Appunti di
Elementi di Meccanica
Vettori nel piano
v 1.0
Figura 1: Rappresentazione di un vettore
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Vettori
Il vettore è un ente geometrico che, nella meccanica, consente di rappresentare efficacemente grandezze cinematiche e forze. Un vettore fornisce tre
informazioni: una direzione, un verso di percorrenza nella direzione indicata
e il modulo, uno scalare. La direzione è rappresentabile con un fascio di
rette parallele, appartenente ad uno spazio tridimensionale. La direzione è
quindi definibile una volta definito un sistema di riferimento che consenta
l’individuazione di punti, rette e piani. Il verso indica invece quale sia il senso di percorrenza di una retta appartenente al fascio; il modulo è invece un
valore numerico scalare che dà una misura della “grandezza” della quantità
rappresentata dal vettore.
Perché direzione, verso e modulo di un vettore possano essere identificati
è necessario stabilire dei riferimenti. Questi possono essere costituiti da un
sistema di riferimento, rispetto al quale un vettore può essere individuato
mediante le coordinate di un punto o mediante due parametri (vedi figura 1).
La prima maniera di rappresentare un vettore consiste nello specificare le
coordinate cartesiane di un punto; il vettore è quindi implicitamente definito
come il segmento orientato che unisce l’origine del sistema di riferimento al
punto stesso. In figura 1 è rappresentato il vettore a che unisce il punto O
al punto P. Le coordinate del punto P sono quindi (ax , ay ). La direzione del
vettore è indicata dalla retta passante per O,P (quindi y = aaxy x), il verso
è da O verso P (per definizione) e il modulo è facilmente calcolabile come
lunghezza del segmento OP, ovvero
OP =
q
a2x + a2y
Una rappresentazione alternativa è data dall’impiego di coordinate polari.
In questo modo le coordinate del punto P sono espresse per l’appunto in
coordinate polari. La distanza quindi del punto P dal centro è a, mentre
l’angolo è θ. La direzione del vettore è univocamente determinata dalla retta
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Figura 2: Somma di due vettori
y = tan θ x, la determinazione del verso segue le stesse convenzioni sopra
riportate ed il modulo è ovviamente pari ad a.
Essendo le due rappresentazioni equivalenti, è facile scrivere le equazioni che legano i parametri caratteristici delle due formulazioni. Date le
coordinate cartesiane (ax , ay ) la distanza di P da O e l’angolo θ valgono
a=
q
a2x + a2y
θ = arctan
ay
ax
Viceversa note le coordinate polari di P (a, θ), le coordinate cartesiane si
ottengono mediante
ax = a cos θ
ay = a sin θ
Vale la pena sottolineare come le coordinate cartesiane del punto individuato da un vettore corrispondano alle lunghezze dei segmenti ottenuti
proiettando il vettore sugli assi cartesiani.
1.1
Somma vettoriale
I vettori possono essere sommati e la loro somma è a sua volta un vettore.
La direzione, il verso e il modulo del vettore risultante sono dipendenti dai
vettori sommati. In figura 2 sono indicati i vettori a, b e la loro somma, il
vettore c.
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Dal punto di vista grafico la somma di due vettori può essere fatta applicando la cosiddetta regola del parallelogramma. Tracciando due rette parallele alle direzioni dei due vettori addendi a e b passanti per l’estremo
non comune, si può individuare il punto di intersezione delle rette stesse. Il
segmento orientato congiungente il punto cosı̀ individuato con l’origine del
sistema di riferimento è il vettore risultante c. Questa regola è sempre applicabile fintanto che i due vettori non siano paralleli. In tal caso il vettore
risultante avrà la stessa direzione e verso dei vettori addenti ed il modulo
risulterà essere pari alla somma scalare dei due moduli.
Dal punto di vista analitico invece il calcolo è più intuitivo se si ricorre
ad uno “stratagemma”. Traslando uno dei due vettori (ad esempio il vettore b, come indicato in figura 2), si può facilmente notare che il calcolo delle
coordinate cartesiane del punto C può essere fatto partendo dalle coordinate
cartesiane dei punti A e B. La proiezione del vettore c sull’asse x, ad esempio, comprende le proiezioni dei vettori a e b. È immediato quindi scrivere
la relazione
cx = ax + bx
e la sua analoga per l’asse y
cy = ay + by
Noti i vettori a e b è quindi immediato il calcolo della loro somma, anche
da un punto di vista analitico. Per completezza si riporta il calcolo del
modulo e della retta indicante la direzione, eccoli
q
c=
(ax + bx )2 + (ay + by )2
y=
1.2
ay + by
x
ax + bx
Prodotto di un vettore per uno scalare
Il prodotto di un vettore a per uno scalare b è un’operazione che mantiene
invariata la direzione; ciò che può variare è il modulo e il verso. Nel caso in
cui lo scalare sia positivo il modulo del vettore risultante sarà pari al prodotto
del modulo a per lo scalare b e il verso rimarrà invariato. Nel caso in cui lo
scalare sia negativo il modulo del vettore è pari al prodotto del modulo dello
scalare per il modulo del vettore e il verso è opposto a quello iniziale.
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Figura 3: Sottrazione di due vettori
1.3
Sottrazione di vettori
L’operazione di sottrazione è facilmente eseguibile mediante la combinazione
di due operazioni già analizzate: la somma di vettori e il prodotto di un
vettore per uno scalare. Valgono chiaramente le equivalenze
c = a − b = a + (−1) · b
Eseguendo quindi prima il prodotto di un vettore per uno scalare, si può
procedere alla somma del vettore ottenuto con il restante. In figura 3 vi è
una rapppresentazione grafica delle due operazioni.
Il calcolo analitico non si discosta da quello mostrato in precedenza per la
somma, a patto di prestare attenzione al verso del vettore −b. Le coordinate
cartesiane del punto C sono (ax − bx , ay − cy ), mentre modulo e direzione si
calcolano come
q
c=
(ax − bx )2 + (ay − by )2
a y − by
x
ax − bx
in maniera del tutto analoga a quanto visto prima.
y=
1.4
Prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale si distingue dalle operazioni precedenti per il fatto che
il vettore risultante non appartiene al piano nel quale giacciono i due vettori
di partenza. Il vettore risultante è infatti perpendicolare al piano individuato
dai due vettori, per cui la sua direzione è definita da una retta normale ad
esso (vedi figura 4).
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Figura 4: Prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale tra due vettori a e b si indica come
c=a×b
e si legge “a vettor b”. Il modulo del vettore risultante è dato dal prodotto
dei moduli per il seno dell’angolo compreso (θ in figura), mentre il verso è
dato dalla regola della mano destra (o della vite destrorsa). Le due regole
equivalenti si possono spiegare in questi termini: si consideri una rotazione
del primo vettore del prodotto in modo che lo porti a ricoprire il secondo; la
rotazione di questo vettore è oraria o antioraria a seconda del semispazio dalla
quale la si osserva. Osservandola dal semispazio dal quale la si vede oraria
il vettore risultante c è entrante rispetto al piano individuato dai vettori,
quindi punto nella direzione dell’altro semispazio.
Un caso particolare è dato dal prodotto di due vettori paralleli; in questo
caso il vettore risultante è il vettore nullo, in quanto l’angolo θ è zero, per cui
anche il suo seno è zero. Mentre per la somma il massimo valore del modulo
del vettore somma è ottenuto quando i vettori sono paralleli, per il prodotto
vettoriale il massimo è ottenuto quando i vettori sono perpendicolari (ed
infatti sin 90◦ = 1).
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Figura 5: Additività e commutatività della somma vettoriale
1.5
Prodotto scalare
Il prodotto scalare di due vettori a e b fornisce come risultato uno scalare.
La notazione è
c=a·b
e si legge “a scalare b”. Il calcolo di c viene fatto moltiplicando i moduli
dei vettori a e b per il coseno dell’angolo compreso. Detto θ tale angolo si
ottiene
c = a · b = ab cos θ
Il prodotto scalare di due vettori è massimo quando i due vettori sono
allineati; in tal caso θ = 0◦ cos 0◦ = 1).
1.6
Additività e commutatività della somma
La somma vettoriale (e quindi per estensione la sottrazione) godono di due
proprietà comuni all’addizione: l’additività e la commutatività. Queste proprietà tornano molto utili per il calcolo della somma (o la differenza) di tre
o più vettori (vedi figura 5).
L’operazione d = a + b + c può essere infatti scomposta in
d = (a + b) + c = e + c
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o alternativamente in
d = a + (b + c) = a + f
oppure
d = (a + c) + b) = g + b
Chiaramente tutte e tre i raggruppamenti portano allo stesso risultato,
come è chiaro dalla figura 5.
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Rappresentazione di grandezze fisiche
Come accennato i vettori possono essere efficacemente utilizzati per la rappresentazione di grandezze fisiche quali spostamenti, velocità, accelerazioni
e forze. Il significato che direzione, verso e modulo assumono nei vari casi
varia a seconda della grandezza rappresentata.
2.1
Grandezze cinematiche
Risulta abbastanza intuitivo rappresentare uno spostamento con un vettore.
Infatti lo spostamento avviene lungo una certa direzione, secondo un certo verso e necessariamente comporta la specificazione di “quanto” ci si sia
spostati. Non bisogna supporre però che un vettore spostamento descriva il
movimento di un corpo, in quanto il vettore fornisce informazioni sullo spostamento totale da un punto qualunque ad un punto qualunque, senza fornire
alcuna informazione sul punto di partenza e sulle modalità con le quali lo si
è raggiunto.
La velocità e l’accelerazione descrivono quanto rapidamente la posizione
di un corpo cambia nel tempo. La velocità è un indice della rapidità alla
quale uno spostamento avviene e l’accelerazione è un indice di come varia la
velocità. I concetti verranno meglio descritti più avanti.
2.2
Forze
I vettori descrivono molto bene il concetto di forza, ovvero l’azione che due
corpi si scambiano. La forza è quindi un’azione direzionale, per la quale il
verso di applicazione e l’intensità sono importanti. Si comprende facilmente che l’intensità di una forza sarà descritta dal modulo del vettore che la
rappresenta.
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quantità
lunghezza
massa
tempo
corrente elettrica
temperatura termodinamica
quantità di una sostanza
intensità luminosa
nome
metro
chilogrammo
secondo
ampere
kelvin
mole
candela
simbolo
m
kg
s
A
K
mol
cd
Tabella 1: Unità di misura
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Unità di misura
Nella meccanica e nelle scienze più in generale, le unità di misura ricoprono un
ruolo fondamentale. L’espressione infatti di una grandezza, sia essa estensiva
(come la massa) o intensiva (come la temperatura), necessita la specificazione
di un riferimento che consente la comprensione del valore numerico. Difatti
mentre nella vita quotidiana spesso non è necessario specificare l’unità di
misura (alla domanda ¿ quanto sei alto? À si può rispondere tranquillamente ¿ uno e ottanta À senza che ci siano malintesi), in molte situazioni
l’unità di misura è necessaria ad una corretta comprensione (la medesima
risposta alla stessa domanda provocherebbe stupore ad esempio negli Stati
Uniti, dove uno capirebbe un piede e ottanta pollici! espressione peraltro
senza senso visto che un piede è diviso in dodici pollici!). Le unità di misura
consigliate dalla comunità europea in tutti gli ambiti scientifici dovrebbero
essere quelle stabilite dal Sistema Internazionale (SI). Una direttiva comunitaria (1999/103/EC) bandisce l’uso di unità di misura non-SI a partire dal
1 gennaio 2009 (eccetto in Gran Bretagna).
Al di là delle questioni legali e connesse alla comunicazione efficace di
informazioni, esiste innanzitutto la necessità di utilizzare unità di misura
coerenti tra loro nello svolgimento dei calcoli. Le formule consentono il calcolo
di quantità, noti certi valori in ingresso e non sempre sono valide a prescindere
dal sistema di unità di misura che si prende in considerazione (ad esempio
l’equazione di stato dei gas perfetti, dove la temperatura non può essere
espressa in gradi celsius o fahrenheit). Le unità di misura fondamentali del
Sistema Internazionale sono indicate in tabella 1.
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