Algebra vettoriale e Matrici
Rita L. D’Ecclesia
1
1.1
Richiami di Algebra Vettoriale
Spazio Vettoriale
Consideriamo lo spazio Euclideo n−dimensionale, si dice
vettore ad n componenti una n-ple ordinata di numeri
reali
<n = {x = (x1, . . . , xn); xi ∈ <}
Introduciamo tra gli elementi (o vettori) di <n, x ed y ,
le operazioni di somma fra vettori (+) (fig.1.1):
∀x, y ∈ <n, x = (x1, x2, ..., xn) , y = (y1, y2, ..., yn)
x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
e di moltiplicazione per scalari, ∀ scalare α ∈ < , e
∀x ∈ <n (fig.1.2):
αx = (αx1, . . . , αxn)
In particolare:
−x = −1x = (−x1, ..., −x2)
(x − y)
= x + (−y) = (x1 − y1, . . . , xn − yn)
È facile vedere che in <n valgono le usuali proprietà di
addizione e moltiplicazione che valgono in <.
• 1. proprietà commutativa:
∀x, y ∈ <n
x+y =y+x
2. proprietà associativa
∀x ∈ <n, b, c ∈ <
b (cx) = (bc) x
3. esistenza dell’elemento neutro
∀x ∈ <n
x · 1 =x
4. proprietà distributiva del prodotto per uno scalare
rispetto alla somma vettoriale
∀x, y ∈ <n, b ∈ <
³
´
b x + y = bx + by
L’insieme (<n; +, ·) si chiama spazio vettoriale. Un elemento, o vettore, x ∈ <n si può rappresentare anche in
notazione matriciale, come matrice di dimensione n × 1 :



x=

x1
x2
..
xn



,

xT = [x1, x2, . . . , xn]
Definiamo ora un’operazione di moltiplicazione fra vettori
detta prodotto scalare, che può essere vista come una
funzione che agisce su due vettori (ha come dominio il
prodotto cartesiano (<n ×<n) ) e fornisce come risultato
uno scalare, ossia un numero reale:
x · y = y T x = (x, y) =
n
X
xiyi
(1)
i=1
Proprietá del prodotto scalare
• proprietà commutativa:
x·y =y·x
• proprietà distributiva:
(αx1 + βx2) · y = αx1 · y + βx2 · y
V ⊂ <n é un sottospazio vettoriale se V é chiuso rispetto
alle operazioni di somma (+) e moltiplicazione per scalari,
ossia V è un sottospazio vettoriale se
αx1 + βx2 ∈ V
∀x1, x2 ∈ V
e
∀α, β ∈ <
2
Spazio Metrico
Una funzione d : <n × <n → < si dice distanza se
soddisfa le seguenti proprietà
1. d(x, y) ≥ 0;. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
2. d(x, y) = d(y, x)
(simmetria);
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
angolare).
(disuguaglianza tri-
Se lo spazio é normato si puó sempre definire una distanza
associata alla norma :
d(x, y) = kx − yk
(2)
Un esempio é rappresentato dalla distanza euclidea:
v
u n
uX
d(x, y) = t (xi − yi)2
i=1
(3)
proprietà 3 (disuguaglianza triangolare) rappresenta la
proprietà nota dalla geometria che “la misura di un lato
di un triangolo è minore o uguale alla somma delle misure
degli altri due lati”
Curiosità:
L’interpretazione geometrica del prodotto scalare si deriva
dalla formula trigonometrica che tiene conto dell’angolo
fra due vettori:
c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ
dove a, b , c sono i lati di un triangolo. Riscrivendo la regola del coseno in termini di vettori otteniamo:Riscrivendolo
in termini di vettori abbiamo
kv − wk2 = kvk2 + kwk2 − 2 kvk kwk cos θ
(4)
Figure 1:
Figure 2:
dove θ è l’angolo tra v e w, scelto in modo tale 0 ≤ θ ≤
π.
|v − w|2 =
=
=
=
Quindi:
(v − w) · (v − w)
v·v−w·v−v·w+w·w
v
· v − 2v ·°w + w · w
°
° 2
°2
°v k+k w° − 2v · w
kv − wk2 = kvk2 + kwk2 − 2v · w
(5)
da cui confrontando la 4 con la 5 otteniamo:
v · w = kvk · kwk cos θ
Tornando alla notazione iniziale il prodotto scalare fra
vettori può essere calcolato anche utilizzando la norma
euclidea e l’angolo α formato dagli stessi (fig.1.4):
x · y = kxk kykcosα
Disuguaglianza di Cauchy:
|x · y| ≤ kxk kyk
e
|x · y| = kxk kyk ⇐⇒ x = αy
Due vettori si dicono ortogonali se (fig.1.5):
x·y =0
(x ⊥ y)
Figura 1.5. Vettori ortogonali ( cos α = 0).
Si dice che u é un versore se kuk = 1. Ogni vettore
x 6= 0 si puó esprimere in funzione del suo versore u =
x
con:
kxk
x = kxk u
Sono versori i vettori della base canonica di <n:




ei = 



0
..
1
..
0




 ← i − esima riga



per i = 1, . . . , n essendo keik = 1.
I versori ei sono i vettori componenti la matrice identitá
I(n × n).
2.1
Combinazione lineare fra vettori
Dati n vettori xs ∈ <n si definisce combinazione lineare
di vettori la seguente espressione:
n
X
i=1
cixi = c1x1+c2x2+. . .+csxs+. . .+cnxn
∀ci ∈ <
Ad esempio dati i seguenti tre vettori ∈ <3



1


x1 =  2  ,
3

1


x2 =  4 
0


0


x2 =  1 
2
Dati c1 = 1, c2 = 2, c3 = 0.5 la combinazikone lineare
è la seguente:

1


1


0


5.05









3.0  2  + 2  4  + 0.5  1  =  14.05 
3
3
0
2
10
Matrici
Definizione: Sia dato lo spazio vettoriale <, una tabella
A di m × n elementi appartenenti a < si dice matrice ad
n ed m colonne si dice matrice a m righe e n colonne.

o


A=

a11 a12 . . .
a21 a22
..
am1 am2
h
i
3
2
1
3
1
3
2
4
A = aij
a1n
amn





La matrice si dice quadrata se m = n, in tal caso n si
dice ordine della matrice. Gli elementi aii i = 1, 2, . . . , n
costituiscono la diagonale principale della matrice. La
somma degli elementi sulla diagonale si dice traccia di A
e si indica con T r (A) .
Esempio, la matrice



A=

2
1
0
2
4
1
3
2





è una matrice quadrata di ordine 4 la cui traccia è =8.
Definizioni:
• Una matrice si dice nulla se ha nulli tutti i suoi elementi:
A=0
• Due matrici si dicono dello stesso tipo quando hanno
lo stesso numero di righe e di colonne.
• In due matrici dello stesso tipo due elementi che si
trovano nello stesso posto si dicono corrispondenti.
• Due matrici dello stesso tipo A e B si dicono uguali
quando
tali htuttii gli elementi corrispondenti,
h sono
i
A = aij e B = bij di dimensioni m × n:
aij = bij
∀i = 1, 2, 3, . . . , n,
j = 1, 2, 3, . . . , m
In una matrice quadrata



A=

a11 a12 . . .
a21 a22
..
an1 am2
a1n
ann





gli elementi ajk e akj che hanno gli stessi indici ma
in ordine inverso si dicono coniugati; i loro posti sono
simmetrici rispetto alla diagonale principale. In particolare, se gli elementi coniugati sono tutti uguali fra loro,
ajk =akj , la matrice si dice simmetrica; se gli elemneti
coniugati sono tutti opposti fra loro, ajk = −akj , la
matrice si dice emisimmetrica.
3.1
Operazioni fra matrici
OPERAZIONE
h i
h iSOMMA: Siano date le matrici A =
aij e B = bij di dimensioni m × n, si dice somma
h
i
di A e B la matrice C = cij di dimensione m × n tale
che
cij = aij + bij
∀i = 1, 2, . . . , n
j = 1, 2, . . . , m
La somma gode delle seguenti proprietà:
1. proprietà commutativa
A+B =B+A
∀A, B
2. proprietà associativa
(A + B) + C = A + (B + C)
∀A, B, C
3. elemento neutro:
A+0=A
4. Esistenza della matrice opposta: per ogni matrice
A, ∃ un’unica ,matrice dello stesso tipo di A che
sommata ad A dà la matrice nulla
PRODOTTOh PER
i UNO SCALARE k : Sia data la
matrice A = aij di dimensioni m × n, e lo scalare k,
h
si dice prodotto dello scalare k per A la matrice C = cij
di dimensione m×n tale che
i
cij = kaij
da cui C = kA
COMBINAZIONE LINEARE
FRA
Siano
h i
h MATRICI:
i
date le matrici A = aij e B = bij di dimensioni
m × n,
h sii dice combinazione lineare di A e B la matrice
C = cij di dimensione m × n tale che
cij = haij + kbij
∀h, k ∈ <
L’operazione di uno scalare per una matrice, kA, gode di
1. proprietà distributtiva rispetto alla somma di matrici::
∀A, B; ∈ ∀k ∈ <
k (A + B) = kA + kB
2. proprietà distributtiva rispetto alla somma fra scalari:
∀h, k, ∈ <; ∀A, B
(h + k) A = hA + kA
3. proprietà associativa
∀h, k ∈ <∀A
h (kA) = (hk) A
Valgono inoltre:
(−1) A = −A
0A = 0
h0 = 0
∀A
∀A
∀h
PRODOTTO
FRA MATRICI: Sianohdate
h i
i le matrici
A = aij di dimensioni m × n, e B = bij di dimenh
sioni n × p, si dice prodotto di AB la matrice C = cij
di dimensione m × p tale che
cij =
m
X
h=1
aihbhj
i
∀i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , p
ossia l’lelemento di C sulla i − esima riga e j − esima
colonna si ottiene moltiplicando gli elementi della i −
esima riga con gli elemeti corrispondenti alla j −esima,
colonna di B e sommando i prodotti parziali . Il prodotto
così definito fra due matrici si può eseguire solo se il
numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe
di B, ossia se la matrice A è conformabile con A.
Esempio:



A = 

1
1
0
1
2
0
3
1



A·B = C =






3
1
3
2
B=
4
2
3
3
5
3
3
4
"
1 2 3
1 1 1
#





L’operazione di moltiplicazione fra matrici gode delle seguenti
proprietà:
• 1. proprietà distributtiva:
∀A, B;
(A + B) C = AC + BC
2. proprietà associativa:
∀A, B, C
A (BC) = (AB) C
3. proprietà della matrice nulla
A0 = 0A = 0
non gode invece della proprietà commutativa perchè non sempre le matrici sono conformabili.
OSSERVAZIONE:
1. matrici commutabili: Date de matrici quadrate di
ordine n, A e B, sono commutabili se risulta:
A·B=B·A
2. non vale la legge di annullamento del prodotto. Il
prodotto di una matrice A per una matrice nulla dà
la matrice nulla. Ciò non è invertibile, ovvero se il
prodotto tra due matrici A·B = 0, non necessariamente una delle due deve essere nulla.
3. nonb vale la legge di semplificazione del prodotto:
Se
A·B =A·C
ciò non implica che B=C.
Esempio 1: Date le matrici A e B di ordine n si osservi
che la seguente espressione matriciale (A + B)2 risulta
uguale a A2 + AB + BA + B 2 e non vale pertanto
al stessa regola che vale nel calcolo di un quadrato di
binomio algebrico.
Inoltre, per il prodotto fra matrici non vale:
AC = 0 ⇔ A = 0 ∨ C = 0
Il prodotto fra
A=
"
1
2
−1 −2
#
B=
"
−2 2
1 −1
#
→→ C =
"
0 0
0 0
MATRICE IDENTITA’: Una matrice di ordine n con
gli elementi sulla diagonale principale pari ad 1 e tutti gli
#
altri elementi nulli si dice matrice identità e si indica con
In. Le colonne di In si dicono vettori fondamentali e si
indicano con e(1), e(2), . . . , e(n).
4 5 6
Esempio 2: Sia data la matrice A = 1 2 3 il prodotto
1 2 4
fra A eI :

 



4 5 6
1 0 0
4 5 6

 



 1 2 3 · 0 1 0 = 1 2 3 
1 2 4
0 0 1
1 2 4
La matrice identità funziona da elemento neutro rispetto
all’operazione di prodotto fra matrici
AI = IA = A
L’algebra matriciale si presenta in numerosissime situazioni, ad esempio la tavola che segue indica il numero
di persone che hanno visitato l’Australia ed il Sud Africa
nel 1998
Da A
Australia Sud Af rica
N ord America
440
190
Europa
950
950
Asia
1790
200
Ipotizziamo che il numero di visitatori in Australia in dieci
anni, precisamente nel 2008, siano pari a 1.2A. Le cifre
per il turismo in Australia nel 2008 è quindi dato da C:


528 228


C = 1.2 · A =  1140 1140 
2148 240
Se consideriamo la matrice C-A=B otteniamo l’aumento
di turisti in Australia e SudAfrica provenienti dai vari paesi
nel decennio dato da






528 228
440 190
88 38

 



 1140 1140  −  950 950  =  190 190 
2148 240
1790 200
358 40
Consideriamo la matrice D:


D=

−40
0

50 100 
−300 0
e si ipotizzi che il turismo del 2004 è dato da

440
 



190
−40
0
400 190
 



950 + 50 100  =  1000 1050 
1790 200
−300 0
1490 200

A+D =  950
Esempi sulle operazioni
SOMMA
3. Compensi al management: La tabella seguente
mostra i salari per l’anno 1991 dei quattro direttori più
pagati della Toronto Dominion Bank e i rispettivi aumenti
annui per i due anni successivi. Utilizzate l’algebra matriciale per determinare gli stipendi annui dei direttori negli
anni a. 1992, b.1993:
salario 1991 aumento nel 1992
890.000
576
675.000
411
275.000
20.822
275.000
411
⇓
salario 1992 salario 1993
890.576
925.000
675.411
700.000
295.822
350.192
275.411
300.192
aumento 1993
34.424
24.589
54.370
24.781
4. Tassi di Cambio: La tabella seguente mostra il valore
che il dollaro candese aveva rispetto ad altre valute in
data 3 novembre 1993e i successivi cambiamenti
3nov1993 ∆3nov − 3dic ∆3dic − 10dic
U SA $ 0.7612
−0.003
−0.0005
DM
1.2825
0.0127
−0.0109
Y
80.44
1.22
0.44
1.9621
0.0184
0.0072
U K$
Utilizzate l’algebra matriciale per determinare i tassi di
cambio alle date successive.
1.
MOLTIPLICAZIONE
5. Ricavi: Le vendite del negozio di ricambi per auto
Aplus di Vancouver sono state le seguenti
Spazzole 20
Liquido 10
tappetini 6
ai prezzi seguenti
Spazzole $7
Liquido $3
tappetini $12
Qual’è il ricavo totale generato dalla vendita di questi
aricoli?
R=Q·P =
h
20 10 6
i

7



·  3  = 266
12
6. Le vendite di gennaio dei negozi di ricambi per auto
di Vancouver e Quebec sono
Vancouver Quebec
Spazzole
20
15
Liquido
10
12
tappetini
6
4
I normali prezzi di vendita di questi prodotti sono quelli
indicati enll’esercizio 3 si hanno inoltre i prezzi applicati
ai soci dell’A plus di Vancouver che possono avvalersi di
un piccolo sconto:
normale scontato
Spazzole
7
6
Liquido
3
2
tappetini
12
10
Per calcolare i prezzi dei due negozi nei due casi possiamo
fare una moltiplicazione fra matrici:
A·B =
"
7 3 12
6 2 10
#


"
#
20 15
242 189


·  10 12  =
200 154
6 4
Sottomatrice: Sia data la matrice A =
h
i
aij di dimensioni m×n. Una matrice ottenuta da A eliminando
alcune righe e/o colonne di A si dice sottomatrice di A.
SOTTOMATRICE PRINCIPALE: Sia A una matrice di
ordine n. Una sottomatrice di A la cui diagonale principale sia costituita da elementi della diagonale principale
di A si dice sottomatrice principale di A.
SOTTOMATRICE PRINCIPALE DI GUIDA: Sia A una
matrice di ordine n. Una sottomatrice di A costituita
dalle prime k righe e k colonne di A si dice sottomatrice
principale di guida di A di ordine k.
MATRICE A BLOCCHI: Sia A una matrice di ordine
n×m Se è possibile determinare h·l sottomtarici Aij di
dimensione ni × mj con n1 + n2 + . . . + nh = n e
m1 + m2 + . . . + ml = m tali che
h
i


A11 A12 . . . A1l
 A
A2l 
 21 A22

A = Aij = 

Ah1 Ah2 . . . Anl


si dice che A è una matrice a blocchi o partizionata in
blocchi.
La matrice identità di ordine n si può vedere partizionata
per colonne nei suoi n vettori fondamentali:


1 0 ... 0
 0 1
0


In = 

0 0 ... 1


ESEMPIO 7. Consideriamo la matrice dell’esempio 4
sui tassi di cambio e dividiamola in matrice a blocchi del
tipo


0.7612
−0.003 | −0.0005



 1.2825

A
0.0127
| −0.0109 



A = 
 ______ ______ | ______  =  ___


A
80.44
1.22
|
0.44


1.9621
0.0184
|
0.0072
"dove
#
"
#
0.7612 −0.003
−0.0005
A12 =
A11 =
1.2825 0.0127
−0.0109
A21 =
"
80.44
1.22
1.9621 0.0184
#
A22 =
"
0.44
0.0072
#