IL GIARDINO DI ARCHIMEDE unmuseo
perla[matematica]
PROGRAMMA LEONARDO TOI
PROGETTO PIT.AGORA’
Codice CUP : G12F10000140006.
Laboratori matematici MANUALE GUIDA
Manuale guida ai laboratori
a cura di Enrico Giusti e Raffaella Petti
Questo manuale è destinato ai formatori e agli insegnati che proporranno nelle classi i diversi laboratori. Comprende i complementi teorici e le indicazioni sull'utilizzo dei diversi materiali. È diviso in sette sezioni, ciascuna relativa a uno dei laboratori disponibili per il trasferimento.
INDICE SEZIONI
Numeri e conti presso gli antichi Sumeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numeri e conti con i geroglifici egizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Piccola storia del calcolo infinitesimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un ponte sul Mediterraneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pitagora e il suo teorema (storico). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pitagora e il suo teorema (ludico). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regoli per il calcolo: bastoncini per moltiplicare e dividere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . INDICE PER SEZIONE
SEZIONE 1
Numeri e conti presso gli antichi Sumeri
Note storiche La tecnica dei calculi sumeri Rappresentazione e cambi Addizioni Sottrazioni Moltiplicazioni Divisioni Il sistema posizionale babilonese Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori SEZIONE 2
Numeri e conti con i geroglifici egizi
Note storiche L’aritmetica dei geroglifici Rappresentazione e cambi Addizioni Sottrazioni
Moltiplicazioni Divisioni Frazioni
Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori SEZIONE 3
Piccola storia del calcolo infinitesimale
La scoperta degli irrazionali
Archimede: la misura del cerchio
Cavalieri: il volume dell’apice parabolico
Il solido iperbolico acuto di Torricelli
Il principio di identità dei polinomi
I metodi di Descartes, di De Beaune e di Fermat a confronto: la tangente all’iperbole
Le coordinate bipolari
Il metodo di eliminazione di Fermat
La cicloide
Descartes e Fermat sulla tangente alla cicloide
Newton e gli sviluppi in serie
Integrazione per serie delle equazioni differenziali
Lo sviluppo in serie dell’esponenziale
Il principio di induzione e i numeri naturali
Dedekind: irrazionalità delle radici quadrate
La curva dei ponti sospesi
La catenaria
SEZIONE 4
Un ponte sul Mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente
Indicazioni sull'uso della mostra Letture dal Liber abaci
1 L’aritmetica 1.1 Addizione 1.2 Sottrazione .
1.3 Moltiplicazione 1.4 Divisione 2 Problemi dal Liber abaci 2.1 Problemi risolti con la regola del tre 2.2 Problemi risolti con la regola del tre composto 2.3 Problemi sulla divisione degli utili 2.4 Problemi sulla fusione delle monete 2.5 Problemi risolti con la falsa posizione 2.6 Problemi risolti con la doppia falsa posizione 2.7 Problemi con progressioni geometriche: vecchie, alberi, e la scacchiera 3 Algebra e almucabala 3.1 Censo e radici uguali a numero (x2 + bx = c) 3.2 Radici e numero uguali a censo (x2 = bx + c) 3.3 Censo e numero uguali a radici (x2 + c = bx) 3.4 Un problema da risolvere con le regole precedenti
Indicazioni per il lavoro in classe SEZIONE 5
Pitagora e il suo teorema (storico)
Nota introduttiva
1.Il teorema di Pitagora nell’estrema antichità.
2. Alcune dimostrazioni semplici.
3. Equivalenza ed equiscomponibilità di poligoni. 4. Figure simili.
5. Parallelogrammi e trapezi.
6. Il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide. 7. Un triangolo non rettangolo. 8. La diagonale del quadrato e gli irrazionali.
9. La scala musicale pitagorica e altre scale.
10. I solidi regolari.
11. Terne pitagoriche.
SEZIONE 6
Pitagora e il suo teorema (ludico)
Nota introduttiva
1.Il teorema di Pitagora nell’estrema antichità.
2. Alcune dimostrazioni semplici.
3. Equivalenza ed equiscomponibilità di poligoni. 4. Figure simili.
5. Parallelogrammi e trapezi.
6. Il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide. 7. Un triangolo non rettangolo. 8. La diagonale del quadrato e gli irrazionali.
9. La scala musicale pitagorica e altre scale.
10. I solidi regolari.
11. Terne pitagoriche.
SEZIONE 7
Regoli per il calcolo: bastoncini per moltiplicare e dividere Introduzione 1. Note storiche 2. La moltiplicazione con i bastoncini di Nepero. 2.1. Istruzioni per l'uso. 2.2. Come sono costruiti. 2.3. Osservazioni. 3. La moltiplicazione con i bastoncini di Genaille­Lucas. 3.1. Istruzioni per l'uso. 3.2. Come sono costruiti. 4. La divisione con i bastoncini di Genaille­Lucas. 4.1. Istruzioni per l'uso. 4.2. Osservazioni. 4.3. Come sono costruiti. 5. La moltiplicazione secondo il Promptuarium di Nepero.
5.1. Istruzioni per l'uso. 5.2. Osservazioni. 5.3. Come sono costruiti. 6. Estrazione di radice quadrata con i bastoncini di Nepero. 6.1. Istruzioni per l'uso. 6.2. Osservazioni. 7. Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori. 7.1. Premessa sui laboratori. 7.2. Contenuto delle presentazioni per il laboratorio. SEZIONE 1
Numeri e conti presso gli antichi Sumeri
Note storiche 3
La tecnica dei calculi sumeri 5
Rappresentazione e cambi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Addizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 6
Sottrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . 6
Moltiplicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 7
Divisioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . 8
Il sistema posizionale babilonese 9
Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori 12
Il nostro modo di contare è senz'altro uno dei più potenti e completi che siano mai stati sviluppati. Ma è anche uno dei più complessi e più difficili da apprendere. Altre strategie, preliminari o alternative, altri punti di vista, più primitivi ma in alcuni casi non meno efficaci, aiutano a comprendere meglio alcuni aspetti del contare, a mettere a fuoco e superare certe difficoltà, ad afferrare meglio le potenzialità del nostro modo di contare, oltre che a scoprirne la sua storia affascinante.
In questa prospettiva sono nati i laboratori de Il Giardino di Archimede dedicati ai sistemi
di numerazione, pensati per le scuole di ogni ordine e grado e dedicati ad alcuni di questi
antichi modi di contare.
Scopo di questa sezione, dedicata al sistema di numerazione degli antichi Sumeri, è fornire agli insegnanti che desiderino riproporre le attività nelle proprie classi alcune informazioni teoriche necessarie per impadronirsi dell’argomento e una serie di suggerimenti pratici per lo svolgimento dei laboratori stessi.
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Inserire al posto di questa pagina le pagg. 3­20 di Sumeri.pdf (togliere le pagg. 1 e 2 iniziali)
SEZIONE 2
Numeri e conti con i geroglifici egizi
Note storiche 3
L’aritmetica dei geroglifici 4
Rappresentazione e cambi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Addizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Sottrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Moltiplicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 6
Divisioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 8
Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori 11
Scopo di questa sezione, dedicata al sistema di numerazione degli antichi Egizi, è fornire agli insegnanti che desiderino riproporre le attività nelle proprie classi alcune informazioni teoriche necessarie per impadronirsi dell’argomento e una serie di suggerimenti pratici per lo svolgimento dei laboratori stessi.
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Inserire al posto di questa pagina le pagg. 3­17 di Egizi.pdf (togliere le pagg. 1 e 2 iniziali)
SEZIONE 3
Piccola storia del calcolo infinitesimale
Nota introduttiva
La scoperta degli irrazionali.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Archimede: la misura del cerchio.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Cavalieri: il volume dell’apice parabolico.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Il solido iperbolico acuto di Torricelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
Il principio di identità dei polinomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I metodi di Descartes, di De Beaune e di Fermat a confronto: la tangente all’iperbole. 10
Le coordinate bipolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Il metodo di eliminazione di Fermat.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
La cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Descartes e Fermat sulla tangente alla cicloide. . . . . . . . . .. . . . . . . . 27
Newton e gli sviluppi in serie. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 30
Integrazione per serie delle equazioni differenziali. . . . . . . . . . 34
Lo sviluppo in serie dell’esponenziale. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 37
Il principio di induzione e i numeri naturali. . . . . . . . . .. . . . . 39
Dedekind: irrazionalità delle radici quadrate. . . . . . . . . . . . . . . . . 44
La curva dei ponti sospesi. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 46
La catenaria. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . 48
Indicazioni bibliografiche
Nota introduttiva
Una tra le principali difficoltà nell’introdurre elementi storici nell’insegnamento della matematica consiste nel fatto che questi ultimi si presentano come un settore separato rispetto al corpo principale della matematica e solo raramente riescono a fondersi. Da una parte la matematica, col suo bagaglio di risultati, metodi, esercizi; dall’altra la storia che se è essenziale per aggiungere corpo e spessore a una disciplina che spesso si presenta come puramente tecnica, non apporta però nessun beneficio per quanto attiene all’acquisizione di metodi e di competenze. La stessa mostra “Piccola storia del calcolo infinitesimale” è in un certo senso testimone di questo stato di cose: se riesce –come si spera­ a comunicare le vicende che hanno portato alla formulazione attuale di assiomi e teoremi, non è però di nessun aiuto per acquisire quelle tecniche e quei metodi; come se altro fosse la teoria e altro la storia, e se coloro che hanno inventato e sviluppato l’analisi non lo avessero fatto per affrontare e risolvere i problemi che stavano studiando. Queste schede di lavoro mirano a gettare un ponte tra queste due sponde, ripercorrendo e riproponendo alcuni problemi come si sono presentati nel cammino storico dell’analisi. Problemi tutti affrontabili con gli strumenti acquisiti dagli studenti nel corso dei loro studi, e che quindi –forse meglio che con esercizi troppo spesso artificiali e ripetitivi– possono anche servire per sviluppare manualità di calcolo e capacità deduttive. La sequenza delle schede segue il cammino storico delineato nel volume “Piccola storia del calcolo infinitesimale” di E. Giusti che accompagna la mostra. Di conseguenza gli argomenti sono graduati non per difficoltà ma per successione temporale: problemi piuttosto semplici sono mescolati ad altri nettamente più difficili. Né sono strettamente legate al calcolo infinitesimale: alcune riguardano la geometria, altre richiedono manipolazioni algebriche, altre infine contengono semplici dimostrazioni. Tutte però hanno un unico scopo: riprendere problemi che si sono presentati realmente trovandone la soluzione come l’hanno trovata i protagonisti della nostra storia; in definitiva stimolare un apprendimento fondato sulla base di problemi reali e soluzioni storicamente documentate.
Oltre al già citato volume “Piccola storia del calcolo infinitesimale” di E. Giusti, abbiamo redatto una breve bibliografia con una scelta di testi e articoli utili per gli approfondimenti storici.
Tale bibliografia si trova in fondo alle schede di lavoro, a conclusione della presente sezione.
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Inserire al posto di questa pagina le pag. 3 – 50 (togliendo pag. 1 e 2 e pag 51 e 52) da libretto Calcolo.pdf
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Inserire al posto di questa pagina Calcolo2.pdf (due pagine)
SEZIONE 4
Un ponte sul Mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente
Indicazioni sull'uso della mostra . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . Letture dal Liber abaci . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
1 L’aritmetica 3
1.1 Addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Moltiplicazione con sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Moltiplicazione per gelosia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Moltiplicazione per crocetta o casella . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.4 Moltiplicazione per quadrilatero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Problemi dal Liber abaci 8
2.1 Problemi risolti con la regola del tre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Problemi risolti con la regola del tre composto . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Problemi sulla divisione degli utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Problemi sulla fusione delle monete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Problemi risolti con la falsa posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Problemi risolti con la doppia falsa posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7 Problemi con progressioni geometriche: vecchie, alberi, e la scacchiera . . . . 21
3 Algebra e almucabala 22
3.1 Censo e radici uguali a numero (x2 + bx = c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Radici e numero uguali a censo (x2 = bx + c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Censo e numero uguali a radici (x2 + c = bx) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Un problema da risolvere con le regole precedenti . . . . . . . . . . . . . . . 26
Indicazioni per il lavoro in classe 28
Indicazioni sull'uso della mostra
Un ponte sul Mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente
Queste note intendono fornire suggerimenti per l’utilizzo della mostra “Un ponte sul Mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente” nella sua versione in 15 pannelli pensata per le attività di laboratorio nelle scuole.
La mostra Un ponte sul Mediterraneo nella versione integrale è stata realizzata nel 2002, in occasione dell’ottocentesimo anniversario della composizione della prima versione del Liber abaci di Leonardo Pisano, noto anche come Leonardo Fibonacci. Non sono molte le opere matematiche che, oltre ad avere indirizzato lo sviluppo degli studi successivi, hanno al contempo lasciato un segno cosí profondo e duraturo nella pratica comune, e il Liber abaci è senz’altro una di queste. Il nostro modo stesso di scrivere i numeri e di fare i conti, insieme a un nuovo mondo di parole ­ come cifra, zero, radice, virgola, algebra, algoritmo... ­ ci arriva grazie al contributo fondamentale del Liber abaci. A tal punto certi usi sono per noi divenuti familiari che quella che all’epoca fu una profonda e radicale innovazione rischia, agli occhi di un moderno, di non apparire in tutta la sua importanza.
Con la mostra si intende presentare all’attenzione degli studenti quest’opera, il suo autore e la matematica e società del suo tempo. La mostra offre infatti anche una ricostruzione del contesto storico scientifico e sociale in cui egli operò: da una panoramica sulla matematica e la scienza araba, alla vita quotidiana nella Pisa del XII e XIII secolo e gli scambi commerciali che la legarono al mondo arabo, al fiorire delle scuole d’abaco che ebbero a modello l’insegnamento di Fibonacci.
La mostra contiene anche una prima presentazione dei contenuti matematici del Liber abaci. Per un più approfondito lavoro nelle classi si è predisposta una scelta di passi con traduzione e commento. Tali materiali sono raccolti in schede di lavoro dal titolo “Letture dal Liber abaci” e seguono queste note sulla mostra. Nelle esperienze effettuate da Il Giardino di Archimede si sono effettuate visite guidate per gruppi scolastici di ogni ordine e grado, a partire dai cinque anni della materna, fino alle superiori. Per i bambini piccoli ovviamente il percorso viene notevolmente semplificato, gli argomenti selezionati e il linguaggio adattato al loro livello. In queste note ci riferiamo a un percorso standard.
Per approfondire i contenuti si rimanda ai saggi della pubblicazione associata curata da Il Giardino di Archimede, Un ponte sul Mediterraneo, ed. Polistampa, 2002. Questi gli aspetti presenti nella mostra stessa e sviluppati nei saggi:
­ M. Tangheroni, Pisa e il Mediterraneo all’epoca di Fibonacci. ­ S. Roero, Algebra e Aritmetica nel Medioevo islamico.
­ L. Pepe, La riscoperta di Leonardo Pisano. ­ E. Ulivi, Scuole e maestri d’abaco in Italia tra Medioevo e Rinascimento.
– E. Giusti, Matematica e commercio nel Liber Abaci.
L’inizio
Per la visita guidata: pannello introduttivo. Si può iniziare la visita raccogliendosi attorno alla riproduzione della statua di Fibonacci riprodotta nel pannello iniziale, statua che fu commissionata a metà Ottocento dal governo toscano, presieduto da Bettino Ricasoli, allo scultore fiorentino Paganucci; fu collocata nel Cimitero monumentale di Pisa, dove ancora oggi, dopo vari spostamenti, si può vedere. Qui si può invitare a formulare ipotesi sull’identità, l’epoca e i contributi del personaggio che vi è raffigurato, arrivando a anticipare una breve risposta per poi iniziare il percorso della mostra che porterà a scoprire più nel dettaglio perché Fibonacci è cosí importante per noi.
Uno sguardo storico
Per la visita guidata: pannelli 1­4.
Al tempo in cui Leonardo nasceva ­ attorno al 1170, data peraltro solo ricostruita ­ la matematica e, più in generale, tutta la scienza nel mondo occidentale si trovava ancora nello stato di decadenza che aveva caratterizzato i secoli seguenti alla caduta dell’Impero romano. L’insegnamento della geometria e dell’aritmetica, che con l’astronomia e la musica componevano il quadrivium, era basato su compendi sempre più semplificati modellati su trattati tardo greco­romani. Nei conventi e, dopo la riforma carolingia, anche al di fuori, si insegnava essenzialmente a far di conto con le dita e con l’abaco, uno strumento che aiutava nei calcoli resi piuttosto complessi dal fatto che si utilizzava la numerazione romana. Per estensione poi “abaco” indicava tutto il complesso delle tecniche di calcolo, alle quali, per completare l’istruzione, si aggiungeva qualche rudimento riguardante proporzioni e geometria euclidea. Le grandi opere dei classici, conservate e ricopiate nei monasteri, rimanevano di fatto pressoché sconosciute.
Contemporaneamente invece la parte del mondo riunita sotto la religione musulmana e la lingua araba conosceva il suo massimo splendore. Dopo una prima breve fase bellicosa di rapida espansione che, in meno di un secolo, aveva portato i confini dell’impero ad estendersi dalla Spagna all’India, grazie anche al contatto con popoli diversi, alla tolleranza e la curiosità intellettuale, dar al­Islam, l’ecumene islamica, vede il costituirsi di una raffinatissima civiltà in cui gli studi e le attività culturali conoscono un intenso sviluppo. In particolare, a partire dalla seconda metà dell’VIII secolo, gli arabi riscoprono il sapere classico dimenticato nell’occidente. Nel campo della matematica, grazie a un imponente lavoro di traduzione e commento, questo porta ad una profonda assimilazione dei più importanti matematici greci, quali Euclide, Archimede, Apollonio. D’altro canto la conoscenza diretta della matematica indiana costituisce una importantissima fonte dalla quale gli arabi attingono ad esempio l’uso del sistema decimale posizionale che ben presto si diffonde in tutti i territori dell’Islam. Tutto ciò si fonde in una sintesi originale da cui nasce un nuovo sapere matematico che ben presto raggiunge e supera i suoi modelli. Tra i suoi rappresentanti spiccano scienziati quali al­Khwarizmi, Abu Kamil, Abu’l Wafa, al­Biruni, al­Haytam, Omar Khayyam, forse più noto come poeta.
Particolarmente importanti per le influenze su Fibonacci sono al­Khwārizmī, il cui nome è all’origine della nostra parola “algoritmo”, e Abu Kamil.
Pisa e Leonardo
Per la visita guidata: pannelli 5­6.
I contributi sviluppati dagli arabi ebbero tutt’altro che facile ed immediata diffusione nel mondo cristiano occidentale. Anche quando, con la Reconquista, si costituí in Spagna un gruppo di studiosi che intraprese la traduzione in latino di testi arabi originali o a loro volta traduzioni arabe dei classici, l’eco che se ne ebbe fu scarsissima. La via che doveva aprire le porte dell’occidente alle novità della matematica araba fu invece quella dei commerci. E Leonardo, che con la sua opera ebbe un ruolo fondamentale in questa acquisizione, non per pura coincidenza era pisano. Pisa infatti aveva allora un ruolo di primo piano nei commerci in tutto il Mediterraneo, che gestiva mediante una rete organizzativa capillare. In varie città, in quartieri riservati all’esercizio delle attività mercantili ­ i fondaci, risiedevano i suoi rappresentanti che controllavano e tutelavano gli scambi tra Pisa e le popolazioni locali.
Attorno al 1180 il padre di Leonardo, Gulielmo, era appunto notaio e rappresentante del comune di Pisa presso uno di questi centri, la città di Bugia, sulla costa dell’odierna Algeria. Bugia, o anche Bugea o Bucea in latino, Bejaia in arabo, era stata fondata nel 1067 come capitale del regno degli Hammaditi, dinastia vassalla dell’importante califfato che i Fatimidi avevano costituito in Egitto. Alla fine del XII secolo, Bugia era invece uno dei capoluoghi dell’impero degli Almohadi che, con capitale Marrakech, si estendeva dal Marocco a tutta l’Africa settentrionale e a parte della Spagna islamica. Bugia era uno dei centri commerciali più importanti del Maghreb, trovandosi allo sbocco sul mare della regione africana migliore produttrice di cereali, tanto che nelle fonti arabe medievali è definita granaio dell’Ifriqya.
Dopo un iniziale periodo di aperti conflitti caratterizzati da reciproche azioni di pirateria, negli anni in cui il padre di Leonardo opera qui, i rapporti commerciali tra Pisa e Bugia sono stabili e intensi. Qui si acquistano in particolare pellami, lana, allume e scorze tanniche ­ usate nelle industrie conciarie ­ ma anche datteri e frutta secca. Molto famosa era poi la produzione locale di cera: con “bugia”, appunto dal nome della città, si indica tuttora un tipo di basse candele cilindriche.
Probabilmente attraverso i contatti commerciali con la popolazione locale il padre di Leonardo aveva potuto constatare l’efficienza e la superiorità delle tecniche di calcolo là utilizzate e dunque, resosi conto dell’utilità e dei vantaggi che ne sarebbero potuti derivare, volle che il figlio in giovane età ­ “in pueritia mea”, secondo quanto Leonardo stesso racconta ­ lo raggiungesse a Bugia e qui fosse istruito nello studio del calcolo.
Sulla vita di Leonardo si conosce in realtà ben poco altro rispetto alle notizie che egli stesso inserisce nell’introduzione del Liber abaci, ritenendole evidentemente significativa premessa alla nascita della sua opera scientifica.
Egli racconta che dopo aver appreso l’abaco a Bugia, continuò a studiare e approfondire la conoscenza della matematica araba ad ogni occasione nel corso delle sue mete per viaggi di affari, tra cui ricorda l’Egitto, la Siria, Bisanzio, la Sicilia ­ allora in parte sotto il diretto dominio arabo, e la Provenza. Probabilmente a tale carattere girovago è dovuto l’appellativo, con il quale Leonardo è ricordato in alcuni documenti, di “Bigollo” termine di etimologia incerta che ­ come “bighellone” per vagabondo, ma con accezione positiva ­ può essere interpretato nel senso di giramondo.
Leonardo rimase cosí impressionato dalla “mirabile arte” degli arabi da ritenere quasi un errore l’aritmetica che tradizionalmente si insegnava nel mondo occidentale. Si propose dunque di diffondere presso i popoli latini, che fino ad allora ne erano rimasti all’oscuro, quanto aveva appreso nel corso delle sue peregrinazioni, senza tralasciare integrazioni attinte dal sapere classico e sue elaborazioni, e fornendo non solo i risultati ma anche, con vizio da matematico, le dimostrazioni. E cosí nasce il Liber abaci.
Il Liber abaci
Per la visita guidata: pannelli 6­7.
Tutta la prima parte dell’opera è dedicata dunque ai fondamenti dell’aritmetica e all’introduzione del sistema di numerazione indo­arabico.
Leonardo presenta subito quelle che chiama “le nove figure degli Indi” e che, con successive trasformazioni e infine trovando con la stampa la loro forma canonica, hanno dato origine alle nostre cifre 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
Passa poi ad illustrare uno dei primi vantaggi del nuovo sistema e cioè la possibilità di scrivere un numero qualunque, cosa che con le cifre romane diviene impraticabile per numeri alti, servendosi di queste nove cifre più un ulteriore segno, lo 0, che non aveva corrispondente nella numerazione romana. È peraltro Leonardo a battezzare il nuovo segno, lo 0, come “zephirum”, che successivamente contratto in “zerum” darà il nostro “zero”. Il termine, modellato su “zephirus”, viene scelto da Leonardo per assonanza al termine arabo “sifr” che indicava il cerchietto con cui nella notazione posizionale era necessario segnalare un eventuale posto vuoto nella scrittura di numero. E dallo stesso termine “sifr” per estensione agli altri simboli deriva la nostra parola “cifra”.
Familiarizzato il lettore con la scrittura dei numeri, il Liber abaci prosegue con la spiegazione dei procedimenti per l’esecuzione delle quattro operazioni, a iniziare dalla moltiplicazione, con esempi di complessità crescente. Proprio da questi algoritmi ­ altra parola di origine araba che deriva dal nome del matematico al­Khwarizmi ­ per evoluzioni e raffinamenti successivi, discendono quelli che ancora oggi ci vengono insegnati nella scuola di base.
Con il numero 6 s’inizia una serie di pannelli sul contenuto del Liber abaci, che si prestano a introdurre nella visita momenti di partecipazione diretta dei ragazzi. Il pannello 7 è particolarmente importante, soprattutto per i più piccoli, poiché accenna a come si scrivevano i numeri prima del sistema arabo­indiano, diffuso in occidente da Fibonacci. Nel pannello è riprodotto il numero duecentotré nella scrittura geroglifica, cuneiforme (si può provare a far indovinare ai ragazzi come funziona, sapendo che il numero scritto è appunto duecentotré), alfabetica greca, romana, indo­
arabica. Volendo ci si può soffermare a lungo sui sistemi di scrittura numerica, eventualmente riprendendo l’argomento in classe, o nel corso della visita munendosi di lavagnetta cancellabile. Dopo aver spiegato come si scrivono i numeri, Fibonacci illustra come eseguire le operazioni. Nelle “Letture dal Liber abaci” si possono ritrovare le diverse tecniche per addizione, sottrazione, e moltiplicazione e riprorre diversi esercizi con queste. Si veda in particolare la crocetta (anche se nel Liber abaci non viene chiamata cosí e non compare l’ausilio grafico delle linee che si intrecciano) e a quadrilatero, utilizzate da Fibonacci. Si osservi che l’algoritmo che utilizziamo normalmente oggi compare solo in trattati successivi.
Il Liber abaci: matematica e commercio
Per la visita guidata: pannelli 8 e 12.
Appresi i fondamenti della scrittura numerica e del calcolo il lettore dal Liber abaci è a questo punto pronto ad utilizzare le tecniche nella risoluzione di questioni che intervengono nella pratica quotidiana dei commerci e convincersi cosí della loro superiorità rispetto al più familiare sistema in numeri romani.
Segue dunque la presentazione di numerosi problemi sulle più svariate questioni di mercatura: dai calcoli relativi ai prezzi delle merci, ai guadagni, agli interessi, ai cambi fra monete e unità di misura, ai baratti e alle società, insomma quasi un vero e proprio manuale di ragioneria commerciale. Questa è la parte più ampia e consistente del “Liber abaci”, di cui è difficile dar conto in modo completo.
Nel pannello 8 si propone un primo semplice problema risolvibile con la regola del tre, un procedimento schematico, che ha avuto una lunga tradizione nella didattica, per trovare la quarta di tre date grandezze in proporzione. Moltissimi sono i problemi in cui viene applicata: nelle trasformazioni delle unità di misura, che allora spesso variavano di città in città, nel calcolo dei prezzi, etc. Nelle “Letture dal Liber abaci” si ne trova una ampia scelta di altri esempi da proporre.Il cantare e il rotulo sono unità di misura per pesi in uso a Pisa nel XIII secolo. Nelle “Letture dal Liber abaci” si trovano anche altre unità di misura. I problemi risolti con la regola del tre sono solo i primi e più semplici che si trovano Liber abaci. A questa ci si riduce ad esempio tramite la “falsa posizione”, un procedimento piuttosto intuitivo in cui si cerca di “indovinare” la risposta ossia per scoprirla si fa un’ipotesi, che presumibilmente risulterà falsa ma che sarebbe stata corretta rispetto a un certo dato iniziale; si trova allora la risposta corretta considerando la proporzione tra il dato iniziale effettivo e quello dato dall’ipotesi falsa. Nelle “Letture dal Liber abaci” si trovano il testo del problema dell’albero e vari altri.
Per i più grandicelli e per i più interessati all’aspetto commerciale del Liber abaci nelle “Letture dal Liber abaci” si riportano altri esempi, più complessi, di problemi: un esempio di problema da risolversi con la regola del “tre composto”, usata ad esempio per barattare due diverse merci; esempi di come si calcoli la divisione dei utili tra soci; esempi che riguarda la fusione delle monete, il cui valore dipendeva dal peso e dalla percentuale di argento.
Il problema dei conigli e altre curiosità
Per la visita guidata: pannelli 9­11.
Lo spirito più astratto e ludico del matematico riemerge nel capitolo 12, il più ampio del Liber abaci, che raccoglie problemi di vario tipo, per lo più senza applicazione pratica e piuttosto artificiali e curiosi, che richiedono tecniche di risoluzione più o meno complesse, tra cui il cosiddetto metodo di doppia falsa posizione.
Tra questi problemi si trova il problema dei conigli. Leonardo si chiede quante coppie di conigli discenderanno in un anno a partire da una sola coppia, posta in un luogo completamente circondato da pareti, supponendo che per natura ciascuna coppia in un mese generi un’altra coppia e che inizi a riprodursi a partire dal secondo mese di vita. Dunque a partire da 1 coppia, ne avremo ancora 1 sola nel primo mese, 2 nel secondo ­ quando la prima avrà figliato, 3 nel terzo ­ quando la prima avrà figliato ancora, 5 nel quarto ­ quando sia la prima che la seconda avranno figliato, 8 nel quinto,..., 377 nel dodicesimo mese, cioè dopo che un anno è trascorso; ma cosí via, volendo, per un numero qualsiasi di mesi, senza fine. Mese per mese il numero dei conigli è dato dai numeri 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 e cosí via, in cui ogni numero si ottiene sommando i due che lo precedono.
Questi numeri sono noti “numeri di Fibonacci”, da quando, molto tempo dopo, ossia nel 1877 Eduard Lucas pubblica un un articolo matematico in cui, per alcuni risultati sui numeri primi, si serve di proprietà di questa successione di numeri indicandola con il nome di Fibonacci. Da quel momento si registra l’inizio di una sterminata attività di studio sulle proprietà di tale successione che inaspettatamente ricompare in diverse situazioni, matematiche ma anche non, ad esempio in natura e arte. Basti pensare che dal 1963 viene pubblicata una rivista matematica, il Fibonacci Quarterly, interamente dedicata alle sue proprietà. I pannelli 9 e 10 sono dedicati alla successione di Fibonacci. Si tratta di un argomento che in genere incuriosisce e ben si presta a vari sviluppi ad ogni livello. Ai più piccoli si può proporre, oltre che di riprodurre il problema dei conigli e quello analogo della nascita delle api (si veda ad esempio la pubblicazione già ricordata), di ritrovare i numeri di Fibonacci nelle pigne, cavoli, girasoli, ma anche carciofi, margherite, ananas, piante grasse, e tante altre cose da scoprire; si può proporre di disegnare e trovare in natura le spirali di Fibonacci. Per più grandi ci si potrà soffermare sulla sezione aurea e invitarli a scoprirne ricorrenze e applicazioni.
Il pannello 11 riporta un altro famoso problema. Questo richiede di lavorare con numeri molto grandi, che diventano trattabili con il nuovo sistema di rappresentazione dei numeri. Il problema consiste essenzialmente nel sommare una progressione geometrica può essere uno spunto per presentarla in modo semplice ai più piccoli, entrando nei dettagli della soluzione con i più grandi. Il testo del problema della scacchiera e la soluzione proposta da Fibonacci per semplificare il calcolo della somma è riproposto nelle “Letture dal Liber abaci”.
L’algebra
Per la visita guidata: pannello 4
Gli ultimi due capitoli contengono questioni sempre più astratte fino a comprendere alcuni aspetti di quella nuova disciplina che rappresenta forse il maggior contributo lasciato dagli arabi alla matematica, l’algebra, che troverà più tardi in occidente degni prosecutori. È ancora grazie all’opera di Leonardo che dall’arabo al­jabr questo termine, a noi oggi ben noto, fa una delle sue prime comparse nelle nostre terre. Insieme ad algebra vengono introdotti nella nostra lingua molti altri termini, traduzioni dall’arabo, che caratterizzeranno gli sviluppi di questa disciplina nel mondo latino; fra questi radice per l’incognita, termine giunto fino a noi, e censo per il suo quadrato, caduto invece più tardi in disuso.
Nelle “Letture dal Liber abaci” si possono trovare i passi che si riferiscono alla classificazione e risoluzione delle equazioni di secondo grado.
L’insegnamento del Liber abaci e le scuole d’abaco
Per la visita guidata: pannelli 13­15.
A dispetto di quanto questa descrizione sommaria può aver comunicato, il Liber abaci è tutt’altro che una opera di semplice e familiare lettura, e la realizzazione del proposito di Leonardo di mettere a parte delle nuove tecniche la gens latina risultò non proprio diretta e immediata. Le resistenze di parte della classe mercantile rispetto all’uso nelle nuove cifre, dovettero però infine cadere a seguito dell’ingrandirsi delle stesse attività commerciali. Passando da gestioni di carattere familiare a società più complesse, la contabilità richiese la padronanza di procedimenti matematici più sofisticati e la vecchia numerazione si mostrò presto inadeguata.
Per esercitare il commercio era necessario saper leggere, scrivere e far di conto con estrema abilità e per coloro che volevano dedicarsi alla mercatura era dunque necessaria una istruzione mirata. Questa veniva impartita nelle cosiddette “scuole d’abaco”, frequentate anche da chi intendeva entrare nelle botteghe artigiane per diventare architetto, pittore o scultore. In molte città della Toscana, dell’Umbria, del Veneto, della Lombardia, dal successivo secolo XIV, la loro presenza è ben documentata. Si trattava spesso di scuole istituite e sovvenzionate dai Comuni, ma ad esempio a Firenze, dove vi era un gran numero di studenti, erano tutte private. Qui la più famosa scuola d’abaco si trovava di fronte alla Chiesa di Santa Trinita e fu fondata forse da Paolo dell’Abaco, matematico, astonomo, astrologo di grande fama a cui succedette Maestro Antonio de’ Mazzinghi da Peretola e poi Maestro Giovanni di Bartolo che partecipò alla progettazione della cupola di S. Maria del Fiore.
Ciò che si imparava nelle scuole d’abaco era derivato fondamentalmente dall’opera di Leonardo. È possibile che Leonardo stesso tornato a Pisa, dove fu attivo come esperto contabile del Comune, si sia qui dedicato anche all’insegnamento formando direttamente una prima generazione di esperti d’abaco che contribuirono alla diffusione del Liber abaci anche in altre regioni. Per ovviare alle difficoltà dovute sia alla complessità dell’opera e che alla lingua in cui questa era stata scritta, il latino, i Maestri d’abaco composero però trattati e manuali semplificati e redatti in lingua volgare sui quali basavano il loro insegnamento, alcuni dei quali contenenti anche sviluppi originali.
Il fenomeno delle scuole d’abaco fu senza pari nell’Europa del tempo. A testimonianza di ciò resta il notevole numero di trattati d’abaco oggi conosciuti, circa trecento. Ma con la comparsa della stampa le modalità di diffusione del sapere subirono grandi cambiamenti: tali trattati manoscritti furono dimenticati e sostituiti da altri, pochi ma disponibili in maggior numero di copie. In particolare la Summa di Luca Pacioli, divenne, almeno in Italia, un nuovo punto di riferimento. Anche il Liber abaci seguí lo stesso destino dei libri d’abaco di cui era capostipite e, contemporaneamente, la memoria di Leonardo si fece sempre più confusa.
Si deve arrivare all’Ottocento perché l’opera di Leonardo sia riscoperta e rivalutata. Storici come Pietro Cossali, Guglielmo Libri e Baldassarre Boncompagni, il quale tra l’altro nel 1857 pubblicò la prima e ad oggi unica versione a stampa del Liber abaci, ricollocarono nel giusto contesto storico il matematico pisano.
Anche presso le istituzioni si risvegliò l’interesse per Leonardo: una lapide che riproduce il testo di una delibera del 1233 con cui il Comune di Pisa, riconoscendo l’onore derivante alla città dalla dottrina del maestro, decreta la concessione di un salario annuo per la prosecuzione dell’opera prestata nell’amministrazione pubblica, fu collocata nell’Archivio di Stato di Pisa. E negli stessi anni fu commissionata la statua con la quale abbiamo iniziato e con la quale concludiamo il nostro percorso attraverso la mostra.
Per la fortuna del Liber abaci e del suo insegnamento ci si riferirà ai pannelli dal 13 alla fine. Nel presentare le scuole d’abaco si può riferirsi al documento riprodotto nel pannello 14 che illustra il programma di una scuola d’abaco di due secoli e mezzo successiva al Liber abaci. Si osservi che la tavola è il supporto sul quale si scriveva, il libretto o librettine sono le tabelline, i rotti sono le frazioni, le ragioni di cui si parla alla fine sono le lezioni da fare, doppi in caso di vacanza! Letture dal Liber abaci
Raccogliamo qui alcuni materiali relativi al Liber abaci che possono essere utilizzati a
complemento della mostra “Un ponte sul Mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza araba
e la rinascita della matematica in Occidente”, ai cui pannelli si fa riferimento.
Si tratta di una sorta di piccola antologia che vuole essere uno strumento di accesso diretto
al Liber abaci nel lavoro in classe.
La prima parte, pensata per il più piccoli, raccoglie materiali relativi alle quattro operazioni.
Qui si spiega come vengono presentate nel Liber abaci e, in alcuni casi, più in generale nella
tradizione abachistica.
La seconda parte è una scelta di problemi tratti dai diversi capitoli, di cui si riporta il
testo latino dell’edizione a stampa di Boncompagni, una traduzione e la trascrizione della
soluzione indicata da Fibonacci.
La terza parte attinge alla trattazione delle equazioni di secondo grado presente nell’ultimo
capitolo del Liber abaci.
Notazione. Per evitare ambiguità abbiamo utilizzato sempre la notazione attuale per le
frazioni. Questo vale anche per le citazioni dal Liber abaci: le espressioni contenenti frazioni sono state dunque riadattate e espresse nella forma attuale.
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Inserire al posto di questa pagina le pagine 3­ fine di Fibonacci.pdf (togliere le pagine 1 e 2)
SEZIONE 5
Pitagora e il suo teorema (storico)
Nota introduttiva
1.Il teorema di Pitagora nell’estrema antichità.
2. Alcune dimostrazioni semplici.
3. Equivalenza ed equiscomponibilità di poligoni. 4. Figure simili.
5. Parallelogrammi e trapezi.
6. Il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide. 7. Un triangolo non rettangolo. 8. La diagonale del quadrato e gli irrazionali.
9. La scala musicale pitagorica e altre scale.
10. I solidi regolari.
11. Terne pitagoriche.
Nota introduttiva
La mostra documentaria Pitagora e il suo teorema, costituita nella sua forma per le scuole da 16 pannelli , nasce a complemento della mostra interattiva dedicata alla scoperta del teorema di Pitagora e sue estensioni e sfaccettature attraverso una serie di puzzle. La mostra documentaria si propone invece di fornire elementi per la ricostruzione storica della figura di Pitagora e del suo insegnamento.
Sulla base dei testi antichi ripercorre la vita e le opere di uno tra i più brillanti e controversi pensatori dell'Antichità. Matematico, filosofo, legislatore, sciamano, Pitagora ha lasciato un'impronta profonda sulla cultura e sulla scienza classiche, influenzando il pensiero greco per tutto l'arco che va dalle origini alla rinascita neopitagorica del V secolo d. C .
In questa sezione raccogliamo vario materiale che oltre la mostra vera e propria può fornire numerosi spunti di approfondimento e suggerimenti per attività da proporre nelle classi su temi legati al teorema di Pitagora e altri risultati riferibili alla scuola pitagorica.
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Inserire al posto di questa pagina il file PitagoraStorico.pdf
SEZIONE 6
Pitagora e il suo teorema (ludico)
Suggerimenti e spunti per un laboratorio sul teorema di Pitagora e dintorni.
1. L'enunciato
2. Esagoni e stelle
3. Dimostrazione
4. Euclide
5. Euclide secondo
6. Pappo
7. Un piccolo approfondimento per i più grandi
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Inserire qui tutte le pagg. di PitagoraLudico.pdf
SEZIONE 7
Regoli per il calcolo: bastoncini per moltiplicare e dividere Introduzione 3
1. Note storiche 4
2. La moltiplicazione con i bastoncini di Nepero. 5
2.1. Istruzioni per l'uso. 5
2.1.1. Moltiplicazioni per numeri a una cifra 5
2.1.2. Moltiplicazioni con riporto. 7
2.1.3. Moltiplicazioni per numeri a più cifre. 7
2.2. Come sono costruiti. 8
2.3. Osservazioni. 8
3. La moltiplicazione con i bastoncini di Genaille­Lucas. 9
3.1. Istruzioni per l'uso. 10
3.1.1. Moltiplicazioni per numeri a una cifra. 10
3.1.2. Moltiplicazioni per numeri a più cifre. 11
3.2. Come sono costruiti. 11
4. La divisione con i bastoncini di Genaille­Lucas. 13
4.1. Istruzioni per l'uso. 14
4.1.1.Divisioni per numeri a una cifra. 14
4.1.2. Cifre decimali. 14
4.2. Osservazioni. 15
4.3. Come sono costruiti. 15
5. La moltiplicazione secondo il Promptuarium di Nepero.
5.1. Istruzioni per l'uso. 18
5.2. Osservazioni. 18
5.3. Come sono costruiti. 18
6. Estrazione di radice quadrata con i bastoncini di Nepero. 20
6.1. Istruzioni per l'uso. 20
6.2. Osservazioni. 21
7. Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori. 23
7.1. Premessa sui laboratori. 23
7.2 Contenuto delle presentazioni per il laboratorio. 23
Scopo di questa sezione, dedicata ai bastoncini di calcolo, è fornire agli insegnanti che desiderino riproporre le attività nelle proprie classi alcune informazioni teoriche necessarie per impadronirsi dell'argomento e una serie di suggerimenti pratici per lo svolgimento dei laboratori stessi.
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Inserire qui le pagg. 2­22 di bastoncini.pdf (togliere la prima e l'ultima)