In una sfera di raggio r inscrivere il cono avente la superficie laterale massima.
Soluzione 1
Posto BH  x
2
BD  DH  BH

x  0 , r 
con
r 2  x2
si ha: CH 
DH  r  r 2  x 2
2
2

 r  r 2  x 2   x 2


r 2  r 2  x2  2r r 2  x2  x 2 
r
2r 2  2r r 2  x2 .
La funzione da rendere massima è:
S (x) 
r
1
 2  BH  BD ;
2
Agli estremi x  0
e
S (x)   x  2 r 2  2 r r 2  x 2
x
x  r il cono degenera nel diametro avente superficie nulla.
 2x

2r 

2 r 2  x2
La derivata prima è: S I x     1  2 r 2  2 r r 2  x 2  x 

2 2r 2  2r r 2  x 2



r x2

r 2  x2
    2r 2  2r r 2  x 2 

2r 2  2r r 2  x 2




2r 2 r 2  x 2  2r  r 2  x2  r x 2
2
r 2  x2
 
2
2r  2r r  x
2
2 r 2 r 2  x 2  2 r 3  3 rx 2
 

r x2
2
2
2
2
r

2
r
r

x


r 2  x2 
  

2r 2  2r r 2  x2


2 r 2 r 2  x 2  2 r 3  2 rx 2  r x 2
r 2  x2
 


 



2

2
2r  2r r  x
 
r 2  x2  2r 2  2r r 2  x 2
2
2 r 2 r 2  x 2  2 r 3  3 rx 2
r
2

 x 2   2 r 2  2 r r 2  x 2 


La derivata prima S I (x)  0 per:

2 r 2 r 2  x 2  2 r 3  3 rx 2
r
2
2 r 2 r 2  x 2  2 r 3  3 rx 2  0 ;
0;

 x 2   2 r 2  2 r r 2  x 2 


2

 2 r 2 r 2  x 2   3 rx 2  2 r 3



2
;

4 r 6  4 r 4 x 2  9 r 2 x 4  4 r 6  12 r 4 x 2  0 ;
x2  0
 9r 2 x 2  8 r 4  0
Matematica
x2  0
x2 
8r 4
9r 2

4 r 4  r 2  x 2  9 r 2 x 4  4 r 6  12 r 4 x 2 ;


 9r 2 x 4  8 r 4 x 2  0 ; x 2   9r 2 x 2  8 r 4  0 ;
x  0 doppia
x
2 2
r la soluzione negativa non è accettabile
3
www.mimmocorrado.it
1
Essendo:
S (0)    0  2 r 2  2 r r 2  0 2  0
S ( )    r  2r 2  2r r 2  r 2  2  r 2
2 2
S 
 3

2 2
2 2
r    
r  2 r 2  2 r r 2  
3

 3

r 

2 2
r  2r 2  2r
3
8 2
8
 
r 
3
9
3 3


Il massimo assoluto è M 
8
3  r2
9

2 2
8
 
r  2r 2  2r r 2  r 2 
3
9
 
2
assunto nel punto x 
2 2
r
3
r
2 2
8 2
 
r
r 
3
3
3
r2
Si può concludere quindi che il cono avente la superficie laterale massima ha il raggio di base uguale a x 
Matematica
www.mimmocorrado.it
2 2
r.
3
2
Soluzione 2
x  0 , r 
Posto BH  x
con
si ha: CH 
r 2  x2
2
BD  DH  BH
DH  r  r 2  x 2
 r  r 2  x 2   x 2



r 2  r 2  x2  2r r 2  x2  x 2 

r
2
2
r
2r 2  2r r 2  x2
x
La funzione da rendere massima è:
S (x) 
1
 2  BH  BD ;
2
Agli estremi x  0
e
S (x)   x  2 r 2  2 r r 2  x 2
x  r il cono degenera in un segmento (il diametro) avente superficie nulla.
 2x

2r 

2 r 2  x2
La derivata prima è: S I x     1  2 r 2  2 r r 2  x 2  x 

2 2r 2  2r r 2  x 2



r x2

r 2  x2
    2r 2  2r r 2  x 2 

2r 2  2r r 2  x 2




2r 2 r 2  x 2  2r  r 2  x2  r x 2
2
r 2  x2
 
2
2r  2r r  x
2
2

2
2r  2r r  x
2 r 2 r 2  x 2  2 r 3  3 rx 2
 

r x2
2r 2  2r r 2  x 2 

r 2  x2 
  

2r 2  2r r 2  x2


2 r 2 r 2  x 2  2 r 3  2 rx 2  r x 2
r 2  x2
 


 



 
r 2  x2  2r 2  2r r 2  x 2
2
2 r 2 r 2  x 2  2 r 3  3 rx 2
r
2

 x 2   2 r 2  2 r r 2  x 2 


La derivata prima S I (x)  0 per:

2 r 2 r 2  x 2  2 r 3  3 rx 2
r
2

2
2
2

2
 2 r 2 r 2  x 2   3 rx 2  2 r 3



2
;

2
2
x   9r x  8 r
Matematica
4
 0 ;


4 r 4  r 2  x 2  9 r 2 x 4  4 r 6  12 r 4 x 2 ;
4 r 6  4 r 4 x 2  9 r 2 x 4  4 r 6  12 r 4 x 2  0 ;
2
2 r 2 r 2  x 2  2 r 3  3 rx 2  0 ;
0;
 x   2 r  2 r r  x 


2
 9r 2 x 4  8 r 4 x 2  0 ;
x2  0
 9r 2 x 2  8 r 4  0
x2  0
x2 
8r 4
9r 2
www.mimmocorrado.it
x  0 doppia
x
2 2
r
3
3
S I x   0 ;
2r
2
2
2 r 2 r 2  x 2  2 r 3  3 rx 2

2
r
2
0;

 x 2   2 r 2  2 r r 2  x 2 


3
2
r  x  2 r  3 rx  0 (*)
2
r  x2  0
2r 2  2r r 2  x 2  0
2 2
r
3
0
2 2
x
r
3
 r  x  r
NO
NO
 r  x  r
(**)
r
SI ( x )
-
+
S ( x)
Si può concludere quindi che il cono avente la superficie laterale massima ha il raggio di base uguale a x 
2 2
r.
3
Calcoli
La disequazione (*)
2 r 2 r 2  x 2  2 r 3  3 rx 2  0 ;
r 2  x2 
dividendo per 2 r 2  0
si ha:
r 2  x2  r 
3x2
0;
2r
cioè:
3 2
x r
2r
3 2
 x r 0
La soluzione di tale equazione è data dall’unione dei due sistemi: A  2 r
r 2  x 2  0

3 2
 x r 0
A  2r
r 2  x 2  0


2
2
r x
r

3
3

 r  x   r

3 2
2r x  r  0

B 
2
r 2  x 2   3 x 2  r 

 2r

Pertanto (**)
2
r
3
0
NO
2 r r 2  x 2  2 r 2  3 x 2  0 per x 
2
La disequazione (# ) r 2  x 2   3 x 2  r  ;
 2r

r 2  x2 
2
2 2
r x
r
3
3
0
x  0
9 2
x 2 0
4r 2
2 2
2 2
x
r; x  
r
3
3
0x
2
r
3
2
r
3
2 2
r
3
r
NO
NO
2 2
r .
3
9 4
x  r 2  3x2 ;
4r 2
2 2
r
3
0
x2  0
r
NO

2
2
r; x  
r
x  

3
3

2 2

0  x  3 r (# )

3 2
2r x  r  0

B
2
r 2  x 2   3 x 2  r 

 2r

9 4
x  2x2  0 ;
4r 2
r
NO
NO

 9

x2   2 x2  2  0
 4r

0x
2 2
r
3
+
La disequazione (**)
2r 2  2r r 2  x 2  0 ;
Matematica
essendo r  0 r 2  x 2  0 ;
 r  x  r .
www.mimmocorrado.it
4