(TXLYDOHQ]DGLWULDQJROLHSDUDOOHORJUDPPL
/H]LRQH(TXLYDOHQ]DGLWULDQJROLHSDUDOOHORJUDPPL
(TXLYDOHQ]D GL SDUDOOHORJUDPPL FRQ OD VWHVVD EDVH H OD VWHVVD
DOWH]]D
In questa lezione ci proponiamo di stabilire sotto quali condizioni figure in generale non
uguali sono equivalenti, hanno cioè la stessa estensione superficiale. La chiave di tutte le
dimostrazioni di questo gruppo è l’equiscomponibilità, che abbiamo definito nella
precedente lezione. La prima proposizione che incontriamo negli (OHPHQWL riguardante
l’equivalenza di poligoni è la 35 del primo libro; in essa viene dimostrato il seguente
teorema:
'XH SDUDOOHORJUDPPL DYHQWL OD VWHVVD EDVH H OD VWHVVD DOWH]]D DG HVVD UHODWLYD VRQR
HTXLYDOHQWL
Per la dimostrazione consideriamo un segmento e una retta parallela ad esso; i due
parallelogrammi, $%&' e %&)(, hanno un lato coincidente con il segmento %& e il lato
opposto sulla retta parallela
(Figura 1). Consideriamo il
caso in cui i due lati $' e ()
non abbiano punti in comune
(i casi in cui essi hanno un
solo punto o un segmento in
comune sono lasciati per
esercizio). Osserviamo che, )LJXUD (TXLYDOHQ]D GL SDUDOOHORJUDPPL FRQ OD VWHVVD EDVH H OD
in base alle proprietà del VWHVVDDOWH]]D
parallelogrammo, $' = %& = () . Se ai due segmenti uguali $' e () sommiamo lo
stesso segmento '( otteniamo ancora due segmenti uguali: $( = ') . Sempre in base alla
proprietà per cui in un parallelogrammo i lati opposti sono uguali avremo anche $% = '& .
Infine, poiché in un parallelogramma gli angoli adiacenti sono supplementari, %$ˆ ( e
&'ˆ ) sono supplementari allo stesso angolo &'ˆ $ e sono pertanto uguali. Quindi, secondo
il primo criterio di uguaglianza, i due triangoli $%( e &') sono uguali e quindi sono
anche equivalenti (primo postulato dell’equivalenza). Se adesso togliamo a questi due
triangoli lo stesso triangolo '*( otteniamo i due trapezi equivalenti $%*' e &*() (terzo
postulato dell’equivalenza). Sempre in base al terzo postulato dell’equivalenza, se ai due
trapezi equivalenti aggiungiamo lo stesso triangolo %&* troviamo infine i due
parallelogrammi equivalenti $%&' e &%(), e ciò dimostra la tesi. Formalizziamo i
passaggi della dimostrazione:
,SRWHVL: i due parallelogrammi hanno la stessa base %& e il lato opposto a questa su una
medesima retta
$' = %& = () (ipotesi, lati opposti di un parallelogramma sono uguali)
$( = ') (1, somma di segmenti uguali)
$% = '& (ipotesi, lati opposti di un parallelogramma sono uguali)
%$ˆ ( + &'ˆ $ = π (ipotesi, angoli adiacenti di un parallelogramma sono uguali)
&'ˆ ) + &'ˆ $ = π (costruzione)
%$ˆ ( = &'ˆ ) (4,5)
$%( = &') (primo criterio, 2, 3, 6)
1
(TXLYDOHQ]DGLWULDQJROLHSDUDOOHORJUDPPL
$%( ≡ &') (primo postulato equivalenza, 7)
$%( − '*( ≡ $%'* ≡ &*() ≡ &') − '*( (terzo postulato equivalenza, 8)
7HVL: $%'* + %*& ≡ $%&' ≡ (%&) ≡ &*() + %*& (terzo postulato equivalenza, 9)
Costruiamo lo schema logico della dimostrazione:
)LJXUD (TXLYDOHQ]D GL SDUDOOHORJUDPPL FRQ OD VWHVVD EDVH H OD VWHVVD DOWH]]D VFKHPD GHOOD
GLPRVWUD]LRQH
(TXLYDOHQ]DGLWULDQJROLFRQODVWHVVDEDVHHODVWHVVDDOWH]]D
Teorema:
'XHWULDQJROLDYHQWLODVWHVVDEDVHHODVWHVVDDOWH]]DDGHVVDUHODWLYDVRQRHTXLYDOHQWL
Si tratta della proposizione 37 del primo libro degli (OHPHQWL che viene dimostrata da
Euclide nella seguente maniera.
Consideriamo due triangoli
$%& e '%& aventi stessa base
%& e stessa altezza relativa
(Figura 3); la retta U passante
per $ e ' sarà quindi parallela
a %& (in effetti l’enunciato
originale della proposizione 37
è: «7ULDQJROL FKH VLDQR SRVWL
(TXLYDOHQ]D GL WULDQJROL FRQ OD VWHVVD EDVH H OD VWHVVD
VXOODVWHVVDEDVHHIUDOHVWHVVH )LJXUD
DOWH]]D
SDUDOOHOH
VRQR
XJXDOL
[equivalenti]WUDORUR»).
2
(TXLYDOHQ]DGLWULDQJROLHSDUDOOHORJUDPPL
Riportiamo adesso su U due segmenti $( e ') uguali a %&. Si vengono così ad ottenere
due parallelogrammi, $&%( e ')&%, aventi stessa base e stessa altezza relativa i quali, in
base al precedente teorema, sono equivalenti. Osserviamo adesso che $% è una diagonale
del parallelogramma $&%( la quale, in base ad una nota proprietà, lo divide in due
triangoli uguali. Analogamente, '& è una diagonale del parallelogramma ')&% e lo
divide in due triangoli uguali. Risulta pertanto che $%& e '%& sono metà di due
parallelogrammi equivalenti e questo, in base alla sesta nozione comune del primo libro
(PHWj GL FRVH XJXDOL VRQR XJXDOL) è sufficiente per affermare l’equivalenza dei due
triangoli. Ecco i passaggi della dimostrazione:
,SRWHVL: i due triangoli hanno la stessa base e la retta U per gli altri due vertici è parallela
alla base
$( = ') = %& sulla retta r (costruzione)
$&%( ≡ ')&% (teorema sull’equivalenza dei parallelogrammi)
$%& = $%( (proprietà dei parallelogrammi)
'&% = '&) (proprietà dei parallelogrammi)
7HVL: $%& ≡ '&% (sesta nozione comune, 2, 3, 4)
Questo risultato può anche essere invertito (proposizione 39 del primo libro). Vale cioè
il seguente teorema:
'XHWULDQJROLHTXLYDOHQWLFRQODVWHVVDEDVHKDQQRDQFKHODVWHVVDDOWH]]D
La dimostrazione procede per assurdo. Sia %& la base
comune dei due triangoli e $ e ' i rispettivi terzi vertici.
Se le altezze di $%& e '%& non sono uguali allora la
retta U passante per $ e ' non è parallela a %&.
Tracciamo quindi per $ la parallela U ′ a %& che incontra
%' in (. I triangoli $%& e (%& hanno la stessa base e la
stessa altezza, sono quindi equivalenti in base al
precedente teorema. D’altra parte il triangolo $%& è
anche equivalente al triangolo '%& per ipotesi, quindi )LJXUD8JXDJOLDQ]DGHOOHDOWH]]H
per la transitività dell’equivalenza (prima nozione LQ WULDQJROL HTXLYDOHQWL FRQ OD
VWHVVDEDVH
comune del primo libro) anche '%& e (%& sono
equivalenti. Ma questo è assurdo in quanto '%& è diviso dal segmento (& nei due
triangoli (%& e (&', risulta pertanto che (%& è una parte di '%&, e una parte non può
essere uguale al tutto (ottava nozione comune del primo libro). Formalizziamo la
dimostrazione:
,SRWHVL: $%& ≡ '%& , base %& in comune
tesi negata: U non parallela a %&.
U ′ per $ parallela a %& e distinta da U (costruzione, 1)
$%& ≡ (%& (ipotesi, teorema diretto, 2)
%(& parte di %'& (2)
%(& suvvalente a %'& (ottava nozione comune, 4)
assurdo (ipotesi, 3, 5)
7HVL: U parallela a %& (6, 1).
(TXLYDOHQ]DWUDWULDQJROLHSDUDOOHORJUDPPL
Vogliamo adesso indagare sotto quali condizioni si ha equivalenza tra un triangolo e un
parallelogramma. Si ha il seguente teorema:
3
(TXLYDOHQ]DGLWULDQJROLHSDUDOOHORJUDPPL
8Q SDUDOOHORJUDPPD DYHQWH OD VWHVVD EDVH H OD VWHVVD DOWH]]D GL XQ WULDQJROR q
HTXLYDOHQWHDOGRSSLRGHOWULDQJROR
Si tratta della proposizione 41 del primo libro (VH XQ
SDUDOOHORJUDPPDKDODVWHVVDEDVHHGqFRPSUHVRWUDOH
VWHVVH SDUDOOHOH GD FXL q FRPSUHVR XQ WULDQJROR LO
SDUDOOHORJUDPPD q LO GRSSLR GHO WULDQJROR), per la cui
dimostrazione ci riferiamo alla Figura 5. Siano $%&' e
%&( rispettivamente il parallelogramma e il triangolo;
osserviamo che, in base all’ipotesi, il punto ( appartiene
alla retta del segmento $'. Consideriamo adesso il )LJXUD
(TXLYDOHQ]D
GL
triangolo $%&: esso ha la stessa base %& di %&( e anche SDUDOOHORJUDPPDHWULDQJROR
la stessa altezza (per ipotesi); in base al teorema sull’equivalenza di triangoli dimostrato
nel precedente paragrafo i triangoli $%& e %&( sono pertanto equivalenti. Ora, $& è la
diagonale del parallelogramma $%&' che – secondo la nota proprietà dei parallelogrammi
– lo divide in due triangoli uguali. Il parallelogramma $%&' è scomponibile nei due
triangoli uguali $%& e $&' ed è quindi equivalente al doppio di $%&, cioè al doppio di
%&(. Ecco i passaggi della dimostrazione:
,SRWHVL: $%&' parallelogramma, ( sulla retta di $'
$%& ≡ %&( (teorema equivalenza triangoli stessa base e stessa altezza, ipotesi)
$%& = $'& e $%& + $'& = $%&' (proprietà dei parallelogrammi)
$%&' = 2($%& ) (2)
7HVL: $%&' = 2(%&( ) (1, 3)
Questo teorema ha due importanti corollari:
8Q WULDQJROR q HTXLYDOHQWH DG XQ SDUDOOHORJUDPPD DYHQWH OD VWHVVD DOWH]]D H PHWj
GHOODEDVH
8QWULDQJRORqHTXLYDOHQWHDGXQSDUDOOHORJUDPPDFRQODVWHVVDEDVHHPHWjDOWH]]D
La dimostrazione dei due
corollari è immediata quando
si osservi che unendo i punti
medi di due lati opposti di un
parallelogramma si ottengono
due parallelogrammi identici,
ciascuno dei quali è metà del
parallelogramma di partenza e
dunque
equivalente
al
triangolo avente la stessa base e )LJXUD 6FRPSRVL]LRQH GL XQ
la
stessa
altezza
del SDUDOOHORJUDPPD LQ GXH
SDUDOOHORJUDPPLFRQPHWjEDVH
parallelogramma.
4
)LJXUD 6FRPSRVL]LRQH GL XQ
SDUDOOHORJUDPPD
LQ
GXH
SDUDOOHORJUDPPL
FRQ
PHWj
DOWH]]D
(TXLYDOHQ]DGLWULDQJROLHSDUDOOHORJUDPPL
3UREOHPDVYROWR
Dimostriamo che XQ WUDSH]LR q HTXLYDOHQWH
DO WULDQJROR DYHQWH SHU EDVH OD VRPPD GHOOH
EDVLGHOWUDSH]LRHODVWHVVDDOWH]]D.
Sia $%&' il trapezio. Prolunghiamo la base
%& di un segmento &( uguale a $' e uniamo $
con (. Il segmento $( incontra il lato '& nel
punto ). Consideriamo ora i triangoli $)' e
&)(. Essi hanno: $' = &( per costruzione, )LJXUD (TXLYDOHQ]D GL XQ WUDSH]LR H XQ
)$ˆ ' = )(ˆ & e $'ˆ ) = )&ˆ ( in quanto angoli WULDQJROR
alterni interni che le parallele $' e %( formano con le trasversali $( e '& rispettivamente.
Pertanto i due triangoli sono uguali in base al secondo criterio. Ora, il trapezio $%&' si
può scomporre nel quadrilatero $%&) e nel triangolo $)' mentre il triangolo $%( si può
scomporre nello stesso quadrilatero $%&) e nel triangolo &)( che è uguale ad $)'. Il
trapezio $%&' e il triangolo $)' sono quindi equiscomponibili e dunque equivalenti.
Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:
,SRWHVL: la costruzione geometrica di Figura 8.
$' = &( (ipotesi)
)$ˆ ' = )(ˆ & e $'ˆ ) = )&ˆ ( (criterio inverso di parallelismo, ipotesi)
$)' = &)( (secondo criterio, 1, 2)
$%&' = $%&) + $)' (ipotesi)
$%( = $%&) + )&( (ipotesi)
7HVL: $%&' ≡ $%( (terzo postulato equivalenza, 4, 5, 3)
Costruiamo lo schema logico della dimostrazione:
)LJXUD3UREOHPDVYROWRVFKHPDORJLFRGHOODGLPRVWUD]LRQH
9HULILFKHGLFRPSUHQVLRQHHFRQRVFHQ]D
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Enuncia e dimostra il teorema sull’equivalenza di parallelogrammi
Enuncia e dimostra il teorema sull’equivalenza di triangoli
Enuncia e dimostra il teorema su triangoli equivalenti con la stessa base
Enuncia e dimostra il teorema sull’equivalenza tra triangoli e parallelogrammi
Enuncia i corollari del teorema sull’equivalenza tra triangoli e parallelogrammi
Enuncia e dimostra il teorema sull’equivalenza tra triangoli e trapezi
5
(TXLYDOHQ]DGLWULDQJROLHSDUDOOHORJUDPPL
3UREOHPL
1. Dimostra il teorema sull’equivalenza di parallelogrammi con la stessa base e la
stessa altezza nel caso in cui – con riferimento alla Figura 1 – i punti ' ed (
coincidano.
2. Dimostra il teorema sull’equivalenza di parallelogrammi con la stessa base e la
stessa altezza nel caso in cui – con riferimento alla Figura 1 – il punto ' si trovi a
destra del punto (.
3. Dimostra che se due triangoli equivalenti hanno la stessa altezza, allora hanno
anche la stessa base (6XJJHULPHQWRSURFHGLSHUDVVXUGRHDSSOLFDO¶RWWDYDQR]LRQH
FRPXQH).
4. Dimostra che se due parallelogrammi equivalenti hanno la stessa base allora hanno
anche la stessa altezza (6XJJHULPHQWR SURFHGL SHU DVVXUGR H DSSOLFD O¶RWWDYD
QR]LRQHFRPXQH).
5. Dimostra che un triangolo è equivalente ad un parallelogramma avente la stessa
altezza e metà della base (Figura 6).
6. Dimostra che un triangolo è equivalente ad un parallelogramma con la stessa base e
metà altezza (Figura 7).
7. Dato il rettangolo $%&' siano ( ed ) i punti medi dei lati $' e $%
rispettivamente. Dimostra che i due triangoli $)' e $%( sono equivalenti
(6XJJHULPHQWRFRQVLGHUDLOWULDQJROR$'%).
8. Dimostra che la mediana divide un triangolo in due triangoli equivalenti.
9. Dimostra che un parallelogramma viene diviso dalle sue diagonali in quattro
triangoli equivalenti.
10. Nel parallelogramma $%&' sia 0 il punto medio del lato %&. Dimostra che il
triangolo $0' è equivalente a metà parallelogramma (6XJJHULPHQWR WUDFFLD OD
SDUDOOHOD SHU 0 DO ODWR $% FKH LQFRQWUD $' LQ 1 H FRQVLGHUD L WULDQJROL 0&'
10'$01H$%0).
11. Nel trapezio $%&' sia 0 il punto medio del lato $'. Dimostra che il triangolo
%&0 è equivalente a metà trapezio (6XJJHULPHQWRWUDFFLDSHU0ODSDUDOOHODD&%
H IDLULIHULPHQWRDOSUREOHPD).
12. Dimostra che un poligono circoscritto ad una circonferenza è equivalente ad un
triangolo avente per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio del
cerchio inscritto.
13. Sono dati i due triangoli $%& e $′% ′& ′ in cui $% = $′% ′ , %& = % ′& ′ e
$%ˆ & = π − $′%ˆ ′& ′ ; dimostra che i due triangoli sono equivalenti.
14. Dimostra che i sei triangoli in cui viene suddiviso un triangolo dalle sue mediane
sono tutti equivalenti tra loro.
15. Nel parallelogramma $%&' considera il punto 3 sul lato '&. Dimostra che
l’estensione superficiale della figura ottenuta dall’unione dei due triangoli $3' e
3%& è indipendente dalla posizione del punto 3.
16. Dimostra che tra due triangoli aventi stessa base e altezze differenti è prevalente
quello con altezza maggiore.
17. In un triangolo $%& siano 0 ed 1 rispettivamente i punti medi dei lati $& e %&.
Dimostra che il trapezio $%10 è equivalente al triplo del triangolo 01&.
18. Nel trapezio $%&' siano 0 e 1 i punti medi dei lati obliqui $' e &%, sia inoltre .
il punto medio del segmento 01. Dimostra che la perpendicolare alle basi che
passa per . divide il trapezio in due trapezi equivalenti (6XJJHULPHQWR LQ XQ
6
(TXLYDOHQ]DGLWULDQJROLHSDUDOOHORJUDPPL
WUDSH]LR LO GRSSLR GHO VHJPHQWR FKH XQLVFH L SXQWL PHGL GHL ODWL REOLTXL q XJXDOH
DOODVRPPDGHOOHEDVL).
19. Tra tutti i triangoli inscritti in una circonferenza, aventi per base una corda fissata e
il terzo vertice variabile sulla circonferenza, qual è quello di massima estensione
superficiale?
20. Dimostra che tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato il quadrato è quello di
estensione superficiale massima (6XJJHULPHQWRLQGLFDWRFRQ A LOODWRGHOTXDGUDWR
VLDQR A + [ H A − [ OHGLPHQVLRQLGHOJHQHULFRUHWWDQJROR).
21. È dato il triangolo rettangolo $%& inscritto in una semicirconferenza di centro 2 e
diametro $%. Sia V la semiretta per 2 perpendicolare ad $%. Traccia la retta U per &
parallela ad $% che incontra la semiretta V in ( e la semicirconferenza nell’ulteriore
punto '. Sia inoltre ) la proiezione di ' su $%. Dimostra che i due triangoli 2)& e
$&( sono equivalenti.
22. Dato il triangolo $%&, determina un punto ' su $% e un punto ( su $& in modo
che i segmenti (' e &' dividano la figura in tre triangoli equivalenti
(6XJJHULPHQWRGRSRDYHUVFHOWR'LQPRGRFKH$'&VLDGRSSLRGL'&%VFHJOL(
LQ
PRGR
FKH
GLYLGD
D
PHWj
$'&).
7
(TXLYDOHQ]DGLWULDQJROLHSDUDOOHORJUDPPL
23.
8