Grandezze vettoriali.
Descrizione matematica: l’ente matematico vettore
I concetti nuovi e fecondi di somma di vettori, prodotti di vettori ecc. sono
applicati alla meccanica ....
Secondo [l’autore] il vantaggio maggiore del [metodo] consiste nel fatto
che il calcolo è in ogni passaggio la precisa espressione del procedimento
mentale.
Questo non è possibile quando si usa il metodo abituale che introduce tre
coordinate arbitrarie. La differenza fra l’analisi e la sintesi scompare, e i
vantaggi dei due metodi sono così riuniti.
Da E.Mach, “La meccanica nel suo sviluppo storico critico”, 1883.
(Trad. it. Boringhieri, Torino, 1977) con riferimento ai lavori di
H.Grassmann (1844), A.J.Möbius (1827), W.R.Hamilton (1866).
Grandezze scalari e vettoriali
Distanza, massa, temperatura ecc. sono completamente
definite da 1 numero (+ unità misura)
Grandezze scalari
Velocità, forza, spostamento ecc. sono caratterizzati da
♦ intensità o modulo (es. aereo viaggia a 700 km/h)
♦ direzione (la retta lungo cui si muove l’aereo in quell’istante)
♦ verso (uno dei due versi di percorrenza della retta)
N
Grandezze vettoriali
r
Un “vettore A” si indica con A oppure A
il suo modulo si indica
v
r
A = A
θ=35°
E
Per il suo carattere intuitivo, molti esempi
utilizzeranno il vettore spostamento
Rappresentazione di un vettore
a
• lunghezza OP ( a=|a| )
• angolo orientato rispetto
ad una retta data
P
a
θ
O
Graficamente: segmento orientato (freccia)
modulo
123
Ad es. lo spostamento OP in un piano
caso 2D
direzione
e verso
(rappresentazione in coordinate polari)
In alternativa:
• Componenti X e Y rispetto ad un sistema di
assi cartesiani (coordinate cartesiane)
y
123
aY
O
P
aX, aY sono le “componenti cartesiane” di a
a
123
aX
nota sul segno di aX, aY
x
Relazione fra le 2 rappresentazioni
a X = a cos θ

aY = a sin θ
a = ( a 2 + a 2 )

X
Y

tan θ = aY a X
Rappresentazione di un vettore. Caso 3D
z
caso 3D
Az
θ
A
Ax
Ay
y
In 3D, servono 3 componenti:
3 componenti cartesiane: Ax, Ay, Az
oppure
modulo + 2 angoli: A, θ, φ
φ
x
Axy
Terna cartesiana destrorsa.
Trasformazione coordinate cartesiane / coordinate polari
 A X = A sinθ cosφ

 AY = A sinθ sin φ

 AZ = A cosθ
 A = ( AX2 + AY2 + AZ2 )

Due vettori sono uguali <=>

θ
cos
=
A
A

Z
• sono uguali modulo, direzione e verso

• sono uguali le componenti X, Y, Z
tan
φ
=
A
A
Y
X

Operazioni con i vettori
Consideriamo le seguenti operazioni:
somma (o differenza)
(il risultato è un vettore)
es. somma di forze, di velocità ...
prodotto di un vettore per uno scalare (il risultato è un vettore)
prodotto scalare di due vettori
(il risultato è uno scalare)
prodotto vettoriale fra due vettori (il risultato è un vettore)
es. quantità di moto
es. lavoro
es. momento di una forza
Somma
r
a
B
r
b
C
r
c
Il vettore spostamento AC
si dice somma di AB e BC
A
r
a
B
r
b
r
c
Dati gli spostamenti AB e BC
lo spostamento complessivo è AC
C
AB + BC = AC
r
r
r
a + b = c
Regola del parallelogramma
A
Questa regola riproduce anche la somma di
due forze, due velocità ecc.
Disuguaglianza triangolare:
a −b ≤ c ≤ a +b
Somma di vettori
r
a
r
b
B
C
Spesso conviene usare le componenti cartesiane:
r r r
a+b = c
r
c
A
123
aX
123
c X = a X + bX

 c Y = a Y + bY
c = a + b
Z
Z
 Z
bX
Somma di più vettori:
A4
6
S X = ∑ Α KX
A5
A3
r
S =
A2
A6
A1
S
Rappresentazione grafica
6
∑
K =1
r
Α
K =1
K
6
S Y = ∑ Α KY
K =1
6
S Z = ∑ Α KZ
K =1
Somma di vettori. Proprietà
B
proprietà commutativa
r r
r r
A+B =B+A
A
C
A
B
proprietà associativa
r r r r r r
(A + B) + C = A + (B + C)
B
C
B
A
A
C
Prodotto di uno Scalare per Vettore:
r
r
C = kA
♦ stessa direzione di A
♦ stesso verso se k>0
♦ verso opposto se k<0
C X = kA X
C Y = kAY
♦ modulo: C = k A
C Z = kAZ
r
r
r
(k 1 + k 2 )A = k 1 A + k 2 A
r
r
r
r
k ( A + B ) = kA + kB
Versore : vettore di modulo unitario
uˆ = u + u + u = 1
2
x
versori degli assi:
2
y
2
z
 xˆ = ( 1, 0 , 0 ) = ˆi

ˆ
ˆ
 y = ( 0 ,1 , 0 ) = j

 zˆ = ( 0 , 0 ,1 ) = kˆ

es. 2A, quantità di moto mv, ...
r
A
r
A
r
2A
r
−A
k=2:
vettore doppio
k = -1:
vettore opposto
Proprietà distributive rispetto alla somma
Si può operare come con i numeri reali
modulo
r
A
r
A
direzione e verso u
ˆA =
A
r
A = A uˆ A
r
A = A x xˆ + A y yˆ + A z zˆ
Differenza di vettori.
C
r
r
r
A−B =C
r
r
r
A+ −B =C
A
-B
B
( )
si riduce alla somma
r r
-A è il vettore opposto di A A − Α = 0
A
C
si opera come sui numeri reali.
B
vale sempre la disuguaglianza triangolare:
r r r
r r r
A−B = C ⇒ A = B+C
a −b ≤ c ≤ a +b
come con i numeri reali, si può portare
all’altro membro cambiando di segno
Scomposizione di un vettore
Scomposizione lungo due direzioni date.
Inversione della regola del parallelogramma:
y
r
c = a+b
a
c
b
r
aY
r
a
ĵ
Ci interesserà solo la scomposizione lungo
direzioni ortogonali fra loro (assi cartesiani)
θ
r
aX
iˆ
r’
x
aX e aY sono i vettori componenti di a
aX e aY sono le componenti (cartesiane) di a
r
r
r r r
a = ax + a y = axi + a y j
r
PN
r
PT
P
Esempio: scomposizione della forza peso su un piano inclinato.
r r r
P = PT + PN
minore dei due angoli
Prodotto vettoriale
r r
r
A×B = C
è un vettore (pseudovettore)
r r
A × B = AB sin θ
θ = 0°
C
⇒C =0
B
θ = 180° ⇒ C = 0
θ
θ = 90° ⇒ C = AB
solo in 3D
Modulo: area del parallelogramma
Direzione: ortogonale ad A e B
Verso: mano destra o vite destrorsa
Area del
parallelogramma
A
C
C
B
B
Proprietà anticommutativa:
A
r r
r r
B × A = −A × B
B
Proprietà distributiva:
(
)
r r r
r r r r
A× B + C = A×B + A×C
A
-C
A
Prodotto scalare
r r
Associa a 2 vettori uno scalare
A⋅B = c
r r
A ⋅ B = AB cos θ
il minore dei 2 angoli
r r
A ⋅ B = A X B X + AY B Y + A Z B Z
Proprietà commutativa:
Proprietà distributiva:
θ
B
r r r r
A ⋅B = B⋅A
r r r
r r r r
A ⋅ B + C = A ⋅B + A ⋅C
r r
A⋅ B = 0 ⇔ A e B ortogonali
r r
A⋅ B > 0 ⇔ 0 < θ < 90°
r r
A⋅ B < 0 ⇔ 90° < θ < 180°
Esempio: lavoro
A
(
)
r r
2
A ⋅ A = A A cos 0 = A uˆ ⋅ uˆ = 1
xˆ ⋅ yˆ = xˆ ⋅ zˆ = yˆ ⋅ zˆ = 0
xˆ ⋅ xˆ = yˆ ⋅ yˆ = zˆ ⋅ zˆ = 1
r
A ⋅ xˆ = A X
ecc.
Prodotto vettoriale
componente di B
ortogonale ad A
r r
A × B = AB sin θ
r r
A × B X = AY B Z
r r
A × B Y = AZ B X
r r
A × B Z = A X BY
(
(
(
)
)
)
componente di A
ortogonale a B
Formalmente
= AB ⊥ = A ⊥ B
− AZ BY
− AX BZ
xˆ
Ax
Bx
yˆ
Ay
By
zˆ
Az
Bz
da cui
− AY B X
Proprietà anticommutativa:
r r
r r
B × A = −A × B
l’ordine dei fattori è importante
 xˆ × yˆ = zˆ

 yˆ × zˆ = xˆ

 zˆ × xˆ = yˆ
permutazione
ciclica
Proprietà distributiva:
(
)
r r r
r r r r
A× B + C = A×B + A×C
Derivata di un vettore:
r
r
dA
C=
dt
Interpretazione geometrica.
CX =
dAX
dt
CY =
dAY
dt
CZ =
dAZ
dt
dA
A(t)
A(t+dt)
Proprietà
r
r
r
r
r r
r
r
r
dA dB
d
dA
dB
+
A+B =
A⋅B =
⋅ B + A⋅
dt
dt
dt
dt
dt
r
r
r
r
r
r
r
r
dk r
dA
d
dA
dB
kA =
A+k
A× B =
× B + A×
dt
dt
dt
dt
dt
d
dt
(
d
dt
( )
Caso di vettore di modulo costante
)
(
)
(
)
r
r
r
d
dA r
A⋅A = 2
⋅A = 0 ⇒
dt
dt
(
)
r
dA r
⊥A
dt
Ciò vale in particolare per i versori (ad es. versori degli assi).
d xˆ
⊥ xˆ
dt
Esiste un vettore ω tale che:
d xˆ r
= ω × xˆ
dt
ω ha il significato di velocità angolare: un vettore di modulo costante può solo ruotare.