C'È METODO E METODO: IL METODO DI ARCHIMEDE
PRAGELATO, MAGGIO ‘04
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http://www.thewalters.org/archimedes/frame.html
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Definizione. L’unghia cilindrica è quella parte di
cilindro che viene staccata tagliando il cilindro
stesso con un piano individuato dal centro di una
base e da una retta tangente al cerchio che
costituisce la base opposta.
TEOREMA 1. Sia data un’unghia cilindrica il cui
cilindro generatore è inscritto in un prisma retto a
basi quadrate: il volume di tale unghia è 1/6 del
prisma.
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TEOREMA 2. In un cubo si inscriva un cilindro avente basi inscritte in due
quadrati di base opposti e nello stesso cubo si inscriva un secondo cilindro
avente basi inscritte in altri due quadrati opposti: il solido comune ai due
cilindri è i 2/3 del cubo.
Vi ricorda
qualcosa?
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DEFINIZIONE. Un segmento di parabola è una regione di piano compresa tra
una corda della parabola e l’arco congiungente i due estremi della corda.
PROPOSIZIONE 1. L’area di un segmento di parabola è i 4/3 dell’area del
triangolo inscritto nel segmento ed avente la stessa base e la stessa altezza del
segmento.
In realtà il risultato difficile ottenuto da Archimede
è che l’area del segmento di parabola è 1/3
dell’area del triangolo avente come lati: la corda,
un secondo lato sulla retta parallela all’asse della
parabola per uno dei due estremi dell’arco e un terzo
lato sulla retta tangente alla parabola nell’altro
estremo.
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Per semplicità
consideriamo
solo settori retti
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T
La Proposizione 1
deriva immediatamente
dal fatto che il triangolo
inscritto OAV è ¼ del
triangolo OAT, poiché
l'ordinata di V è 1/4
dell'ordinata di T.
Y
V
O
P
X
A
Sia A=(2a,0), X=(x,0), a>=0, x>0, k>0
y= kx(2a-x) → y’=2ak-2kx → y’(0)= 2ak coefficiente angolare della retta tangente alla
parabola in O. Pertanto 2akx = XY, dove Y è il punto della retta OT di ascissa x ; l’ordinata
del punto P della parabola di ascissa x è kx(2a-x).
Quindi l’uguaglianza
2a : (2a-x) = 2kax : kx(2a-x) implica che …….
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T
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K
Y
M
Z
V
O
P
X
A
…….OA : XA = XY : XP …e quindi
OM : ZM = XY : XP
dove M è il punto medio di AT, Z quello di XY, V è il vertice della parabola, K tale che
OM=MK .
…ossia…
“le parallele XY, rimanendo al loro posto, fanno equilibrio ai segmenti intercettati sopra di esse
dalla parabola e trasportati nel punto K, in modo che il loro centro di gravità coincida con K”.
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T
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K
M
G
V
P
A
O
Pertanto il triangolo OAT rimanendo al suo posto è in equilibrio con il settore parabolico posto
con il suo baricentro in K. Dato che il centro di gravità di un triangolo si trova nel punto di
una qualsiasi mediana che la divide in due parti, una doppia dell’altra: OM = 3GM.
OM : GM = triangolo
(OAT)
: Settore ,
quindi
triangolo
(OAT)
: Settore = 3 : 1 , ottenendo
S = 1/3 T
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Osservazioni:
y= kx 2 → y’=2kx
A
P
B
P= (x,kx 2 ), AB= x⋅(2kx)= 2kx 2
x
3
Area del triangolo ABP= kx , area del sottografico = ∫ kx 2 =
0
S=1/3 T (ABP).
1 3
kx , quindi
3
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A
P
B
Più in generale se consideriamo la parabola cubica: y=kx 3 si ottiene che
T (ABP) = 6S
ed in generale per y=kx n si ottiene che
T (ABP) =
n(n + 1)
S
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Notiamo che Archimede dimostrando che il lato AB è n volte l’ordinata del
punto P=(x,kx n ), avrebbe dimostrato che la derivata di x n è nx n-1 oltre a
calcolare l’area del sottografico della parabola !
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PROPOSIZIONE 2. Il volume della sfera è i 2/3 del volume del cilindro
(circoscritto) con base uguale a un cerchio massimo della sfera e altezza
uguale al diametro.
In realtà Archimede dimostra che il
doppio del volume della sfera è
uguale al volume del cilindro di
base un cerchio di raggio doppio di
quello della sfera e altezza uguale al
diametro della sfera meno il doppio
del volume del cono di uguale base
e altezza del cilindro, cioè
Cilindro
(EFGL)
= 2 (Sfera + Cono (AEF) ) .
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Siano: CF = 2r, AK = r, AS=RS= x,
SK= |r – x|, AH=AC=2r.
Ovviamente vale la proporzione:
2r : x = 16r 2 : 8rx (×8r)
r
x
x r-x
dove 16r 2 = area del quadrato di lato
MN, mentre
8rx =4 (2rx) = 4 (r 2 -(r-x) 2 + x 2 ) dove
4(r 2 -(r-x) 2 ) = area del quadrato di lato
OP, e
4x 2 = area del quadrato di lato RQ.
Quindi:
16r 2 = area del quadrato circoscritto alla sezione col cilindro
8rx = area del quadrato circoscritto alla sezione con la sfera + area del
quadrato circoscritto alla sezione col cono.
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r
x
x r-x
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Analogamrente dalla relazione
2r : x = π4r 2 : π2rx (×2πr),
dove
π4r 2 = area del cerchio sezione col
cilindro e
π2rx = area del cerchio sezione con
la sfera + area del cerchio sezione col
cono,
otteniamo che:
"il cerchio sezione col cilindro,
rimanendo al suo posto, fa equilibrio,
rispetto al punto A, alla somma del
cerchio sezione con la sfera con il
cerchio sezione col cono,
se entrambi i cerchi sono posti con il
centro di gravità in H".
E quindi:
AH : AK = (cilindro) : (sfera + cono),
dove AH=2AK
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Dunque:
cilindro (EFGL) = 2(sfera + cono
(AEF) )
Basta poi osservare che:
cono
(AEF)
quindi
1/3 cilindro
Ma
= 1/3 (cilindro)
(EFGL)
= 2 sfera.
cilindro (EFGL) =4cilindro circoscritto
e quindi otteniamo
Sfera = 2/3 cilindro circoscritto.
Allo stesso modo, ragionando sulle sezioni quadrate, si ottiene che il volume
del solido comune ai due cilindri è i 2/3 del cubo circoscritto (Teorema 2).
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Osservazione di Archimede (superficie della sfera):
Dal fatto che la sfera = 4 (cono (ABD) ) si deduce che la superficie della sfera è
4 volte maggiore di quella di un suo cerchio massimo; infatti come ogni
cerchio è uguale al triangolo con base uguale alla circonferenza e altezza
uguale al raggio del cerchio, si comprende, nello stesso modo, che ogni sfera è
uguale al cono con base uguale alla superficie della sfera e altezza uguale al
raggio.
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Volte "cilindriche"
The Palm House, Kew Gardens
Nambour, South East Queensland - Australia
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PROPOSIZIONE 3. Il rapporto tra il volume di un segmento sferico e il
volume del cono avente la stessa base e la stessa altezza è uguale al rapporto tra
la somma del raggio della sfera con l’altezza del segmento sferico
supplementare e l’altezza di questo segmento supplementare.
PROPOSIZIONE 4. Il centro di gravità di un segmento sferico si trova
sull’altezza del segmento, in un punto che la divide in modo che la parte di essa
verso il vertice e la parte rimanente abbiano un rapporto uguale a quello che la
somma dell’altezza del segmento e del quadruplo dell’altezza del segmento
supplementare ha con la somma dell’altezza del segmento e del doppio
dell’altezza del segmento supplementare.
PROPOSIZIONE 5. Il centro di gravità di un emisfero è situato sul raggio
perpendicolare al cerchio di base in un punto che divide il raggio in modo che la
parte verso la superficie dell’emisfero sia i 5/3 della parte restante.
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PROPOSIZIONE 6. Il volume dell’ellissoide di rotazione è i 2/3 del volume
del cilindro avente come base un cerchio massimo e altezza uguale all’altro asse
dell’ellissoide.
PORPOSIZIONE 7. Il rapporto tra il volume di un segmento di ellissoide di
rotazione limitato da un piano perpendicolare all’asse e il volume del cono
avente la stessa base e la stessa altezza è uguale al rapporto tra la somma del
semiasse dell’ellissoide con l’altezza del segmento supplementare e l’altezza di
questo segmento supplementare.
PROPOSIZIONE 8. Il centro di gravità di un segmento di ellissoide di
rotazione si trova sull’altezza del segmento, in un punto che la divide in modo
che la parte di essa verso il vertice e la parte rimanente abbiano un rapporto
uguale a quello che la somma dell’altezza del segmento e del quadruplo
dell’altezza del segmento supplementare ha con la somma dell’altezza del
segmento e del doppio dell’altezza del segmento supplementare.
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PROPOSIZIONE 9. Il volume di un segmento di paraboloide di rotazione
delimitato da un piano perpendicolare all’asse è i 3/2 del volume del cono che
ha la stessa base e la stessa altezza del segmento.
PROPOSIZIONE 10. Il centro di gravità di un segmento di paraboloide di
rotazione come sopra è situato sull’asse nel punto che divide l’altezza in modo
che la parte verso il vertice sia il doppio dell’altra parte.
(PROPOSIZIONE 11. Il rapporto tra volume di un segmento di iperboloide di
rotazione e il volume di un cono avente la stessa base del segmento e la stessa altezza è
uguale al rapporto tra la somma dell’altezza del segmento con il triplo della distanza del
centro dell’iperboloide dal piano di base del segmento e la somma dell’altezza del
segmento stesso con il doppio della distanza del centro dal piano di base.
PROPOSIZIONE 12. Il centro di gravità di un segmento di iperboloide di rotazione
si trova sul suo asse in un punto che divide l’asse stesso in modo che la parte di esso
verso il vertice e la parte rimanente abbiano un rapporto uguale a quello che hanno la
somma del triplo dell’asse con l’ottuplo della distanza del centro dal piano di base e la
somma dell’asse con il quadruplo della stessa distanza del centro dalla base.
(Sui Conoidi e Sferoidi) )
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