IL PROBLEMA DELL’AREA
Nella matematica greca
calcolare l’area di una figura
(ovvero quadrarla) significa
costruire con riga e
compasso un quadrato
equivalente alla figura data.
IL PROBLEMA DELL’AREA
Per le figure rettilinee è in
genere semplice: ad
esempio, grazie al secondo
teorema di Euclide si riduce
facilmente un rettangolo a
un quadrato equivalente
QUADRATURA DEL CERCHIO
In molti casi l’equivalenza è
risolta con
l’equiscomponibilità: è il
caso per esempio del
parallelogramma e del
triangolo.
Una figura può essere
scomposta in un numero
finito di parti: non era
ammessa la divisione in
infinite parti
QUADRATURA DEL CERCHIO
Tutto ciò funziona bene per
figure rettilinee, mentre per
figure curvilinee le cose
cambiano: il più famoso
problema della matematica
greca è quello della
quadratura del cerchio
?
QUADRATURA DEL CERCHIO
I matematici greci
dimostrarono rigorosamente
che l’area del cerchio è
proporzionale al quadrato
del raggio
A
R2
2
A’
R’2
A R

A' R'2
METODO DI ESAUSTIONE
La dimostrazione data da
Eudosso e Archimede si
basa sul “metodo di
esaustione”. Nel cerchio
vengono inscritti dei poligoni
con numero di lati arbitrari e
per mezzo di essi si
dimostra per assurdo che il
rapporto delle aree non può
essere né maggiore né
minore di quello dei quadrati
dei raggi
POSTULATO DI EUDOSSOARCHIMEDE
Il metodo di esaustione è basato
sul seguente postulato, detto oggi
di Eudosso-Archimede:
DATE DUE GRANDEZZE NON NULLE
ESISTE SEMPRE UN MULTIPLO DELLA
MINORE CHE SUPERA LA MAGGIORE
Questa assunzione, tra l’altro,
esclude che possano esistere
grandezze “infinitamente piccole”:
qualsiasi grandezza, moltiplicata
per un opportuno fattore, può
essere resa grande a piacere
PI GRECO
E’ da notare che col metodo
di esaustione non viene
calcolato il rapporto tra
l’area del cerchio e il
quadrato, ovvero il famoso
: si dimostra solo che
questo rapporto deve
esistere
A
R
2

PI GRECO
Il valore di  può essere
calcolato solo
approssimativamente
sostituendo al cerchio un
poligono con un numero
molto grande di lati: è così
che si trova
  3,14
IL METODO
Il metodo di esaustione ha
un altro punto debole:
essendo basato su
dimostrazioni per assurdo il
risultato deve essere già
noto, ovvero non è un
metodo per scoprire le cose
ma solo per dimostrare cose
già presupposte
I MODERNI
I matematici moderni
affrontarono con metodi
nuovi i problemi di
equivalenza delle figure
curvilinee, portando alla
nascita del calcolo integrale.
UN SEMPLICE TEOREMA
UN SEMICERCHIO E’
EQUIVALENTE AL
TRIANGOLO CHE HA LA
BASE UGUALE AL
SEMIPERIMETRO E
L’ALTEZZA UGUALE AL
RAGGIO DEL CERCHIO
DATO
Questo teorema fu
dimostrato da Archimede col
metodo di esaustione.
Vedremo come fu invece
dimostrato da due grandi
matematici del ‘600, Keplero
e Torricelli, e come l’area
del semicerchio viene
invece ottenuta nel moderno
calcolo integrale
DIMOSTRAZIONE: KEPLERO
Keplero suddivide il
semicerchio C in tanti piccoli
settori circolari, tanto piccoli
da poter immaginati come
triangoli aventi come basi
un piccolo arco di
circonferenza e come
altezza il raggio
DIMOSTRAZIONE: KEPLERO
I triangoli vengono poi
ricollocati in modo da
formare un unico triangolo
avente come altezza r e
come base B la somma
delle basi di tutti i triangolini,
ovvero C (non importa che i
triangolini siano deformati,
se mantengono la stessa
base e la stessa altezza la
loro area non cambia)
DIMOSTRAZIONE: KEPLERO
Il punto debole della
dimostrazione è che i settori
circolari non sono
veramente dei triangoli e
quindi l’equivalenza non è
mai esatta, a meno che ogni
triangolo non sia
immaginato “infinitamente
piccolo”
DIMOSTRAZIONE: TORRICELLI
Torricelli usò in modo
innovativo il concetto di
“indivisibile” introdotto da
Cavalieri, ovvero che una
figura possa essere ridotta a
elementi fondamentali, gli
indivisibili appunto, e che
l’equivalenza di due figure
possa essere dimostrata dal
confronto di tali elementi
DIMOSTRAZIONE: TORRICELLI
Il triangolo avente base B=C è collocato come in figura: si
considera poi un qualunque segmento B’ parallelo a B (un
indivisibile del triangolo) e la corrispondente
semicirconferenza C’ (un indivisibile del semicerchio)
DIMOSTRAZIONE: TORRICELLI
E’ facile dimostrare che sia B’ che C’ sono proporzionali al
raggio r’, e quindi sono proporzionali tra loro: ma poiché
B=C, allora B’=C’. Siccome questo vale per tutte le coppie
di indivisibili di cui sono formati il triangolo e il semicerchio,
questi sono equivalenti
DIMOSTRAZIONE: TORRICELLI
h
h/2
La dimostrazione di
Torricelli è apparentemente
più rigorosa di quella di
Keplero, ma di fatto, per
evitare che questo
procedimento porti a
risultati assurdi, è
necessario attribuire agli
indivisibili uno “spessore
infinitesimo”
L’INTEGRALE
Nella moderna definizione di
integrale, prima di tutto, la
semicirconferenza, o in
generale la curva, viene
considerata come il grafico di
una funzione: nel nostro caso
tale funzione non è altro che
l’equazione della
circonferenza con centro
nell’origine in forma esplicita
2
y r x
2
L’INTEGRALE
Si comincia con l’inscrivere
nella curva una serie di n
rettangoli e con il
calcolarne l’area totale,
diciamo A(n)
La stessa cosa viene poi
fatta con n rettangoli
circoscritti: sia B(n) l’area
totale
L’INTEGRALE
Naturalmente l’area del
semicerchio, S, è
compresa tra le due aree
così calcolate:
A(n)  S  B (n)
L’INTEGRALE
A questo punto la matematica
moderna non ha più nessun
imbarazzo a far diventare n
infinito, e quindi a trasformare
l’approssimazione in un
calcolo esatto, grazie alla
nozione di limite introdotta
nella prima metà dell’800 da
Cauchy
L’INTEGRALE
Rigorosamente si dimostra che le due aree A(n) e B(n),
al tendere di n all’infinito, tendono allo stesso valore
limite, che è poi l’area del semicerchio S. Ovvero in
notazioni moderne
S  Lim A(n)  Lim B(n)
n 
n 
L’INTEGRALE
Il valore di questo limite viene chiamato “integrale
definito della funzione sull’intervallo dato”
r
S

r
2
2
r  x dx
L’INTEGRALE
A questo punto il calcolo
dell’area è ridotto al calcolo
dell’integrale: ciò può essere
fatto grazie a un teorema
dimostrato per la prima volta
da proprio da Torricelli e da
Isaac Barrow che lega tra
loro aree e tangenti.
Tutto ciò sarà oggetto dello
studio del quinto anno di
liceo