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Definizioni generali
Intervalli di variazione
Scarto quadratico medio e varianza
Scostamento semplice medio
Differenza media
Indici di variabilità relativa
Concentrazione
Mutabilità: è l’attitudine che tali fenomeni hanno ad assumere diverse
modalità qualitative.
 Variabilità: è l’attitudine che hanno i fenomeni collettivi ad assumere
diverse modalità quantitative.
 I valori medi hanno lo scopo di condensare l’insieme dei dati
provenienti dalle osservazioni in un unico valore che possa rappresentarli
tutti. Tale valore è chiamato centro. Occorre ora tener presente un
concetto essenziale della statistica, e cioè che un valore medio ,
comunque calcolato, non è sufficiente a rappresentare l’insieme delle
osservazioni effettuate; è necessario quindi affiancare a esso altri indici
che siano in grado di fornire delle informazioni sulla dispersione (distanza
delle varie osservazioni dal valore medio che rappresenta il centro della
distribuzione).

Gli intervalli di variazione sono indici che misurano la
lunghezza dell’intervallo nel quale è compresa la
popolazione o una frazione della popolazione.
Gli indici che consideriamo sono:
1. Campo di variazione
2. Differenza interquartile
Il campo di variazione è dato dalla differenza fra
il maggiore e il minore dei valori rilevati.
Esempio:
anni
autovetture
1986
23495460
1987
24320167
1988
25290250
1989
26267431
1990
27415828
C.V.= 27415828 - 23495460 = 3920368
La differenza interquartile è data dalla
differenza fra il terzo quartile ed il
primo quartile: Q3 – Q1.

Si definisce scarto quadratico medio la
media quadratica, semplice o ponderata,
degli scarti dei valori della media
aritmetica.
 La varianza è uguale alla differenza fra la
media aritmetica semplice o ponderata dei
quadrati dei valori e il quadrato della media.
Un altro indice di variabilità è lo scostamento semplice medio, che è la
media aritmetica dei valori assoluti degli scarti da un valore medio.
Esistono due tipi di scostamenti:
1.
Scostamento semplice medio dalla media aritmetica:
in

i 1
xM y
i n
y
i 1
2.
Scostamento semplice medio dalla mediana
i n
x
i l
i
 Me yi
i n
y
i l
i
Si definisce differenza media la media delle differenze in valore assoluto
fra tutte le possibili coppie di valori della distribuzione, è un indice della
variabilità dei dati fra loro.
Ci sono due tipi di differenze medie:
 Differenza media semplice
i n j n
 x  x
i 1 j 1
i
j
n( n  1)

Differenza media con ripetizione
i n j n
 x  x
i 1 j 1
n2
i
j
Occorre dire che gli indici di variabilità analizzati fino ad ora sono indici di
variabilità assoluta questo significa che sono espressi nella stessa unita di
misura del fenomeno considerato.
Invece, nel caso occorra confrontare più distribuzioni che siano espresse
con diverse unità di misura, si ricorre appunto agli indici di variabilità
assoluta.
Quest’ ultimi si calcolano facendo rapporto fra indici di variabilità assoluta
e l’intensità media del fenomeno.
Il più usato è il coefficiente di variabilità del Pearson:
C .V . 

M
Altri indici:
S m S me   R
;
;
;
M Me M M
Un particolare aspetto della variabilità di un fenomeno è la concentrazione. Lo
studio della concentrazione è utile per vedere se il fenomeno è equamente
distribuito fra tutte le unità statistiche oppure è concentrato in poche unità. Sono
state introdotte varie misure della concentrazione: ad esempio il metodo
grafico di Lorenz che viene applicato allo studio della distribuzione della ricchezza;
esso è assai utile se i dati sono numerosi e raggruppati in classi.
Grafico di Lorenz:
Il grafico di Lorenz si trova calcolando la retta di equidistribuzione che si ottiene
tracciando una linea dall’origine al punto y=1 e x=1, la curva di concentrazione di
Lorenz che si ottiene calcolando le frequenze relative cumulate e le intensità relative
cumulate.
Trovate le due linee si calcola il rapporto di concentrazione:
n
1   ( pi  pi 1 )  (qi  qi 1 )
i 1
oppure
i n
p
i 1
i 1
i n
 qi   pi  qi 1
i 1