Sezione d’urto (t. ondulatoria)
Molti tipi di collisioni (diffrazione della luce da parte di piccoli ostacoli,
l’assorbimento e la diffusione del suono da parte di particelle in sospensione, la
diffusione di neutroni veloci da parte di nuclei atomici) vengono trattati in termini
della teoria ondulatoria.
La radiazione incidente è considerata un’onda piana, la sua lunghezza d’onda e le
dimensioni dell’oggetto diffusore sono infinitesime rispetto alle dimensioni del
fascio incidente normali alla direzione di incidenza.
x
Q
 x I o
t
L’energia trasportata dall’onda incidente è
espressa in termini di “flusso di energia” (ossia,
intensità I0 del fascio incidente, energia per
unità di tempo e per unità di superficie”).
“sezione d’urto” (m2)
Quantità di radiazione che viene rimossa dal fascio
incidente, nel tempo t per l’azione di un singolo centro
diffusore (es. un elettrone, un nucleo, un atomo)
G. Pugliese
Biofisica, a.a. 09-10
Esempio: scattering Thomson
Un elettrone libero che viene investito da un’onda elettromagnetica piana
polarizzata (fotone) accelera sotto l’effetto del campo elettrico e, di
conseguenza, emette radiazione verso direzioni anche diverse dalla direzione
dell’onda incidente.
Se la frequenza ν dell’onda è tale
che hν<< mec2, il processo di
diffusione può essere esaminato da
un punto di vista classico

e E  me a
La potenza irradiata istante per
istante e quella media sono (F.
Larmor)
dQ 2 e 2 2

a
3
dt 3 c
dQ
2 e4
2



E

3 2
dt
3c m
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Esempio: scattering Thomson
Questa energia è assorbita dal fascio incidente e riemessa in altra direzione;
essa può essere espressa in termini della sezione d’urto σT, per elettrone:
dQ
T  I 
dt
Poiché l’intensità del fascio incidente
 E 2
I
c
4
La sezione d’urto totale e, è definita come rapporto tra la potenza diffusa e il
flusso incidente, indipendentemente da come viene diffusa la potenza
scatterata.
2
8  e 2 
8 2





r e
e
2 

3  me c 
3
(cm2/elettrone)
 e2 

  re  2.818  10 13 cm
2 
 me c 
Ha le dimensioni di una lunghezza, nota come “raggio classico
dell’elettrone”. Compare in moltissimi tipi di interazioni, (non
và tuttavia interpretata in termini di dimensioni dell’elettrone)
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Sezione d’urto differenziale
 Se più processi differenti contribuiscono a diminuire l’intensità del fascio
incidente (processi in competizione l’uno con l’altro, per esempio ionizzazione e
Bremsstrahlung per gli elettroni) allora di parla di sezioni d’urto parziali per
ogni tipo di interazione.
La nozione di “sezione d’urto differenziale” viene spesso introdotta per
rappresentare, in ogni interazione, il particolare meccanismo che contribuisce
alla perdita della potenza del fascio osservato.
Il particolare meccanismo dello scatt. Thomson che diffonde la potenza
d ( e Q)
t
nell’angolo solido d individuato dalla direzione ξ ha una “sezione d’urto
differenziale”:
2
d ( e Q)  e 
2
2
2

d (e  ) 
 
d

sen


r
d

sen

e
2 
I 0t
 me c 
2
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Esempio: scattering Thomson
 le sezioni d’urto Thomson sono indipendenti dalla frequenza.
 valida solamente nel limite e solo se l’elettrone è libero.
e 
8
3
2
 e 
8 2



r e
2 
3
 me c 
2
hν> > mec2
Gli effetti relativistici provocano un sensibile abbassamento della sezione
d’urto differenziale. La sezione totale diventa sempre più piccola via via che
aumenta l’energia del fotone incidente . Poiché mec2 =511 KeV , la deviazione
dalla formula classica avviene già nella banda ultravioletta estrema, ma diventa
G. Pugliese
importante solo nella regione X.
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Sezione d’urto (t. ondulatoria)
La sezione d’urto compare come proprietà
dell’interazione, descritta come un’area x
(cm2) sul fronte d’onda incidente.
L’energia xQ rimossa dal fascio incidente è
equivalente all’energia contenuta nel cilindro
di sezione x e altezza t
Si consideri un foglio assorbente di superficie S (cm2) e spessore dx (cm),
supponiamo che la particella bersaglio sia uno degli elettroni atomici. Il numero
di bersagli è:
SNZdx
Dove N è il numero di atomi/cm3 contenuti nel foglio
assorbitore e Z il numero di elettroni di ogni atomo.
IPOTESI: il foglio sia normale alla direzione di propagazione dell’onda piana
indefinita e che ogni elettrone interagisca con l’onda in modo indipendente dagli
altri elettroni (scattering incoerente).
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Sezione d’urto (t. ondulatoria)
La potenza complessiva rimossa dall’onda piana incidente:
Q eQ
cm 2
J
elettroni

SNZdx e  (
) I o ( 2 ) S (cm 2 ) NZdx(
)
2
t
t
elettrone
cm s
cm
 e I o SNZdx (J/s)
Supponiamo di collimare la radiazione incidente in
modo che il fronte d’onda abbia proprio una
estensione pari alla superficie S
Potenza complessiva diffusa:
Q
  e I o SNZdx (J/s)
t
Potenza complessiva incidente
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Sezione d’urto (t. corpuscolare)
Supponiamo che l’onda piana, dell’esperimento
precedente, sia quantizzata. Per es. un’onda
elettromagnetica la radiazione appare divisa in
fotoni di energia hν. Il numero di fotoni sono n
trasportati nel tempo t:
n
Potenza
diffusa
I 0 S ( J / s)
h ( J / fot )
Il numero di fotoni rimossi dal fascio collimato in ogni secondo
Q/t
dn 
h
hdne I 0 SNZdxe nhNZdx
La frazione di particelle incidenti rimossa
dal fascio (indipendente dal tempo t e dalla
superficie S dell’assorbitore )
dn
 e NZdx
n
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Sezione d’urto (t. corpuscolare)
Nel caso di una sola particella incidente
dn
n
dn
1
n
misura la probabilità che essa venga
diffusa nell’attraversamento del foglio.
la probabilità che essa non venga
diffusa.
La sezione d’urto si può esprimere come
dn / n
e 
NZdx
 non corrisponde più ad una superficie individuata sul fronte d’onda ma è
visualizzata come una proprietà dei centri diffusori.
 si può ora interpretare come la probabilità che una particella incidente venga
diffusa nell’attraversare un foglio contenente un centro diffusore per ogni cm2.
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Coefficiente lineare di assorbimento
La potenza diffusa da un foglio sottile di assorbitore di superficie S e spessore dx
Q
 e I 0 SNZdx
t
L’intensità perduta nell’attraversamento dello
spessore compreso tra x e x+d, se I è l’intensità
del fascio incidente alla profondità x:
Q
 dI 
tS
 dI  e INZdx
L’intensità della radiazione che viene trasmessa, senza essere diffusa, fino alla
profondità x è allora:
I  I 0 e  x
Posto:
  e NZ
Coefficiente lineare di
assorbimento
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Coefficiente lineare di assorbimento
La lunghezza L = 1/ rappresenta la distanza media che un singolo
componente del fascio incidente (un fotone, un elettrone, etc.)
percorre nell’assorbitore prima di essere diffuso (a seconda dei casi:
lunghezza di radiazione, lunghezza di conversione, lunghezza di
collisione etc.)
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I coefficienti di interazione usati in dosimetria
• Coefficiente di attenuazione massico (m2kg-1): pari al coefficiente
lineare di attenuazione diviso la densità del mezzo. Esso ha la proprietà di
essere indipendente dallo stato fisico e della densità del mezzo.

r
• Coefficiente di trasferimento di energia massico:
tr
1 dEtr

r
rEN dl
Dove dEtr/EN rappresenta la frazione di energia dei fotoni incidenti
trasferita in energia cinetica di particelle cariche secondarie a causa
dell’interazione nel tratto dl del mezzo di densità r.
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I coefficienti di interazione usati in dosimetria
• Coefficiente di assorbimento di energia massico (consente di
determinare l’energia effettivamente depositata in un certo volume)
en tr

(1  g )
r
r
Dove g è la frazione di energia che i secondari carichi dissipano in
radiazione di frenamento nel materiale.
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A titolo indicativo viene riportato in tabella il percorso medio in aria e nei
tessuti delle radiazioni a, b e g di 1 MeV.
Tipo di radiazione
Percorso in aria
Percorso nel tessuto
a
0.7 cm
0.006 cm
b
2.3 m
0.43 cm
g
circa 300 m
31.3 cm
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