a.a 2014-15
I due Teoremi di Euclide
Did. della Matematica 2
I.Capoccetta
F.Spilabotte
Prerequisiti:
Conoscere il significato di congruenza ed equivalenza
Conoscere ed operare col Teorema di Pitagora
Saper operare con rapporti e proporzioni
Conoscere il concetto di similitudine
Riconoscere e disegnare figure simili
Conoscere i criteri di similitudine dei triangoli
Obiettivi:
Conoscere ed applicare i Teoremi di Euclide
Riconoscere e risolvere problemi in contesti diversi utilizzando i Teoremi
Spiegare il procedimento seguito
I teorema di Euclide
Due enunciati
“In ogni triangolo rettangolo un cateto è
medio proporzionale tra l’ipotenusa e la
proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa”
“ In un triangolo rettangolo il
quadrato costruito su uno dei due
cateti
è
equivalente
ad
un
rettangolo che ha per dimensioni
l’ipotenusa e la proiezione del
cateto stesso sull’ipotenusa”
I teorema di Euclide
Osserviamo i triangoli ABC e AHC.
Essi hanno:
B ĈA = AĤC= 90°
C ÂB= C ÂH perché in comune
ABC=HĈA perché angoli
complementari dell’angolo HÂC.
Pertanto per il primo criterio di
similitudine i due triangoli sono
simili e hanno quindi i lati omologhi,
che sono sempre opposti agli angoli
congruenti, in proporzione , cioè:
AB : AC = AC : AH
Osserviamo adesso i triangoli ABC e HBC.
Essi hanno:
. B ĈA = CĤB= 90°
. ABC= HBC perché in comune
. CÂB=B ĈH perché angoli complementari
dell’angolo HBC
Pertanto per il primo criterio di
similitudine i due triangoli sono simili e
hanno i lati omologhi in proporzione,
AB : BC = BC : HB
Le due proporzioni esprimono il primo teorema di
Euclide che può essere così enunciato:
“In ogni triangolo rettangolo un cateto è medio
proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del
cateto stesso sull’ipotenusa”
C
A
H
B
Consideriamo nuovamente il triangolo ABC rettangolo in C e le due relazioni fornite
dal primo teorema di Euclide:
AB : AC = AC : AH
e AB : BC = BC : HB
e applichiamo ad entrambe la relazione fondamentale delle proporzioni:
AC · AC = AB · AH
e
BC · BC = AB · HB
Che possiamo scrivere nel seguente modo:
AC2 = AB · AH
e
BC2 = AB · H
Possiamo dunque enunciare il primo teorema di Euclide anche nella seguente formulazione:
“ In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente ad un
rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa”
DIMOSTRAZIONE
GEOMETRICA
Enunciato: “In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su
un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni
l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa”.
Il II teorema di Euclide può essere enunciato in due modi
diversi ma equivalenti a seconda della proprietà che si
desidera sottolineare.
Equiestensione
tra figure
Rapporto tra
lunghezze dei
segmenti del
triangolo
Considerando l'equiestensione tra figure il teorema
afferma che:
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito
sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti
sull'ipotenusa.
DIMOSTRAZIONE
Costruito CL perpendicolare e congruente a CA e
CR congruente a CH.
Si vuole arrivare a dimostrare che il quadrato
HPQB è equivalente al rettangolo RSML.
1) Al triangolo BCH si applica il Teorema di Pitagora
quindi CBDE è equivalente alla somma di HPQB e CRSH
CBDE= HPQB + CRSH
2) Al triangolo ABC si applica il I Teorema di Euclide e
ne consegue che CBDE è equivalente al rettangolo
CHML. Dato che CHML = CHSR + RLMS si potrà
dedurre che per sottrazione delle aree HPQB è
equivalente a RLMS .
Se si vuole enfatizzare il rapporto tra le lunghezze dei
diversi segmenti del triangolo si utilizza il secondo tipo
di enunciato:
“In un triangolo rettangolo l'altezza relativa
all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei
due cateti.”
Dimostrazione :
2
Il teorema afferma che CH: BH= BH : AH oppure che BH
=CH * AH
Considerando i triangoli BCH e ABH, dato che BAH è complementare
di BCA gli angoli HCB e ABH sono congruenti
I triangoli BCH e ABH sono simili per il primo criterio di similitudine.
Allora si potrà scrivere la proporzione tra lati corrispondenti:
CH: BH= BH : AH che risolta sarà BH
2
=CH * AH
Grazie per l'attenzione!!