dalla Media
della popolazione
Formula di calcolo della varianza
n
 
2

2
Mq
  xi  M 
2
i 1
n
M
n
2


i 1
2
xi
n
2


  xi 

i 1 


2
n
n
Varianza e dev. st. di un campione



Nelle attività normali di ricerca non disponiamo di una popolazione
bensì di un campione
Obiettivo della statistica inferenziale: stima dei parametri di una
popolazione attraverso l’utilizzo di un campione
In generale i campioni presentano una variabilità minore rispetto
alla popolazione



Assenza di valori estremi ( e rari)
Nelle popolazioni poco variabili è possibile stimare i parametri della
popolazione con un campione ristretto
Nelle popolazioni ad elevata variabilità è necessario un campione
più grande
Varianza e dev. st. di un campione


Varianza di un campione
Deviazione standard di un
campione
• La correzione è importante
soprattutto per i campioni
di piccole dimensioni
• Per i campioni molto
numerosi la deviazione
standard del campione si
avvicina a quella della
popolazione
s
2
(X  X )


s 
2
n 1
(X  X )
n 1
2
Cosa sono i gradi di libertà?




Il numero di osservazioni libere nel campione.
Con un vincolo, vi saranno n-1 g.l.
Con due vincoli, vi saranno n-2 g.l.
Ricordando l’esempio del voto medio di 30
studenti, le prime 29 osservazioni potranno
assumere qualunque valore ma la 30-esima
osservazione sarà vincolata al seguente valore:
30
29
 x  77.5  0   x  x
i
i
i 1
i 1
29
x30  30 * 77.5 
x
i
i 1
30
 30 * 77.5 
Indici relativi di variabilità
Esempio
Media sqm CV
gruppo 1 100
20
0.2
gruppo 2 10
15
1.5
Indici di eterogeneità
Mutabilità
È la possibilità di variare per una variabile qualitativa tra
una perfetta omogeneità (quando la variabile si
manifesta mediante un solo attributo) e una qualche
eterogeneità ( se nella popolazione vi sono almeno due
attributi differenti)
La eterogeneità misura la variabilità delle frequenze
relative senza coinvolgere le modalità della variabile
Max
Max
omogeneità eterogeneità
Diploma
fi
fi
Classico
1
0.25
Scientifico
0
0.25
Tecnico professionale
0
0.25
Altri
0
0.25
Totale
1
1
Max omogeneità
Max eterogeneità
L’indice di eterogeneità
vale zero
L’indice di eterogeneità
raggiunge il massimo
L’indice di Gini
k
G  1   fi2
i 1
Min eterogeneità:
G  1  1  0  ...  0  1 1  0
Max eterogeneità:
k
G  1

i 1
k
1
 1
 2   1 2  1
k
k
k 
Rapportando G al suo massimo, otteniamo un indice che
varia tra 0 ed 1:
Gnorm 
G
G
kG


Gmax 1  1 k k  1
Esempio
Area funzionale omogenea Ospedale A Ospedale B fiA
medica
18
23 0.333333
chirurgica
14
25 0.259259
terapia intensiva
4
20 0.074074
materno-infantile
8
22 0.148148
riabilitazione
10
9 0.185185
54
99
1