C’è metodo e metodo
Giorgio Ferrarese
Dipartimento di Matematica, Università di Torino
Nella conferenza viene ripercorsa la storia della riscoperta del “Metodo Meccanico”
di Archimede, perso per più di 2000 anni, ritrovato, perso nuovamente e poi
definitivamente ritrovato. Una storia che ha dell’incredibile, ma che fortunatamente ci
ha riconsegnato uno dei lavori più importanti di tutti i tempi.
Nel Medio Evo gli antichi codici che non erano di argomento religioso venivano
grattati via col raschietto, i grandi fogli di pergamena tagliati a metà, girati di 90 gradi
e piegati in due e un nuovo testo devoto veniva a ricoprire la prosa precedente. Si
creava così un "palinsesto", ossia un libro cancellato e sovrascritto (la parola è passata
poi a significare le scalette delle programmazioni televisive, piene di correzioni e
cancellature).
Uno di questi palinsesti, scritto prima dell'anno Mille, è
oggi l'unico manoscritto greco esistente al mondo, il più
antico, che contenga l'opera di Archimede, il massimo
matematico della classicità. Non è l'originale, è una copia
successiva. Comprende sette dei nove o dieci trattati che la
tradizione gli attribuisce. Insomma il più completo, l'unico
corpo dell'opera della più geniale mente matematica che la
civiltà occidentale conobbe dalle sue origini fino al
Rinascimento.
Archimede nacque, visse e morì a Siracusa, città della
Sicilia greca, dal 287 al 212 avanti Cristo, milleduecento
anni prima del palinsesto. Tenendo conto che tra una copia e
l'altra passavano secoli, tra l'originale archimedeo e il
palinsesto ci furono forse non più di 4 o 5 copie. Si ritiene quindi che questa copia sia
molto fedele all'originale, come pure le tavole geometriche che contiene.
Il palinsesto è anche importantissimo perché contiene il "Metodo Meccanico", di
cui si perse ogni traccia fino al 1906, quando al filologo danese J. H. Heiberg capitò
tra le mani il catalogo della biblioteca di un monastero ortodosso di Costantinopoli,
redatto sette anni prima, nel 1899, da un erudito greco. Questi aveva individuato, sotto
al testo di un messale proveniente dal monastero bizantino di San Saba, nel deserto
della Giudea, non lontano da Gerusalemme, la
traccia di un secondo, più antico testo greco. Ne
trascrisse qualche riga, anche se non aveva la più
pallida idea di che cosa si trattasse. Ma Heiberg
intuì, si precipitò a Costantinopoli, e, avendo poco
tempo, fece fotografare il palinsesto (oggi
sappiamo che molte pagine, probabilmente per un
errore del fotografo, vennero saltate). Tornato a
Copenaghen e munito di una lente d'ingrandimento,
si mise a decifrare. Tra quei fogli aveva ritrovato il "Metodo Meccanico" di
Archimede!
Heiberg non riuscì più a tornare a Costantinopoli e
il disastro fu che dopo di lui, sopraggiunta la Prima
guerra mondiale, crollato l'Impero ottomano, il
palinsesto scomparve di nuovo.
Per tutto il
Novecento
studiosi,
bibliofili,
collezionisti
continuarono a dargli invano la caccia.
La storia finisce, fortunatamente bene, nel 1991.
Una famiglia francese chiede alla casa d'aste Christie's
che venga valutato e messo in vendita un antico
manoscritto in suo possesso, acquistato a
Costantinopoli negli anni Venti da un familiare. Gli
esperti vanno a vedere: è il palinsesto di Archimede.
Il libro viene battuto il 29 ottobre 1998 per due
milioni di dollari. Il 17 gennaio del '99 il nuovo
proprietario, un collezionista americano, accetta di
affidarlo alle cure del Walters Art Museum di
Baltimora (USA).
Ulteriori informazioni sulla vita di Archimede e sul suo “Metodo Meccanico" si
possono trovare nelle pagine web: http:// www.thewalters.org/archimedes/frame.html
Il METODO
Il “Metodo Meccanico” è una lettera scritta da Archimede al suo amico Eratostene, il
cui scopo è quello di illustrare il “metodo” utilizzato da Archimede per scoprire le
formule che poi avrebbe dimostrato mediante il
metodo di esaustione. Per stupire l’amico con la
potenza del suo metodo, Archimede gli
preannuncia che al termine della sua lettera avrà
dimostrato i seguenti due difficili teoremi:
DEFINIZIONE. L’unghia cilindrica è quella
parte di cilindro che viene staccata tagliando il
cilindro stesso con un piano individuato dal
centro di una base e da una retta tangente al
cerchio che costituisce la base opposta.
TEOREMA 1. Sia data un’unghia cilindrica il
cui cilindro generatore è inscritto in un prisma
retto a basi quadrate: il volume di tale unghia è
1/6 del prisma.
TEOREMA 2. In un cubo si inscriva un cilindro
avente basi inscritte in due quadrati di base
opposti e nello stesso cubo si inscriva un secondo
cilindro avente basi inscritte in altri due quadrati
opposti: il solido comune ai due cilindri è i 2/3
del cubo.
In questa conferenza noi non avremo abbastanza
tempo per occuparci del Teorema 1, ma
proveremo comunque il Teorema 2.
Per illustre il metodo partiamo però, seguendo
l’ordine dello stesso Archimede con il calcolo
dell’area del segmento di parabola.
DEFINIZIONE. Un segmento di parabola è
una regione di piano compresa tra una corda
della parabola e l’arco congiungente i due
estremi della corda.
PROPOSIZIONE 1. L’area di un segmento di parabola è i 4/3 dell’area del triangolo
inscritto nel segmento ed avente la stessa base e la stessa altezza del segmento.
In realtà il risultato difficile ottenuto da
Archimede è che l’area del segmento di
parabola è 1/3 dell’area del triangolo avente
come lati: la corda, un secondo lato sulla
retta parallela all’asse della parabola per uno
dei due estremi dell’arco e un terzo lato sulla
retta tangente alla parabola nell’altro
estremo. La Proposizione 1 deriva
immediatamente dal fatto che il triangolo
inscritto OAV è ¼ del triangolo OAT,
poiché l'ordinata di V è 1/4 dell'ordinata di
T. Per semplicità noi considereremo solo
settori retti
T
Sia A=(2a,0), X=(x,0), a>=0, x>0, k>0,
poiché la parabola ha equazione
y= kx(2a-x), la sua derivata prima è
y’=2ak-2kx e quindi y’(0)= 2ak è il
coefficiente angolare della retta tangente
alla parabola in O. Pertanto 2akx = XY,
dove Y è il punto della retta OT di ascissa
x; l’ordinata del punto P della parabola di
ascissa x è kx(2a-x).
Quindi l’uguaglianza
Y
V
O
P
X
A
2a : (2a-x) = 2kax : kx(2a-x)
implica che
OA : XA = XY : XP
e quindi
OM : ZM = XY : XP
dove M è il punto medio di AT, Z quello di XY, V è il vertice della parabola, K tale
che OM=MK .
K
T
Y
M
V
Z
P
A
X
O
Secondo il linguaggio di Archimede “le parallele XY, rimanendo al loro posto, fanno
equilibrio ai segmenti intercettati sopra di esse dalla parabola e trasportati nel punto
K, in modo che il loro centro di gravità coincida con K”.
Pertanto “il triangolo OAT rimanendo al suo posto è in equilibrio con il settore
parabolico posto con il suo baricentro in K”.
Dato che il centro di gravità di un triangolo si trova nel punto di una qualsiasi mediana
che la divide in due parti, una doppia dell’altra: OM = 3GM. Riassumendo
OM : GM = triangolo (OAT) : Settore ,
quindi
triangolo (OAT) : Settore = 3 : 1 , ottenendo S = 1/3 T
T
M
V
O
G
P
A
K
Osservazioni: rivediamo il metodo di Archimede da un punto di vista “moderno”:
consideriamo una parabola di asse y e vertice O, y= kx2 , la sua derivata prima è
pertanto y’=2kx.
A
P
B
Consideriamo
poi P= (x,kx2), allora la lunghezza AB = x⋅(2kx)= 2kx2 e l’area del
x
triangolo ABP= kx3 , inoltre l’area del sottografico S = ∫ kx 2 =
0
1 3
kx , quindi
3
S=1/3 T(ABP).
Considerando la parabola cubica: y=kx3, si ottiene che T(ABP) = 6S
A
P
B
ed in generale per y=kxn si ottiene che
T(ABP) =
n (n + 1)
S
2
Notiamo che Archimede, dimostrando che il lato AB è n volte l’ordinata del punto
P=(x,kxn), avrebbe dimostrato che la derivata di xn è nxn-1 oltre a calcolare l’area del
sottografico della parabola di grado n !
PROPOSIZIONE 2. Il volume della sfera è i 2/3 del volume del cilindro (circoscritto)
con base uguale a un cerchio massimo della sfera e altezza uguale al diametro.
In realtà Archimede dimostra che il
doppio del volume della sfera è uguale
al volume del cilindro di base un
cerchio di raggio doppio di quello della
sfera e altezza uguale al diametro della
sfera meno il doppio del volume del
cono di uguale base e altezza del
cilindro, cioè
Cilindro (EFGL) = 2 (Sfera + Cono(AEF))
r
x
x r-x
Analogamrente dalla relazione
Siano: CF = 2r, AK = r, AS=RS= x,
SK= |r – x|, AH=AC=2r.
Ovviamente vale la proporzione:
2r : x = 16r2 : 8rx,
dove 16r2 = area del quadrato di lato
MN, mentre
8rx =4 (2rx) = 4 (r2 -(r-x)2 + x2), dove
4(r2 -(r-x)2) = area del quadrato di lato
OP, e 4x2 = area del quadrato di lato RQ.
Quindi:
16r2 = area del quadrato circoscritto alla
sezione col cilindro
8rx = area del quadrato circoscritto alla
sezione con la sfera + area del quadrato
circoscritto alla sezione col cono.
2r : x = π4r2 : π2rx ,
dove
π4r2= area del cerchio sezione col cilindro e
π2rx = area del cerchio sezione con la sfera + area del cerchio sezione col cono,
otteniamo che:
"il cerchio sezione col cilindro, rimanendo al suo posto, fa equilibrio, rispetto al punto
A, alla somma del cerchio sezione con la sfera con il cerchio sezione col cono,
se entrambi i cerchi sono posti con il centro di gravità in H".
E quindi:
AH : AK = (cilindro) : (sfera + cono),
dove AH=2AK
Dunque:
Basta poi osservare che:
quindi
Ma
e quindi otteniamo:
cilindro (EFGL)= 2(sfera + cono (AEF))
cono (AEF) = 1/3 (cilindro)
1/3 cilindro (EFGL) = 2 sfera.
cilindro(EFGL)=4cilindro circoscritto
Sfera = 2/3 cilindro circoscritto.
Allo stesso modo, ragionando sulle sezioni quadrate, si ottiene che il volume del solido
comune ai due cilindri è i 2/3 del cubo circoscritto (TEOREMA 2).
Ricordiamo la famosa osservazione di Archimede, riportata sul “Metodo”, sulla
superficie della sfera:
“dal fatto che la sfera è quattro volte il volume del (cono(ABD)) si deduce che la
superficie della sfera è 4 volte maggiore di quella di un suo cerchio massimo; infatti
come ogni cerchio è uguale al triangolo con base uguale alla circonferenza e altezza
uguale al raggio del cerchio, si comprende, nello stesso modo, che ogni sfera è uguale
al cono con base uguale alla superficie della sfera e altezza uguale al raggio”.
Nel “Metodo sono inoltre riportate le “dimostrazioni meccaniche” relative a molti altri
calcoli di volumi, di cui ci limitiamo a riportare gli enunciati:
PROPOSIZIONE 3. Il rapporto tra il volume di un segmento sferico e il volume del
cono avente la stessa base e la stessa altezza è uguale al rapporto tra la somma del
raggio della sfera con l’altezza del segmento sferico supplementare e l’altezza di
questo segmento supplementare.
PROPOSIZIONE 4. Il centro di gravità di un segmento sferico si trova sull’altezza del
segmento, in un punto che la divide in modo che la parte di essa verso il vertice e la
parte rimanente abbiano un rapporto uguale a quello che la somma dell’altezza del
segmento e del quadruplo dell’altezza del segmento supplementare ha con la somma
dell’altezza del segmento e del doppio dell’altezza del segmento supplementare.
PROPOSIZIONE 5. Il centro di gravità di un emisfero è situato sul raggio
perpendicolare al cerchio di base in un punto che divide il raggio in modo che la parte
verso la superficie dell’emisfero sia i 5/3 della parte restante.
PROPOSIZIONE 6. Il volume dell’ellissoide di rotazione è i 2/3 del volume del
cilindro avente come base un cerchio massimo e altezza uguale all’altro asse
dell’ellissoide.
PORPOSIZIONE 7. Il rapporto tra il volume di un segmento di ellissoide di rotazione
limitato da un piano perpendicolare all’asse e il volume del cono avente la stessa base
e la stessa altezza è uguale al rapporto tra la somma del semiasse dell’ellissoide con
l’altezza del segmento supplementare e l’altezza di questo segmento supplementare.
PROPOSIZIONE 8. Il centro di gravità di un segmento di ellissoide di rotazione si
trova sull’altezza del segmento, in un punto che la divide in modo che la parte di essa
verso il vertice e la parte rimanente abbiano un rapporto uguale a quello che la somma
dell’altezza del segmento e del quadruplo dell’altezza del segmento supplementare ha
con la somma dell’altezza del segmento e del doppio dell’altezza del segmento
supplementare.
PROPOSIZIONE 9. Il volume di un segmento di paraboloide di rotazione delimitato
da un piano perpendicolare all’asse è i 3/2 del volume del cono che ha la stessa base e
la stessa altezza del segmento.
PROPOSIZIONE 10. Il centro di gravità di un segmento di paraboloide di rotazione
come sopra è situato sull’asse nel punto che divide l’altezza in modo che la parte verso
il vertice sia il doppio dell’altra parte.
PROPOSIZIONE 11. Il rapporto tra volume di un segmento di iperboloide di rotazione
e il volume di un cono avente la stessa base del segmento e la stessa altezza è uguale al
rapporto tra la somma dell’altezza del segmento con il triplo della distanza del centro
dell’iperboloide dal piano di base del segmento e la somma dell’altezza del segmento
stesso con il doppio della distanza del centro dal piano di base.
PROPOSIZIONE 12. Il centro di gravità di un segmento di iperboloide di rotazione si
trova sul suo asse in un punto che divide l’asse stesso in modo che la parte di esso
verso il vertice e la parte rimanente abbiano un rapporto uguale a quello che hanno la
somma del triplo dell’asse con l’ottuplo della distanza del centro dal piano di base e la
somma dell’asse con il quadruplo della stessa distanza del centro dalla base.
Bibliografia
C. Barbero, 1999, Il metodo di Archimede, Tesi di Laurea in Matematica,
Università di Torino, 1999 n.25 (preso Biblioteca "G. Peano")
Frajese, 1974, Opere di Archimede, Torini, Ed. UTET
T. L. Heat, 1897, The work of Archimedes with a supplement of 1912, Cambridge,
supplemento 1912
G. Loria, 1928, Archimede; la scienza che dominò Roma, Milano, Ed. G. Agnelli
E. Rufini, 1961, Il metodo di Archimede e le origini del calcolo infinitesimale
nell'antichità, Bologna, Ed. Feltrinelli
Torino, 12 novembre 2003