Precorso di matematica
$
'
Funzioni trigonometriche
e modulazione dei segnali
Valentino Liberali
Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione
Università di Milano, 26013 Crema
e-mail: [email protected]
http://www.dti.unimi.it/~liberali
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
%
1
Precorso di matematica
$
'
Sommario
• Concetti di base: segnali e sistemi
• Periodo e frequenza
• Tecniche di modulazione analogica (AM, FM)
• Tecniche di modulazione digitale (FSK, PSK, QPSK)
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
%
2
Precorso di matematica
$
'
Segnali
segnale := una funzione di una o più variabili, che contiene informazioni
relative ad un fenomeno fisico.
Esempi:
• il parlato è un segnale monodimensionale (ampiezza in funzione del
tempo t)
• un’immagine è un segnale bidimensionale (luminosità e colore in
funzione delle coordinate spaziali (x, y))
• un filmato video è un segnale tridimensionale (luminosità e colore in
funzione delle coordinate spaziali e del tempo (x, y,t))
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
%
3
Precorso di matematica
$
'
Frequenza di un segnale periodico
Un segnale y(t) è periodico quando si ripete identicamente dopo un
intervallo di tempo T , detto periodo:
y(t + T ) = y(t), ∀t
L’inverso del periodo è la frequenza:
1
f=
T
Dimensionalmente, la frequenza è l’inverso di un tempo e si misura in hertz
(Hz).
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
%
4
Precorso di matematica
$
'
Segnali sinusoidali nel tempo
I segnali periodici più semplici sono quelli sinusoidali: sin x e cos x
con x = 2π f t
t è il tempo misurato in secondi (s)
f è la frequenza misurata in hertz (Hz)
x è un numero puro
Una sinusoide nel tempo è: y(t) = sin 2π f t = sin ωt
Per un moto rotatorio, la frequenza f è legata alla velocità angolare ω dalla
relazione: ω = 2π f . La velocità angolare si misura in radianti al secondo
(rad/s).
Poiché l’angolo giro è pari a 2π rad, risulta: 1 Hz = 1 giro/s = 2π rad/s.
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
%
5
Precorso di matematica
$
'
Sistemi
sistema := un’entità che riceve in ingresso uno o più segnali, ed esegue una
funzione che produce nuovi segnali in uscita.
Segnale in
ingresso
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
Sistema
Segnale in
uscita
%
6
Precorso di matematica
$
'
Esempio: un sistema di
telecomunicazione
Messaggio
Trasmettitore
Segnale
trasmesso
Canale
Segnale
ricevuto
Ricevitore
Stima del
messaggio
Osservazione: se il canale di trasmissione fosse ideale, il segnale ricevuto
sarebbe identico a quello trasmesso. Nella realtà, qualsiasi canale di
trasmissione introduce attenuazione; inoltre possono esserci disturbi
dovuti a interferenze di altre sorgenti di segnale e a rumore.
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
%
7
Precorso di matematica
$
'
Elaborazione di segnali audio
(in modo analogico)
Voce
Memorizzazione,
trasmissione
Amplificatore
Suono
Microfono
Altoparlante
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
%
8
Precorso di matematica
$
'
Elaborazione di segnali audio
(in modo digitale)
campionamento e conversione
analogico-digitale
Voce
S&H
A D
Microfono
conversione digitale-analogica
e filtraggio
Memorizzazione,
trasmissione,
elab. digitale
D A
Smooth
Suono
Altoparlante
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
%
9
Precorso di matematica
$
'
Modulazione
I segnali, per poter essere trasmessi attraverso i sistemi di
telecomunicazione senza fili, devono essere convertiti in modo da occupare
frequenze idonee per la trasmissione a radiofrequenza e i segnali diversi
devono essere a frequenze diverse (“canali”) per non sovrapporsi tra di loro.
m(t) è il segnale da trasmettere (“modulante”); può essere analogico oppure
digitale (sequenza di bit)
p(t) è il segnale fondamentale a radiofrequenza (“portante”); di solito una
sinusoide ad una frequenza molto maggiore di quella del segnale da
trasmettere: p(t) = sin 2π f2t (con f2 >> f1 )
Il segnale a radiofrequenza è una combinazione della modulante e della
portante; di solito si usa la modulante per far variare l’ampiezza, o la
frequenza, o la fase della portante.
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
%
10
Precorso di matematica
$
'
Modulazione di ampiezza (AM)
modulante: m(t) = sin 2π f1t; portante: p(t) = sin 2π f2t
segnale AM: y(t) = p(t) · (1 + m(t)) = sin 2π f2t · (1 + sin 2π f1t)
2
1
modulante
0
−1
−2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2
portante
1
0
−1
−2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2
segnale AM
1
0
−1
−2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Quando m(t) > 0 l’ampiezza di y(t) è maggiore dell’ampiezza di p(t);
quando m(t) < 0 l’ampiezza di y(t) è minore dell’ampiezza di p(t)
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
%
11
Precorso di matematica
$
'
Modulazione di frequenza (FM)
modulante: m(t) = sin 2π f1t; portante: p(t) = sin 2π f2t
segnale FM: y(t) = sin 2π( f2 + k sin 2π f1t)t
2
1
modulante
0
−1
−2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2
portante
1
0
−1
−2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2
segnale FM
1
0
−1
−2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Quando m(t) > 0 gli attraversamenti dello zero di y(t) sono più frequenti;
quando m(t) < 0 gli attraversamenti dello zero di y(t) sono meno frequenti
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
%
12
Precorso di matematica
$
'
Uso delle tecniche analogiche
di modulazione
La modulazione di ampiezza (AM) e la modulazione di frequenza (FM)
sono usate per le trasmissioni radiofoniche.
La modulazione di frequenza (FM) è stata usata anche per la prima
generazione di telefoni cellulari analogici: TACS (Total Access
Communication System) che risale agli anni ’80 e permetteva solo la
trasmissione del segnale vocale.
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
%
13
Precorso di matematica
$
'
FSK (Frequency Shift Keying)
modulante: sequenza di bit; ad es. [1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1]
le portanti sono due: p1 (t) = sin 2π f2t e p0 (t) = sin π f2t; la frequenza di
p0 (t) è la metà della frequenza di p1 (t)
Segnale FSK: un periodo di p1 significa 1; mezzo periodo di p0 significa 0
1.5
dati binari
1
0.5
0
−0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1
0
−1
portante 0
18
20
1
0
−1
portante 1
18
20
1
0
−1
segnale FSK
0
2
4
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
6
8
10
12
14
16
18
20
%
14
Precorso di matematica
$
'
PSK (Phase Shift Keying)
modulante: sequenza di bit; ad es. [1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1]
le portanti sono p(t) = sin 2π f2t e −p(t) = sin(2π f2t + π); la seconda
portante ha il segno cambiato (cioè è una sinusoide sfasata di π)
Segnale PSK: un periodo di p significa 1; un periodo di −p significa 0
1.5
dati binari
1
0.5
0
−0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1
0
−1
portante 0 (invertita)
18
20
1
0
−1
portante 1
18
20
1
0
−1
segnale PSK
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
18
20
%
15
Precorso di matematica
$
'
QPSK (Quadrature Phase Shift Keying)
Si trasmettono DUE sequenze di bit contemporaneamente:
una sequenza viene modulata PSK con una portante seno p1 (t) = sin 2π f2t
e l’altra viene modulata PSK con una portante coseno p2 (t) = cos 2π f2t
Il segnale QPSK è la somma delle due sequenze modulate PSK
1.5
1
0.5
0
−0.5
1.5
1
0.5
0
−0.5
dati binari 1
0
2
4
6
8
10
12
14
12
14
16
18
20
16
18
20
dati binari 2
0
2
4
6
8
10
portante 1 (seno)
1
0
−1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
portante 2 (coseno)
1
0
−1
0
2
4
6
8
10
12
2
14
16
18
20
18
20
segnale QPSK
0
−2
0
2
4
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
6
8
10
12
14
16
%
16
Precorso di matematica
'
$
Uso delle tecniche digitali di modulazione
Le WLAN (Wireless Local Area Network) impiegano varie tecniche di
modulazione digitale, fra cui PSK e QPSK.
QPSK è usata anche nella telefonia cellulare di terza generazione (UMTS:
Universal Mobile Telecommunications Service) fornita in Italia dalla H3G
(più nota come “3”).
La telefonia cellulare di seconda generazione (GSM: Global System for
Mobile communication) impiega la tecnica GMSK (Gaussian Minimum
Shift Keying), che è una variante della FSK.
Modulazioni più complesse come le QAM (Quadrature Amplitude
Modulation) fanno uso di portanti seno e coseno con ampiezze variabili
(combinando la modulazione di ampiezza e la QPSK) e sono usate per la
trasmissione dati a radiofrequenza nelle WLAN e su linea telefonica
nell’ADSL (Asymmetrical Digital Subscriber Loop).
&
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali
%
17