Lezione 2
Algebra vettoriale
Un vettore e’ un ente individuato da una intensita’ (o modulo), una direzione, e un verso.
Ovvero e’ un ente per cui bisogna dare tre informazioni per essere identificato.
Esso si combina con altri vettori secondo regole precise note come algebra vettoriale.
Scelto un sistema di riferimento tridimensionale, un vettore sara’ rappresentato da una terna
di numeri dotati di segni. In un sistema di riferimento bidimensionale esso sara’ rappresentato da una
coppia di numeri.
Una grandezza vettoriale e’ una grandezza che si puo’ rappresentare con un vettore;
cioe’ e’ una grandezza che ha associati un modulo una direzione e un verso.
Esempi semplici di grandezze vettoriali sono lo spostamento, la velocità, l’accelerazione, la forza…
Esistono altre grandezze che non hanno bisogno di informazioni aggiuntive come
“direzione” e “verso”. Ne sono un esempio la temperatura, l’energia, la massa, il tempo,
nessuna delle quali “e’ diretta” in senso spaziale. Tali grandezze sono dette grandezze scalari e sono
trattate con le regole dell’algebra ordinaria. Un solo valore, dotato di segno, individua lo scalare.
Le grandezze vettoriali si indicano con una lettera in grassetto o con una lettera con freccetta sopra.
Il modulo di un vettore si indica con la stessa lettera con cui e’ indicato il vettore, ma in chiaro,
o senza freccetta.
Direzione (retta su cui giace)
Modulo (lunghezza)
|a|, oppure a
B
A a oppure a
Verso (da A a B)
Componenti dei vettori (due dimensioni)
Componenti=proiezioni del vettore sugli assi del sistema di riferimento scelto.
Nel seguito consideriamo assi coordinati cartesiani.
Scomposizione del vettore nelle sue componenti.
a = (a x , a y )
Le componenti possono essere negative
Componenti dei vettori (tre dimensioni)
a = (ax , a y , a z )
Versori
I vettori unitari, o versori, sono i vettori di modulo 1 con direzione e verso di ciascuno degli
assi coordinati. I versori si indicano con le lettere i, j, k, oppure
iˆ, ˆj , kˆ
I versori sono privi di dimensioni. Il loro scopo e’ indicare una direzione.
iˆ, ˆj , kˆ
Due vettori sono uguali se sono uguali tutte le loro rispettive componenti.
Una equazione vettoriale equivale a tre equazioni scalari.
a x = b x

a = b ⇔ a y = b y
c = b
z
 z
Somma vettoriale
Graficamente: poligonale. Generalizzabile a
piu’ di due vettori.
Analiticamente: componenti del vettore somma=
somma componenti dei vettori
Idem in tre dimensioni
Il punto di partenza e quello di arrivo
sono gli stessi: a e b si possono sommare
In entrambi gli ordini
Differenza vettoriale
equivale a sommare -b ad a
componenti del vettore differenza= differenza componenti dei vettori
Idem in tre dimensioni
Come nell’algebra comune, e’ possibile portare un termine che contenga un
vettore da un lato all’altro di una equazione vettoriale, cambiandogli il
segno.
Ex: d=a+c
equivale a
d-a=c
Prodotto di un vettore per uno scalare
Prodotto scalare o prodotto interno
Il risultato e’ uno scalare. Si indica con un punto tra i due vettori. Il prodotto scalare
tra a e b si pronuncia “a scalar b”.
Molte grandezze vettoriali (spostamento, velocita’, forza...) si combinano tra loro tramite
un prodotto scalare per formare grandezze scalari. Ne sono un esempio il lavoro,
la potenza..
Prodotto vettoriale o prodotto esterno
Il risultato e’ un vettore. Si indica con un X (per)
tra i due vettori.
Il prodotto vettoriale c di a e b, che si pronuncia
“a vettor b” e si scrive
e’ un vettore il cui modulo e’
in cui φ e’ il minore dei due angoli tra le semirette
equiverse formate da a e b.
Il modulo e’ massimo quando a e b sono perpendicolari, e nullo quando sono paralleli.
La direzione di c e’ perpendicolare al piano individuato da a e b.
Il verso di c e’ determinato con la “regola della mano destra”: si collocano i vettori coda contro coda,
si immagina di far coincidere il primo dei due vettori (a) con l’indice della mano destra e il secondo
vettore (b) con il medio in modo che l’angolo da essi formato e’ inferiore a 180° .
Il pollice, esteso perpendicolarmente al piano formato da indice e medio,
indichera’ il verso del vettore c.
Il prodotto vettoriale non gode della proprieta’
commutativa della moltiplicazione, quindi attenzione
a ordine con cui sono scritti i vettori:
Per i versori in un sistema di riferimento cartesiano valgono le proprietà:
Le componenti del vettore prodotto si possono trovare usando lo sviluppo del determinante
Altre relazioni
Vettori e leggi della Fisica
Se si ruota, o si trasla, il sistema di riferimento,
le componenti di un vettore si modificano.
Ex, in un sistema ruotato,
a = (a x , a y )
a = (a ' x , a ' y )
a ' x = a x cos φ + a y sin φ
a ' y = a x sin φ − a y cos φ
Tuttavia le operazioni vettoriali e
quindi le relazioni tra vettori restano le stesse
indipendentemente dal sistema di riferimento scelto.
Quindi uno puo’ scegliere quello che gli e’ piu’ comodo,
per scomporre una equazione vettoriale nelle equazioni
delle sue componenti.
Inoltre il vettore permette di scrivere relazioni in modo
estremamente compatto.
Cinematica del punto materiale
( moto in due e tre dimensioni)
Vettore posizione
Vettore posizione
Vettore velocita’ media
Vettore velocita’ (velocita’ istantanea)
Vettore accelerazione
Si ha accelerazione sia se cambia il
modulo della velocità sia se cambia
la direzione della velocita’.