D. Zamburlini - Metodo di esaustione
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Metodo di esaustione
Si fa risalire ad Eudosso di Cnido
Eudosso: matematico del IV
secolo a. C.
divenne il pupillo di Platone
(dal quale poi si separò);
a lui viene attribuita la teoria
delle proporzioni
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Metodo di esaustione
non è un procedimento euristico;
(non è utile a trovare il risultato);
si serve di una reductio ad absurdum;
evita l’uso del passaggio al limite
(o degl’infinitesimi o dell’infinito);
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Metodo di esaustione
pro: formalmente ineccepibile;
(ecco perché piaceva ad Archimede)
contro: sostanzialmente presuppone
la conoscenza del risultato;
(ecco perché non piace più ai moderni
che preferiscono il passaggio al limite)
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Esempio : area del cerchio
A   r
2
A è l’area, r è il raggio del cerchio
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L’area di un poligono regolare di n lati è:
pn  an
An 
2
pn è il perimetro, an è apotema
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L’area di un poligono regolare di n lati è:
pn  an
An 
2
pn è il perimetro, an è apotema
apotema
apotema
perimetro
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L’area di un poligono regolare di n lati è:
pn  an
An 
2
pn è il perimetro, an è apotema
apotema
apotema
perimetro
apotema
perimetro
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L’area di un poligono regolare di n lati è:
pn  an
An 
2
pn è il perimetro, an è apotema
..ma all’aumentare del numero n dei lati..
Pn si avvicina alla lunghezza della
circonferenza (il poligono è inscritto)
an si avvicina alla lunghezza del raggio
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..quindi la formula:
pn  an
An 
2
..diventa l’area del cerchio:
c  r 2  r  r 2  r
2
A


  r
2
2
2
2
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..in definitiva..
r

r
2  r
..dove c è la lunghezza della circonferenza
ed r è il raggio del cerchio.
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Archimede fa una serie di premesse
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…controlla che i poligoni inscritti
“invadano” completamente il cerchio
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…controlla che i poligoni inscritti
“invadano” completamente il cerchio
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…controlla che i poligoni inscritti
“invadano” completamente il cerchio
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… vediamo come…
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… isola un segmento circolare..
… chiamiamola lunula del quadrato o L4
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… considera anche l’ottagono…
… quelle grigie sono le lunule dell’ottagono o L8
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… confronta le lunule…
… il grigio si è ridotto…
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… costruisce …
…due L8 simmetriche…
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…e vede…
… che 4 L8 sono contenute in una sola L4!
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… ne segue..
4  L8  L4
8  L8  2  L4
…che 8 L8 sono contenute in 2 L4!
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… ne segue ancora che..
4  L16  L8
16  L16  4  L8
4  L8  L4
… l’area residua si va più che dimezzando..
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… ne segue..
… l’area residua si va più che dimezzando..
..e diventa sempre più piccola (quanto si vuole)
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… conclusione posso sempre trovare un
poligono inscritto (celeste)..


…la cui area si avvicina al cerchio (quanto si
vuole) e la differenza diventa piccola a piacere
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..considero cerchio e triangolo*
r
r
2  r
*il triangolo ha: base = circonferenza, altezza = r
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..è vera una sola di queste possibilità..



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..sia, se possibile, maggiore il cerchio..

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..si può dire che esiste un quadratino azzurro..



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..allora esiste un poligono inscritto di 4n
lati (che riduciamo al triangolo azzurro)

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
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..e concludiamo che..





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..e ora la reductio ad ..
a

p
r
2  r
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..e ora la reductio ad absurdum..
ar

p  2  r
r
2  r
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..questa possibilità..

..è negata!!!
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..considerando i poligoni regolari di
4n lati, circoscritti al cerchio si
elimina anche la seconda possibilità.

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..ergo..

A   r
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Trattato Misura
del cerchio
– Basilea 1544
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..noi moderni con l’analisi
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..noi moderni con l’analisi
Considerati i poligoni regolari P4, P8, P16, ..
inscritti (o circoscritti) in un cerchio C di
raggio r, le cui aree valgano A4, A8, A16 …
l’area A del cerchio è data da…
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..noi moderni con l’analisi
Considerati i poligoni regolari P4, P8, P16, ..
inscritti (o circoscritti) in un cerchio C di
raggio r, le cui aree valgano A4, A8, A16 …
l’area A del cerchio è data da…
A n lim  A2n
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fine
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