Funzioni trigonometriche e
modulazione dei segnali
Valentino Liberali
Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione
Università di Milano, 26013 Crema
e-mail: [email protected]
http://www.dti.unimi.it/˜liberali
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 1
Sommario
Concetti di base: segnali e sistemi
Periodo e frequenza
Tecniche di modulazione analogica (AM, FM)
Tecniche di modulazione digitale (FSK, PSK, QPSK)
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 2
Segnali (1/2)
segnale := una funzione di una o più variabili, che contiene
informazioni relative ad un fenomeno fisico.
Esempio:
il suono (ad esempio, la voce) è un segnale
monodimensionale (ampiezza in funzione del tempo t)
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 3
Segnali (2/2)
Altri esempi:
un’immagine (ad esempio, una fotografia) è un segnale
bidimensionale (luminosità e colore in funzione delle
coordinate spaziali (x, y))
una sequenza video (ad esempio, un filmato) è un
segnale tridimensionale (luminosità e colore in
funzione delle coordinate spaziali e del tempo (x, y,t))
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 4
Frequenza di un segnale periodico
Un segnale y(t) è periodico quando si ripete identicamente
dopo un intervallo di tempo T , detto periodo:
y(t + T ) = y(t), ∀t
L’inverso del periodo è la frequenza:
1
f=
T
Dimensionalmente, la frequenza è l’inverso di un tempo e si
misura in hertz (Hz).
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 5
Segnali sinusoidali nel tempo
I segnali periodici più semplici sono quelli sinusoidali:
sin x e cos x
con x = 2π f t
t è il tempo misurato in secondi (s)
f è la frequenza misurata in hertz (Hz)
x è un numero puro
Una sinusoide nel tempo è: y(t) = sin 2π f t = sin ω t
Per un moto rotatorio, la frequenza f è legata alla velocità
angolare ω dalla relazione: ω = 2π f . La velocità angolare
si misura in radianti al secondo (rad/s).
Poiché l’angolo giro è pari a 2π rad, risulta:
1 Hz = 1 giro/s = 2π rad/s.
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 6
Sistemi
sistema := un’entità che riceve in ingresso uno o più
segnali, ed esegue una funzione che produce nuovi segnali
in uscita.
x(t)
y(t)
Sistema
Segnale in
ingresso
Segnale in
uscita
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 7
Esempio: sistema di telecomunicazione
Messaggio
Trasmettitore
Segnale
trasmesso
Canale
Segnale
ricevuto
Ricevitore
Stima del
messaggio
Osservazione: se il canale di trasmissione fosse ideale, il
segnale ricevuto sarebbe identico a quello trasmesso. Nella
realtà, qualsiasi canale di trasmissione introduce
attenuazione; inoltre possono esserci disturbi dovuti a
interferenze di altre sorgenti di segnale e a rumore.
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 8
Elaborazione analogica di segnali audio
Voce
Memorizzazione,
trasmissione
Amplificatore
Suono
Microfono
Altoparlante
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 9
Elaborazione digitale di segnali audio
campionamento e conversione
analogico-digitale
Voce
S&H
Microfono
A D
conversione digitale-analogica
e filtraggio
Memorizzazione,
trasmissione,
elab. digitale
D A
Smooth
Suono
Altoparlante
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 10
Modulazione
Per poter trasmettere attraverso un sistema di
telecomunicazione senza fili:
i segnali a bassa frequenza devono essere convertiti in
modo da occupare frequenze idonee per la
trasmissione a radiofrequenza;
segnali diversi devono essere convertiti in intervalli di
frequenze diversi (“canali”) che non si sovrappongono.
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 11
Modulazione
m(t) è il segnale da trasmettere (“modulante”); può
essere analogico oppure digitale (sequenza di bit)
p(t) è il segnale fondamentale a radiofrequenza
(“portante”); di solito una sinusoide ad una frequenza
molto maggiore di quella del segnale da trasmettere:
p(t) = sin 2π f2t (con f2 >> f1 )
Il segnale a radiofrequenza è una combinazione della
modulante e della portante; di solito si usa la
modulante per far variare l’ampiezza, o la frequenza, o
la fase della portante.
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 12
Modulazione di ampiezza (AM)
modulante: m(t) = sin 2π f1t; portante: p(t) = sin 2π f2t
segnale AM: y(t) = p(t) · (1 + m(t)) = sin 2π f2t · (1 + sin 2π f1t)
2
1
0
−1
−2
2
1
0
−1
−2
2
1
0
−1
−2
modulante
0
0.5
1
1.5
2
portante
0
0.5
1
1.5
2
segnale AM
0
0.5
1
1.5
2
Quando m(t) > 0 l’ampiezza di y(t) è maggiore
dell’ampiezza di p(t); quando m(t) < 0 l’ampiezza di y(t) è
minore dell’ampiezza di p(t)
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 13
Modulazione di frequenza (FM)
modulante: m(t) = sin 2π f1t; portante: p(t) = sin 2π f2t
segnale FM: y(t) = sin 2π ( f2 + k sin 2π f1t)t
2
1
0
−1
−2
2
1
0
−1
−2
2
1
0
−1
−2
modulante
0
0.5
1
1.5
2
portante
0
0.5
1
1.5
2
segnale FM
0
0.5
1
1.5
2
Quando m(t) > 0 gli attraversamenti dello zero di y(t) sono
più frequenti; quando m(t) < 0 gli attraversamenti dello zero
di y(t) sono meno frequenti
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 14
Uso delle tecniche analogiche
La modulazione di ampiezza (AM) e la modulazione di
frequenza (FM) sono usate per le trasmissioni
radiofoniche.
La modulazione di frequenza (FM) è stata usata anche
per la prima generazione di telefoni cellulari analogici:
TACS (Total Access Communication System) che
risale agli anni ’80 e permetteva solo la trasmissione
del segnale vocale.
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 15
FSK (Frequency Shift Keying)
Modulante: sequenza di bit;
ad es. [1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1]
Le portanti sono due: p1 (t) = sin 2π f2t e p0 (t) = sin π f2t;
la frequenza di p0 (t) è la metà della frequenza di p1 (t)
Un periodo di p1 significa 1; mezzo periodo di p0 significa 0
1.5
dati binari
1
0.5
0
−0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
18
20
1
0
−1
portante 0
18
20
1
0
−1
portante 1
18
20
1
0
Segnale FSK:
−1
segnale FSK
16
18
20
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 16
PSK (Phase Shift Keying)
Modulante: sequenza di bit;
ad es. [1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1]
Le portanti sono: p(t) = sin 2π f2t e −p(t) = sin(2π f2t + π );
la seconda portante ha il segno cambiato (è sfasata di π )
Un periodo di p significa 1; un periodo di −p significa 0
1.5
dati binari
1
0.5
0
−0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1
0
−1
portante 0 (invertita)
18
20
1
0
−1
portante 1
18
20
1
0
Segnale PSK:
−1
segnale PSK
18
20
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QPSK (Quadrature Phase Shift Keying)
Si trasmettono DUE sequenze di bit contemporaneamente:
una sequenza viene modulata PSK con una portante seno
p1 (t) = sin 2π f2t e l’altra viene modulata PSK con una
portante coseno p2 (t) = cos 2π f2t
Il segnale QPSK è la somma delle due sequenze modulate
PSK
1.5
1
0.5
0
−0.5
1.5
1
0.5
0
−0.5
dati binari 1
0
2
4
6
8
10
12
14
12
14
16
18
20
16
18
20
dati binari 2
0
2
4
6
8
10
portante 1 (seno)
1
0
−1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
portante 2 (coseno)
1
0
−1
0
2
4
6
8
10
12
2
14
16
18
20
18
20
segnale QPSK
0
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 18
Uso delle tecniche digitali (1)
Le WLAN (Wireless Local Area Network) impiegano
varie tecniche di modulazione digitale, fra cui PSK e
QPSK.
QPSK è usata anche nella telefonia cellulare di terza
generazione (UMTS: Universal Mobile
Telecommunications Service).
La telefonia cellulare di seconda generazione (GSM:
Global System for Mobile communication) impiega la
tecnica GMSK (Gaussian Minimum Shift Keying), che
è una variante della FSK.
Funzioni trigonometriche e modulazione dei segnali – p. 19
Uso delle tecniche digitali (2)
Modulazioni più complesse come le QAM (Quadrature
Amplitude Modulation) fanno uso di portanti seno e
coseno con ampiezze variabili (combinando la
modulazione di ampiezza e la QPSK) e sono usate per
la trasmissione dati a radiofrequenza nelle WLAN e su
linea telefonica nell’ADSL (Asymmetrical Digital
Subscriber Loop).
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