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oppure il programmino
Math Type
...
il metodo delle celle
prof. Enzo Tonti
...
Alcune considerazioni sulle leggi fisiche
Un fenomeno fisico è descritto da certe grandezze:
Le grandezze che descrivono un fenomeno devono sottostare ad alcune leggi.
Cosa sono le leggi di un fenomeno?
Sono i legami ai quali devono sottostare le grandezze fisiche
che descrivono il fenomeno.
pV  nRT
Infatti il termine “legge” viene da “lex, legis” che indica un legame.
In fisica questi legami tra le grandezze sono espressi da equazioni.
Nella maggioranza dei casi le leggi non legano direttamente
le grandezze fisiche bensì le variazioni di tali grandezze.
dv
F m
dt
Se consideriamo variazioni infinitesime nascono i rapporti tra infinitesimi
e quindi le derivate: le leggi sono allora espresse da equazioni differenziali.
...
La conduzione termica
Consideriamo il fenomeno della conduzione termica. Il calore generato da certe
sorgenti si propaga da una regione all’altra mosso dalle differenze di temperatura.
Una volta assegnate le sorgenti di calore, la loro posizione e la loro intensità,
il problema fondamentale della conduzione termica è quello di determinare
la temperatura in ogni punto della regione che stiamo studiando.
T (t , x, y, z )  ?
Dal momento che il calore va dalle zone a temperatura superiore a quelle di
temperatura inferiore deve esistere una legge che regola il modo con il quale
il calore si propaga. Una di questi legami è costituito dal bilancio di energia.
Inoltre la quantità di calore che transita attraverso un elemento di superficie
dipenderà dalla differenza di temperatura fra i due punti che stanno a cavallo
della superficie. Il legame sarà espresso da una equazione costitutiva, la legge
elementare di Fourier.
...
il campo elastico
Consideriamo il fenomeno della deformazione elastica di un corpo solido.
Le forze agenti su un corpo ne provocano la deformazione.
La deformazione si propaga da una regione all’altra del corpo determinando
lo spostamento dei diversi punti del corpo.
Una volta assegnate le forze, la loro posizione, la direzione e l’intensità,
il problema fondamentale della teoria dell’elasticità è quello di determinare lo
spostamento di ogni punto del corpo, a partire da una configurazione indeformata.
u (t , x, y, z )  ?
Dal momento che la deformazione si trasmette di zona in zona, da punto a
punto, devono esistere delle leggi che regolano il modo con il quale essa si
propaga.
Una di queste leggi impone l’equilibrio, se la deformazione è statica, o il
bilancio della quantità di moto se la deformazione è dinamica.
Un’altra legge caratterizza il comportamento elastico del materiale, è
l’equazione costitutiva di Hooke.
...
la dinamica dei fluidi
Consideriamo il fenomeno del moto di un fluido, liquido o gas.
Il moto è generato dalle differenze di pressione da una regione ad un’altra del fluido.
A sua volta la pressione varia da un punto all’altro in funzione del moto del fluido.
Se il fluido è un gas anche la temperatura determina il moto del fluido.
Il problema fondamentale della dinamica dei fluidi è quello di determinare
la velocità, la pressione e la temperatura in ogni punto del fluido ad ogni istante:
v (t , x, y, z )  ?
p(t , x, y, z )  ?
T (t , x, y, z )  ?
Dal momento che il fluido si muove sotto l’azione delle differenze di
pressione e di temperatura devono esistere delle leggi che regolano il moto.
Una di queste leggi impone la conservazione della massa,
un’altra impone la conservazione dell’energia,
una terza impone il bilancio della quantità di moto.
...
il campo elettromagnetico
Consideriamo il campo elettro-magnetico generato da cariche elettriche
in quiete ed in moto.
Le cariche si muovono a causa della mutua repulsione e attrazione.
La descrizione del campo è affidata a due vettori:
il vettore intensità del campo elettrico E
il vettore densità di flusso magnetico B.
Il problema fondamentale dell’elettromagnetismo è il seguente:
assegnata la distribuzione spaziale e temporale delle cariche e delle correnti,
determinare i due vettori E e B in ogni punto del campo ad ogni istante:
E (t , x, y, z )  ?
B(t , x, y, z )  ?
Devono esistere delle leggi che regolano il campo.
Una di queste leggi impone la conservazione della carica elettrica,
altre quattro leggi legano fra loro i due vettori E e B e sono
le equazioni di Maxwell.
...
Le equazioni di campo
Abbiamo presentato quattro tipici campi (del macrocosmo)
• Il campo della conduzione termica
• Il campo della deformazione elastica;
• il campo del moto di un fluido;
• il campo elettromagnetico.
Abbiamo visto che per ciascuno di essi si devono imporre delle leggi che
sono espresse da equazioni.
Per ragioni storiche queste leggi sono espresse da
equazioni differenziali alle derivate parziali.
...
Le equazioni di campo
Abbiamo anche detto che in ciascun campo l’obiettivo è di determinare delle
funzioni, scalari o vettoriali ad ogni istante e in ogni punto.
T (t , x, y, z )  ?
Poniamoci la domanda:
u (t , x, y, z )  ?
e’ facile risolvere le equazioni
v (t , x, y, z )  ?
differenziali dei singoli campi
p(t , x, y, z )  ?
ancor più nei casi complessi
T (t , x, y, z )  ?
che si presentano nella tecnica ?
E (t , x, y, z )  ?
B(t , x, y, z )  ?
...
un campionario di equazioni di campo
campi vari (elettrostatica, fluidi perfetti in
moto stazionario, torsione, ecc.)
conduzione termica, diffusione, filtrazione
onde (acustiche, elettromagnetiche)
elasticità
fluidodinamica
u  0 Laplace
u   Poisson
c t u  u   Fourier
1  2u
 u   d ' Alembert
2
2
v t
u  k 2u  0 Helmholtz
(   ) (  u )   2u  f  0 Navier
Dv

 p  f   2 v
Navier  Stokes
Dt
div B  0 Gauss (magnetico)
elettromagnetismo
div D  
Gauss (elettrico)
rot H   t D  J
Ampère
rot E  t B  0
Faraday
...
risolvere le equazioni di campo
La risposta è:
non è affatto facile !
Occorre fare delle approssimazioni
e utilizzare tecniche numeriche
che obbligano all’uso del calcolatore.
Occorre trasformare le equazioni differenziali in equazioni algebriche
attraverso uno dei tanti metodi di discretizzazione.
...
La formulazione differenziale delle leggi fisiche
I.Newton
Philosophiae
Naturalis
Principia
Mathematica
5+7=12
Dai tempi dell’invenzione del calcolo infinitesimale,
avvenuta circa tre secoli fa,
le leggi fisiche sono state formulate matematicamente
in termini di equazioni differenziali.
Circa cinquant’anni fa l’avvento dei calcolatori ha fatto
nascere la necessità di avere una descrizione algebrica
delle leggi fisiche.
Cosa è avvenuto allora ?
Si è pensato di DISCRETIZZARE le equazioni differenziali.
All’inizio usando le differenze finite e successivamente
escogitando altri metodi di discretizzazione.
Non si è pensato invece di partire di nuovo dai fatti sperimentali
per ottenere una formulazione algebrica DIRETTA delle leggi fisiche.
...
Formulazione finita (= non differenziale)
La varietà dei metodi di discretizzazione
fa nascere la seguente domanda:
?
È possibile
una formulazione algebrica DIRETTA
dei campi fisici ?
...
Vogliamo dimostrare che una formulazione algebrica
DIRETTA delle leggi di campo
è possibile !
è facile !
è intuitiva !
è pronta per la
risoluzione numerica !
...
Dal discreto al differenziale … per tornare al discreto!
soluzione
approssimata
questa conferenza
equazioni
algebriche
FEM
FVM
campo
fisico
BEM
FDM
equazioni
differenziali
...
Analisi delle equazioni
Esaminando diverse formule della fisica
si constata che esse si ottengono per composizione
di certe equazioni elementari quali le
equazioni di bilancio,
equazioni circuitali,
equazioni di formazione delle differenze spaziali,
equazioni di formazione delle differenze temporali,
equazioni costitutive o materiali o di stato,
equazioni di definizione.
...
Apologia del “bilancio”
La maggior parte delle equazioni fondamentali dei fenomeni fisici
nasce da un bilancio:
Nella statica dei solidi deformabili è essenziale il bilancio delle forze.
Nello studio della conduzione termica è essenziale il bilancio energetico.
Nella fluidodinamica è essenziale il bilancio della quantità di moto.
Nella chimica le reazioni chimiche esprimono il bilancio di massa.
Nella teoria delle reti elettriche è essenziale il bilancio delle correnti.
In idraulica è essenziale il bilancio di massa,
nell’elettromagnetismo si fa il bilancio della carica;
nella termodinamica si scrive il bilancio di entropia;
ecc.
...
Un bilancio vale nel finito prima che nell’infinitesimo
Per l’equilibrio di un corpo occorre che la somma delle forze di volume
(solitamente i pesi) e di quelle di superficie sia nulla.
Così uno scafo sta in
equilibrio perché il suo peso
è equilibrato dalla spinta
dell’acqua sullo sua
superficie.
Un pezzo di materiale
nell’interno di un corpo
sta in equilibrio
perché le forze di volume
sono equilibrate
dalle forze interne di superficie.
Orbene un bilancio vale per qualunque dimensione e per qualunque forma
della porzione di corpo al quale è applicato,
non c’è bisogno di ridursi ad un volumetto infinitesimo.
E allora per quale ragione lo applichiamo ad un volumetto infinitesimo
di dimensioni dx,dy,dz così da ottenere una equazione differenziale?
...
Cosa è un bilancio?
Un bilancio è una affermazione che riguarda alcune
grandezze per le quali si può parlare di accumulo,
di produzione e di flusso uscente.
Consideriamo una fabbrica di bottiglie.
Dal forno escono bottiglie appena formate:
una parte di queste viene accumulata nei depositi
dello stabilimento ed una parte esce.
...
Per dare una risposta a questa domanda
faremo riferimento alla conduzione termica
in quanto è molto intuitiva
Conduzione termica
...
Le due leggi della conduzione termica
1) Bilancio di energia:
Il calore prodotto in una regione
in parte si accumula
in parte esce.
2) Equazione costitutiva: legge di Fourier
In una regione in cui il flusso è uniforme
il calore che attraversa una superficie piana
per unità di area, è proporzionale
al salto di temperatura per unità di lunghezza
(misurato in direzione perpendicolare alla superficie)
e procede dal caldo al freddo.
Q
A
L
...
Il problema fondamentale della conduzione termica
assegnata una porzione di materia;
precisata la natura fisica dei materiali che la compongono;
precisate le sorgenti termiche in estensione ed intensità;
precisate le condizioni al contorno della regione;
determinare la temperatura in ogni punto della regione.
sorgente
temperatura
nota
calore incognito
temperatura
incognita
calore noto
calore noto
temperatura
incognita
calore noto
materiali
diversi
temperatura
nota
calore incognito
...
Complesso di celle triangolari
Costruiamo nella regione un complesso di celle a forma di triangoli.
Facciamo la triangolazione in modo che i triangoli si appoggino sulla
superfice di separazione tra i due materiali. Numeriamo i vertici.
13
temperatura
nota
12
11
calore noto
10
calore noto
3
5
7
2
1
4
6
8
calore noto
14
9
15
temperatura
nota
16
17
...
Vogliamo trovare le temperature nei nodi
Dobbiamo determinare le temperature nei nodi in giallo, 1,2,…9
in quanto quelle nei nodi 10,11,…17 sono note.
Occorrono pertanto 9 equazioni algebriche,
tante quante sono le temperature incognite.
13
temperatura
nota
12
11
calore noto
10
calore noto
3
5
7
2
1
4
6
8
calore noto
14
9
15
temperatura
nota
16
17
...
Poligoni duali (di Voronoi)
Per scrivere il bilancio di energia utilizzeremo un complesso di celle duale.
Questo può essere formato dai poligoni i cui lati tagliano
ortogonalmente i lati del primale nei punti di mezzo.
13
12
11
10
3
5
7
2
1
4
6
8
14
9
15
16
Questi poligoni si chiamano poligoni di Voronoi.
17
...
I poligoni duali interni (interi)
Scriveremo l’equazione di bilancio per ciascun poligono duale.
Usando i poligoni di Voronoi si ha il vantaggio di avere i lati dei poligoni
ortogonali ai lati dei triangoli: questo rende molto semplice
la scrittura delle equazioni costitutive.
13
12
11
10
3
5
7
2
1
4
6
8
14
9
Consideriamo dapprima
i poligoni interni (interi)
15
16
17
...
Bilancio di energia sui poligoni duali
Ci limiteremo al caso stazionario: l’accumulo di energia è nullo e
quindi il calore prodotto è uguale a quello uscente.
Il bilancio si fa sul poligono duale
13
12
11
10
3
5
7
2
1
4
2
8
6
14
9
15
16
17
...
Valutiamo i calori uscenti
Il calore che attraversa un lato del poligono di Voronoi,
considerato positivo se entra, dipende dalla differenza di
temperatura misurata a cavallo del lato.
La legge elementare del calore di Fourier dice che, in una regione di flusso
uniforme, il calore che transita attraverso una superficie è proporzionale alla
differenza di temperatura per unità di lunghezza secondo la formula
11
10
Noi faremo l’approssimazione di considerare
3
la regione circostante ogni lato del poligono
2
1
come una regione di uniformità.
area di
approssimata
uniformità
4
14
15
Questa sarà l’unica approssimazione che faremo!
...
Equazione fondamentale per i poligoni interni (interi)
Equazione di bilancio (esatta)
Equazioni costitutive (approssimate)
15
10
3
2
1
4
14
si ottiene l’equazione
algebrica
approssimata:
15
...
Equazione fondamentale per i poligoni di bordo
Scriveremo l’equazione di bilancio
per ciascun poligono duale di bordo (spezzato).
11
10
3
2
1
4
14
...
15
...
Bilancio di energia sui poligoni duali di bordo (spezzati)
11
Per ogni poligono di bordo scriviamo che la
somma dei flussi uscenti è uguale al flusso
entrante dal bordo.
10
3
2
1
Bilancio sul poligono 1
4
14
15
Usando anche qui le equazioni costitutive si perviene
all’equazione algebrica approssimata
...
Il sistema algebrico fondamentale
In questo modo si giunge ad un sistema algebrico di n equazioni
in n incognite contenente le temperature nodali:
11
10
3
2
1
4
14
15
11
10
Dal momento che abbiamo un poligono duale
per ogni nodo, scrivendo una equazione di bilancio
per ogni poligono duale, avremo tante equazioni
quanti sono i nodi e quindi quante sono le incognite.
In questo modo avremo ottenuto un sistema
di equazioni algebriche senza essere passati
attraverso equazioni differenziali.
3
2
1
4
14
15
...
Invece la formulazione differenziale ….
ci fornisce due belle equazioni differenziali, una per ciascun materiale
(supposto omogeneo), ci costringe a scrivere le equazioni di raccordo sulle
superfici di separazione tra due materiali diversi.
A
B
Ma allora che bisogno c’è di fare il limite, considerare volumetti infinitesimi
e così pervenire ad una equazione differenziale che non possiamo risolvere?
...
Dove nasce l’approssimazione
Dal momento che l’equazione costitutiva è sperimentata in regioni di campo
uniforme, quando essa è applicata in regioni di campo non uniforme diviene
approssimata.
E’ qui che nasce l’approssimazione della risoluzione numerica.
E’ evidente che tanto più piccola è la dimensione delle celle,
tanto più il campo si potrà considerare uniforme in ciascuna di esse.
Ed ecco che scatta l’dea che facendo il limite,
ovvero riducendo i volumetti a punti, la legge costitutiva diventi “esatta”.
Senonché facendo così cadiamo nelle braccia della formulazione differenziale.
Braccia dalle quali non riusciamo ad uscire se non discretizzando l’equazione
e quindi tornando ad una soluzione approssimata!
Tanto valeva evitare il passaggio al limite e mantenerci nell’ambito di una
soluzione approssimata fin dall’inizio!
...
L’illusione della soluzione “esatta”
Il fatto è che la Matematica ci ha ossessionato con l’idea della soluzione “esatta”
mentre l’ingegnere ha bisogno di soluzioni approssimate:
approssimate quanto basta per rispettare una tolleranza convenuta.
Nei corsi di disegno la nozione di tolleranza si presenta fin dall’inizio.
Al contrario nel corso degli studi di ingegneria si presentano
prima le equazioni differenziali e dopo il metodo degli elementi finiti.
Questo porta a ritenere che la soluzione di un metodo discreto
sia meno nobile della soluzione esatta.
Questo incide profondamente nella mentalità dell’ingegnere che si sente sempre
un po’ in soggezione nei riguardi della Matematica a causa delle approssimazioni
che è costretto a fare.
Ma è un atteggiamento sbagliato: il fatto è che non è l’analisi
infinitesimale lo strumento più idoneo per trattare i suoi problemi
ma lo è l’analisi numerica che si fonda sull’algebra
(sistemi di equazioni algebriche, matrici, vettori, ecc.).
...
Soluzione esatta? … No, grazie
Un punto fondamentale è che all’ingegnere e al fisico
non interessano risultati “esatti”
bensì risultati con una tolleranza convenuta.
• Nella misura di un terreno agricolo la tolleranza è, al più,
del metro
• In edilizia la tolleranza è, al più, di un
millesimo di metro.
• Nella lavorazione di un pezzo meccanico la tolleranza è dell’ordine di un
milionesimo di metro.
Contrariamente a questo nell’analisi infinitesimale la nozione di
tolleranza è sconosciuta. Nell’analisi infinitesimale non c’è posto per il
termine “piccolo” ma si parla di piccolo a piacere.
E’ nell’analisi numerica che si parla di “errore”:
di maggiorazione dell’errore, di valutazione dell’errore.
...
Confronto con gli elementi finiti
Il fatto inaspettato è che il sistema algebrico delle equazioni così ottenuto
coincide con quello fornito dal metodo degli elementi finiti !
Questo indica che il doppio processo di partire dal discreto per arrivare
al differenziale per poi risalire al discreto è semplicemente assurdo.
E’ come partire dal caffè in chicchi, macinarlo fine fine per poi tornare a
ricostruire delle zollette di caffè! Macinandolo si perde l’aroma naturale
contenuto nei chicchi e, per formare le zollette, si devono aggiungere
conservanti, amalgamanti, coloranti che ne alterano la qualità.
Perché non lasciarlo in chicchi?
Dal momento che le misure e le leggi della fisica si fanno nel finito,
non nell’infinitesimo, perché ridursi all’infinitesimo per poi tornare al finito
mediante i diversi metodi di discretizzazione?
...
complesso simpliciale di Delaunay
sorgente concentrata
regione con materiale A
20
40 con materiale
60
80
regione
B
100
120
140
160
180
sorgente distribuita
200
...
duale baricentrico
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
diaframma
Il bilancio si fa sui
poligoni duali
(qui di Voronoi)
Linee iso-piezometriche
diaframma
conclusione
...
caratteristiche della formulazione algebrica
la formulazione algebrica tratta con facilità
• regioni di forma qualsiasi, con buchi, punte, fessure, incavi, ecc.
• regioni contenenti materiali diversi
• materiali anisotropi
• materiali nonlineari
• materiali sinterizzati ( -->Cosmi )
• tratta con naturalezza sorgenti concentrate
• non presenta infiniti
• consente ordini di convergenza di ordine superiore al secondo
( -->Tonti - Zovatto - Cosmi )
• si applica con semplicità alla frattura
(-->Nappi – Rajgelj – Zaccaria - Ferretti - Viola - Di Leo)
...
Evitiamo quindi un passaggio inutile !
soluzione
approssimata
equazioni
algebriche
questa conferenza
campo
fisico
equazioni
differenziali
...
indirizzi
Pubblicazioni relative
alla formulazione algebrica
e al metodo delle celle
si possono scaricare dal sito:
discretephysics.dic.units.it
Dispense relative alle celle si possono scaricare via “ftp” dal sito
ftp://ftp.dic.units.it/pub/science
Prof. Enzo Tonti, Dipartimento di Ingegneria Civile
dell’Università di Trieste, Piazzale Europa 1, 34127 Trieste
Tel: 040 558 3846
e-mail:
[email protected]