La fotogrammetria terrestre
Camere da presa terrestri
Nella fotogrammetrica terrestre l’acquisizione dei fotogrammi avviene solitamente per mezzo di
camere professionali o semi professionali. I parametri di orientamento interno (distanza principale,
coordinate punto principale, distorsione radiale) sono precalcolati attraverso delle operazioni di
calibrazione, i cui risultati sono contenuti nel certificato fornito con la camera.
La fotogrammetrica terrestre è simile nelle fasi di restituzione a quella aerea, col vantaggio che in molti
casi si può conoscere l’assetto delle camere da presa.
In origine le camere da presa terrestri venivano montate su teodoliti detti fototeodoliti ed erano camere
singole (monocamere); quando venivano montate in coppia su un’asta di acciaio di nota lunghezza
(camere doppie o bicamere) realizzavano la visione stereoscopica (di noto assetto e base di presa) e
fornivano ottimi risultati quando si doveva rilevare un fenomeno in movimento, come ad esempio i
fiumi (un esempio di queste camere è la Wild P31).
Le focali più utilizzate di queste camere erano quelle da 60 e 120 mm, mentre i formati delle pellicole
che venivano utilizzati più di frequente erano 9×12 e 13×18 cm; ormai le pellicole e le lastre sono in
disuso in quanto le camere utilizzate sono tutte digitali.
Le camere terrestri possono essere classificate in base alle distorsioni residue in:
- camere metriche, sono dotate di obiettivo con distorsione trascurabile e sono appositamente
costruite per scopi topografici;
- camere semimetriche, furono costruite in origine per scopi non metrici. Non tutti i parametri di
orientamento interno risultano stabili, l’obiettivo ha distorsione non trascurabile;
- camere non metriche, vennero utilizzate solo per applicazioni fotogrammetriche di scarsa
precisione.
Le camere semimetriche
Queste fotocamere non possono essere classificate come professionali, infatti hanno la caratteristica di
possedere un obiettivo con distorsione non trascurabile, ma della quale il certificato di calibrazione
fornito dal costruttore riporta informazioni essenziali sulla curva di distorsione, che ne consente
l’eliminazione. Su tale certificato sono riportate, inoltre, le coordinate immagine del punto di miglior
simmetria (PBS), del punto principale di autocollimazione (PPA), la distanza focale e la data di
calibrazione. In aggiunta vengono fornite le coordinate delle croci del reseau.
Per reseau si intende un reticolo formato da croci a maglia regolare (5 mm ad es. per la camera Rollei
6006) inciso su una sottile lastra di vetro e la cui immagine resta impressa per contatto su ogni
fotogramma (il reseau è calibrato su banco ottico con precisione al decimo di micron).
Le croci del reseau consentono di eliminare alcuni “difetti” della presa; si riesce infatti a compensare le
deformazione della pellicola, le deformazioni sorte in seguito alla riproduzione su carta del
fotogramma, la distorsione dovuta all’ingranditore, e l’errore di non complanarità.
Non è possibile tuttavia correggere né eliminare le distorsioni imputabili al corpo ottico e gli errori
dovuti alla rifrazione della lastra piano parallela del reticolo stesso.
Questi inconvenienti sono correggibili una volta ripristinato l’orientamento interno. Note le coordinate
dei punti e la distorsione radiale media (funzione della distanza dal punto principale), i cui valori sono
presenti nel certificato di calibrazione, si ricava la correzione dovuta alla distorsione dell’obiettivo.
Nel complesso quindi la camera semimetrica permette di conseguire risultati sufficientemente simili a
quelli di una camera metrica professionale che peraltro ha un costo decisamente superiore.
M. Pasini – Topografia
© Calderini, RCS Libri Education
Dopo la presa fotografica di una camera semimetrica, vanno eseguite alcune operazioni destinate alla
correzione degli errori cosiddetti del “dopo obiettivo”.
Questa operazione si effettua al calcolatore collimando un numero sufficiente di croci sul fotogramma,
limitatamente alla zona del modello che si vuole restituire. Abbinatamente vanno inserite nel
calcolatore le coordinate relative ad ogni croce riportate sul certificato di calibrazione.
Le camere digitali sono presenti oggi sul mercato con una varietà di marche e modelli innumerevole ed
hanno sostituito anche vantaggiosamente dal punto di vista economico le macchine a pellicola
Fotocamera ROLLEI 6006
(semimetrica a pellicola)
Fotocamera UMK, ROLLEY
(metrica a pellicola)
Fotocamera digitale Rollei D30 metric
risoluzione di 2552x1920 pixels (5 megapixel).
Dotata di ottica zoom, con calibrazione nelle
posizioni fisse 10 e 30 mm effettuta direttamente
dalla casa madre
Fotocamera Kodak DCS460 il modello più
recente ha un sensore da 3000×4500 pixel con
una dimensione del pixel di 8 μm.
Kodak DCS pro14n con sensore da 4536×3024
pixel di 8 μm di lato. La dimensione del sensore è
quello di una pellicola 24×36 mm. Il sensore è a
tecnologia CMOS anziché CCD
Rollei AIC 6008 integral con sensore da
54004000 pixel
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Presa su facciata piana.
Nel caso particolare in cui l’oggetto ripreso sia situato in un piano o nel caso (peraltro non necessario)
che l’asse ottico sia ortogonale al piano ripreso, si può impostare una semplice relazione di similitudine
tra le coordinate oggetto e quelle immagine.
Schema di presa su facciata piana
Nota la distanza principale p e la distanza della parete dalla camera da presa è immediata la
proporzione:
xp
d
=
− yp p
Yp
d
=
− yp p
Ovviamente questa semplice proporzione è ancora possibile nel caso di facciata inclinata e si ricavano
le X ed Y dividendo le coordinate lastra per i coseni dei due angoli di inclinazione, attorno agli assi X ed
Y ( Ω e Φ) che l’asse della camera forma con la normale alla facciata.
Bicamere con asse ortogonale alla base di presa
Le bicamere attualmente non sono
più utilizzate, tuttavia gli sviluppi
analitici sotto riportati hanno scopo
didattico per capire come si possa
ricostruire la metrica tridimensionale
attraverso due prese distinte.
Sotto l'ipotesi semplificativa ma non
ostativa per il caso generale che l'asse
ottico delle due camere giaccia sul
piano XY si può facilmente ricavare:
Bicamere con assi ottici paralleli
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(1)
x1 − x 2
p
=
b
YAo
(2)
x1
x − x2
= 1
X Ao
b
La (1) riscritta è:
X=
b x1
x1 − x 2
La (2) riscritta è:
Y=
bp
x1 − x 2
La (3) riscritta è:
Z=
b y1
x1 − x 2
Determinazione delle coordinate
Esercizio
Nell’ipotesi di volo nadirale, calcolare l’altezza di un edificio da terra, avendo misurato le due
coordinate del punto a terra e del punto in gronda.
È nota la base di presa misurata graficamente tra i due fotogrammi b = 276 m.
PUNTI
1 (sommità)
2 (piede)
Fotogr. sinistra x
(mm)
28,6767
28,4803
Fotogr. sinistra y
(mm)
− 1,5844
− 1,5523
Fotogr. destra
x (mm)
− 49,7122
− 49,2649
Fotogr. destra
y (mm)
0,4610
0,4509
b y1
si ricavano: Z1 = 15,50 m e Z2 = 5,51 m
x1 − x 2
Per cui l’altezza dell’edificio da terra è circa 10 metri.
Utilizzando due volte la formula
Z=
I laser scanner terrestri
Una valida alternativa al rilievo fotogrammetrico terrestre è costituita dal rilievo laser scanner. Il laser
scanner terrestre può essere utilizzato in alternativa ma anche in altri casi in maniera aggiuntiva e
rafforzativa alla fotogrammetria arerea.
Lo strumento assomiglia ad una stazione totale che però è in grado di effettuare misurazioni ad
altissima velocità e in maniera automatizzata, ( “spazzolando” l’oggetto con variazioni fini e regolari di
altezza ed azimut), ottenendo la posizione di centinaia di migliaia di punti, che definiscono la superficie
degli oggetti circostanti.
Il risultato dell’acquisizione è un insieme di punti molto denso chiamato “nuvola di punti” o “lattice”
del terreno o dell’oggetto ripreso. La velocità di acquisizione è mediamente pari a circa 10.000 punti al
secondo e regolando la velocità si può definire la densità dei punti che arriva anche a pochi millimetri.
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Nel rilievo Lidar terrestre alcuni strumenti come il Laser Scanner Riegl associano automaticamente la
scansione laser con le immagini ad alta risoluzione acquisite da una fotocamera metrica calibrata ed
installata esternamente in maniera solidale all’asse di rotazione dello strumento.
Acquisizione dati nel sistema Lidar terrestre
I principi di misurazione dei laser scanner terrestri si dividono in tre categorie:
•
laser scanner triangolatori
•
laser scanner a tempo di volo
•
laser scanner a misura di fase
I laser scanner triangolatori sono usati per oggetti piccoli e quando è necessario riprodurre copie in
modo industriale dell'oggetto rilevato; per la loro precisione (possono misurare fino a due decimi di
millimetro su oggetti posti a una distanza ≤ 2 metri) si utilizzano per i rilievi dei monumenti, delle
statue e per l'archiviazione dei reperti archeologici.
Il principio utilizzato è quello dell’intersezione in avanti ed il triangolo (che deve essere il più possibile
equilatero) è formato dall’emettitore, dall’oggetto e dal ricevitore. Se le distanze tra l'emettitore e le
altre due fonti sono troppo grandi (o troppo piccole) la precisione diminuisce.
I laser scanner a tempo di volo sono i più utilizzati in campo architettonico ed ambientale, possono
misurare distanze ≤ 1500 m con precisioni che possono arrivare fino al millimetro.
Il funzionamento, del tutto simile a quello manuale del topografo (s'imposta l'angolo orizzontale, si
collima il punto ecc.), è automatico e l'operazione di misura viene ripetuta milioni di volte ruotando il
laser (il movimento orizzontale avviene per la rotazione dello strumento e quello verticale è calcolato
tramite la rotazione di uno specchio).
Il principio del tempo di volo misura l'intervallo di tempo tra impulso trasmesso e impulso ricevuto:
velocità = prodotto fra lunghezza d'onda e frequenza
tempo = si calcola tramite un orologio con frequenza stabilizzata
I laser scanner a misura di fase sono composti da due parti, una trasmittente e una ricevente ed il loro
funzionamento si basa sull'emissione di una radiazione che viene modulata e trasmessa verso un prisma
che riflette l'onda verso l'apparecchio ricevente che calcola la differenza tra onda emessa e ricevuta (lo
sfasamento dipende dalla distanza fra distanziometro e prisma).
Questi scanner permettono di raggiungere precisioni di qualche millimetro per distanze degli oggetti
comprese tra i 100 e gli 800 metri ma possono raggiungere anche portate sino a 1 km con precisioni di
qualche centimetro (all’aumentare della portata dello strumento si ha un decremento della precisione).
Le principali differenze tra laser scanner e stazione totale sono:
• il laser misura senza prisma riflettente;
• la velocità di acquisizione dei dati nel laser è molto più grande (si possono immagazzinare milioni di
punti al secondo), inoltre il sovracampionamento aumenta notevolmente la qualità del rilievo;
• il laser scanner, oltre alle coordinate x, y, z prende anche informazioni sul colore e sulla riflettanza.
• la misura con laser scanner è automatica e “non intelligente”, non è possibile quindi imporre il
rilievo delle linee di discontinuità degli oggetti rilevati
• non sono richiesti operatori sul luogo del rilievo evitando quindi zone impervie o situazioni ad alto rischio
• il laser rileva in modo automatico una quantità enorme di punti al secondo, mentre la stazione
totale, oltre a richiedere l’intervento continuo dell’operatore, ha un tempo di acquisizione
notevolmente maggiore per ogni singolo punto.
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Come accennato, l'automatizzazione dei laser scanner permette di avere molte informazioni precise, ed
in modo molto veloce ma l'operatore deve sempre prendere in considerazione alcuni accorgimenti per
ottenere un buon rilievo:
• la risoluzione, si deve impostare una griglia di punti a una certa distanza, se l'oggetto è posto a
una distanza superiore la densità sarà minore di quella indicata e viceversa;
• il numero di scatti (shots), la misura viene fatta n volte e il dato immagazzinato è il valore
medio;
• i limiti della distanza, è possibile impostare una distanza massima e una minima di misurazione.
Dopo queste informazioni il calcolatore darà una stima del numero di punti che verranno acquisiti, del
tempo necessario per la loro scansione e della classe del laser da utilizzare.
È molto importante stabilire la posizione dello strumento rispetto all'oggetto da rilevare, facendo
attenzione ai coni d'ombra. Se davanti all’oggetto da rilevare è presente un ostacolo la parte retrostante
non può essere misurata, quindi è necessario spostarsi ed effettuare una seconda ripresa in modo tale
che le due scansioni possano permettere di ottenere una nube completa priva di ombre.
Il vantaggio dell’acquisizione di una grande mole di dati mostra in fase di elaborazione l’altro lato di
questa medaglia, infatti i due problemi principali con cui si deve fare i conti in fase di restituzione
sono:
• la gestione di una grande mole di dati elaborabili solo con calcolatori di fascia medio alta e con
software dedicati;
• il riconoscimento delle linee di discontinuità che non sono mai acquisite direttamente ma
devono sempre essere ricostruite a posteriori
La tecnica di acquisizione delle tre coordinate cilindriche: due angoli ed una distanza, avviene in
maniera continua attraverso una rotazione di uno o due specchi .
Nel caso in figura sottostante vi è la rotazione di un solo specchio attorno ad un asse orizzontale, per
esplorare differenti posizioni verticali.
Una volta scelta la risoluzione angolare dei punti, vi è un meccanismo di rotazione attorno all’asse
verticale (primario) con velocità angolare costante, ma anche dello pecchio che ruotando invece attorno
ad un asse orizzontale, esplora porzioni verticali sempre intervalate angolarmente di quantità costanti.
Si genera così una nuvola di punti che verrà trattata da appositi software.
Particolare dello specchio rotante: le grandezze misurate nel laser scanner terrestre sono distanza e
angoli orizzontali e verticali.
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© Calderini, RCS Libri Education
Modello
Caratteristiche:
Laser Classe 1
Portata fino 4000 m
Fotocamera interna integrata ad alta definizione (5Mpx)
Riduzione delle zone d'ombra dovute alla vegetazione (FULL WAVE
FORM)
Sensore inclinometrico integrato e piombo laser
Antenna GPS integrata
Batteria integrata
Disco solido SSD 40Gb
Alta velocità di acquisizione 147.000 pti/sec
Angoli di scansione: 360° orizzontale +- 60° verticale
Precisione: 15mm
Ripetitibilità: 10mm
Protezione IP64
RIEGL VZ 4000
Laser Classe 1
Portata oltre 500 m
Fotocamera metrica esterna ad alta definizione
Riduzione delle zone d'ombra dovute alla vegetazione (FULL WAVE
FORM)
Sensore inclinometrico integrato e piombo laser
Antenna GPS integrata
Batteria integrata
Memoria interna 8 GB
Interfacciamento diretto con IMU per applicazioni in movimento
Alta velocità di acquisizione 122.000pti/sec
Angoli di scansione: 360° orizzontale +- 100° verticale
Precisione: 5mm
Ripetitibilità: 5mm
Pesi contenuti (<10Kg)
Protezione IP64
RIEGL VZ 1000
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© Calderini, RCS Libri Education
Laser Classe 1
Portata oltre 2000 m
Fotocamera metrica esterna ad alta definizione
Sensore inclinometrico integrato
Antenna GPS opzionale
Interfacciamento opzionale con IMU per applicazioni in movimento
Velocità di acquisizione da 11.000pti/sec a 8000 pti/sec
Angoli di scansione: 360° orizzontale +- 80° verticale
Precisione: 10mm
Ripetitibilità 5mm (con medie)
Protezione IP64
Riegl Lms-Z620
Ideale per la documentazione di ambienti di grandi dimensioni
precisione millimetrica e velocità di scansione,
misurazione e documentazione 3D di edifici, siti Archeologici,
deformazioni di facciate e strutture, scene del crimine, siti di incidenti,
stabilimenti, impianti di processo e molto altro ancora .
Tutti i dati vengono memorizzati su una scheda SD per il trasferimento
su PC.
L'utilizzo di SCENE WebShare permette di condividere le scansioni
anche in Internet. I dati sono compatibili con gli applicativi come JRC
3D Reconstructor, Pointools, Riscan Pro, AutoCAD, Rhino,
Microstation, Geomagic, Polyworks e altri ancora.
Fotocamera a colori integrata: scansioni a colori 3D fotorealistiche con
sovrapposizione automatica dei colori senza parallasse che produce
immagini da 70 megapixel.
Faro Focus 3D
Leica Scan Station C5
M. Pasini – Topografia
Posizione*6 mm
Distanza*4 mm
Angolo (orizzontale/verticale)
60 μrad / 60 μrad (12” / 12”)
Precisione della superficie
modellata**/rumore2 mm
Compensatore biassiale Selezionabile on/off, risoluzione 1”, range
dinamico+/- 5’, precisione 1.5”
Acquisizione del target 2 mm Std deviation
Sistema di scansione laser
Tipo A impulsi; microchip proprietario
Colore Verde, lunghezza d’onda = 532 nm
Classe laser 3R (IEC 60825-1)
Portata 300 m con albedo del 90%; 134 m con albedo del 18%
Velocità di scansione Massima: fino a 50.000 punti/s
Risoluzione di scansione
Dimensioni punto:da 0 a 50 m: 4,5 mm (su base FWHH); 7 mm (su
base gaussiana)
Campo visivo
Orizzontale360° (massimo)
Verticale270° (massimo)
Fotocamera digitale a colori integrata con zoom Alimentazione 15 V
DC, 90 – 260 V AC
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Leica HDS 7000
Lunghezza d’onda 1.5 μm (Invisibile)
Classe Laser 1 (in accordo con. EN 60825-1)
Portara 187 m .
portata minima 0.3 m
Risoluzione 0.1 mm
Dimensione dello spot ~ 3,5 mm a 0,1 m di distanza
Divergenza del raggio < 0,3 mrad
Intervallo di scansione 1 016 727 punti/ sec,
Campo visivo max. 360° x 320° (horizontale / verticale)
Precisione angolare. 125 μrad / 125 μrad (horizontale /
verticale)
Risoluzione angolare l,7 μrad / 7 μrad (horizontal / vertical)
VGA (640 x 320 pixels)
Compensatore biassiale
Portata superiore a 2000 m
Immagini integrata con telecamera ad alta risoluzione
Pacco batterie estraibile
8800 punti al secondo
Visualizzazione dei dati scnsiti su monitor
Leica HDS8800
Portata: ottimizzata a 200m (ideale per rilievi civili), ma
arriva a 350m.
Risoluzione angolare migliore di 32mrad (3mm a 100m) ideale per ricerche, architettura.
Precisione: migliore di 1,5mm a 50m (tipica).
Velocità: oltre 5000 punti/s .
Possibilità di combinare Laser scanning e fotogrammetria.
Campo d’azione: 360° - regolabile.
Trimble GS200
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Artec MH/MHT 3D
È’ uno scanner a triangolazione dalle notevoli prestazioni.
Il processo di scansione con questo strumento diventa
estremamente semplice; basta muoversi attorno all'oggetto
continuamente e riprenderlo da varie angolazioni, mentre il
software unisce automaticamente tutti i fotogrammi
acquisiti in un unica mesh. Non ha bisogno alcun riflettore.
Il software in automatico riconosce la geometria
dell'oggetto per allineare correttamente i vari fotogrammi e
fonderli insieme.
Velocità di misura fino a 500.000 punti al secondo,
Alta risoluzione (fino a 0,5 mm) e precisione (fino a 0,1
mm).
Artec scanner può essere utilizzato per eseguire la
scansione del corpo umano in applicazioni mediche.
Artec MH/MHT 3D cattura anche un brillante spettro di
colori (fino a 24 bpp).
Catturare sia i colori sia la geometria dell'oggetto permette
di ottenere come risultato un modello 3D texturizzato ad
elevata risoluzione.
Lynx Mobile Mapper™
è utilizzato per rilievi da veicoli in movimento.
caratteristiche del laser:
•
•
Optech
•
Alta precisione in ambito urbano.
Dettaglio senza precedenti per l'asset management
ferroviario.
Rapida 3D dei dati di autostrade, infrastrutture ed
edifici.
ESEMPI DI APPLICAZIONI DI LASER TERRESTRI
Esempio1 tratto da: Sperimentazione di Tecniche 3D per il rilevamento di Beni Culturali
(S.D’Amelio, D. Emmolo, M. Lo Brutto, P.Orlando, B. Villa) Atti Conferenza Asita 2005.
Viene applicato il rilievo tridimensionale ad
oggetti di piccola o media dimensione nello
studio di problemi connessi a metodologie
archeologiche con laser scanner molto vicino e
con applicazione di lente avanti all’obbiettivo .
L’apparato laser ha le seguenti caratteristiche:
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Metopa di “Europa rapita dal toro” Modello 3d
fotorealistico
volto di Europa nella semplificazione TIN
Esempio 2 tratto da: L’utilizzo del laser scanner per lo studio degli elementi decorativi di facciata”
(Mariateresa Galizia , Luigi Andreozzi) Atti Conferenza Asita 2005.
La finalità del rilevo è la comprensione delle caratteristiche geometrico spaziali ma anche materico
cromatiche del parapetto della balconata e della loggia della casa Platamone.
Si è utilizzato un laser scanner Leica Cyrax 2500 della Cyra Tecnologies.
La figura sottostante è un modello 3D “texturizzato” o drappeggiato” cioè un modello 3d su cui è stata
proiettata l’immagine fotografica sulla mesh.
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Sezioni con piani verticali ed orizzontali eseguite sul modello “texturizzato”
Raddrizzamento e modelli lineari
Il raddrizzamento o trasformazione omografica è una operazione che viene realizzata quando si
dispone di una sola immagine (a differenza della fotogrammetria che opera su coppie di immagini) e
consiste nel determinare la posizione dei punti dell’oggetto che appartengono ad un piano di particolare
rilevanza per l’oggetto stesso, come ad esempio il piano della facciata di un edificio, a partire dalla
posizione delle immagini di questi punti sul piano della fotografia (mentre con la fotogrammetria è
possibile determinare la posizione spaziale dei punti).
L’immagine fotografica si ottiene come proiezione di tutti i punti dell’oggetto su di un piano tramite un
centro di proiezione interno all’obbiettivo; tale immagine è quindi una proiezione centrale (se si
trascurano gli effetti dovuti alla rifrazione atmosferica, alla distorsione degli obbiettivi ed altro ancora)
dalla quale non si possono determinare delle misure rapportabili alle dimensioni reali dell’oggetto in
quanto non è possibile definire una scala unica.
Però nel caso in cui l’oggetto fotografato risulti piano, è possibile effettuare una trasformazione
matematica detta appunto omografia (corrispondenza biunivoca tra i punti dell’oggetto e i punti
immagine) che, eliminando gli effetti della prospettiva, realizza una nuova proiezione centrale
corrispondente alla proiezione ortogonale del piano considerato.
Essendo una trasformazione tra piani l’omografia non è applicabile ad oggetti che presentano curve,
avancorpi o nicchie, infatti tutti gli elementi che si discostano dal piano, sul quale viene assunto il
sistema di riferimento immagine, subiranno delle deformazioni nell’immagine raddrizzata risultando
geometricamente non corretti.
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Siccome nessun elemento architettonico è piano, di volta in volta bisognerà valutare se gli spostamenti
dal piano medio comportano errori accettabili o meno. Gli elementi che influenzano l’entità dell’errore
sono:
o entità della rientranza o della sporgenza
o posizione della rientranza o della sporgenza rispetto al centro di proiezione
o lunghezza focale della camera
(Immagine presa da Geco Geomatic for conservation & communication of cultural heritage laboratory)
Il modello più aderente al modello della proiezione centrale è quello omografico a 8 parametri che si
esprime con le seguenti relazioni:
a ξ + a 2 η + a3
⎧
x= 1
⎪⎪
c1 ξ + c 2 η + 1
⎨
b1 ξ + b2 η + b3
⎪y =
⎪⎩
c1 ξ + c 2 η + 1
Questi otto parametri incogniti sono, se guardiamo con attenzione, le tre
incognite della rototraslazione piana più le due deformazioni in scala in
X e di scala in Y, più una deformazione angolare di scorrimento e infine
le deformazioni dovute alla convergenza angolare delle rette parallele a
X e delle rette parallele ad Y (3+2+1+2 =8).
Gli otto parametri dell’omografia:
λx = fattore di scala secondo l’asse X
λy = fattore di scala secondo l’asse Y
θ = rotazione rigida
Δx= traslazione rigida secondo l’asse X
Δy= traslazione rigida secondo l’asse Y
αx= angolo di convergenza longitudinale
αy= angolo di convergenza trasversale
γ = angolo di scorrimento
Si possono ricavare le rotazioni, le traslazioni e le deformazioni estraendoli dai parametri a, b, c
incogniti attraverso le seguenti relazioni:
Per calcolare gli otto parametri che definiscono la trasformazione omografica
a1 = λx × cos θ
è necessario conoscere la posizione di almeno 4 punti dell’oggetto rilevato
a2 = λx × cos (θ +γ )
espressi nel sistema di riferimento oggetto ed individuabili nel sistema di
a3 = Δx
M. Pasini – Topografia
© Calderini, RCS Libri Education
b1 = −λy × sen θ
b2 = λy × cos (θ − γ )
b3 = Δy
c1 = αx / 2
c2 = αy / 2
riferimento immagine; in questo modo si hanno a disposizione 4×2 = 8
elementi per poter scrivere un sistema di 8 equazioni nelle 8 incognite che si
devono determinare.
Tali punti devono essere opportunamente distribuiti sull’oggetto e facilmente
individuabili nel sistema immagine; la conoscenza di un numero di punti
superiore a 4 permette di determinare la precisione del sistema e calcolare le
incognite mediante il metodo dei minimi quadrati.
Esercizio
Si sono misurate le coordinate immagine di quattro punti su un fotogramma che riprende una superficie
piana e sono le seguenti (misure sul terreno in m).
PUNTO
1
2
3
4
X foto
0,3137
0,3667
2,0924
1,4725
Y foto
8,4485
11,079
12,598
6,3916
X terreno
18,7045
20,1654
20,9218
16,9524
Y terreno
9,02032
8,07843
6,57854
9,40815
a destra: immagine fotografica su cui è stato sovrapposto il disegno CAD; a sinistra vi è l’immagine
“raddrizzata”con assi ottici paralleli
Soluzione: dopo aver risolto un sistema di otto incognite, si ricavano dai valori a, b, c le traslazioni le
rotazioni ed i fattori di scala che sono:
Trasl.
Trasl.
Angolo
Angolo
Scala
Scala Rotazione Scorrimento
in X
in Y
convergenza convergenza
in X
in Y
(gon)
trasversale
(m)
(m)
longitudinale
trasversale
(gon)
(gon)
(gon)
0,055
− 0,050
M. Pasini – Topografia
− 16,900
− 22,034
2,0560
1,479
66,756
− 7,201
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Esercizio
Vedere come si modificano i valori dell’esercizio precedente utilizzando il metodo dei minimi quadrati
con gli ulteriori seguenti tre punti.
PUNTO
5
6
7
M. Pasini – Topografia
X foto
3,4569
7,3624
6,3076
Y foto
5,0348
11,502
10,1269
X terreno
15,1575
16,1997
16,0537
Y terreno
9,2516
3,18867
5,4498
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APPENDICE DI ALGEBRA MATRICIALE
Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m × n numeri disposti su m righe ed n colonne; i numeri
che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice.
Nella forma generale si indica in questo modo:
⎡ a11 a12 ... a1n ⎤
⎢ 1 2
n ⎥
⎢ a1 a1 ... a1 ⎥
. ⎥ = ⎡⎣ aik ⎤⎦ oppure [ aik ] con ⎧⎨i = 1, 2,...n
Amn = ⎢ . .
⎢
⎥
⎩k = 1, 2,...n
. ⎥
⎢. .
⎢ a1 a 2 ... a n ⎥
1 ⎦
⎣ 1 1
righe
colonne
Le matrici si possono considerare un insieme di vettori con le componenti disposte ordinatamente in
riga o in colonna.
DEFINIZIONI
Bmn si dice matrice nulla perché tutti gli elementi sono nulli.
C33 si dice matrice diagonale perché tutti gli elementi sono nulli tranne quelli sulla diagonale.
D33 si dice matrice unitaria perché è una matrice diagonale con tutti gli elementi uguali ad uno.
⎡0
⎢0
⎢
Bmn = ⎢ .
⎢
⎢.
⎢⎣0
0 ... 0 ⎤
0 ... 0 ⎥
⎡1 0 0 ⎤
⎡1 0 0 ⎤
⎥
.
. ⎥ C 3 = ⎢0 5 0 ⎥ D 3 = ⎢0 1 0 ⎥
3
⎢
⎥ 3 ⎢
⎥
⎥
.
.⎥
⎢⎣0 0 −3⎦⎥
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
0 ... 0 ⎥⎦
La matrice trasposta è una matrice in cui si invertono le linee con le colonne, ad esempio:
3⎤
⎡1
A32 = ⎢ 0 − 8 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 7
4 ⎥⎦
⎡1 0 7 ⎤
AT = A23 = ⎢
⎥
⎣ 3 −8 4 ⎦
La matrice simmetrica è una matrice quadrata i cui elementi riga e colonna sono uguali cioè
ai j = aij :
⎡1 7 3 ⎤
E33 = ⎢7 4 −1⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 3 −1 9 ⎦⎥
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© Calderini, RCS Libri Education
La matrice emisimmetrica è una matrice con diagonale nulla con elementi simmetrici di segno
opposto
⎡ 0 7 3⎤
F33 = ⎢ −7 0 1 ⎥
⎢
⎥
3
1
0
⎢−
−
⎣
⎦⎥
Il prodotto di uno scalare per una matrice è una matrice i cui elementi sono tutti moltiplicati per lo
scalare in questione.
La somma o differenza tra due matrici è possibile se le matrici hanno entrambe lo stesso numero di
righe e di colonne.
La matrice somma ha i termini uguali alla somma dei due termini delle due matrici da sommare.
⎡ a11 a12 a13 ⎤
⎡b11 b12 b13 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
A = ⎢ a12 a22 a23 ⎥ B = ⎢b21 b22 b23 ⎥ C =A+B
⎢⎣ a31 a32 a33 ⎥⎦
⎢⎣b31 b32 b33 ⎥⎦
⎡ c11 c12 c13 ⎤
⎢
⎥
C = ⎢c12 c22 c23 ⎥ con cij = aij + bi j
⎢⎣ c31 c32 c33 ⎥⎦
La differenza tra due matrici si effettua come per la somma, ovvero si sommano i termini della prima
matrice per quelli della seconda cambiati di segno.
Il prodotto di due matrici è possibile se il numero di colonne della prima matrice.
La matrice prodotto avrà llo stesso numero di righe della prima e lo stesso numero di colonne della
seconda.
A = ⎡⎣ anm ⎤⎦ B = ⎡⎣bmr ⎤⎦
C = ⎡⎣ cnr ⎤⎦
con
C=A × B
n
cij = ∑ aij × bij
j =1
La moltiplicazione fra matrici è generalmente non commutativa (in altre parole, AB e BA sono due
matrici diverse).
Proprietà distributiva del prodotto
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Proprietà associativa del prodotto
Prodotti notevoli tra matrici
Trasposta di un prodotto
Determinante di una matrice
Per ogni matrice quadrata [A] si può calcolare il determinante che si indica con λ oppure det(A) oppure
|A| .
Sino a che la matrice ha un numero di righe (e colonne) piccolo il calcolo del determinante è semplice
ed è uguale a tutte le permutazioni possibili del prodotto degli elementi delle diagonali della matrice
cioè in termini matematici:
Esiste un sistama più semplice per calcolare il determinante attraverso attraverso i “minori” della
matrice, intendendo per minore di ordine p di A il determinante di una qualunque sottomatrice quadrata
di ordine p estratta da A , in particolare all’elemento aij si associa il minore Ci,j che si ottiene elininando
l’i-esima riga e la j-esima colonna e si calcolerà poi:
dove Ci,j è il complemento algebrico della coppia (i,j), cioè Ci,j è data da (−1) i + j per il determinante
del minore di ordine n − 1 ottenuto dalla matrice A eliminando la riga i-esima e la colonna j-esima.
⎡a b ⎤
A=⎢
⎥
⎣c d ⎦
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A = ad − bc
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Quando la matrice diventa 3 x 3 il numero dei prodotti è 3! Cioè 6.
Rango di una matrice
Rango o caratteristica di A è il massimo ordine dei minori non nulli che si possono estrarre da A.
Il rango di una matrice non è altro che il numero di righe o di colonne linearmente indipendenti.
Il rango r di una matrice è sempre determinabile, perché il massimo ordine dei minori estraibili da A è p
= minimo (m,n).
Se tutti i minori di ordine p sono nulli, il rango di A è minore di p e per determinarne il valore bisogna
allora valutare tutti i minori di ordine p−1 (con p−1 > 0). Se almeno uno di essi è non nullo, allora r =
p−1, altrimenti il rango di A ha valore inferiore. Se sono nulli tutti i minori estratti da A di ordine p ≥ 2,
si considerano gli elementi di A come minori del primo ordine: in questo caso diremo che la matrice ha
rango 1 se almeno una dei suoi elementi non è nullo e ha rango 0 se tutti i suoi elementi sono nulli.
Inversa di una matrice
È possibile questa operazione solo se la matrice è “non singolare” e se il numero di linee è uguale a quello delle
colonne (matrice quadrata).
Data una matrice A, dicesi inversa di A la matrice B tale per cui AB = BA = I
Metodo della matrice dei cofattori
Il metodo della matrice dei cofattori risulta particolarmente rapido quando non interessa calcolare tutti
gli elementi della matrice inversa, e quando la matrice è di dimensione contenuta. Inoltre, la presenza
di variabili letterali tra gli elementi non aumenta di molto la complessità del calcolo.
Data una matrice A quadrata e invertibile
⎛ x1,1 ... xi , j ⎞
⎜
⎟
−1
A = ⎜ ... ... ... ⎟ la sua inversa A è la seguente:
⎜ x ... x ⎟
i, j ⎠
⎝ i ,1
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dove la notazione det(A) indica il determinante di A e l'esponente T indica l'operazione di trasposizione
righe/colonne; la matrice:
è la matrice dei complementi algebrici detti anche cofattori.
dove minor (A,i,j) rappresenta il minore di A che si ottiene cancellando la riga i-esima e la colonna jesima.
Il segno (−1)i + j varia nel modo seguente:
Esempio
La matrice inversa di una matrice 2 per 2 invertibile
è la seguente
Data invece una matrice 3 per 3 invertibile
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la sua inversa è la seguente
dove
Matrici ortogonali
Una matrice ortogonale è una matrice quadrata che può essere definita in vari modi, tutti equivalenti:
- una matrice invertibile la cui trasposta coincide con la sua inversa;
- una matrice che rappresenta una isometria dello spazio euclideo;
- una matrice di cambiamento di base fra due basi ortonormali.
Secondo la prima definizione, G è ortogonale se e solo se:
Un esempio di matrice ortogonale è la matrice quadrata identità oppure la seguente matrice:
⎡ senα cos α ⎤
con det( A) = sen 2α + cos 2 α = 1
⎢ − cos α senα ⎥
⎣
⎦
Una matrice quadrata è ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale dello
spazio euclideo Rn con l'ordinario prodotto scalare. In effetti questa proprietà è semplicemente la
rilettura della relazione GT×G = In.
Rileggendo similmente la relazione GT×G = In, si ricava l'enunciato duale del precedente: una matrice
quadrata reale è ortogonale se e solo se le sue righe formano una base ortonormale di Rn.
Isometrie
Geometricamente, le matrici ortogonali descrivono le trasformazioni lineari di Rn che sono anche
isometrie. Queste preservano il prodotto scalare dello spazio, e quindi gli angoli e le lunghezze. Ad
esempio, le rotazioni e le riflessioni sono isometrie.
In uno spazio euclideo di dimensione 2 e 3, ogni matrice ortogonale esprime una rotazione intorno ad
un punto o un asse, o una riflessione, o una composizione di queste due trasformazioni.
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Trasformazioni associate a matrici ortogonali
Rototraslazione piana
Per passare dal sistema x,y al sistema X, Y si può vedere dalla figura che
In forma matriciale si può scrivere la seguente relazione:
⎛ X ⎞ = R⎛ x ⎞ + ⎛ X o ⎞
⎜ Y ⎟ ⎜ y⎟ ⎜ Y ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ o⎠
⎡ cos α
⎣ senα
(*) con R = ⎢
−senα ⎤
cos α ⎥⎦
La matrice di rotazione R è funzione di un solo angolo R = R(α)
Utillizzare questa forma per la matrice R nella (*) porta alla scrittura di un sistema non lineare in α ; si
preferisce perciò riscrivere l’equazione precedente nella forma:
⎛ X ⎞ ⎛ x ⋅ cos α − y ⋅ senα ⎞ ⎛ X 0 ⎞
⎜ Y ⎟ = ⎜ x ⋅ senα + y ⋅ cosα ⎟ + ⎜ Y ⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎝ 0⎠
avendo posto a = cos(α) e b = sin(α) si ottiene un sistema lineare in a e b così fatto:
⎧ X = ax − by + X 0
⎨
⎩ Y = bx + ay + Y0
È ovviamente possibile calcolare α a partire da a e b con: α = arctan ⎛⎜ b ⎞⎟
⎝a⎠
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Rototraslazioni spaziali
Fig. a: rotazione ω attorno a x
Fig. b: rotazione ϕ attorno ad y
Fig. c: rotazione κ attorno a z
La rotazione spaziale può essere vista come somma di tra rotazioni: quella attorno a x in cui non ruota l’asse x,
quella attorno a y, in cui non ruota l’asse y e quella attorno all’asse z.
Nella prima rotazione gli assi diventano x’ y’ z’; nella seconda x” y” z” e nella terza x”’, y”’ , z”’. SI noti che
la rotazione positiva è quella che avvita una vite nella direzione positiva dell’asse attorno a cui ruota.
0
0 ⎞⎛ x ⎞
⎛ x'⎞ ⎛1
⎜ y ' ⎟ = ⎜ 0 cos ω senω ⎟⎜ y ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ z ' ⎟ ⎜ 0 −senω cos ω ⎟⎜ z ⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠⎝ ⎠
Cioè l’asse x’ non viene toccato e ruotano gli altri assi.
Allo stesso modo una rotazione attorno all’asse y’ già ruotato si calcola con la seguente matrice di rotazione:
⎛ x " ⎞ ⎛ cos ϕ 0 senϕ ⎞⎛ x ' ⎞
⎜ y "⎟ = ⎜ 0
1
0 ⎟⎜ y ' ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ z " ⎟ ⎜ −senϕ 0 cos ϕ ⎟⎜ z ' ⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠⎝ ⎠
L’ultima rotazione κ attorno all’asse z” si calcola con la seguente matrice di rotazione che non
modifica la coordinata z”. Alla fine tutte le tre rotazioni provocano il seguente cambio di sistema:
0
0 ⎞⎛ x ⎞
⎛ x '" ⎞ ⎛ cos k senk 0 ⎞⎛ cos ϕ 0 senϕ ⎞⎛ 1
⎜ y '" ⎟ = ⎜ −senk cos k 0 ⎟⎜ 0
⎟⎜
⎟
1
0 ⎟⎜ 0 cos ω senω ⎟⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜
⎟⎜ y ⎟
⎜ z '" ⎟ ⎜ 0
⎟⎜
⎟⎜ ⎟
0
1 ⎟⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎠⎝ −senϕ 0 cos ϕ ⎠⎝ 0 −senω cos ω ⎠⎝ z ⎠
⎛ x ''' ⎞ ⎛ cos ϕ cos k
⎜ ⎟ ⎜
⎜ y ''' ⎟ = ⎜ − cos ϕ senk
⎜ z ''' ⎟ ⎜ senϕ
⎝ ⎠ ⎝
cos ω senk + senω senϕ cos k senω sen − cos ω senϕ cos k ⎞⎛ x ⎞
⎟⎜ ⎟
cos ω cos k + senω senϕ senk senω cos k + cos ω senϕ senk ⎟⎜ y ⎟
⎟⎜ z ⎟
−senω cos ϕ
cos ω cos ϕ
⎠⎝ ⎠
Indicando con R la soprascritta matrice di rotazione, per la proprietà delle matrici ortogononali si può
scrivere anche il passaggio inverso cioè:
⎛ x⎞
⎛ x ''' ⎞
⎜ y ⎟ = RT ⎜ y ''' ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜z⎟
⎜ z ''' ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
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