Corso di laurea in Ingegneria elettronica e informatica - A13
Programma di “Analisi matematica 1” - A13106
Anno accademico 2015-2016
Prof. Giulio Starita
1 - Insiemi, logica, numeri
• I concetti primitivi. Parti di un insieme, insieme vuoto, insieme delle parti.
Inclusione. Intersezione, unione, complemento e loro proprietà. Le leggi di
De Morgan. Prodotto cartesiano.
• Proposizioni. Negazione di una proposizione. Congiunzione e disgiunzione
di due proposizioni. Predicati. Quantificatori.
• I numeri naturali, interi, razionali e reali. Somma, prodotto, ordinamento e
loro proprietà.
• Intervalli. Massimo e minimo di un insieme. Maggioranti e minoranti.
Estremi di un insieme. Assioma di continuità.
• Il simbolo di sommatoria e le sue proprietà. Il fattoriale, il coefficiente
binomiale e i loro significati combinatori. Il triangolo di Tartaglia.
• Il valore assoluto e le sue proprietà. Potenze, logaritmi e loro proprietà. Le
grandezze trigonometriche e le loro proprietà.
• Insiemi induttivi e principio di induzione. Somma dei primi n numeri naturali. Disuguaglianza di Bernoulli (p. 33). La formula del binomio di Newton
(p. 33).
• Numeri complessi. Somma e prodotto di numeri complessi. Unità immaginaria. Forma algebrica dei numeri complessi. Coniugato.
• Modulo e sue proprietà. Argomento. Forma trigonometrica di un numero
complesso. Formule di De Moivre. Radici n–sime di un numero complesso.
Teorema fondamentale dell’algebra.
2 - Funzioni
• Relazioni tra insiemi. Grafico di una relazione. Funzione. Dominio e codominio di una funzione. Funzioni limitate, inferiormente limitate, superiormente
limitate. Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni monotòne. Restrizione e prolungamento di una funzione. Somma, prodotto, composizione di
funzioni. Operazioni sul grafico di una funzione.
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• Funzioni invertibili. Teorema di invertibilità per le funzioni strettamente
monotòne.
• Equazioni e disequazioni. Soluzione di equazioni e disequazioni relative a
funzioni strettamente monotòne.
• Le funzioni costante, identità, valore assoluto, parte intera, parte decimale,
segno, caratteristica.
• Funzione potenza di esponente naturale. La funzione radice. La funzione
potenza di esponente reale. La funzione esponenziale e la funzione logaritmo.
Le funzioni trigonometriche.
• Risoluzione di equazioni e disequazioni coinvolgenti le funzioni dei due punti
precedenti.
3 - Limiti delle successioni
• Successione di numeri. Successioni limitate, inferiormente limitate, superiormente limitate. Proprietà definitivamente soddisfatte.
• Successioni convergenti e limite di una successione. Teorema di unicità del
limite (p. 89–90). Successioni divergenti. Successioni regolari. La retta numerica ampliata. Limitatezza delle successioni convergenti e non limitatezza
di quelle divergenti (p. 90–91). Successioni irregolari.
• Successioni monotòne. Teorema di regolarità delle successioni monotòne (p.
93–94).
• La progressione geometrica; limite della progressione geometrica per i differenti valori della ragione.
n
1
(p. 101–102). Il numero di Nepèro.
• Convergenza della successione 1 +
n
• Teoremi relativi all’agebra dei limiti (con dimostrazione per la somma e il
prodotto, p. 96–97). Parziale aritmetizzazione del simbolo di infinito. Le
forme indeterminate.
• Limite delle successioni polinomiali e rapporti di polinomi.
• Teorema di permanenza del segno (1a e 2a forma), p. 97–98. Teoremi di
confronto (p. 99). Criterio del rapporto per le successioni (p. 106–107).
• Ordine di infinito e di infinitesimo. Gerarchie di infinito e infinitesimo con
applicazione alle successioni loga n, nα , an , n!, nn (p. 105–107).
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4 - Limiti delle funzioni e continuità
• Intorno di un numero reale, di +∞, di −∞. Definizione successionale di
limite. Il Teorema di unicità del limite. Definizione topologica di limite di
una funzione e relative forme (ε, δ). Asintoti orizzontali.
• Teorema di regolarità per confronto (p. 121–122). Teorema di permanenza
del segno. Algebra dei limiti. Parziale aritmetizzazione del simbolo di infinito. Forme indeterminate. Teorema di cambiamento della variabile nel calcolo dei limiti (p. 122–123). Continuità della funzione composta di funzioni
continue.
x
1 − cos x
1
sin x
, lim
(p. 128–129). Li, lim
1+
• Limiti notevoli: lim
x→±∞
x→0
x→0 x
x
x2
f (x)
miti notevoli lim
con f (x) data da ex −1, log(1+x), (1+x)α −1, arcsin x,
x→0 x
tan x, arctan x. Limiti negli estremi del dominio delle funzioni elementari,
dei polinomi, delle funzioni razionali (p. 126).
• Limite destro e limite sinistro. Funzioni continue. Continuità delle funzioni
elementari. Continuità della somma di funzioni continue, del prodotto di una
funzione continua per una costante, della composizione di funzioni continue.
• Funzioni non continue: discontinuità eliminabili, di prima specie, di seconda
specie.
• Teorema degli zeri (p. 136–137). Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori
intermedi (p. 140). Esistenza della radice n–sima. Proprietà delle funzioni
monotòne in un intervallo.
5 - Calcolo differenziale e sue applicazioni
• Rapporto incrementale e suo significato geometrico. Derivata di una funzione e suo significato geometrico. Retta tangente al grafico di una funzione.
Continuità di una funzione derivabile (p. 159–160).
• Funzioni non derivabili: punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.
• Derivata della somma, del prodotto, del rapporto (p. 161–162). Derivata
della funzione composta. Derivata della funzione inversa.
• Derivata delle funzioni costante, identità e quadrato; derivata della potenza
di esponente naturale; derivate delle funzioni trigonometriche; derivata dell’esponenziale e del logaritmo; derivata della potenza di esponente reale (p.
154–155).
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Testo di riferimento
M. Bramanti, C. Pagani e S. Salsa: Analisi matematica 1, Zanichelli
Note
Per gli argomenti riportati in carattere inclinato è richiesta la conoscenza delle
relative dimostrazioni.
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