6.1
Scambio termico
6.1.1 Introduzione
Lo studio dei fenomeni di scambio termico si può ricondurre
a due variabili: la temperatura e il flusso di calore. La temperatura indica l’energia molecolare media di un sistema; il flusso di calore indica lo scambio di energia termica da un corpo
a un altro. Su scala microscopica l’energia termica è legata
all’energia cinetica delle molecole; la temperatura di un materiale è tanto più alta, quanto più elevata è l’agitazione termica
delle molecole che lo costituiscono. In virtù del secondo principio della termodinamica i corpi che hanno una maggiore
energia cinetica molecolare media cedono spontaneamente
questa energia ai corpi che hanno un’energia cinetica molecolare media minore. I flussi di calore tra due regioni dipendono
da svariate proprietà materiali, tra cui conduttività termica,
calore specifico, densità, emittività superficiale. Nel caso del
trasporto di calore in un fluido sono molto importanti la sua
velocità di flusso e la sua viscosità. Il meccanismo di trasferimento di calore può essere di tre tipi: per conduzione, per convezione e per irraggiamento.
Il trasferimento per conduzione avviene nei solidi e nei
fluidi in quiete o in moto laminare. È definito come un processo di carattere molecolare nel quale parte dell’energia delle
molecole della porzione più calda di un mezzo materiale (la
cui energia molecolare media è pertanto maggiore) si trasferisce alle molecole di una porzione più fredda, senza che abbia
luogo trasporto di materia. Tale processo ha luogo per effetto
di collisioni molecolari dirette, in seguito all’azione di vibrazioni e urti. Nei metalli una porzione significativa dell’energia termica viene trasferita grazie al movimento degli elettroni di conduzione.
La convezione è definita come il processo macroscopico,
che ha luogo solo nei fluidi, nel quale il fluido più caldo si sposta (o viene fatto spostare) in zone del fluido a temperatura
inferiore, rimescolandosi e cedendo parte della propria energia termica. Se il moto del fluido è unicamente generato dalle
differenze di densità provocate dalle differenze di temperatura, la convezione si dice naturale; se il moto del fluido è prodotto meccanicamente, la convezione viene detta forzata.
L’irraggiamento è il trasferimento di calore da un corpo a
un altro che avviene per emissione e assorbimento di energia
raggiante. Tutti i corpi emettono energia raggiante in tutte le
direzioni, in quantità che dipendono dalla loro temperatura. In
VOLUME V / STRUMENTI
questo caso l’energia è trasportata dai fotoni della radiazione
elettromagnetica appartenenti essenzialmente alla regione infrarossa e visibile dello spettro elettromagnetico. Quando le temperature sono uniformi, il flusso radiativo tra oggetti è in condizioni di equilibrio e quindi non avviene alcun trasferimento
netto di energia termica. Quando le temperature non sono uniformi, il flusso radiativo provoca un trasporto dell’energia termica dalle superfici più calde a quelle più fredde.
In molti casi i processi di scambio termico possono avvenire grazie al contributo di tutti e tre i meccanismi sopra citati.
6.1.2 Conduzione
La legge fondamentale che regola il trasferimento di calore
per conduzione fu formulata nel 1822 da Jean-Baptiste-Joseph
Fourier:
[1]
q = − kA
dT
dx
dove q rappresenta il calore trasferito per unità di tempo, A è
l’area della sezione del corpo normale all’asse lungo cui fluisce il calore, ⫺dTⲐdx è il gradiente di temperatura nella direzione di flusso del calore, e k è un parametro fisico, detto conducibilità termica, che dipende dalle caratteristiche materiali
del corpo e che solitamente varia con la temperatura.
La tab. 1 riporta i valori della conducibilità di alcuni solidi e quello della temperatura a cui tali valori sono stati misurati. In molti casi si assume che k vari con la temperatura secondo una relazione lineare del tipo:
[2]
k = k0 (1+ α T )
Spesso conviene riferirsi a un suo valore medio relativo
all’intervallo di temperatura in gioco.
Il coefficiente k ha, nel caso dei fluidi, valori molto più
piccoli di quelli misurati per i solidi, come si può osservare
dalla tab. 2. Nei casi in cui manchino dati sperimentali, la conducibilità termica può essere stimata con buona approssimazione impiegando relazioni empiriche che correlano k con il
calore specifico, il peso molecolare e la viscosità del fluido.
La [1] può essere utilizzata per derivare l’equazione tridimensionale non stazionaria per la trasmissione del calore nei
solidi e nei fluidi in quiete:
303
ASPETTI PROCESSISTICI
Conduzione stazionaria
tab. 1. Conducibilità termica di alcuni solidi
Materiale
Temperatura
(°C)
Conducibilità
(kJ/h⭈m⭈°C)
18
1.053,785
100
1.060,07
18
243,02
100
228,355
18
163,41
100
161,315
0-100
574,03
–
0,155
Quando il flusso di calore è stazionario, q nella equazione
di Fourier è una costante. Allo stesso modo, ⭸TⲐ⭸t nella [3] si
annulla. Assumendo k costante, la [3] diventa:
[4]
Oro
Ferro puro
Acciaio (1% C)
Magnesio
Sughero
[3]
cp r
∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T
∂T
T
k
+
k
+
=
k
+ q⬘
∂t ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 
dove cp è il calore specifico a pressione costante del corpo, r
è la sua densità, x, y e z rappresentano le coordinate rettangolari e q⬘ indica la velocità di generazione di calore – per
unità di volume del corpo – dovuta a reazione chimica o nucleare, o provocata dal passaggio di corrente elettrica. È necessario specificare opportune condizioni iniziali e al contorno
per poter ottenere la soluzione della [3], che fornisce la temperatura nel corpo in funzione del tempo e della posizione.
La [3] può essere trasformata in coordinate sferiche o cilindriche per adattarsi meglio alla geometria del problema allo
studio. Si osservi che, se k deve essere considerata come una
funzione della temperatura, la [3] diventa non lineare, e quindi non è più risolvibile analiticamente, a eccezione di pochi
casi particolari.
tab. 2. Conducibilità termica di alcuni fluidi
Temperatura
(°C)
Conducibilità
(kJ/h⭈m⭈°C)
⫺15/⫹30
1,80
30
0,59
60
0,54
Glicerina
20
1,02
Alcol etilico
20
0,65
Alcol metilico
20
0,78
Ammoniaca liquida
q⬘
k
In assenza di generazione di calore (q⬘⫽0) è possibile integrare direttamente la [1], ottenendo:
[5]
q = kA
T1 − T2
x1 − x2
Variando opportunamente le coordinate, si ottiene la soluzione del problema della conduzione del calore in diverse situazioni di importanza pratica.
Per studiare il caso della conduzione radiale in un cilindro
cavo, si indica con L la lunghezza del cilindro, con Ri e Re i
suoi raggi interno ed esterno e con Ti e Te le temperature della
faccia interna e di quella esterna. Il flusso di calore attraverso
uno strato elementare a distanza R dall’asse del cilindro e di
spessore dR (fig. 1) è dato da:
dT
dR
Separando le variabili e integrando si ottiene:
k 2pL Ti − Te
[7]
q=
R
ln e
Ri
È anche possibile esprimere il flusso radiale come se avvenisse attraverso uno strato piano equivalente di spessore (Re⫺Ri)
e area Aeq:
[6]
q = − k 2pRL
)
(
[8]
q=
kAeq (Ti − Te )
Re − Ri
con
[9]
Aeq = 2pLRlm
dove Rlm è il raggio medio logaritmico definito come
[10]
Fluido
∇ 2T = −
Rlm =
Re − Ri
(
ln Re Ri
)
Benzene
Acqua
0
2,14
38
2,26
93
2,45
⫺200
0,18
0
0,60
0
0,05
Ti
Te
R
L
dR
Ri
Re
Idrogeno
Biossido di carbonio
304
fig. 1. Trasmissione del calore per conduzione
in un cilindro cavo.
ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI
SCAMBIO TERMICO
Per risolvere il problema relativo alla conduzione radiale
attraverso uno strato sferico, si indicano con Ri e Re i raggi
interno ed esterno dello strato e con Ti e Te le temperature delle
corrispondenti superfici. Il calore trasmesso attraverso uno
strato elementare a distanza R dal centro della sfera e di spessore dR è dato da:
[11]
q = − k 4pR 2
dT
dR
ovvero
Rn
Ri
Ti − Tn =
k1 2pL
q ln
[21]
e per il cilindro B:
[22]
q=
Separando le variabili e integrando si ottiene:
[12]
q=
(
4pkRi Re Ti − Te
)
Aeq = 4pRi Re =
Ai Ae
cioè è la media geometrica delle superfici interna ed esterna
dello strato sferico.
Un altro caso di notevole interesse pratico è quello della trasmissione attraverso una serie di conduttori di uguale superficie; si faccia, per esempio, riferimento a tre pareti piane consecutive, aventi aree A1, A2, A3, spessori x1, x2, x3, conducibilità
k1, k2, k3, e siano DT1, DT2, DT3 i salti di temperatura tra le
superfici che delimitano le pareti. Poiché il flusso di calore attraverso ciascuna delle tre pareti deve essere il medesimo, si ha:
[14]
k1 A1∆T1 k2 A2 ∆T2 k3 A3 ∆T3
=
=
x1
x2
x3
q=
Definendo per ciascuna parete una resistenza termica:
[15]
r=
x
kA
si ottiene:
[16]
∆T1 = qr1
∆T2 = qr2
∆T3 = qr3
e sommando tra loro i singoli DTi si ottiene:
[17]
q ( r1 + r2 + r3 ) = ∆T1 + ∆T2 + ∆T3 = ∆T
ovvero:
[18]
q=
∑ ∆T = T − T
i
i
rT
e
rT
dove rT rappresenta la resistenza complessiva data dalla somma
delle singole resistenze:
[19]
rT = r1 + r2 + ...+ rn
La [17] è analoga alla legge di Ohm per un sistema di resistenze in serie.
Un esempio di trasmissione del calore attraverso una serie
di conduttori di sezione variabile è dato dal sistema formato
da due cilindri concentrici A e B di uguale lunghezza L e conducibilità k1 e k2, considerate costanti. La temperatura della
superficie più interna è Ti , quella della superficie in corrispondenza della quale i due cilindri sono a contatto è Tn e quella della superficie più esterna è Te.
Per il cilindro A è:
[20]
q=
(
k1 2pL Ti − Tn
VOLUME V / STRUMENTI
R
ln n
Ri
)
)
R
ln e
Rn
ovvero:
Re − Ri
Anche in questo caso si può esprimere il calore trasmesso
attraverso uno strato piano equivalente di spessore (Re⫺Ri ). La
superficie equivalente è data da:
[13]
(
k2 2pL Tn − Te
Re
Rn
Ti − Te =
k2 2pL
q ln
[23]
pertanto
[24]
q=
[25]
q=
(
2pL Ti − Te
)
1 Rn 1 Re
ln + ln
k1 Ri k2 Rn
Se invece si considera un sistema di due sfere cave si ricava:
(
4p Ti − Te
)
Rn − Ri Re − Rn
+
k1 Ri Rn k2 Rn Re
Se la temperatura di un materiale è funzione di due coordinate spaziali, si ha il caso della conduzione di tipo bidimensionale e la relativa equazione, avendo assunto k costante, è:
[26]
∂ 2T ∂ 2T
q⬘
+ 2 =−
2
∂x ∂y
k
Se q⬘ è nullo, la [26] diventa l’equazione di Laplace, la cui
soluzione analitica è possibile soltanto per condizioni al contorno e geometrie particolari (Carslaw e Jaeger, 1959). Quando non è possibile ottenere una soluzione analitica, si impiegano soluzioni grafiche o numeriche, utilizzando per esempio
i metodi alle differenze finite.
Conduzione non stazionaria
Quando le temperature dei materiali sono funzioni dello
spazio e del tempo, sono necessarie equazioni più complesse
di quelle introdotte in precedenza. L’equazione più generale è
la [3], tridimensionale non stazionaria. Nella maggior parte dei
casi le soluzioni ai problemi pratici che coinvolgono fenomeni di conduzione non stazionaria richiedono l’impiego di soluzioni numeriche da sviluppare al computer. È possibile recuperare in letteratura un’ampia casistica per problemi corrispondenti a svariate geometrie e condizioni al contorno.
I problemi monodimensionali si esprimono tramite le
seguenti equazioni:
[27]
∂ 2T
q⬘
∂T
=α 2 +
c
∂t
r
∂x
p
valida per coordinate rettangolari;
∂T α ∂  ∂T  q⬘
=
+
R
∂t R ∂R  ∂R  c p r
valida per coordinate cilindriche, e
[28]
∂T α ∂  2 ∂T  q⬘
=
+
R
∂t R 2 ∂R  ∂R  c p r
valida per coordinate sferiche.
[29]
305
ASPETTI PROCESSISTICI
Nelle ultime tre equazioni è stato introdotto il parametro
a, detto anche diffusività termica, definito come:
k
cp r
Queste equazioni sono state risolte nei casi della lastra
piana, del cilindro e della sfera immersi in un fluido. Le soluzioni sono ottenute sotto forma di serie infinite e i risultati sono
solitamente riportati in grafico sotto forma di curve caratterizzate da quattro rapporti adimensionali che, nel caso in cui
q⬘⫽0, sono (Gurney e Lurie, 1923):
[31]
Y=
T ⬘− T
kt
X =
rc p Rm2
T ⬘ − T0
[32]
m=
k
hT Rm
n=
R
x
oppure n =
Rm
Rm
dove T ⬘ è la temperatura dell’ambiente; T0 è la temperatura
iniziale uniforme del corpo; T è la temperatura del corpo in
un determinato punto, al tempo t, misurato dall’inizio del processo di raffreddamento o riscaldamento; k è la conducibilità
termica del corpo che si assume uniforme e costante al variare della temperatura; r è la densità del corpo che si assume
uniforme; cp è il calore specifico del corpo; hT è il coefficiente
globale di trasferimento di calore tra l’ambiente e la superficie del corpo, espresso come calore trasferito per unità di
tempo, per unità di area della superficie e per unità di differenza di temperatura tra la superficie e l’ambiente; R è la
distanza che intercorre, nella direzione in cui viene trasmesso il calore, dal punto o dal piano a metà del corpo al punto
in esame; Rm è il raggio della sfera o del cilindro, metà dello
spessore della lastra scaldata da entrambi i lati, spessore della
lastra scaldata da un lato e perfettamente isolata dall’altro; x
è la distanza che intercorre, nella direzione lungo cui viene
trasmesso il calore, dalla superficie di un corpo seminfinito
al punto in esame.
Solitamente, nell’eseguire le integrazioni, cp, hT , k, R, Rm,
T⬘, x e r sono assunti costanti.
fig. 2. Soluzione
1,0
del problema
della conduzione
non stazionaria
per una lastra indefinita
di spessore 2Rm.
0,7
0,5
[33]
dQ
= hA (T − T ⬘)
dt
Nelle condizioni poste il valore numerico di h è relativamente piccolo e la corrispondente velocità di trasferimento di
calore per area unitaria è quindi anch’essa piccola. Di conseguenza, se il valore della conducibilità k è elevato e la lastra è
sottile, la temperatura della lastra si può considerare uniforme,
e sviluppando un bilancio termico si ottiene:
[34]
)
(
dQ = hA T − T ⬘ dt = −V rc p dT
Assumendo hAⲐV rcp costante, la [34] può essere facilmente integrata ottenendo:
hA
[35]
−
t
T − T⬘
V rc
=e p
T0 − T ⬘
6.1.3 Convezione
Il trasporto del calore nei fluidi è agevolato dalla possibilità di
rimescolamento del fluido stesso. Nel caso della convezione
m⫽⬁
m⫽6
0,3
(T'⫺T)/(T'⫺T0)
0,2
n⫽1
n⫽0,8
n⫽0,6
n⫽0,4
n⫽0,2
n⫽0
n⫽1
n⫽0,8
n⫽0,6
n⫽0,4
n⫽0,2
n⫽0
0,1
0,07
0,05
0,03
0,02
n⫽1
n⫽0,8
n⫽0,6
n⫽0,4
n⫽0,2
n⫽0
n⫽0,8
n⫽0,6
n⫽0,4
n⫽0,2
n⫽0
0,01
0,007
0,005
0,003
0,002
m⫽0,5
m⫽0
0
1,0
2,0
m⫽2
α=
m⫽1
[30]
In fig. 2 sono riportati i risultati nel caso di una lastra indefinita; tali risultati vengono espressi riportando famiglie di
curve, corrispondenti a diversi valori di m e n, in cui Y è riportato in scala logaritmica sull’asse delle ordinate e X in scala
lineare sull’asse delle ascisse; risultati analoghi si ottengono
nel caso di un cilindro e di una sfera.
Il problema della conduzione attraverso una lastra immersa in un fluido si semplifica notevolmente se la lastra è così
sottile e il materiale ha conducibilità termica così elevata che
la temperatura, su tutto lo spessore della lastra, possa essere
considerata costante. Si supponga che la lastra abbia volume
V, superficie totale A, temperatura iniziale T0, e sia in contatto con aria più fredda a una temperatura uniforme T⬘; a ogni
istante la quantità di calore dQ trasferita nel tempo dt è proporzionale alla superficie A, alla differenza tra la temperatura
T della lastra e quella dell’aria attraverso il coefficiente h:
3,0
4,0
5,0
a⭈t/R2m
306
ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI
SCAMBIO TERMICO
naturale tali movimenti di rimescolamento derivano dalle differenze di densità nella massa fluida, dovute alle diverse temperature presenti nei vari punti. I movimenti possono però anche
essere prodotti meccanicamente tramite agitazione, oppure tramite il moto di un fluido in un condotto: in questi due casi si
dice che il calore viene trasmesso per convezione forzata. Quest’ultima è la situazione più comune nelle industrie di processo, dove spesso un fluido caldo e uno freddo, separati da una
parete, vengono pompati attraverso l’apparecchiatura di scambio termico.
Nello studio dei meccanismi che controllano lo scambio
di calore in un’apparecchiatura di questo tipo bisogna tenere
conto del fatto che nel moto di un fluido attorno a un solido,
anche quando il cuore del fluido è in moto turbolento, si crea,
nelle vicinanze immediate della superficie, un film in cui il
fluido è in flusso laminare. Nella zona del film laminare il calore viene trasferito prevalentemente tramite conduzione molecolare. La resistenza dello strato laminare al flusso di calore
varia con il suo spessore, e può essere responsabile del 95%
della resistenza totale per alcuni fluidi, o soltanto dell’1% per
altri. Il cuore turbolento del fluido e lo strato di transizione
compreso tra zona turbolenta e film laminare offrono una resistenza al trasferimento del calore che è funzione della turbolenza e delle proprietà termiche del fluido. È quindi possibile
concludere che in questo caso il flusso complessivo di calore
è in realtà l’effetto di diversi meccanismi, in cui la conduzione agisce congiuntamente a effetti convettivi.
Lo studio dei problemi di convezione naturale richiederebbe la soluzione simultanea delle equazioni accoppiate di bilancio della quantità di moto e dell’energia, ma questo approccio
rigoroso è possibile solo per il problema geometricamente molto
semplice del piatto verticale. Si ricorre allora ai metodi dell’analisi dimensionale che trovano in generale amplissima applicazione nello studio dei problemi di scambio termico. Essi permettono di determinare le espressioni per i coefficienti liminari di scambio, facendo ricorso a parametri adimensionali: i
parametri geometrici del problema e le proprietà del fluido vengono raggruppati in grandezze adimensionali, che costituiscono le variabili significative del problema, in modo tale che l’effetto di ciascun fattore non debba essere determinato in maniera indipendente. Questo metodo opera solo sulle dimensioni, e
quindi non fornisce valori numerici, ma permette di stimare l’influenza relativa dei vari parametri. Così facendo, si semplifica
notevolmente l’indagine delle correlazioni sperimentali tra dati.
L’analisi dimensionale permette di dedurre che il parametro caratteristico dei problemi di convezione naturale è il numero di Grashof, NGr, un rapporto adimensionale dato da:
[36]
N Gr =
l 3 r2 gβ∆T
µ2
dove l rappresenta una dimensione caratteristica del sistema,
g è l’accelerazione di gravità, b è il coefficiente di espansione
termica del fluido, m la sua viscosità dinamica e DT è la differenza tra la temperatura dell’interfaccia fluido-parete e quella
del cuore del fluido. Si ricava la seguente correlazione, detta
equazione di Nusselt:
[37]
(
N Nu = a N Gr N Pr
)
m
(dove a è un parametro adimensionale) nella quale appaiono
altri due gruppi adimensionali, il numero di Nusselt
[38]
N Nu =
hl
k
VOLUME V / STRUMENTI
e il numero di Prandtl
cp µ
[39]
N Pr =
[40]
h = b ( ∆T ) l 3m−1
k
Nelle [38] e [39] k rappresenta la conducibilità termica del
fluido e cp il suo calore specifico a pressione costante.
Le proprietà del fluido vengono valutate a una temperatura Tf che è la media aritmetica tra la temperatura nel cuore del
fluido T⬘ e la temperatura della parete Ts. Dalla relazione [37]
può anche essere ricavata un’equazione dimensionale, nella
quale le proprietà del fluido sono riunite in un unico fattore b:
m
Anche nel caso della convezione forzata, le trattazioni rigorose si limitano a geometrie semplici e a situazioni di moto
laminare, mentre le analisi di situazioni in flusso turbolento
solitamente si basano su modelli deterministici che però non
sono in grado di produrre correlazioni applicabili in fase di
progetto. Per lo studio di geometrie complicate si utilizzano
perlopiù correlazioni empiriche, che tuttavia hanno spesso validità limitata. Nella convezione forzata i coefficienti di scambio sono fortemente influenzati dalle caratteristiche del flusso, che a loro volta dipendono da svariati fattori, quali l’intensità della turbolenza, le condizioni di ingresso e le condizioni
presso la parete. Anche in questo caso si fa pertanto largo uso
dei metodi dell’analisi dimensionale.
Per lo studio del problema dello scambio di calore verso o
da fluidi che scorrono all’interno di tubi cilindrici, si distinguono tre regimi di moto, a seconda del valore assunto dal
numero di Reynolds:
[41]
N Re =
rvD
µ
dove v è la velocità lineare del fluido all’interno del tubo e D
è il diametro del tubo stesso. Le proprietà del fluido vengono
valutate nel cuore della fase fluida. Se NRe⬍2.100 il regime di
moto è laminare: la velocità delle particelle di fluido si mantiene parallela alle pareti del tubo e assume un profilo parabolico, nulla alle pareti e massima in corrispondenza dell’asse del tubo. Quando NRe⬎10.000 il regime di moto è turbolento e corrisponde a una situazione in cui è presente anche la
componente trasversale della velocità. Mentre nel regime laminare il moto del fluido si mantiene ordinato e le sue particelle
si muovono senza rimescolamenti lungo linee di corrente facilmente individuabili, nel regime turbolento esso è caratterizzato da moti caotici (vortici) che provocano rimescolamento. La
presenza di fluttuazioni provocate dall’irregolarità del moto
potenzia il trasferimento di quantità di moto e di energia nella
direzione normale alle pareti del tubo, e ciò provoca un aumento dei coefficienti di scambio termico. Per 2.100⬍NRe⬍10.000
si ha il cosiddetto regime di transizione, in cui i due moti laminare e turbolento sussistono contemporaneamente in modo
instabile e la situazione non è chiaramente determinata.
In letteratura sono state sviluppate svariate soluzioni teoriche, per varie geometrie e condizioni al contorno, relative al
problema del trasferimento di calore per un fluido che scorre
in un tubo in regime laminare, ipotizzando che esso sia in gran
parte dovuto alla conduzione. Tuttavia queste soluzioni perlopiù trascurano i fenomeni di convezione naturale, che nella
pratica assumono spesso un’importanza rilevante; è quindi consigliabile fare invece ricorso a relazioni empiriche ricavate sperimentalmente. L’analisi dimensionale suggerisce di correlare
i dati in termini di numero di Nusselt, NNu, oppure in termini
307
ASPETTI PROCESSISTICI
di numero di Graetz:
[42]
N Gz = N Re N Pr
D
L
mentre gli effetti della convezione naturale sono condensati
nel numero di Grashof, NGr.
Per tubi circolari orizzontali, con NGr⬍100, la correlazione raccomandata è quella di Hausen (1943):
[43]
N Nu
µ 
b
= 3, 66 +

2/3 
1 + 0, 047( N Gz )  µ w 
0 ,14
0, 085 N Gz
nella quale si tiene approssimativamente conto della variazione delle proprietà del fluido attraverso il fattore adimensionale (mb Ⲑmw), dove mb è la viscosità alla temperatura media del
fluido (alla quale sono valutate anche cp, r e k), mentre mw è la
viscosità alla temperatura della parete.
Se NGr⬎100 l’equazione consigliata, per DT e diametri
piccoli, è quella di Sieder e Tate (1936):
0 ,14
µ 
N Nu = 1, 86( N Gz )1 3  b 
 µw 
Un’espressione più generale, valida per tutti i diametri e
tutti i DT, si ottiene inserendo un fattore 0,87[1⫹0,015(NGr)1Ⲑ3]
nel secondo membro della [44]. Per i tubi verticali, invece, è
consigliabile usare i grafici derivati da Pigford (1955).
Il flusso attorno a un corpo immerso in un fluido è detto
laminare se lo strato limite è laminare su tutto il corpo, anche
se il flusso della corrente principale è turbolento. In questo
caso vale la correlazione generale:
[44]
[45]
tutte le regioni di moto, riportando (hⲐcpG)b(cp mⲐk)b2Ⲑ3(mw Ⲑmb)0,14
in ordinata e (NRe)b in ascissa; G è la velocità di massa, pari
a rv. L’equazione [49] è qui rappresentata da una serie di
curve che corrispondono a vari valori del rapporto (L/D) e
che terminano in corrispondenza di NRe⫽2.100. Le porzioni di curve corrispondenti al regime di transizione sono tracciate a mano, in modo tale che esse partano da questi punti
terminali e vadano poi a raccordarsi tangenzialmente con la
curva che corrisponde al regime turbolento. Questo diagramma viene largamente applicato, anche se presenta le
seguenti limitazioni:
• in regime laminare, esso sottostima il coefficiente di trasferimento quando il DT è piuttosto elevato e le correnti di
convezione naturali disturbano il profilo di velocità;
• in regime laminare, esso sottostima il coefficiente di trasferimento quando il DT è tanto elevato da far sì che la
temperatura del film superi leggermente il punto di ebollizione del fluido, provocando la formazione di bolle di
vapore sulla superficie del tubo. Se la temperatura della
massa fluida è al di sotto del punto di ebollizione queste
bolle condensano, ma la loro presenza provoca turbolenza
che aumenta il valore del coefficiente di trasferimento;
• in regime turbolento, quando 10⬍LⲐD⬍400, gli effetti di
ingresso diventano rilevanti e una correlazione più adeguata è:
[51]
•
( ) (N )
m
N Nu = Cr N Re
13
Pr
nella quale i valori di Cr e m dipendono dalla geometria del
corpo e dal suo orientamento rispetto al flusso principale.
Per predire lo scambio termico per un fluido che scorre
con moto turbolento in un tubo sono state proposte svariate
correlazioni. L’uso dell’analisi dimensionale permette di ricavare la seguente relazione:
( ) (N )
N Nu = A N Re
Pr
dove e e f sono coefficienti empirici e devono essere ricavati
sperimentalmente.
La formula di Sieder e Tate per moto turbolento è:
0 ,14
 µb 
N Pr
[47] N Nu = 0, 023 N Re
µ 
 w
dove, analogamente a quanto fatto nel caso del moto laminare, è stato introdotto il coefficiente adimensionale (mb Ⲑmw).
Se si introduce il numero di Stanton, NSt , definito come:
( ) ( )
0 ,8
nel caso di regime laminare, e
0 ,14
2 3 µ 
−0 ,2
N St N Pr  b  = 0, 023 N Re
[50]
 µw 
nel caso di regime turbolento.
Si può quindi tracciare un diagramma in scala logaritmica
(fig. 3) da cui è possibile derivare i coefficienti liminari per
( )
308
[52]
(
N Nu = 4, 82 + 0, 0185 N Re N Pr
( )
)
0 ,827
Tutte le formule fin qui riportate si riferiscono a condotti
cilindrici ma possono facilmente essere estese a condotti di
sezione non circolare, sostituendo al diametro D il diametro
equivalente Deq, definito dal rapporto:
0 ,33
N Nu
h
N St =
=
[48]
N Pr N Re c p v r
le due formule di Sieder e Tate si possono anche scrivere
0 ,14
13
2 3 µ 
−2 3
 D
N St ( N Pr )  b  = 1, 86   ( N Re )
[49]
 L
 µw 
−0 ,054
se il fluido è un metallo liquido, NPr assume valori bassi
rispetto a quelli degli altri fluidi; la resistenza al trasporto
di calore dovuta al film in parete è bassa, a causa dell’elevata conduttività termica e quindi l’esponente 1/3 per NPr
non fornisce una stima corretta del coefficiente di trasferimento termico. Sulla base di calcoli teorici e dati sperimentali (Rohsenow e Hartnett, 1973) è consigliato l’uso
della seguente correlazione:
f
[53]
0,14
(h/cpG)b⭈(cpm/k)2/3
b ⭈(mw/mb)
[46]
e
 L
N Nu = 0, 036( N Re )0,8 ( N Pr )1 3  
 D
Deq =
4A
P
0,05
0,01
L/D⫽50
L/D⫽100
L/D⫽200
L/D⫽400
0,001
0,0005
102
103
104
105
106
107
(NRe)b
fig. 3. Valutazione del coefficiente di trasferimento
per il problema di convezione forzata nel caso di un fluido
che scorre in un tubo.
ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI
SCAMBIO TERMICO
tab. 3. Valori di D da usare nell’equazione [54] in funzione del numero di strati di tubi
Numero
di strati
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
e oltre
D
0,7
0,72
0,83
0,87
0,92
0,94
0,96
0,97
0,99
1
[54]
 hDe 
 Dumax r 
 k  = 0, 33∆  µ 




0 ,6
 cp µ 


 k 
0 ,33
In questo caso le proprietà del fluido vengono stimate alla
temperatura del film superficiale, calcolata come la media aritmetica di Tb e Tw; De è il diametro dei tubi e umax è la velocità
del fluido attraverso l’area libera minima tra file di tubi; infine il valore di D dipende dal numero di strati di tubi come riportato in tab. 3.
Esistono anche dei grafici utilizzati per produrre stime iniziali dei coefficienti di scambio per liquidi e gas impiegati in
operazioni di riscaldamento e raffreddamento a un’unica fase,
all’interno di tubi, oppure all’esterno di strati di tubi. I valori
forniti da questi grafici vanno però poi verificati con calcoli
più dettagliati, che tengano debitamente conto della velocità
del fluido, della differenza di temperatura e della geometria
dell’apparecchiatura.
6.1.4 Condensazione
I fenomeni di scambio che avvengono in un fluido che subisce un cambiamento di fase richiedono un trattamento specifico. Il cambiamento di fase di un vapore saturo nel suo
stato liquido viene detto condensazione. Il trasferimento di
calore associato con la condensazione è solitamente classificato come convettivo, ma spesso anche la conduzione fornisce contributi non trascurabili. Il trasporto di calore da un
vapore condensante è un fenomeno che si incontra molto
spesso nelle applicazioni pratiche dell’industria chimica. I
riscaldatori a vapore e i condensatori di testa delle colonne
di distillazione sono soltanto gli esempi più noti. È possibile distinguere due tipi di condensazione: quella a film e quella a gocce. Nel primo caso il vapore che condensa forma sulla
superficie solida un film di liquido che fluisce verso il basso,
bagnandola completamente. Il fluido condensante, quando
ha una scarsa adesione alla superficie, forma gocce che non
la bagnano interamente, lasciandone una sostanziale porzione in contatto diretto con il vapore. La condensazione a gocce
dà delle velocità di scambio molto più alte (da 6 a 18 volte)
di quelle offerte dalla condensazione a film. Il film liquido
infatti fornisce delle resistenze al trasporto di calore più elevate. Tuttavia, poiché la condensazione a gocce è molto instabile, essa viene impiegata raramente, anche se può essere
facilitata in linea di principio introducendo particolari sostanze nel vapore, e nei calcoli di progetto dell’apparecchiatura
si assume spesso che la condensazione abbia luogo con un
meccanismo a film.
VOLUME V / STRUMENTI
Nello sviluppo delle formule di calcolo del coefficiente di
trasferimento termico per la condensazione su una parete verticale si ipotizza che il film di liquido che si deposita fluisca
verso il basso con moto laminare, costituendo quindi la maggiore resistenza al flusso del calore liberato dal vapore condensante, e che lo spessore del film sia una funzione della lunghezza del flusso, da calcolare utilizzando leggi idrodinamiche appropriate. Nusselt (1916), integrando sull’intera lunghezza
del flusso, ricavò la seguente espressione per il calcolo di h:
 µ2 
h 3 2 
 k r g
−1 3
13
 4Γ 
= 1, 47 
[55]
 µ 
Il rapporto 4GⲐm rappresenta il numero di Reynolds applicabile a questo tipo di flusso. Per pareti verticali G è definito
come il flusso di condensato per unità di perimetro bagnato
(per i tubi) o larghezza bagnata (per i piatti).
Per i tubi:
[56]
Γ = WF N t π D
dove Nt rappresenta il numero di tubi e WF è il flusso nel film,
valutato sul fondo del tubo dove è massimo. Tuttavia è stato
dimostrato sperimentalmente che la [55] sottostima h, ed è
quindi preferibile utilizzare un coefficiente pari a 1,85 invece
di 1,47 (McAdams, 1954). Questa discrepanza è probabilmente
dovuta al fatto che delle discontinuità della superficie di scambio, oppure delle sollecitazioni esercitate dal vapore all’interfaccia vapore-film, o altri tipi di disturbo, possono creare turbolenze nel film.
Le correlazioni riportate tuttavia trascurano l’influenza del
numero di Prandtl, che viceversa può essere rilevante, ed è per
questo motivo che Dukler (1959) propose un approccio migliorativo della classica teoria di Nusselt, ottenendo come risultato il grafico mostrato in fig. 4, che correla gli effetti del numero di Prandtl e del numero di Reynolds sul coefficiente di
1,0
NPr⫽cpm/k
10
5
2
h[ m 2 /k 3 r 2 g] 1/3
dove A indica l’area della sezione del condotto e P il perimetro bagnato, ossia il perimetro che il liquido tocca all’interno
del condotto.
Talvolta i fluidi vengono riscaldati facendoli passare ortogonalmente a uno strato di tubi e il calcolo di h può essere condotto utilizzando la formula proposta da McAdams (1954):
1
0,5
0,1
0,1
Dukler
Nusselt
0,01
0
1.000
10.000
100.000
NRe, 4G/m
fig. 4. Valutazione del coefficiente di trasferimento
per la condensazione a film di un vapore puro
su una parete verticale, calcolato con la teoria di Nusselt
e con la teoria di Dukler.
309
ASPETTI PROCESSISTICI
tab. 4. Valori del fattore Fpl al variare della disposizione
geometrica dei tubi
Fpl
Disposizione dei tubi
Triangolare
2,10
Triangolare ruotata
1,21
A quadrato
1,05
A quadrato ruotato
1,49
trasferimento. È interessante osservare come esso non evidenzi
un ben determinato numero di Reynolds di transizione. Si nota
altresì che le deviazioni dai risultati della teoria di Nusselt diminuiscono al diminuire del numero di Reynolds terminale. Inoltre, quando NPr⬍0,4 si ricavano dei valori di h inferiori a quelli che si calcolano con la teoria di Nusselt.
Per quanto riguarda invece la condensazione su un singolo tubo orizzontale, la teoria di Nusselt permette di derivare la
seguente correlazione:
 µ2 
h 3 2 
[57]
 k r g
In questo caso è:
 4Γ 
= 1, 51
 µ 
−1 3
Γ = WF L
Quando si tratta il problema di un insieme di tubi in cui il
fluido gocciola dai tubi superiori sulle file più in basso, provocando un aumento dello spessore via via che si va verso il
basso, pur mantenendo il flusso laminare, è necessario ridefinire G. In questo caso il flusso totale condensato deve essere
diviso per il numero di file verticali di tubi Nvtr su cui gocciola il condensato:
[59]
Γ = W N vtr L
Se i tubi sono circolari, il valore di Nvtr si può stimare come:
[60]
N vtr = Fp 1 ( N t )0,5
Il valore del fattore Fp1 dipende dalla sistemazione geometrica dei tubi (tab. 4). In realtà il gocciolamento del condensato da fila a fila provoca l’insorgere di una certa turbolenza, e la
[57] pertanto sottostima h. Per questo motivo spesso al secondo membro si utilizza un fattore 1,85, oppure la correlazione
di Dukler (v. ancora fig. 4), sebbene questa sia stata originariamente sviluppata per pareti verticali. Quando i numeri di
Reynolds per i film cadono nel campo turbolento si usano, in
assenza di correlazioni specifiche, l’equazione [57] o la fig. 4.
6.1.5 Ebollizione
Il cambiamento di fase di un liquido saturo al suo stato di vapore viene comunemente denominato ebollizione o vaporizzazione. L’ebollizione viene spesso utilizzata per trasferire calore nei processi chimici. Per esempio, il calore necessario a eseguire una distillazione viene perlopiù fornito mediante un
ribollitore. Lo scambio termico che ha luogo durante l’ebollizione viene classificato come convettivo, poiché le bolle provocano lo sviluppo di una consistente turbolenza, ma in generale vari meccanismi portano il loro contributo. Per esempio la
vaporizzazione può avvenire per effetto dell’assorbimento del
310
60
coefficiente di trasferimento (kW/m2⭈K)
[58]
13
calore, per radiazione e convezione, alla superficie di una massa
di liquido, oppure per effetto dell’assorbimento di calore per
convezione naturale da una parete calda che si trovi al di sotto
della superficie libera del liquido e, in quest’ultimo caso, la
vaporizzazione avviene quando il liquido soprassaturo raggiunge
la superficie libera. La vaporizzazione può aver luogo anche da
film in caduta (e in questo caso il processo è l’inverso della condensazione descritta in precedenza), o per espansione di liquidi surriscaldati via convezione forzata sotto pressione.
Quando una massa di liquido saturo viene riscaldata, non
solo la velocità di flusso del calore, ma anche il coefficiente
di trasferimento termico h variano al variare della differenza
tra la temperatura dell’interfaccia fluido-parete Tw e quella del
cuore del liquido Tb. Per acqua a pressione atmosferica, il coefficiente varia lentamente al crescere della differenza di temperatura, se Tw⫺Tb⫽DT⬍5 °C. Molto più rapido è l’aumento
per DT⬎5 °C, finché si verifica un massimo stretto quando la
differenza di temperatura è pari a un valore critico. Ulteriori
aumenti della differenza di temperatura provocano diminuzioni del coefficiente.
La spiegazione è la seguente: quando DT⬍5 °C, il cambio
di fase avviene per evaporazione all’interfaccia vapore-liquido,
ma quando DT ⬎5 °C numerose bolle si formano in corrispondenza della superficie riscaldante, da cui successivamente si staccano. Quest’ultimo meccanismo di trasferimento del
calore si chiama ebollizione nucleata, e produce elevati coefficienti di trasmissione. Quando però DT supera un valore critico DTc, le bolle di vapore tendono a formare uno strato continuo intorno alla superficie, isolandola e peggiorando quindi le
condizioni di scambio termico. Questo meccanismo viene detto
ebollizione a film. L’effetto del DT sul coefficiente di trasferimento per l’acqua a pressione atmosferica è mostrato in fig. 5.
In generale il valore di DTc dipende dalla natura della superficie solida e dal liquido, ma è perlopiù compreso tra 20 e 30 °C.
In corrispondenza della differenza di temperatura critica
si ottiene il massimo flusso di calore. Nella pratica si tende a
operare con valori di DT inferiori a DTc, per evitare di cadere
nelle condizioni di ebollizione a film, in corrispondenza della
40
20
10
8
6
4
2
1
2
4
6
8 10
20
40
60
DT (K)
fig. 5. Coefficiente di trasferimento per acqua
in ebollizione, all’esterno di un singolo tubo orizzontale
sommerso nella massa d’acqua.
ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI
SCAMBIO TERMICO
quale la superficie di scambio termico funziona in condizioni
di scarsa efficienza. Oltretutto, poiché il film di vapore agisce
da isolante, si rischia un surriscaldamento del tubo di metallo
dalla parte calda. Per progettare un ribollitore è quindi molto
importante essere in possesso di una stima del massimo flusso di calore, che dipende in maniera significativa dalla densità
dei vapori generati. Le operazioni a bassa pressione e sotto
vuoto possiedono maggiori potenzialità rispetto alla possibilità di operare in condizioni di ebollizione nucleata. Il massimo flusso di calore per una massa di fluido riscaldata da un
unico tubo orizzontale può essere calcolato sulla base di una
correlazione, espressa in termini di pressione operativa p e di
pressione critica del fluido pc, applicabile alla maggior parte
dei fluidi, inclusi acqua e idrocarburi (Mostinski, 1963):
[61]
( q A)
max
 p
= 367  
 pc 
0 ,35

p
1 − p 

c
0 ,90
pc
dove le pressioni sono espresse in kPa. Secondo la [61] il massimo flusso di calore cresce quando p aumenta partendo da 0,
fino a raggiungere un massimo quando è pari al 28% di pc, per
poi decrescere a zero via via che p si avvicina a pc. La [61] vale
quando il riscaldamento viene impartito da un unico tubo orizzontale, ma quando esso viene fornito da un gruppo di tubi orizzontali il rilascio del vapore dagli elementi riscaldanti è meno
immediato a causa della prossimità dei tubi adiacenti. In generale, aumentando il numero di tubi, e diminuendo la loro distanza, diminuisce (qⲐA)max. In qualche caso (qⲐA)max si riduce addirittura al 10% del valore che si otterrebbe con un singolo tubo.
Il coefficiente di trasferimento termico in condizioni di
ebollizione nucleata si può calcolare utilizzando, tra le altre,
la seguente correlazione (Mostinski, 1963):
10
  p  0,17  p  1,2
  
1,8   + 4   +10  p  
  pc 
 pc 
 pc  


Questa correlazione non tiene conto dell’effetto della natura della superficie riscaldante e può essere considerata accettabile per tubi commerciali, laddove tubi estremamente lisci
offrono un numero inferiore di siti per la nucleazione delle
bolle e quindi forniscono valori del coefficiente di trasferimento inferiori. La turbolenza creata dall’ebollizione in gruppi di tubi orizzontali può dare valori del coefficiente che sono
almeno il doppio di quelli ottenuti per un singolo tubo.
Un’espressione è stata proposta anche per il coefficiente
di trasferimento in condizioni di ebollizione a film:
[62]
[63]
 q
h = 0, 00441 pc0,69  
 A
(
0 ,7
Siano Tc e Th, rispettivamente, la temperatura del fluido
freddo e quella del fluido caldo, Tci e Tco le temperature in
ingresso e in uscita del fluido freddo e Thi e Tho le temperature in ingresso e in uscita del fluido caldo. In equicorrente, la
temperatura del fluido freddo in uscita non può mai superare
la temperatura di uscita del fluido caldo (Tho⬎Tco). Tanto più
elevata è la superficie di scambio termico, quanto più Tco si
avvicina a Tho. In controcorrente si può verificare che Tco⬎Tho,
perché qui si verifica un maggior recupero termico. Mentre il
salto di temperatura per lo scambio in controcorrente non subisce grosse variazioni, per quello in equicorrente, esso varia da
un massimo nella sezione di ingresso fino a un minimo nella
sezione di uscita (fig. 6).
Il trasferimento di calore tra due fluidi separati da una parete piana viene generalmente descritto usando l’equazione:
[64]
q =UA (Th − Tc )
secondo la quale il calore q trasferito nell’unità di tempo dal
fluido caldo al fluido freddo è uguale al prodotto tra un fattore di proporzionalità U, denominato coefficiente globale di trasferimento, l’area della superficie A attraverso cui fluisce il
calore e la differenza tra le temperature dei due fluidi, Th ⫺Tc.
L’equazione [64] si applica solo localmente, o quando le condizioni di scambio si mantengono costanti su tutta l’apparecchiatura, altrimenti deve essere espressa in forma differenziale:
[65]
dq =U (Th − Tc ) dA
Il coefficiente globale di trasferimento tiene conto di una
serie di resistenze al flusso di calore che si presentano in un
sistema di questo tipo e che includono i fluidi stessi (rh e rc), i
depositi dovuti allo sporcamento sul lato caldo e sul lato freddo della parete che separa i fluidi (rhs e rcs), e la stessa parete
solida (rw). Il coefficiente globale di trasferimento si può esprimere come l’inverso della somma delle resistenze in serie:
[66]
U=
L’inverso di ciascuna di queste resistenze si chiama conduttanza e si indica con h. Le conduttanze dei due fluidi, hh e
hc, sono i coefficienti di scambio liminare. Il flusso di calore
(q/A) attraverso ognuna delle singole resistenze è il medesimo;
il salto di temperatura attraverso ciascuna resistenza è inversamente proporzionale al valore di h:
[67]
∆Th =
)
 kv3 rl − rv rv g 

h = 0, 620 
 µv Do ∆T 
1
rh + rhs + rw + rcs + rc
q
q 1
r =
A h A hh
T
Thi
T
Thi
Tho
6.1.6 Scambiatori di calore
Nella maggior parte dei dispositivi industriali per la trasmissione del calore, quest’ultimo viene trasferito da un fluido caldo
a uno freddo attraverso una superficie solida. Il dispositivo più
semplice usato a questo scopo è lo scambiatore a doppio tubo
(o a fluidi coassiali), in cui uno dei fluidi percorre il condotto
esterno, mentre l’altro passa nel tubo interno. Per gli scambiatori a doppio tubo sono possibili due precise modalità di
scambio, definite in controcorrente quando i due flussi procedono in versi opposti, o in equicorrente quando i due flussi procedono nello stesso verso.
VOLUME V / STRUMENTI
Tho
Tco
Tco
Tc
Tci
Tci
ingresso
uscita
equicorrente
A
Tc
ingresso
uscita
controcorrente
B
fig. 6. Andamento delle temperature dei due fluidi
per uno scambiatore in equicorrente (A) e per uno scambiatore
in controcorrente (B).
311
ASPETTI PROCESSISTICI
La differenza tra la temperatura del fluido caldo e quella
del fluido freddo è data dalla somma dei DT per le singole resistenze.
Solitamente la parete solida, di spessore y, è costituita da
un materiale conduttore e la quantità di calore che lo attraversa è data da:
[68]
k
q = A∆Tw
y
Molto spesso rw è trascurabile, sia perché lo spessore della
parete è molto basso, sia perché il valore k della conducibilità
è molto elevato.
Per sporcamento si intende qualunque strato, o deposito,
di materiale estraneo su una superficie che deve scambiare
calore. Questi materiali solitamente hanno una bassa conduttività termica, e quindi manifestano un’elevata resistenza
allo scambio termico. Tali strati si possono creare per effetto della deposizione di sostanze finemente suddivise eventualmente presenti nei fluidi di processo, oppure per cristallizzazione di qualche sostanza la cui solubilità alla temperatura alla quale si trova la parete sia più bassa di quella alla
temperatura del cuore del fluido. La formazione di strati piuttosto spessi e duri di sporcamento alla parete è causata da reazioni di polimerizzazione e talvolta da prodotti di corrosione delle pareti stesse.
Come detto, quando le condizioni di scambio variano lungo
l’apparecchiatura, è necessario usare la [65]. Un’espressione
del flusso di calore in funzione delle temperature di ingresso
e uscita del fluido caldo (Thi e Tho) e del fluido freddo (Tci e
Tco) può essere ricavata con le seguenti ipotesi: a) il coefficiente di trasferimento globale U è costante su tutta l’apparecchiatura; b) lo scambiatore opera in condizioni stazionarie; c) il calore specifico dei due fluidi è costante per tutta la
lunghezza dello scambiatore; d ) non si verificano cambiamenti di stato nel sistema; e) le dispersioni di calore sono trascurabili.
In particolare, se i flussi dei fluidi avvengono in controcorrente si ricava:
[69]
q = UA
(T
hi
) (
− Tco − Tho − Tci
T −T
ln hi co
Tho − Tci
)
La differenza di temperatura efficace, detta differenza di
temperatura media logaritmica, è quindi data da:
[70]
∆Tlm =
(T
hi
) (
− Tco − Tho − Tci
T −T
ln hi co
Tho − Tci
)
Se invece i flussi dei due fluidi avvengono in equicorrente si ricava:
[71]
q = UA
(T
hi
) (
− Tci − Tho − Tco
T −T
ln hi ci
Tho − Tco
)
In questo caso la differenza di temperatura media logaritmica è data da:
[72]
312
∆Tlm =
(T
hi
) (
− Tci − Tho − Tco
T −T
ln hi ci
Tho − Tco
)
Il coefficiente globale di trasferimento U può essere valutato direttamente tramite la [66] solo se l’area di scambio è
costante, come accade nel caso di trasferimenti attraverso pareti piane. Tuttavia la maggior parte delle apparecchiature presenta superfici di scambio tubolari, in cui l’area esterna Ao è
superiore a quella interna Ai. La [66] deve quindi essere modificata in modo da riferire tutte le resistenze alla stessa superficie, in particolare quella utilizzata per definire A. Solitamente,
nel caso di apparecchiature tubolari ci si riferisce alla superficie esterna e il coefficiente globale di trasferimento è quindi
dato da:
1
[73] U =
Ao
A
A
r + o r + o r +r +r
Ai i Ai is Alm w os o
La resistenza della parete metallica del tubo viene moltiplicata per il rapporto tra la superficie esterna e una superficie media, calcolata dal valore medio logaritmico del raggio
del tubo definito nella [10].
Infine bisogna prendere in considerazione il caso in cui U
non sia costante, ma vari con la temperatura dei due fluidi. In
questo caso si ipotizza perlopiù che la dipendenza sia lineare,
del tipo:
[74]
U = α∆T + β
Integrando la [65] si ottiene l’espressione seguente:
[75]
q= A
(
) (
(
)
(T − T )
U c Thi − Tco − U h Tho − Tci
ln
)
U c Thi − Tco
Uh
ho
ci
dove Uc e Uh sono rispettivamente i valori del coefficiente di
trasferimento nel punto più freddo e nel punto più caldo dello
scambiatore.
In pratica gli scambiatori di calore a tubi coassiali sono
raramente utilizzati, perché offrono una superficie di scambio
limitata. Gli scambiatori più largamente impiegati sono quelli
a fascio tubiero, che sono versatili e possono essere impiegati
anche in presenza di cambiamenti di stato (per esempio, condensazioni ed ebollizioni) con pressioni operative che vanno
da valori vicini a condizioni di vuoto a valori dell’ordine di 40
MPa. In pratica gli scambiatori a fascio tubiero sono costituiti da due piastre a cui sono connessi un certo numero di tubi
(fascio tubiero), posti all’interno di un mantello. Con questa
disposizione si riesce a compattare in poco spazio una grande
superficie di scambio. In fig. 7 sono rappresentati due disegni
schematici di scambiatori. Uno dei due fluidi percorre il fascio
dei tubi: nel caso più semplice entrando da una testata e uscendo da quella opposta, nel caso più generale percorrendo parte
dei tubi in un senso e invertendo poi la direzione di flusso e
ripercorrendo altri tubi in senso inverso, per poi tornare a invertire la direzione, e così via, fino a compiere n percorsi entro il
fascio tubero (n passi); lo scambiatore di fig. 7A è a 2 passi,
quello di fig. 7B a 4 passi. L’altro fluido scorre nell’involucro
cilindrico che contiene i tubi e investe i tubi stessi in modo piuttosto complesso. Solitamente, infatti, per migliorare lo scambio termico vengono riposte all’interno dell’involucro delle paratie, che chiudono parzialmente la sezione dell’involucro, lasciandosi attraversare dai tubi: tali paratie sono fissate alternativamente
su lati opposti dell’involucro. Il fluido si muove quindi a zigzag, investendo i tubi in direzione grosso modo perpendicolare nello spazio compreso tra due paratie, e muovendosi invece all’incirca parallelamente ai tubi in corrispondenza delle
ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI
SCAMBIO TERMICO
Le formule tipo la [69], ricavate per sistemi a tubo coassiale, valgono anche per gli scambiatori a fascio tubiero, pur
di introdurre un fattore correttivo Y, in quanto in tali apparecchiature i due flussi non sono né in controcorrente né in equicorrente. Il valore di Y è sempre minore di 1 e dipende dal tipo
di scambiatore e dalle temperature di ingresso e uscita dei due
fluidi. I valori di Y sono stati calcolati (Kern, 1950) per una
serie di flussi di interesse comune, sempre sotto le assunzioni
prima menzionate, che erano state introdotte per ricavare l’equazione [69]. In generale valori di Y minori di 0,8 sono considerati inaccettabili e la corrispondente configurazione dello
scambiatore viene giudicata inefficiente.
Negli scambiatori si tende a mantenere elevate le velocità dei
fluidi in modo da ottenere dei coefficienti di scambio più alti possibile, senza elevare oltre limiti ragionevoli le perdite di carico.
A
B
6.1.7 Irraggiamento
fig. 7. Scambiatori di calore a fascio tubiero:
A, a 2 passi; B, a 4 passi.
finestre. La riduzione di sezione, che provoca un aumento di
velocità, e il fatto che il fluido colpisca frontalmente, almeno
in parte, il fascio tubiero causano un aumento della turbolenza e quindi un miglioramento del coefficiente di trasferimento. Solitamente le aperture delle paratie corrispondono a circa
il 25% della sezione totale dell’involucro.
Il calcolo del coefficiente di trasferimento per il lato del
tubo è immediato, poiché si possono utilizzare i criteri già visti
per il caso di flussi in condotti tubolari (v. ancora fig. 3). Meno
semplice è il calcolo del coefficiente per il fluido che scorre
nell’involucro, dato che il regime di moto in questo caso è piuttosto complesso. Tuttavia sono state proposte alcune correlazioni, come quella di Kern (1950):
0 ,14
 Deq Geq   c p µ   µ 
hde
= 0, 36 
k
 µ   k   µ f 
simile alla [54].
Il diametro equivalente Deq è calcolato dalla [53]. Geq indica una velocità di massa equivalente. In corrispondenza dell’apertura di una paratia, dove il flusso è parallelo ai tubi, si
stima una velocità di massa Gw dal rapporto tra la portata in
massa del fluido e l’area della sezione libera, Sw, che è l’area
totale dell’apertura a cui deve essere sottratta la somma delle
sezioni dei tubi che l’attraversano. D’altra parte nello spazio
compreso tra due paratie, dove il flusso è normale ai tubi, l’area della sezione libera, Ss, può essere approssimativamente
calcolata dall’espressione yLxpDs ⲐyT , dove Ds è il diametro dell’involucro, yT è la distanza tra gli assi di due tubi vicini e che
si trovano sulla stessa fila orizzontale, yL è la distanza tra due
tubi vicini sulla stessa fila orizzontale (yL⫽yT⫺De) e xp è la
distanza tra due paratie successive. Si noti che Ds ⲐyT rappresenta il valore approssimato del numero dei tubi e quindi anche
del numero degli spazi liberi in corrispondenza del diametro
dell’involucro, mentre il prodotto yLxp fornisce l’area dello spazio libero tra due tubi vicini. Quindi nello spazio tra le paratie
si può stimare una velocità di massa Gs data dal rapporto tra
la portata in massa del fluido e Ss. La velocità di massa equivalente Geq, introdotta nella [76], si può calcolare dalla media
geometrica di Gw e Gs:
0 ,55
[76]
[77]
Geq = GwGs
VOLUME V / STRUMENTI
13
Un corpo riscaldato emette radiazioni elettromagnetiche di
intensità e frequenze dipendenti dalla sua temperatura. Per
esempio, se il filamento di una lampada a incandescenza viene
riscaldato elettricamente, sia la quantità di energia emessa nell’unità di tempo sia la porzione di radiazione visibile emessa
aumentano all’aumentare della temperatura. A una temperatura inferiore a 400 °C la radiazione emessa dalla lampada non
è percepita dall’occhio umano, ma viene avvertita dall’epidermide come calore.
La descrizione quantitativa di questo fenomeno si basa sulla
meccanica quantistica, ma in termini qualitativi esso può essere spiegato osservando come, quando si fornisce energia a un
corpo solido, alcuni degli atomi e delle molecole che lo costituiscono si portino su stati eccitati, tendendo però a tornare
spontaneamente a stati di minore energia. Quando ciò accade
l’energia viene emessa sotto forma di radiazioni elettromagnetiche, che dipendono dalle variazioni subite dagli atomi e dalle
molecole negli stati elettronico, vibrazionale e rotazionale e
quindi sono distribuite su diverse lunghezze d’onda. Il processo inverso, detto assorbimento, ha luogo quando, fornendo dell’energia raggiante a un corpo, se ne provoca il passaggio a uno
stato di energia superiore. Questo è ciò che accade quando l’energia raggiante colpisce una superficie solida.
L’energia raggiante che incide sulla superficie di un corpo
è in parte assorbita, in parte riflessa e in parte trasmessa. Si
può quindi scrivere:
[78]
a + r +τ =1
dove a indica l’assorbività, ovvero la frazione di energia assorbita dal corpo, r è la riflettività, ovvero la frazione riflessa, e t
la trasmittività, ovvero la frazione trasmessa.
Per la maggior parte, i materiali di interesse pratico sono
costituiti da sostanze opache con trasmittività nulla. I corpi che
assorbono tutta l’energia incidente sono detti corpi neri. Nessuna superficie reale si comporta in pratica come un corpo nero.
Il miglior esempio di corpo nero è rappresentato da una cavità
vuota a pareti opache in comunicazione con l’ambiente per
mezzo di un foro di area trascurabile rispetto alla superficie
della cavità. Tutta l’energia raggiante che entra nella cavità vi
rimane intrappolata e il foro si comporta come un corpo nero.
Due corpi di area A1 e A2 contenuti in una cavità isolata
emettono esternamente le energie raggianti A1 e1 e A2 e2, dove
e rappresenta il potere emissivo totale, cioè l’energia emessa
per tempo unitario e superficie unitaria nell’emisfera situata
313
ASPETTI PROCESSISTICI
sopra ciascuna superficie elementare. Si indichi poi con eB l’energia incidente sull’unità di superficie dei due corpi proveniente dalla superficie della cavità, e con a1 e a2 i poteri assorbenti dei due corpi, ovvero il rapporto tra la radiazione assorbita e quella incidente. In condizioni di equilibrio termodinamico
l’energia incidente e assorbita da ciascun corpo deve eguagliare
quella emessa per cui è:
[79]
eB A1α1 = A1e1;
ε=
ei
eB
eλ =
2π hP c λ
−5
h c k λT
dλ =
c1λ
−5
50
40
λmax =
1.540 °C
20
10
1.200 °C
0
0
1
2
3
4
5
l (mm)
c λT
e P B −1
e 2 −1
dove c è la velocità della luce nel vuoto, pari a 2,9979⭈108 m/s,
kB è la costante di Boltzmann, pari a 1,3807⭈10⫺23 J/K, hP è
la costante di Planck pari a 6,6261⭈10⫺34 J⭈s, mentre c1 e c2
sono le cosiddette prima e seconda costante della legge di
Planck che valgono, rispettivamente, 3,7403·10⫺16 J⭈m2/s e
1,4387⭈10⫺2 m⭈K.
In fig. 8 è rappresentata la dipendenza di el dalla lunghezza d’onda per diversi valori della temperatura. Ognuna delle
curve ottenute a una data temperatura presenta un massimo per
una lunghezza d’onda che varia al variare della temperatura
stessa secondo la legge di Wien:
0, 2898
T
dove il valore della costante è espresso in cm·K.
Il potere emissivo totale del corpo nero si ricava da quello specifico attraverso un’integrazione su tutto lo spettro delle
lunghezze d’onda.
Utilizzando l’espressione di el fornita dalla legge di Planck
e calcolando l’integrale, si ottiene la legge di Stefan-Boltzmann: eB⫽c1T 4Ⲑc24⫽sT 4, dove s ha il valore di 5,67·10⫺8
W/(m2⭈K4).
Calcolo dell’energia raggiante trasmessa tra due superfici
Per calcolare l’energia raggiante trasmessa tra due superfici, sarebbe necessario considerare lo scambio di radiazioni
monocromatiche e integrare in tutto lo spettro di lunghezze
314
60
30
2
[83]
2.040 °C
70
In condizioni di equilibrio termico l’emissività di un corpo
eguaglia il suo potere assorbente.
Oltre al potere emissivo totale si definisce anche il potere
emissivo specifico el, che rappresenta l’energia emessa in emispazio per unità di superficie, unità di tempo e in un intervallo di lunghezza d’onda compreso tra l e l⫹dl. Il potere emissivo totale dipende, oltre che dalla temperatura termodinamica T, anche dalla lunghezza d’onda l. Per il corpo nero tale
dipendenza fu trovata da Planck nel 1900 (Planck, 1923):
[82]
80
e1 e2
= =e
α1 α 2 B
Questa relazione stabilisce che in condizioni di equilibrio
il rapporto tra il potere assorbente e il potere emissivo è uguale per tutti i corpi (legge di Kirchhoff). Per un corpo nero a⫽1,
quindi e⫽eB. Il potere emissivo del corpo nero dipende esclusivamente dalla temperatura.
Il rapporto tra il potere emissivo di una superficie generica e quello del corpo nero è detto emissività della superficie e
viene indicato come:
[81]
90
eB A 2α 2 = A 2 e2
ovvero:
[80]
100
el (u.a.)
fig. 8. Dipendenza del potere emissivo specifico
dalla lunghezza d’onda per diversi valori della temperatura.
d’onda. Per semplicità però si preferisce calcolare l’energia
che i due corpi scambierebbero se fossero neri, usando la legge
di Stefan, e moltiplicare il risultato ottenuto per l’emissività
della superficie in gioco. In generale le emissività dei corpi
sono funzioni della temperatura e della natura delle superfici.
Superfici metalliche a bassa temperatura possono raggiungere valori dell’emissività intorno a 0,05, che ad alte temperature crescono fino a 0,70. L’emissività di una superficie metallica ossidata può variare tra 0,65 e 0,95, a seconda della temperatura della superficie stessa. Mattoni, vetro, marmo e carta
hanno emissività generalmente maggiori di 0,90.
L’assorbività di una superficie dipende, oltre che dalla natura della superficie e dalla sua temperatura, anche dalla distribuzione spettrale della radiazione incidente. Se il corpo che
riceve la radiazione assorbe tutte le lunghezze d’onda con uguale assorbività, esso è chiamato grigio e la sua assorbività è indipendente dalla distribuzione energetica della radiazione incidente. In tal caso l’assorbività a è uguale all’emissività del
corpo nero alla sua temperatura.
A questo punto è possibile calcolare la trasmissione di energia raggiante tra due superfici di solidi separati da un mezzo
non assorbente. Se si tratta di due superfici parallele a estensione infinita, grigie, con emissività e1 ed e2 a temperatura
T1 e T2, il corpo 1 emette, per unità di tempo e di superficie,
ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI
SCAMBIO TERMICO
l’energia raggiante e1⫽e1sT14, della quale la frazione e2 è assorbita dal corpo 2 e la frazione (1⫺e2) è riflessa nuovamente.
Questa a sua volta sarà in parte assorbita e in parte riflessa, e
così via.
Si dimostra che l’energia assorbita dalla superficie 2, per
unità di superficie emittente, è data da:
q1→ 2
σ T14
=
1 1
A
+ −1
ε1 ε 2
e analogamente:
[91]
[84]
q2→1
σ T24
=
1 1
A
+ −1
ε1 ε 2
Quindi l’energia complessivamente trasmessa da 1 a 2 è:
[85]
[86]
)
q
1
= σ (T14 − T24
A1
1 1
+ −1
ε1 ε2
Se le due superfici sono nere, essendo e1⫽e2⫽1, la [86]
diventa:
[87]
q
= σ (T14 − T24
A1
)
Se invece le due superfici non sono parallele e hanno estensione finita, è necessario introdurre un fattore geometrico F12,
detto fattore di vista, definito come la frazione dell’energia
emessa dalla superficie A1 in tutte le direzioni che viene intercettata dalla superficie A2.
Per cui è:
[88]
A1F12 = A 2 F21
In presenza di diverse superfici che complessivamente ricevono tutta l’energia raggiante emessa da un’unica superficie
A1 è valida la seguente relazione:
[89]
F11 + F12 + F13 + F14 + ... = 1
Se A1 non vede nessuna parte di sé stessa, F11⫽0. I valori
dei fattori geometrici che intervengono nella soluzione dei problemi più comuni sono stati calcolati e riportati in diagrammi.
Il calcolo pratico dei fattori di vista è comunque spesso piuttosto complicato. I diagrammi ricavati da Hottel (1950, 1954)
permettono di derivare i fattori di vista nel caso dell’irraggiamento diretto tra due rettangoli adiacenti, disposti in piani perpendicolari, e nel caso dell’irraggiamento diretto tra forme
identiche opposte in piani paralleli. Quando le due superfici
parallele raggianti sono connesse da una superficie riflettente,
l’energia non viene scambiata solo direttamente tra le due superfici, ma in parte anche per riflessione attraverso la superficie
riflettente. In questo caso la quantità di calore scambiato si
potrà quindi esprimere tramite la formula:
)
)
q = σ F12 A 1(T14 − T24 = σ F21 A 2(T14 − T24
_
dove i valori del fattore geometrico F risultano sempre superiori a quelli di F in quanto la presenza di una superficie riflettente tra due superfici parallele aumenta la quantità di calore
scambiato nell’unità di tempo.
Se si considera una cavità chiusa, come l’interno di una
fornace, essa può essere suddivisa in un certo numero di superfici radianti A1, A2, …, mentre il resto della cavità può essere
considerato come un’unica superficie riflettente AR a temperatura uniforme TR.
[90]
VOLUME V / STRUMENTI
Se esistono due superfici radianti A1 e A2, indicando con
F12 il loro fattore geometrico, F1R quello fra la prima superficie e la superficie riflettente, FR2 quello fra la superficie riflettente e la seconda superficie e infine FRR quello della superficie riflettente con sé stessa (se la superficie è piana FRR⫽0) si
può dimostrare che:
F12 = F12 +
F1R FR 2
1 − FRR
infatti la frazione F12 dell’energia emessa dalla A1 è direttamente assorbita dalla A2, e quest’ultima riceve anche la frazione FR2 Ⲑ(1⫺FRR) della radiazione inizialmente incidente su AR.
Le considerazioni svolte sopra sono valide, purché si ammetta che le superfici radianti in gioco siano nere. Un calcolo esatto del calore trasmesso tra due superfici non nere risulta però
troppo complesso, e viene quindi semplificato assumendo che
le superfici siano grigie. Se si considerano in una cavità due
superfici raggianti A1 e A2 con emissività e1 ed e2, si può dimostrare che il calore scambiato, dovuto al meccanismo combinato di radiazione diretta, superficie riflettente e riflessione multipla all’interno della cavità, si può esprimere con la formula:
[92]
(
)
(
q = σ A1Φ12 T14 − T24 = σ A2Φ 21 T14 − T24
)
dove il fattore F12 è dato da:
1
[93] Φ12 =
 A  1

1 1
+
−1 + 1
− 1
F12  ε1  A2  ε 2

L’equazione [92], che è la più generale tra quelle presentate sopra per descrivere lo scambio termico, può essere utilizzata per derivare un coefficiente di trasferimento termico.
Essa infatti può essere riscritta nella forma:
T 4 − T24
T −T
q = σ A1Φ12 1
[94]
T1 − T2 1 2
(
)
dalla quale si ottiene la seguente espressione per il coefficiente di trasferimento:
[95]
h = σΦ12
T14 − T24
T1 − T2
Irraggiamento dei gas
Nello studio dell’irraggiamento di superfici solide si può
assumere con buona approssimazione che i corpi in esame
siano grigi, ovvero che l’emissività o l’assorbività siano indipendenti dalla frequenza della radiazione. Nello studio dell’irraggiamento dei gas è invece necessario tener conto di tale
dipendenza. Infatti, se la radiazione di un corpo nero passa
attraverso una massa di gas, l’assorbimento ha luogo solo in
alcuni intervalli di frequenza dello spettro infrarosso. Analogamente, se il gas è riscaldato irradia energia nello stesso intervallo di frequenza. Tali frequenze infrarosse sono prodotte dalle
transizioni delle molecole fra i livelli quantici rotazionali e
vibrazionali.
In pratica, fra i gas contenuti nei prodotti di combustione,
mono- e biossido di carbonio, vapor d’acqua, biossido di zolfo,
cloruro di idrogeno e idrocarburi posseggono un apprezzabile
valore dell’emissività. Viceversa, i gas aventi molecole biatomiche simmetriche quali l’azoto, l’ossigeno e l’idrogeno non
hanno un’emissività significativa. L’emissività e l’assorbività
di una miscela gassosa dipendono dai suoi componenti radianti e sono proporzionali alla loro concentrazione e allo spessore medio L della massa gassosa.
315
ASPETTI PROCESSISTICI
I valori dell’emissività dei gas più importanti dipendono
dalla temperatura, dalla loro pressione parziale e dallo spessore L della massa gassosa che, a sua volta, può essere calcolato mediante la formula:
[96]
 V
L = 0, 85  4 
 S
dove V è il volume del gas e S è la superficie totale.
L’emissività totale, o assorbività, di una miscela di gas è
minore della somma di quelle dei componenti puri. Se, per
esempio, si considera una miscela di CO2 e H2O, si ha:
[97]
ε g = ε CO + ε H O − C
2
2
dove eg è l’emissività del gas a una data temperatura, eCO2 è
l’emissività del CO2 alla stessa temperatura, eH2O è l’emissività dell’acqua, C è un termine correttivo che dipende da eCO2
e da eH2O.
Forni
Una delle applicazioni industriali più importanti del trasferimento di calore via irraggiamento è rappresentata dai forni,
che sono largamente impiegati nelle raffinerie petrolifere, per
la distillazione del greggio a pressione atmosferica e sotto vuoto,
nel cracking termico e in molte operazioni di servizio. I forni
sono apparecchiature in cui la maggior parte del calore totale
viene trasferita mediante irraggiamento diretto da una fiamma
verso superfici in grado di assorbire calore. Queste superfici,
dato che la radiazione procede essenzialmente in linea retta,
devono essere in grado di vedere la sorgente che emette la radiazione. Abitualmente, nei forni industriali i corpi che ricevono
il calore sono dei tubi all’interno dei quali è contenuto il fluido che deve essere riscaldato, e che a loro volta sono contenuti in pareti costituite da un materiale a elevata riflettività: non
è quindi facile determinare per via teorica i percorsi coperti
dalle radiazioni, e la velocità di scambio termico.
Generalmente per i forni il flusso di calore si può esprimere con la formula:
[98]
q ⫽ ℑsA⬘(T14 ⫺T24)
dove T1 è la temperatura della sorgente, T2 è la temperatura dei
tubi, A⬘ è una superficie efficace dei tubi e ℑ è un fattore adimensionale di scambio.
Nella maggior parte dei forni i tubi sono collocati in una
o due file, immediatamente davanti alle pareti. Parte della radiazione colpisce direttamente i tubi, che la assorbono, mentre la
porzione rimanente colpisce le pareti, che in parte la riflettono e in parte la disperdono nell’atmosfera. È possibile stimare una superficie piana efficace, Acp, a cui viene attribuita emissività unitaria, per sostituire nei calcoli di progetto la superficie totale dei tubi, moltiplicando il numero dei tubi per la loro
lunghezza esposta alla radiazione e per la distanza tra i loro
centri. Poiché l’insieme dei tubi non assorbe però tutta l’energia emessa dalla fiamma, è necessario calcolare anche un fattore di efficienza di assorbimento a. Un metodo di calcolo per
a fu sviluppato da Hottel (1931). Il valore del fattore di scambio ℑ dipende soprattutto dall’emissività dei gas prodotti nella
combustione e dalla radiazione riflessa dalle pareti. Parametri
importanti, sulla base di quanto discusso poco sopra, sono quindi la concentrazione di CO2 e H2O, la temperatura del gas e lo
spessore della massa gassosa. Poiché la gran parte dell’energia che colpisce le pareti viene riflessa nella direzione dei tubi,
i forni che hanno ampie parti di pareti esposte alla radiazione
sono in grado di trasferire per radiazione più calore per unità
316
di superficie, di quelli in cui le pareti siano molto schermate
dai tubi.
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liquids in tubes, «Journal of Industrial and Engineering Chemistry»,
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Elenco dei simboli
A
a
Ae
Aeq
Ai
c
area della sezione del corpo normale alla direzione di
flusso del calore; sezione di un tubo
assorbività di un corpo
superficie esterna di uno strato sferico
superficie equivalente per problemi di scambio
termico attraverso un cilindro cavo, o uno strato
sferico
superficie interna di uno strato sferico
velocità della luce nel vuoto
ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI
SCAMBIO TERMICO
cp
D
Deq
Ds
e
el
Fi, j
Fp1
g
G
h
hT
k
kB
L
l
NGr
NGz
NNu
NPr
NRe
NSt
Nt
Nvtr
p
pc
q
q⬘
r
R
r
rc
rcs
Re
rh
rhs
Ri
Rlm
Rm
calore specifico a pressione costante
diametro di un tubo
diametro equivalente di un tubo
diametro dell’involucro cilindrico di uno scambiatore
potere emissivo totale di un corpo
potere emissivo specifico di un corpo
fattori di vista
parametro dell’equazione [60]
accelerazione di gravità
velocità di massa di un fluido in uno scambiatore
coefficiente di trasferimento di calore
coefficiente globale di trasferimento di calore tra
l’ambiente e la superficie di un corpo, in un problema
di conduzione non stazionaria
conducibilità termica
costante di Boltzmann
lunghezza di un cilindro o di un tubo; spessore di una
massa gassosa
dimensione caratteristica del sistema, in problemi di
conduzione naturale
numero di Grashof
numero di Graetz
numero di Nusselt
numero di Prandtl
numero di Reynolds
numero di Stanton
numero dei tubi
numero di file verticali di tubi su cui gocciola il
condensato
pressione
pressione critica di un fluido
calore scambiato per unità di tempo
velocità di generazione del calore
resistenza termica di una parete
distanza che intercorre, in un problema di conduzione
non stazionaria, nella direzione in cui viene trasmesso
il calore, dal punto o dal piano a metà del corpo al
punto in esame
riflettività di un corpo
resistenza allo scambio di calore offerta dal fluido
freddo, in uno scambiatore
resistenza allo scambio di calore offerta dallo
sporcamento sul lato del fluido freddo, in uno
scambiatore.
raggio esterno di un cilindro cavo, o di uno strato
sferico
resistenza allo scambio di calore offerta dal fluido
caldo, in uno scambiatore
resistenza allo scambio di calore offerta dallo
sporcamento sul lato del fluido caldo, in uno
scambiatore.
raggio interno di un cilindro cavo, o di uno strato
sferico
raggio medio logaritmico
in problemi di conduzione non stazionaria: raggio
della sfera o del cilindro, oppure metà dello spessore
della lastra scaldata da entrambi i lati, oppure
spessore della lastra scaldata da un lato e
perfettamente isolata dall’altro
VOLUME V / STRUMENTI
rw
Ss
Sw
T
t
T⬘
T0
Tb
Tc
Tci
Tco
Te
Th
Thi
Tho
Ti
Tn
Ts
U
umax
V
v
WF
xp
Y
Y
yT
resistenza allo scambio di calore offerta dalla parete,
in uno scambiatore
area della sezione libera nello spazio compreso tra
due paratie, in uno scambiatore
area della sezione libera nell’involucro di uno
scambiatore
temperatura termodinamica
tempo
temperatura dell’ambiente
temperatura iniziale di un corpo, in un problema di
conduzione non stazionaria
temperatura nel cuore di un fluido
temperatura del fluido freddo, in uno scambiatore
temperatura di ingresso del fluido freddo, in uno
scambiatore
temperatura di uscita del fluido freddo, in uno
scambiatore
temperatura della faccia esterna di un cilindro cavo, o
della superficie esterna di uno strato sferico
temperatura del fluido caldo, in uno scambiatore
temperatura di ingresso del fluido caldo, in uno
scambiatore
temperatura di uscita del fluido caldo, in uno
scambiatore
temperatura della faccia interna di un cilindro cavo, o
della superficie interna di uno strato sferico
temperatura della superficie di contatto tra due
cilindri, o due sfere, concentrici
temperatura di parete
coefficiente globale di trasferimento
velocità di un fluido attraverso l’area libera minima
tra file di tubi
volume di un corpo
velocità lineare di un fluido all’interno di un tubo
flusso in un film condensante
distanza tra due paratie successive di uno scambiatore
fattore correttivo nel caso in cui i flussi non siano né
in equicorrente né in controcorrente
rapporto adimensionale (eq. [31])
distanza tra gli assi di due tubi vicini di uno
scambiatore
Lettere greche
r
densità
a
diffusività termica
b
coefficiente di espansione termica di un fluido
m
viscosità dinamica di un fluido
viscosità di un fluido alla sua temperatura media
mb
viscosità di un fluido alla temperatura della parete
mw
D
parametro dell’equazione [54]
G
flusso di condensato per unità di perimetro
t
trasmettività di un corpo
e
emissività di una superficie
l
lunghezza d’onda
s
costante di Stefan-Boltzmann
Stefano Carrà
MAPEI
Milano, Italia
317