Stabilità di forme d’equilibrio non banali per travi sottili asimmetriche
Egidio Lofrano1 , Achille Paolone1 , Giuseppe Ruta1
1
Dipartimento di ingegneria strutturale e geotecnica, “Sapienza” Università di Roma, Italia
E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
Keywords: Travi in parete sottile, stabilità, sezioni asimmetriche.
SOMMARIO. Si studia la stabilità alla Ljapounov di forme d’equilibrio non banali di travi in parete
sottile asimmetriche. Il modello, monodimensionale diretto, ha cinematica finita e un descrittore
sommario d’ingobbamento. La dinamica deriva dal bilancio di potenza, le relazioni costitutive sono
iperelastiche non lineari. Si descrivono cosı̀ forme d’equilibrio elastico non banali tramite un codice
alle differenze finite centrate che ne valuta la stabilità esaminando le pulsazioni naturali delle piccole
oscillazioni sovrapposte. In lavori precedenti si sono studiate sezioni simmetriche per testare il
codice e studiare l’effetto dell’ingobbamento. Qui si esamina una sezione priva di simmetria.
1 INTRODUZIONE
Le travi con sezione aperta in parete sottile sono elementi strutturali dotati di rigidezza elevata a
flessione ma modesta, se non trascurabile, a torsione. L’instabilità dell’equilibrio elastico statico è
spesso a carattere flesso-torsionale e i modi di biforcazione sono accoppiati. È interessante studiare
tali fenomeni ed esaminare qualitativamente gli effetti dei parametri fisici sulla risposta di queste
travi. I modelli di trave in parete sottile sono diversi da quello ordinario, che deriva dall’identificazione con il cilindro di Saint Venant, poiché per queste travi non si verifica l’estinzione degli effetti
di bordo a distanza breve dalle basi.
I modelli per le travi in parete sottile si possono derivare da continui più ricchi: Vlasov [1]
descrive il problema di campo lungo l’asse introducendo un vincolo interno in gusci sottili. Anche
Møllmann [2] deriva il suo modello da un guscio, contraddistinto da equazioni costitutive non lineari.
Vi sono anche modelli monodimensionali diretti, tra cui quello di Epstein [3], dove all’asse sono
associati tanti direttori quante strisce rettangolari nella sezione, e quello di Simo e Vu-Quoc [4], ove
la sezione subisce anche l’ingobbamento descritto dalla funzione di Saint-Venant. Il modello di Rizzi
e Tatone [5] presenta un descrittore di stato sommario per l’ingobbamento ed equazioni costitutive
non lineari. Tale modello, raffinato per distinguere gli assi dei centri d’area e di taglio [6], porta a
equazioni di campo che, a valle di una identificazione delle costanti costitutive con quelle dei modelli
più ‘ricchi’, hanno permesso lo studio della stabilità dell’equilibrio elastico statico di configurazioni
d’equilibrio banali per travi e telai, con indicazioni anche sul comportamento post-critico e sulla
posizione più corretta di vincoli interni eventuali sullo scorrimento angolare [7, 8, 9].
Le stesse equazioni di campo derivate dal modello monodimensionale diretto sono state implementate in un codice di calcolo che usa differenze finite centrate, derivate da una proposta recente di
letteratura [10], e hanno fornito informazioni notevoli sulla stabilità alla Ljapounov di percorsi d’equilibrio non banali [11]. Per semplicità dal punto di vista numerico, non si sono introdotti vincoli
allo scorrimento, salvo poi verificare che per travi snelle l’effetto di questo è trascurabile. Nello specifico, si sono studiati alcuni casi abituali di travi con sezioni dotate di almeno un asse di simmetria,
per saggiare la bontà della tecnica numerica proposta, riprodurre i risultati presenti in letteratura ed
esaminare l’effetto dell’ingobbamento sui moltiplicatori critici di carico.
In questo contributo si richiamerà brevemente il modello diretto presentato in dettaglio in [6, 7]
e la tecnica numerica che permette di studiare le piccole oscillazioni nell’intorno di configurazio1
ni non banali d’equilibrio [11]. In seguito si esamineranno travi con sezioni prive di simmetria,
per cui gli accoppiamenti flessione-torsione, taglio-torsione e taglio-taglio si aggiungono a quello
d’estensione-torsione-ingobbamento delle sezioni simmetriche. Nell’intorno di configurazioni non
banali, deformate dall’azione del carico applicato, tali accoppiamenti costitutivi sono tutti attivi e
possono portare influenze notevoli sulle pulsazioni naturali delle piccole oscillazioni.
2 UN MODELLO MONODIMENSIONALE DIRETTO CON INGOBBAMENTO
La forma di riferimento per la trave consta di sezioni piane attaccate ortogonalmente all’asse dei
centri o d’area o di taglio [6]. Entrambi gli assi sono segmenti rettilinei e paralleli all’asse x1 di un
sistema cartesiano coerente con una base ortonormale destra (a1 , a2 , a3 ), con a2 , a3 paralleli agli
assi principali d’inerzia della sezione. Un’altra forma è fornita da: a) il campo vettoriale u = p−q
di spostamento d’uno degli assi, se p (q) è il vettore posizione dei suoi punti nella forma attuale
(in quella di riferimento); b) il campo di tensori ortogonali propri R della variazione d’assetto delle
sezioni tra le due forme, cosı̀ che una base nella forma attuale è bi = Rai ; c) il campo scalare w che
descrive sommariamente l’ingobbamento delle sezioni. Tutti i campi dipendono dall’ascissa lungo
gli assi e dal tempo; per semplicità di notazione, le variabili indipendenti saranno omesse.
Una trasformazione rigida non altera la metrica euclidea della forma di riferimento ed è data da:
una variazione d’assetto uniforme R0 ; una rotazione di ciascuna differenza di posti nella forma di
riferimento secondo R0 ; e un ingobbamento identicamente nullo. La differenza tra una trasformazione generica e una rigida è una definizione naturale di deformazione, le cui misure sono dunque:
i) la differenza tra le tangenti a uno degli assi nelle forme attuale e di riferimento; ii) la variazione
d’assetto lungo l’asse; iii) il descrittore d’ingobbamento
e = p′ − Rq′ = p′ − b1 = εi bi ,
E = R′ R⊤ = ϵijh κi bj ∧ bh ,
w
(1)
ove l’apice indica derivazione rispetto a x1 e ϵijh è l’operatore di permutazione. L’elongazione è
ε1 mentre ε2 , ε3 sono gli scorrimenti angolari tra l’asse considerato e gli assi principali d’inerzia
di sezione. La curvatura torsionale è κ1 mentre κ2 , κ3 sono quelle flessionali; tutte le misure non
dipendono dall’osservatore. Nel seguito, l’ascissa sarà lungo i centri d’area.
La potenza esterna, funzionale scalare lineare nell’atto di moto ṗ, ṘR⊤ , ẇ misura le interazioni
della trave con l’universo. La potenza interna in una teoria di primo gradiente è un funzionale lineare
dell’atto di moto e della sua derivata prima e misura le interazioni tra le parti della trave. Si postula il
principio meccanico del bilancio di potenza: a ogni istante e per ogni atto di moto le potenze esterna
e interna devono equivalersi. Considerando solo l’inerzia tra le azioni di volume, e riducendo l’atto
di moto al centro d’area o, procedure di localizzazione abituali sotto ipotesi di regolarità sufficiente
forniscono il bilancio meccanico per forza e coppia e l’equazione ausiliaria per bitaglio e bimomento
t′ = ρAp̈
T′ + (e + b1 ) ∧ t = ρI[(ṘR⊤ )˙]
µ′ + τ = β
(2)
Qui ρ è la densità di massa rispetto al volume e I è un tensore d’inerzia rispetto a o. I vettori ρAp̈, t =
Qi bi sono forze d’inerzia e interne; i tensori antisimmetrici ρI[(ṘR⊤ )˙], T = ϵijh Mi bj ∧ bh sono
coppie d’inerzia e interne. Gli scalari β, µ, τ sono l’azione d’inerzia d’ingobbamento, il bimomento
e il bitaglio [1, 4]. Le forze normale Q1 e taglianti Q2 , Q3 sono pensate applicate al centro d’area.
La coppia torcente è M1 mentre M2 , M3 sono le flettenti. Se ξ è una costante reale, si postula che
β = 0 e che l’ingobbamento sia proporzionale alla curvatura torsionale [1, 4]
w = ξκ1 ⇒ w′ = ξκ′1
2
(3)
Il vincolo interno (3) è mantenuto da azioni interne reattive che non spendono potenza su ogni atto
di moto compatibile con esso. Per l’assenza di altri vincoli interni, le forze interne, le coppie flettenti
e il bimomento hanno solo parte attiva; si accetta che il bitaglio sia puramente reattivo e si prova che
questa coincide con la parte reattiva della coppia torcente [1, 6].
Se la potenza interna è la variazione di un’energia elastica, si derivano relazioni costitutive non
lineari in e, E, w′ [6], che tengono conto degli accoppiamenti sperimentali tra estensione-flessione,
estensione-torsione-ingobbamento, scorrimenti-torsione, flessione-torsione, e sono, per la (3),
Q1 = EAε1 + (1/2)EIc κ21 ,
Q2 = G[A2 (ε2 −κ1 xc3 )+A23 (ε3 +κ1 xc2 )],
Q3 = G[A3 (ε3 +κ1 xc2 )+A32 (ε2 −κ1 xc3 )],
M1 − Q2 xc3 + Q3 xc2 = (GJ + EIc ε1 + EIf 2 κ2 − EIf 3 κ3 )κ1 + ξτ,
M2 = EI2 κ2 +(1/2)EIf 2 κ21 ,
(4)
µ = (EΓ ξ) κ′1
M3 = EI3 κ3 −(1/2)EIf 3 κ21 ,
con: E, G i moduli di elasticità longitudinale e tangenziale; A, Aj , Aij l’area, le aree di taglio
dirette e miste; J il fattore di torsione di Saint Venant; Ic il momento polare d’inerzia rispetto al
centro di taglio; Ij i momenti centrali principali d’inerzia; xcj le coordinate del centro di taglio
in coordinate centrali e principali d’inerzia; If j le costanti d’accoppiamento flessione/torsione; Γ
l’inerzia d’ingobbamento [1, 12, 4, 13, 6]. Le (4) si semplificano molto per sezioni con almeno un
asse di simmetria [11]; per sezioni generiche, invece, tutte le costanti sono diverse da zero.
Le equazioni (1)–(4) mostrano che la costante ξ influenza solo ingobbamento, bimomento e bitaglio, non le equazioni di campo e i risultati. Perciò non è essenziale determinare il valore esatto di ξ;
inoltre, ridefinendo il bimomento B = ξµ [2], si ricavano equazioni di campo prive di termini reattivi con tecniche abituali di condensazione statica. Il bitaglio e il descrittore d’ingobbamento possono
essere stimati a posteriori, rielaborando le soluzioni cinematiche. Per mezzo del sistema (1)–(4) si
possono cercare soluzioni non banali del problema elastico statico ed esaminarne la stabilità.
3 TECNICA NUMERICA
Il sistema d’equazioni (1)–(4) non ha, in generale, soluzione in forma chiusa: per questo motivo
rendiamo discreto il dominio e cerchiamo i percorsi d’equilibrio tramite integrazione numerica delle
(1)–(4). Ciò non lede la generalità dello studio, in quanto, con l’eccezione di casi rari e patologici,
i risultati del discreto convergono al continuo [14]. Le (1)–(4) sono non lineari, del primo ordine
nello spazio e del secondo nel tempo. In ogni caso, le differenze finite nello spazio sono sufficienti
per determinare le soluzioni statiche, sono robuste e non richiedono differenze in avanti o indietro.
Si adotta la tecnica proposta in [10] e ampliata in [15, 11]: si divide la lunghezza L dell’asse in
intervalli tra punti di campionamento (nodi). Si approssima ogni funzione f e la sua derivata f ′
fie =
fi+1 + fi
,
2
(f ′ )ei =
fi+1 − fi
,
∆L
i = 1, . . . , N
(5)
(figura 1), con fi il valore attinto da f al nodo i, ∆L la lunghezza d’intervallo, N il numero d’intervalli nel dominio e l’apice e indica una funzione valutata sull’elemento e tra i nodi i, i + 1. Per
semplicità si sceglie lunghezza uguale per tutti gli elementi (griglia di nodi equispaziata). Per operare su un dominio fisso, le quantità fisiche sono riportate nella forma di riferimento: i vettori sono
pre-moltiplicati per R⊤ , i tensori sono pre-moltiplicati per R⊤ e post-moltiplicati per R.
Le equazioni di compatibilità (1) discretizzate si scrivono in forma matriciale, se {b1 } = {1 0 0}⊤ ,
e
e ⊤
{ε}i = ([R]i ) ({b1 } + {u′ }ei ) − {b1 },
3
e ⊤
[E]i = ([R]i ) [R′ ]i
e
e
(6)
fi+1
fi+1
fi
fi
fi
i
fi+1-fi
(f ')ie
e
i+1
i
i+1
DL
DL
Figura 1: Differenze finite centrate.
dove {u}, [R] listano le componenti di u, R nella base ai solidale alla sezione nella forma di
riferimento. La matrice antisimmetrica [E] si dà in termini delle tre rotazioni ϕi attorno a ai .
Le equazioni di bilancio (2) discretizzate in un percorso d’equilibrio, a inerzia nulla, hanno forma
{Q′ }i + [E]i {Q}i = {0}
e
e
{M ′ }i + [E]i {M }i + [H]i {Q}i = {0}
e
e
e
e
e
e
(7)
e
dove [H]i è il tensore antisimmetrico associato al prodotto esterno nell’equazione (2)2 .
Le equazioni costitutive (4) discretizzate, tenuto conto delle (3), hanno la forma
e
e
e
e
{Q}i = [Cs ] {ε}i + {fs }i
e
Bie = EΓ (κ′1 )i
e
e
{M }i = [Cb ] {κ}i + {fb }i
e
(8)
e
con [Cs ] , [Cb ] parte diagonale lineare e {fs }i , {fb }i termini d’accoppiamento nelle (4)1−6 .
Le equazioni (6)–(8), completate da condizioni al contorno, formano un sistema algebrico quadrato non lineare di dimensione 19(N + 1). Librerie abituali di codici numerici permettono di trovarne le soluzioni, che descrivono i percorsi non banali e non lineari d’equilibrio in forma discreta.
Si studia la loro stabilità sovrapponendovi una perturbazione, perciò si considerano le velocità
[W ]ei = ([R]ei )⊤ [Ṙ]ei .
{v}ei = ([R]ei )⊤ {u̇}ei
(9)
poiché è conveniente dal punto di vista del calcolo automatico [10] riscrivere le equazioni di campo
in termini di esse. Cosı̀, indicata col pedice 0 una quantità valutata in corrispondenza della soluzione
statica, le equazioni di compatibilità (1) discretizzate per la perturbazione sono
˙ e = {δv ′ }e + [E0 ]e {δv}e − [δW ]e ({ε0 }e + {b1 })
{δε}
i
i
i
i
i
i
′ e
e
e
e
˙
{δκ} = {δW } + [E0 ] {δW }
i
i
i
(10)
i
Analogamente, le equazioni di bilancio (2) discretizzate per la perturbazione sono
˙ e
{δQ′ }ei + [E0 ]ei {δQ}ei + [δE]ei {Q0 }ei = ρA{δv}
i
˙ }e
{δM ′ }ei + [E0 ]ei {δM }ei + [δE]ei {M0 }ei + [H0 ]ei {δQ}ei + [δH]ei {Q0 }ei = ρ[I]{δW
i
(11)
e, poichè la stabilità è intesa in senso dinamico, si deve tener conto dell’inerzia.
Ancora, le equazioni costitutive (4) discretizzate per la perturbazione sono
{δQ}ei = [Css ]{δε}ei + [Csb 0 ]ei {δκ}ei
{δM }ei = [Cbs 0 ]ei {δε}ei + [Cbb 0 ]ei {δκ}ei − (δB ′ )ei {b1 },
4
δBie = EΓ (δκ′1 )ei
(12)
dove le matrici [Css ], [Csb 0 ]ei = ([Cbs 0 ]ei )⊤ , [Cbb 0 ]ei descrivono gli accoppiamenti nelle (8).
La lista dei campi differenza tra lo stato perturbato e la configurazione d’equilibrio di cui si vuole
saggiare la stabilità, detta anche vettore delle deviazioni al primo ordine, è
{δs}i = {{δQ}i , {δM }i , δBi , {δε}i , {δκ}i , {δv}i , {δW }i }
(13)
Operazioni abituali fanno scrivere il sistema (10)–(12) come equazione operatoriale variazionale
˙
Cδs = Dδs,
δs = δs0 exp(λt) ⇒ Cδs0 = λDδs0
(14)
in cui C, D caratterizzano le proprietà geometriche e fisiche della trave all’equilibrio √
[15, 11].
La (14) è, infatti, un problema non-standard negli autovalori λ = α + iω, i = −1, α, ω ∈
ℜ, le pulsazioni naturali delle piccole oscillazioni intorno alla configurazione d’equilibrio. Come
noto, si raggiunge la soglia d’instabilità quando un autovalore reale o la parte reale di un autovalore
complesso svanisce partendo da valori negativi. Nel primo caso la biforcazione è statica (buckling
o divergenza), nel secondo dinamica (flutter o biforcazione di Hopf). Infatti, per la stabilità alla
Ljapounov occorre che tutte le perturbazioni di una configurazione d’equilibrio rimangano “piccole”.
Nel seguito si studia la stabilità di percorsi d’equilibrio non banali per un esempio di trave con
sezione aperta, esaminando l’effetto degli accoppiamenti costitutivi sui carichi critici.
(b)
(a)
x2
A
x2
x3
x1
x2
C
B
C
o
x3
L
c
Figura 2: Trave oggetto di studio: (a) linea d’asse e (b) sezione trasversale (L200x100x10).
4 UN ESEMPIO DI TRAVE CON SEZIONE NON SIMMETRICA
Si analizza la trave appoggiata schematizzata in figura 2.a: i supporti A e B dell’elemento vincolano la rotazione torsionale e lo spostamento dell’asse, con l’eccezione della componente di spostamento assiale dell’estremo B; le rotazioni restanti e l’ingobbamento sono liberi. La sezione è una
L a lati disuguali, in cui tutti gli accoppiamenti nelle (4) sono attivi; essa è d’impiego ampio in ingegneria, p. es. in irrigidimenti o controventi. L’angolare scelto è il profilo metallico laminato a caldo
L200x100x10, un profilo europeo standard (cfr. norme UNI-EN 10056-1). Le dimensioni sono in
figura 2.b, con i centri di taglio c e d’area o e il sistema di coordinate centrale e principale centrale
d’inerzia (x2 , x3 ). Le proprietà meccaniche e le caratteristiche geometriche sono in tabella 1: la
5
Tabella 1: Proprietà della trave e caratteristiche di sezione.
L, m
E, N m−2
ν
ρ, kg m−3
5.00
210 · 109
0.30
7850
A, cm2
A2 , cm2
A3 , cm2
J, cm4
I2 , cm4
I3 , cm4
Γ , cm6
29.20
16.58
7.29
10.00
135.00
1290.00
229.78
xc2 , cm
xc3 , cm
A23 = A32 , cm2
Ic , cm4
If 2 , cm5
If 3 , cm5
-5.83
3.10
2.26
2704.92
−906.41
16505.00
prime due righe riguardano l’asse e il materiale, le successive elencano le caratteristiche di sezione;
le proprietà legate alla mancanza di simmetria sono nelle ultime due righe.
A seguito di un’analisi di convergenza s’è scelto di discretizzare la trave in 40 elementi, numero
volutamente elevato, allo scopo di minimizzare l’errore numerico nelle operazioni di confronto.
4.1 Oscillazioni libere
Per valutare il contributo dei termini d’accoppiamento costitutivo legati alla mancanza di simmetria della sezione, si confrontano le pulsazioni delle oscillazioni libere della trave considerando
e trascurando l’accoppiamento. Il confronto è in tabella 2: le pulsazioni denotate ω sono ottenute
considerando tutti gli accoppiamenti costitutivi della tabella 1; i valori denotati ω sym trascurano gli
accoppiamenti taglio-taglio, taglio-torsione e flessione-torsione, ovvero assumono
xc2 = xc3 = A23 (= A32 ) = If 2 = If 3 = 0,
I c = I2 + I3
(15)
Per i primi sei modi di vibrare, il confronto in termini percentuali
∆=
ω − ω sym
ω sym
(16)
presenta una differenza media del −15.8%, con un picco del −30% circa. Cosı̀, trascurare i termini
di accoppiamento in sezioni non simmetriche sovrastima molto le pulsazioni e, quindi, le rigidezze.
Tabella 2: Confronto delle pulsazioni ω (sezione data) e ω sym (accoppiamenti trascurati).
M odo
1
2
3
4
5
6
ω, s−1
42.76
110.22
152.64
154.56
266.44
276.21
ω sym , s−1
43.90
135.20
169.12
175.61
339.96
395.11
∆, %
-2.6
-18.5
-9.7
-12.0
-21.6
-30.1
In letteratura non sono disponibili soluzioni analitiche per sezioni generiche e, per un confronto,
si usa il codice commerciale SAP2000 (v. 14.0.0) e un modello agli elementi finiti. L’analisi,
effettuata con 2400 elementi finiti di tipo shell, riproduce i modi di vibrare in figura 3.
6
Modo 1
Modo 2
Modo 3
Modo 4
Modo 5
Modo 6
Figura 3: Primi sei modi di vibrare ottenuti dall’analisi con elementi finiti shell.
In tabella 3 la colonna 1-D contiene i risultati ottenuti con il modello qui presentato, mentre la
colonna 2-D i risultati dell’analisi agli elementi finiti. Il confronto in termini percentuali
∆1 =
ω 1−D − ω 2−D
ω 2−D
(17)
mostra una differenza media del −8.1%, con un picco del −19% circa. Questa discrepanza va
praticamente a zero, invece, quando si esaminano sezioni doppiamente simmetriche, confermando l’affidabilità del codice alle differenze finite [11]. La differenze in questo caso di sezione non
simmetrica è ragionevole se si pensa che il modello monodimensionale usato in questo contributo
non è soggetto ad altri vincoli se non quello tra torsione e ingobbamento, la cinematica è più ricca,
e l’energia elastica è distribuita tra molti accoppiamenti, portando a un continuo globalmente più
deformabile degli elementi di gusci con cui si è operata la discretizzazione agli elementi finiti.
4.2 Coppie flettenti d’estremità
Si analizza la stabilità della trave in figura 2 quando è soggetta a coppie flettenti di estremità
agenti nel piano (x1 , x2 ). In figura 4 sono riportati gli andamenti della parte reale e della parte
immaginaria delle coppie di autovalori al variare dell’entità delle coppie d’estremità: tali andamenti
permettono di stabilire se al variare del parametro di controllo (l’intensità della coppia) la trave sia
soggetta a biforcazione dell’equilibrio e, in tal caso, se essa sia statica o dinamica.
7
Tabella 3: Pulsazioni ω con il modello monodimensionale (1-D) e con gli elementi finiti (2-D).
ω, s−1
M odo
1-D
∆1 , %
2-D
1
42.76
43.18
-1.0
2
110.22
120.69
-8.7
3
152.64
156.86
-2.7
4
154.56
189.50
-18.4
5
266.44
297.51
-10.4
6
276.21
298.77
-7.5
Gli andamenti riportati a sinistra in figura 4 riguardano la prima coppia di autovalori: al crescere
del parametro di controllo il modulo della parte immaginaria tende a diminuire fino al raggiungimento di una condizione di biforcazione statica. Analogamente, dagli andamenti delle prime sei coppie
di autovalori, riportati in figura 4 a destra, è possibile stimare i primi tre carichi di divergenza. Si
apprezza, inoltre, come la crescita del parametro di controllo sia ininfluente o abbia un effetto irrigidente modesto sul 2o , 4o e 5o modo, circostanza che fa apparire 4 punti d’incrocio (crossing points)
tra le prime sei coppie di autovalori (cfr. figura 4 in alto a destra).
Per valutare il contributo dei termini di accoppiamento costitutivo legati alla mancanza di simmetria della sezione, si effettua un confronto analogo a quello effettuato sulle pulsazioni delle oscillazioni libere della trave: in tabella 4 si confrontano i carichi critici ottenuti considerando tali termini
o trascurandoli. I carichi di divergenza indicati con Mbn sono ottenuti considerando tutti i termisym
ni di accoppiamento costitutivo, cfr. tabella 1, mentre i valori indicati con Mbn
trascurano gli
accoppiamenti taglio-taglio, taglio-torsione e flessione-torsione, si veda la (15).
Con riferimento ai primi tre carichi di divergenza, il confronto in termini percentuali
∆2 =
sym
Mbn − Mbn
sym
Mbn
(18)
evidenzia differenze molto marcate. In particolare, emerge che trascurare i termini d’accoppiamento
in sezioni generiche come quella considerata conduce a una sovrastima notevole dei carichi critici.
Dal punto di vista progettuale si sottolinea che il primo carico critico effettivo è ridotto del 22%
rispetto a quello per una sezione doppiamente simmetrica. In altri termini, il raggiungimento dello
stato limite d’instabilità di un profilo commerciale quale quello analizzato, sottoposto a uno stato di
sollecitazione molto basilare, come le coppie flettenti d’estremità, risulta assai influenzato dalla sua
geometria non simmetrica, ovvero dai termini di accoppiamento costitutivo.
sym
Tabella 4: Carichi di divergenza Mbn (sezione data) e Mbn
(accoppiamenti trascurati).
n
Mbn , kN m
sym
Mbn
, kN m
∆2 , %
1
24.88
31.88
-22.0
2
39.38
64.13
-38.6
3
48.38
96.88
-50.1
8
Individuazione del carico critico
Individuazione dei primi tre carichi di buckling
50
400
40
300
30
Im(λ) [s−1 ]
200
20
10
100
0
0
−10
−100
−20
−200
−30
Re(λ) [s−1 ]
(a)
−40
−300
−50
−400
30
150
20
100
10
50
0
0
−10
−50
−20
−100
−30
(b)
−150
0
5
10
15
20
25
30
0
10
20
30
40
50
M [kN m]
M [kN m]
Figura 4: Parte immaginaria (a) e reale (b) delle coppie di autovalori.
5 COMMENTI FINALI
S’è mostrato un esempio di trave sottile a sezione non simmetrica per cui gli accoppiamenti costitutivi dovuti alla geometria provocano effetti non trascurabili, anzi, rilevanti dal punto di vista
del progetto strutturale: in effetti, il primo carico critico si abbatte di quantità notevoli e la biforcazione è sempre accoppiata. I risultati sono stati ottenuti con un codice alle differenze finite che si
è provato efficace nei casi abituali di sezioni simmetriche per cui sono a disposizione le soluzioni
in forma chiusa. Si è mostrato che esiste discrepanza con i risultati di un codice commerciale per
quanto riguarda le oscillazioni libere, discrepanza che si annulla quando le sezioni sono doppiamente simmetriche e che per sezioni generiche porta a pulsazioni più basse di quelle ottenute agli
elementi finiti. La spiegazione di questo comportamento può bene essere nella maggior ricchezza
d’accoppiamenti cinematici e costitutivi del modello monodimensionale qui adottato, che portano a
un continuo più deformabile che non un guscio. Studi più approfonditi su questo argomento sono in
corso d’opera, mentre sono in preparazione prove sperimentali per validare questi risultati.
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