Da Al-Khoresmi a Luca Pacioli
Appunti di Storia dell’Informatica
Timeline
Geografia degli algorismi
Baghdad….VIII secolo d.C.
• Baghdad divenne un vivace
centro culturale grazie
all’opera di tre mecenati
(al-Mansur, Harun ar-Rashid
e al-Mamun),
• fu fondata una "Casa del
Sapere“ (Bait al-hikma), che
accolse scienziati e filosofi
mediorientali e cristiani.
Al-Khoresmi
• Figura di spicco era Abu Jafar
Mohammed ibn-Musa alKhoresmi, esperto di
matematica, geografia, storia
araba e astronomia, originario
della Khoresmia
• Le sue opere sono state
apprezzate nel mondo arabo
per lungo tempo, grazie alla
precisione con cui l’autore
riusciva a risolvere le
intricatissime questioni di
eredità
De numero Indorum
• (Sul calcolo numerico indiano),
in cui l’autore presenta il
sistema di numerazione
indiano (Brahmagupta). La
nuova notazione si diffuse in
Europa con il nome di alKoresmi o algorismi, perché la
completezza dell’esposizione
fece pensare che al-Khoresmi
ne fosse anche l’ideatore
Hisab al-jabr* w’al-muqabalah**
• (Calcolo con completamento * e
riduzione **) è un’esposizione chiara e
semplice delle soluzioni delle equazioni
di secondo grado attraverso una
casistica di equazioni lineari e di
secondo grado;
• * Completamento: spostamento di un
termine da un membro all’altro
• ** Riduzione: cancellazione di termini
simili presenti in ambo i membri
Esempi a due termini
• Cap I: quadrati uguali a radici
x2  5x
NB: è esclusa la radice x=0
• Cap. II: quadrati uguali a
numeri
• Cap. III: radici uguali a numeri
NB: il quadrato ha sempre
coefficiente unitario (al-hatt), il
determinante deve essere
sempre positivo
Esempi a tre termini
• Cap. IV: quadrati e radici uguali
a numeri
x 2  10 x  39
Il metodo risolutivo consiste in
suggerimenti per completare il
quadrato; non sono
contemplate la radici negative
• Cap. V: quadrati e numeri uguali
a radici
• Cap. VI: radici e numeri uguali a
quadrati
Soluzione di x2 + 10x = 39
Si disegnano
• 1 quadrato di area a·b (a=b) che rappresenta x2
• 4 rettangoli equivalenti (c,d,e,f) con dimensioni
a, 2 unità e ½
Per completare il quadrato maggiore, si devono
aggiungere i quattro quadrati con perimetro
tratteggiato di area 6 unità e ¼
Quindi per risolvere l’equazione
Si aggiunge il quadruplo di 6 unità e ¼ (=25) a
39, ottenendo x2 = 25+39 = 64
Da ciò si ricava che il lato del quadrato maggiore
misura 8; si sottrae il doppio di 2 unità e ½ (=5) e
si ottiene la misura di a (=b), cioè 3
L’espansione islamica
'White Fathers - White Sisters' magazine
June-July, 1998, issue (No. 340)
Vie di diffusione del sapere arabo
Vie principali:
• Ifriqiya (Tunisia, Algeria orientale e Tripolitania) alla
Sicilia e alla scuola di Salerno (soprattutto medicina);
• Sicilia e Italia meridionale; si sviluppa grazie alla
tolleranza e all'interesse culturale dei re normanni,
degli Svevi e degli Angioini
– Michele Scoto, di Toledo, vive alla corte di
Federico II e per lui compila una sintesi in latino del
De animalibus di Ibn Sina (Avicenna) e di altre
opere.
– Leonardo Fibonacci dedica ai cortigiani imperiali i
suoi scritti: a Michele Scoto, ad esempio, il Liber
abbaci (1202; 1228), a maestro Teodoro l'Epistola e
a maestro Dominicus, forse Hispanus, astronomo e
astrologo suo contemporaneo, la Practica
geometriae (1220) e il Liber quadratorum (1225).
• Spagna e Portogallo: i re e i principi musulmani e
cristiani incoraggiano gli studi scientifici e le traduzioni
dall'arabo.
La Spagna
centri di
traduzioni:
Maiorca, Barcellona,
Saragozza, Almeria,
Granada, Toledo,
Segovia, Malaga,
Cordova, Siviglia,
Coimbra e Lisbona.
I numeri indo-arabici in Europa
• Manoscritto Vigilianus (976)
il manoscritto latino più antico contenente numeri “arabi”
E così dobbiamo riconoscere che gli Indiani hanno un’intelligenza acutissima e le altre
nazioni sono molto arretrate rispetto all’aritmetica, alla geometria ed alle altre arti
liberali. E ciò è manifesto nelle 9 figure con i quali essi rappresentano ogni ordine di
numeri. E queste sono le forme
Gerbert d’Aurillac (? -1003)
• Prima precettore dell’imperatore
Ottone III di Sassonia, poi papa nel
999 con il nome di Silvestro II,
favorisce la diffusione del sistema
di numerazione posizionale (zero
escluso)
• Non ha profonda conoscenza
della geometria e dell'astronomia
• Scrive un gran numero di
manoscritti di argomento
matematico e astronomico, segno
evidente della rinascita cultura
dell’epoca ottoniana
Le traduzioni
Agli inizi del XII secolo la situazione
cambia grazie alla diffusione delle
traduzioni delle opere dei
matematici greci conservate nella
versione in lingua araba (Elementi di
Euclide)
Nessun europeo sarebbe potuto
essere un buon matematico senza
una buona conoscenza dell’arabo.
Le traduzioni
• Nel 1126 lo scrittore Adelardo di Bath
porta in Occidente le tavole di alKhoresmi.
• Al-gabr viene tradotta in latino nel
1145 da Roberto di Chester
(arcivescovo di Pamplona) e si
diffondono nell'Europa cristiana il
nome (dixit al-Khoresmi) e i suoi
metodi risolutivi.
• Gherardo da Cremona si dedica
all'edizione latina dell'Almagesto di
Tolomeo e a molte altre traduzioni
(87!)
Il ruolo degli Ebrei
• Abraham ibm-Ezra (10901167), ebreo spagnolo,
diffonde tra gli Ebrei l’uso
delle prime nove lettere
dell’alfabeto ebraico più
un circoletto per
rappresentare lo zero e
introduce il sistema
posizionale
Abacisti e algebristi
• In Europa l’utilizzo dei simboli
“arabi” stenta ad affermarsi per
– Diffusione capillare del rapidissimo
calcolo con l’abaco, che limitava i
vantaggi del passaggio al nuovo
sistema;
– Divieti dovuti a varie ragioni di
carattere religioso (in Francia nell’XI
secolo) o contabile (maggiore
ambiguità grafica → rischio di falso).
• Solo nel XVI secolo la
numerazione romana sarà
soppiantata, almeno nel calcolo
Leonardo Pisano (1170? – 1241?)
• Era figlio di un funzionario del Comune di
Pisa, di nome Guglielmo dei Bonacci e,
per seguire il padre nei suoi impegni,
aveva viaggiato in Egitto, Siria, Grecia e
Algeria, da cui il soprannome di Bigollo
• La sua opera più importante, Liber abaci,
completata nel 1202, affronta metodi e
problemi dell’algebra, propalando l'uso
delle cifre indo-arabiche.
• Il testo descrive "le nove figure indiane"
insieme al segno 0 e le regole elementari
per sommare, sottrarre, moltiplicare e
dividere, oltre all’estrazione di radice
Poi passa a problemi relativi a transazioni
commerciali e cambiarie, usando un
complesso sistema di frazioni a
numeratore unitario e comuni, e contiene
tavole di conversione dalle une alle altre.
Il Liber Abaci (1202)
•
•
1.
2.
3.
4.
Nel titolo abaco è sinonimo di “far di conto”.
Il trattato si divide naturalmente in quattro parti.
aritmetica: si introducono le cifre indo-arabe e la
numerazione posizionale, e gli algoritmi delle
operazioni con i numeri interi e con le frazioni. Segue
la matematica mercantile (4 capitoli), nei quali
vengono affrontati i problemi tipici dell'esercizio
della mercatura: acquisti e vendite, baratti, società,
e monete.
Matematica divertente: problemi su borse di monete
cavalli, conigli che si moltiplicano senza limite.
Il tredicesimo capitolo è dedicato per intero al
metodo della falsa posizione, una delle tecniche più
potenti dell'aritmetica araba e medievale.
Estrazione di radici quadrate e cubiche, un
trattatello dei binomi e recisi e teoria delle
proporzioni geometriche e dell'algebra.
Metodo della falsa posizione
(regula falsi)
• Questo metodo opera nella soluzione di
equazioni di primo grado, del tipo cioè
ax=b
• Si pone x=A (la falsa posizione); in generale il
risultato aA sarà diverso da b. Si dice allora:
per A che avevo posto, viene aA; quanto
dovrò porre affinché venga b?
bA b

aA a
Esempio dell’albero
• C'è un albero, del quale un terzo e un
quarto sono 21 palmi; si chiede quale sia la
sua lunghezza
• Per ricondurre il problema ad un’equazione
bisogna sommare 1/3 + 1/4 = 7/12 , per
trovare un numero tale che 7/12 x = 21.
• Poniamo A =12 (che è 3*4), sommando 1/3
e 1/4 di 12 si ottiene 4+3=7.
• se A=12 dà 7, quanto occorrerà per avere
21? La risposta si ottiene grazie
all'applicazione della regola del tre:
(12*21)/7= 36.
•
La semplificazione ottenuta grazie al
metodo della falsa posizione è tale che fu
ideata una sua estensione, detta doppia
falsa posizione (in arabo elcataym), adatta
ad equazioni del tipo ax+c=b.
Algebra verbale
• La mancanza di una notazione
letterale (algebra verbale)
rende difficile vedere il
permanere della struttura dietro
la molteplicità dei problemi,
apparentemente tutti diversi tra
loro; Fibonacci chiama
l’incognita la “cosa”
• Oggi formalizzeremmo così:
12 : 7 = x : 21 arrivando alla
stessa conclusione (regola del
quarto proporzionale)
Conigli e vecchie
• Il Liber abaci contiene alcuni famosi
problemi:
– Quante coppie di conigli verranno
prodotte in un anno, a partire da
un’unica coppia, se ogni mese
ciascuna coppia dà alla luce una
nuova coppia che diventa produttiva
a partire dal secondo mese? (serie di
Fibonacci)
– Sette vecchie donne andarono a
Roma; ciascuna donna aveva sette
muli; ciascun mulo portava sette
sacchi, ciascun sacco conteneva
sette forme di pane; e con ciascuna
forma di pane vi erano sette coltelli;
ciascun coltello era infilato in sette
guaine (somma di una progressione
geometrica di ragione 7)
1 5
2
Serie di Fibonacci e
• Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2) n>1
• Il rapporto tra due elementi consecutivi di tale
sequenza tende a
1 5
=
2
= 1,618033988…
• È chiamato
–
–
–
–
–
sezione aurea,
rapporto aureo,
numero aureo,
costante di Fidia
proporzione divina (dopo Pacioli)
La spirale
Il Liber Abaci nel medioevo e oltre
• I mercanti pisani portarono con sé le
nuove tecniche di calcolo nei loro viaggi
da una sponda all’altra del Mediterraneo
• la nuova matematica si diffuse anche in
altri Paesi,quali la Germania, dove venne
trasmessa dai cosiddetti “cossisti” (dalla
corruzione della parola “cosa”,
l’incognita).
• Per circa tre secoli il Liber abaci rimase un
testo di riferimento nelle scuole d’abaco
della Toscana, dove si formavano giovani
che intendevano diventare commercianti
o imparare la matematica.
• I suoi esercizi e i suoi metodi di soluzione
vennero adottati in libri italiani, tedeschi,
francesi e inglesi (alcuni si ritrovano
ancora nell’Algebra di Leonhard Euler, del
1768).
Le scuole d’abaco
•
Per impieghi commerciali, i vantaggi dell’utilizzo
di numeri arabi sono molteplici:
–
–
–
•
•
–
consentono di usare penna e inchiostro
di avere traccia dei calcoli mentre con l’abaco si
avevo solo la soluzione finale,
un più facile calcolo con le frazioni, molto utile nel
mercato dei cambi.
la nascita della partita doppia.
Con lo sviluppo del commercio nacquero ed
ebbero ampia diffusione le scuole d’abaco e di
mercatura. Solitamente gli studenti erano figli di
mercanti o di pubblici ufficiali, i quali avevano
già una conoscenza adeguata di grammatica
e latino.
Anche nelle università s’insegnava l’aritmetica
(era una delle arti liberali, inserita nel quadrivio
con geometria, astronomia e musica), ma
l’approccio era teorico.
Sacrobosco
• L’Algorismus (1250), chiamato anche
Algorismus de integris o vulgaris, è un breve e
semplice trattato di matematica, peraltro
diffusissimo nel Medioevo come libro di testo
universitario, il primo con i numerali indo-arabi
per semplificare le operazioni di calcolo.
• Tratta di addizione, sottrazione, media
aritmetica, duplicazione, moltiplicazione,
divisione, somma di serie aritmetiche ed
estrazione di radici (quadrate e cubiche).
• Peter Nightingale (Petrus Philomenus), che nel
1291 commenta l’opera, è convinto che
Sacrobosco abbia in mente di offrire uno
strumento utile per l’astronomia, per via della
presenza di riferimenti a frazioni sessagesimali,
tipiche di quella disciplina.
Hauksbòk (1310)
• Il libro di Haukr è uno dei rarissimi
manoscritti medievali norvegesi non
adespoti. L’autore è Haukr Erlendsson
(?-1334), e l’opera ha da sempre
preso nome dall’autore, con cui
hanno collaborato altre mani, come
è evidente dall’analisi del
documento.
• Tra testi antichi sull’Islanda, compare
una sezione sulla matematica
chiamata Algorismus. È il più antico
testo norvegese sulla matematica in
una lingua scandinava.
Paolo Dagomari (1329-1367)
•
•
•
Tra gli abacisti di Firenze spicca Paolo, che fu
allievo del M° Biagio "il vecchio", morto verso il
1340, ed ebbe a sua volta tra i suoi discepoli
Jacopo di Dante Alighieri, che lo chiamò il "mio
caro maestro", e il futuro abacista Antonio di
Giusto Mazzinghi.
Uomo di vasti interessi, ha lasciato varie
composizioni poetiche e diversi lavori di
contenuto matematico, tra cui ricordiamo le
Regoluzze e un Trattato di tutta l'arte
dell'abacho (c.1340), pervenuti in diverse
copie.
Due problemi
–
–
Un cane insegue una volpe che sta fuggendo
con una gallina in bocca.
La volpe dista dal cane 40 balzi-volpe.
Si sa che 3 balzi-cane = 5 balzi-volpe.
Quanti balzi dovrà fare il cane per raggiungere la
volpe?
Problema sull’area occupata da Roma
(quadrata) con lato di 18 unità e dalla città
triangolare di Costantinopoli con lato di 18 unità
Dopo Gutemberg
• L'invenzione della stampa a caratteri
mobili, compiuta verso la metà del XV
secolo, rinnovò la produzione e la
diffusione della cultura. Essa amplificava i
vantaggi economici dell'adozione della
carta come materiale di supporto rispetto
alla pergamena (molto più costosa),
rivoluzionava la circolazione delle idee:
– la rapidità di realizzazione di un alto numero
di copie riduceva fortemente il prezzo dei
libri, ampliando il pubblico potenziale;
– l'accertamento della correttezza dei testi
sulla composizione offriva un livello
omogeneo di attendibilità;
– la qualità delle illustrazioni, essenziale per le
opere scientifiche, era garantita in ogni
copia.
Euclide e Fibonacci
• Gli Elementi di Euclide, nella
traduzione latina dall'arabo
rielaborata del Campano, sono il
primo testo capitale della scienza
classica ad essere stampato a
Venezia nel 1482.
• L’opera di Fibonacci rimase invece
manoscritta e fu perciò rimpiazzata
da altri testi, ad esempio la Summa de
Arithmetica, geometria, proportioni et
proportionalità di Luca Pacioli. Nel
Cinquecento è ancora noto e citato,
ma già dal secolo successivo se ne
perde la memoria al punto che non si
ricorda più nemmeno l’epoca in cui è
vissuto.
Larte de l’abbacho (1478)
• Primo manuale di
matematica (finanziaria)
stampato al mondo
• Definizioni di concetti e di
operazioni, regole del due
e del tre
• Manca ancora il
simbolismo algebrico
Luca Pacioli (1445-1514)
• Nel 1494 pubblica a Venezia la
Summa di arithmetica, geometrica,
proportione et proportionalità, in
volgare
• L’opera è un trattato generale di
aritmetica e di algebra, elementi di
aritmetica utilizzata dai mercanti (con
riferimento alle monete, pesi e misure
utilizzate nei diversi stati italiani).
• Contiene il Tractatus de computis et
scripturis, in cui compare per la prima
volta la partita doppia, il cosiddetto
metodo veneziano.
• Comincia ad essere utilizzata
l’algebra sincopata: co (cosa,
incognita), ce (=censo, quadrato
dell’incognita), aequalis