EQUAZIONI
DIFFERENZIALI
ORDINARIE
PRIME
CONSIDERAZIONI .
Argomenti della lezione
 Generalità sulle equazioni
differenziali.
 Alcuni tipi d’equazioni del
prim’ordine.
GENERALITÀ SULLE
EQUAZIONI
DIFFERENZIALI
Molti problemi di tipo
fisico-tecnico o geometrico,
conducono a considerare
equazioni nelle quali
intervengono come incognite
i valori di una funzione y(x) e
delle sue derivate y’, y’’,..
Abbondano gli esempi
1) Equazione d’un semplice circuito
elettrico in serie
V(t)= R i(t) + L di/dt
Qui la funzione incognita è i(t).
2) Traiettoria di un galleggiante
che si muove nella corrente di un
fiume.
In ogni punto di un insieme aperto
A  R2 che rappresenta la superficie
di un tratto del fiume è assegnata
una direzione di moto (un campo
di direzioni).
y’(x) = f(x,y)
Si cerca la traiettoria del
galleggiante che, partendo da una
posizione iniziale (x0,y0) si muove in
modo che il suo moto sia sempre
tangente alla corrente.
 y’(x) = f(x,y)
 y(x0) = y0

y0
x0
3) Data una famiglia di curve piane
dipendenti da un parametro f(x,y;c)=0,
trovare l’equazione differenziale
della famiglia.
Si ottiene, in condizioni favorevoli,
eliminando la costante c dalle
equazioni
f(x,y;c) = 0
fx(x,y;c) + fy(x,y;c) y’ = 0
Per esempio, la famiglia delle
circonferenze con centro sull’asse
x e passanti per l’origine:
(x-a)2 + y2 = a2
ha equazione differenziale
y2 - x2 - 2 xyy’ = 0.
Data f : A  Rn+2  R, A aperto,
un’equazione del tipo:
f(x,y,y’,…,y(n)) = 0
si dice un’equazione
differenziale d’ordine n se f
dipende effettivamente da y(n).
L’equazione si dice di forma
normale se è risolta nella
derivata d’ordine massimo:
y(n) = f(x,y,y’,…,y(n-1))
Una funzione y(x) che sia n volte
derivabile e che sostituita nell’
equazione differenziale la soddisfi
identicamente si dice una soluzione
o integrale dell’equazione.
Un problema tipico che si pone
per equazioni differenziali del
prim’ordine o per sistemi
d’equazioni del prim’ordine è il
Problema di Cauchy o ai valori
iniziali:
trovare y(x) definita su un
intervallo I, con x0  I, tale che
(1)
 y’(x) = f(x,y(x))
 y(x0) = y0

Vale in proposito il seguente
Teorema
Se f : A  R2  R è continua, allora
esistono h >0 e y : ] x0 - h,x0 + h[
soluzione del problema. Se
f y : A  R2  R
esiste ed è continua, allora
la soluzione è unica.
Ci occuperemo ora della soluzione
di alcuni tipi particolari d’equazioni
del prim’ordine.
ALCUNI TIPI
PARTICOLARI
D’EQUAZIONI
DIFFERENZIALI
DEL PRIM’ORDINE
Equazioni a variabili separabili.
Sono le equazioni del tipo
(2)
y’ = g(x)  h(y) [ = f(x,y)]
con g(x) definita e continua su un
intervallo I di R e h(y) di classe
C1(J) su J intervallo di R. (A = I  J)
Sotto queste condizioni il problema
di Cauchy ha una e una sola
soluzione locale
Se h(y0) = 0, allora y(x)  y0, cioè la
soluzione è la funzione costante.
Se h(y0) ≠ 0, allora la soluzione non
s’annulla in alcun punto.. (perché?)
Dividendo la (2) per h(y) ≠ 0, si trova
y’(x)/ h(y(x)) = g(x)
e quindi.. (calcoli a parte)
Esempio:
y’ = y2
y0
y(x) = ____________
1 + y0(x0- x)
È interessante notare che la
soluzione non è definita su tutto
R, benché f(x,y)sia definita in R2.
Equazioni omogenee.
Sono le equazioni del tipo
(3)
y’ = f(y(x)/x)
Prendendo come nuova funzione
incognita
u(x) = y(x)/x
L’equazione (3) si trasforma nella
seguente
u’(x) = (f(u(x))-u(x))/x
che è a variabili separabili.
Esempio 1:
y
______
y’ =
Esempio 2:
y’ = (y/x) + tg(y/x)
x+y