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Gennaio 11, 2005
127
CAPITOLO 5
Flussi incomprimibili
viscosi
Introduzione Questo capitolo è dedicato allo studio dei flussi incomprimibili
di un fluido viscoso. Forniremo inizialmente una descrizione del fenomeno della
viscosità nel caso particolarmente semplice di un fluido che si muove in una sola
direzione, caso monodimensionale. Estendendo questa nozione semplificata al
caso di flusso generale in tre dimensioni, sempre incomprimibile, formuleremo
l’espressione della forza agente sulle particelle di fluido in conseguenza della sua
viscosità. L’inclusione del nuovo termine viscoso nell’equazione del quantit à di
moto permetterà di scrivere il sistema delle equazioni di Navier–Stokes, del quale
saranno anche fornite le condizioni supplementari iniziali e al contorno necessarie
per ottenere un problema matematicamente completo. In questo ambito, analogamente a quanto visto nel capitolo 3 per le equazioni di Eulero incomprimibili,
indicheremo anche le condizioni di compatibilità che i dati iniziale e al contorno
devono soddisfare nel caso del problema incomprimibile viscoso.
Dopo avere formulato le equazioni e le relative condizioni per i problemi
incomprimibili viscosi, introdurremo la forma adimensionale delle equazioni e il
numero di Reynolds. A questo punto saremo in grado di ricavare alcune soluzioni
analitiche delle equazioni di Navier–Stokes che descrivono flussi in regioni dalla
geometria molto semplice. Analizzeremo prima soluzioni stazionarie e poi soluzioni
dipendenti dal tempo.
Nel primo caso esamineremo il flusso unidirezionale di un fluido che riempie lo
spazio fra due pareti piane parallele, di cui una eventualmente in moto con velocit à
costante, in presenza o meno di un gradiente di pressione uniforme in tutta la regione
occupata dal fluido. Considereremo anche il caso di un fluido che scorre all’interno
di un tubo generato da un gradiente di pressione parallelo all’asse del tubo. Inoltre
analizzeremo il moto di uno strato di fluido che scorre su un piano in conseguenza
del campo di gravità terrestre.
Un intero paragrafo è poi dedicato allo studio del flusso incomprimibile viscoso
attorno a una sfera nel caso di velocità molto piccole per il quale la forza agente sul
corpo è data dalla celebre legge della resistenza di Stokes.
Per quanto riguarda i problemi dipendenti dal tempo, studieremo come un fluido
inizia a muoversi in virtù dell’attrito viscoso a causa del movimento traslatorio
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128
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CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
improvviso di una parete piana; di questo tipo di moto considereremo due esempi
particolari. Nel primo caso il dominio è esteso a tutto il semispazio occupato dal
fluido, nel secondo caso è limitato alla regione compresa fra due lastre parallele.
In un paragrafo separato presenteremo alcune soluzioni esatte delle equazioni
incomprimibili in coordinate cilindriche che descrivono il moto del fluido lungo
traiettorie circolari. Considereremo prima il flusso stazionario generato in una
regione delimitata da due superfici cilindriche dalla loro rotazione uniforme. Di
seguito analizzeremo l’evoluzione del moto di una colonna di fluido che all’istante
iniziale ruota in modo rigido e che viene frenata dall’arresto improvviso della parete
cilindrica delimitante il fluido e poi il decadimento nel tempo di un vortice rettilineo.
L’ultimo paragrafo del capitolo è dedicato a una descrizione più articolata del
fenomeno della viscosità. Per capire il fenomeno dell’attrito interno in un fluido
è necessario considerare la situazione più generale di un fluido che può essere
comprimibile. Presenteremo pertanto un’analisi che va oltre i confini stabiliti
dall’ipotesi di flusso incomprimibile, per cui questo paragrafo pu ò essere quasi
considerato come un intruso in questo capitolo. Tuttavia le equazioni di Navier–
Stokes incomprimbili sono cosı̀ importanti nella dinamica dei fluidi da rendere
fin d’ora opportuna, se non addirittura necessaria, una descrizione non troppo
superficiale del fenomeno dell’attrito viscoso nei fluidi.
5.1 Viscosità dinamica e viscosità cinematica
Le soluzioni del flusso stazionario incomprimibile e irrotazionale attorno a una sfera
o a un cilindro circolare calcolate nel capitolo precedente mostrano che un fluido
non viscoso in contatto con il corpo solido “scivola” sulla sua superficie. Questo
comportamento è coerente con l’ipotesi di viscosità nulla per cui la condizione al
contorno da imporre sulla velocità riguarda solo la componente normale e questa
deve essere nulla.
L’esame dei flussi reali rivela invece che non esiste alcuno scivolamento del
fluido sulla parete di un corpo solido. Negli esperimenti si osserva infatti che la
velocità di qualunque fluido reale si annulla sulla superficie dei corpi, ovvero che
anche la sua componente tangente risulta essere nulla. La regione in cui si verifica
la riduzione del modulo della velocità dal valore asintotico, a grande distanza dal
corpo, al valore nullo su di esso può essere di dimensioni confrontabili o addirittura
maggiori di quelle caratteristiche del corpo stesso, oppure pu ò essere una zona
molto sottile in prossimità della sua superficie. La zona sottile in cui |u| decresce
rapidamente, ancorché in modo continuo, da un valore assegnato fino a al valore
nullo si chiama strato limite. In questa zona gli effetti della viscosit à del fluido
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Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.1:
y
u(y)
y = costante
Figura 5.1
Campo di velocità di taglio
Viscosità dinamica e viscosità cinematica
129
diventano importanti e il modello di fluido non viscoso considerato finora deve
essere abbandonato.
Per renderci conto di questo problema dobbiamo precisare cosa intendiamo
con il termine “fluido viscoso”. A questo fine consideriamo il caso di un semplice
flusso cosidetto di taglio, ovvero di un campo di velocit à piano unidirezionale del
tipo:
u(r) = [u(y), 0, 0] = u(y) x̂,
come mostrato di fianco. Nel caso di un fluido non viscoso lo sforzo, cio è la
forza per unità di area della superficie di contatto, che il fluido immediatamente
sopra un piano y = costante esercita sul fluido immediatamente al di sotto, non
ha alcuna componente tangente. Viceversa, per un fluido viscoso lo sforzo ha
una componente tangente s tipicamente diversa da zero. Infatti la velocit à del
fluido nella zona superiore è maggiore di quella del fluido nella zona inferiore per
cui il primo tenderà ad aumentare la velocità del secondo. Al contrario, il fluido
immediatamente sotto il piano y = costante esercita uno sforzo sul fluido al di
sopra, ed essendo la sua velocità nella zona inferiore più piccola di quella nella
zona superiore, il fluido sotto tenderà a ridurre la velocità di quello sopra. Nel caso
particolare di fluido viscoso newtoniano lo sforzo di taglio s è proporzionale alla
derivata della velocità, ovvero, nel caso considerato, vale la relazione
s =µ
du
,
dy
dove µ è una proprietà del fluido chiamata viscosità dinamica o più semplicemente
viscosità. Molti fluidi reali, come l’acqua e l’aria, si comportano secondo la
precedente relazione lineare, ma esistono anche molti altri fluidi viscosi, come
le vernici, i polimeri, la maionese e il miele, che hanno un comportamento pi ù
complicato che è detto non newtoniano.
Da un punto di vista dinamico una grandezza molto importante è la cosidetta
viscosità cinematica che è definita dal rapporto fra la viscosità dinamica e la densità
del fluido
µ
ν= .
ρ
Nella tabella 1 sono riportati i valori della densità ρ e delle viscosità dinamica µ
e cinematica ν del mercurio, dell’acqua e dell’aria in condizioni termodinamiche
standard, ovvero alla temperatura di T = 300 K e alla pressione atmosferica
P = 1.01 × 105 Pa.
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CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
Proprietà meccaniche di alcuni fluidi alla temperatura di T = 300 K e
alla pressione atmosferica P = 1.01 × 105 Pa
Tabella 1.
ρ densità
Fluido
mercurio, Hg
acqua, H2 O
aria
3
kg/m
13 550
998
1.18
µ viscosità dinam.
kg/(m · s)
1.56 × 10−3
1.0 × 10−3
18.5 × 10−6
ν viscosità cinem.
m2 /s
0.115 × 10−6
1.0 × 10−6
15.6 × 10−6
I valori delle tre grandezze considerate possono variare sensibilmente con la temperatura e dipendono anche, seppure in modo meno sensibile, dalla pressione del
fluido. Tuttavia, in gran parte di questo libro si considera un modello di fluido in
cui la densità ρ e la viscosità dinamica µ sono costanti. Per indicare esplicitamente
i limiti di validità della nostra analisi, abbiamo indicato con ρ la densità del fluido quando essa è considerata uniforme e costante. In modo analogo nel seguito
indicheremo con µ la viscosità dinamica quando essa potrà essere considerata una
costante caratteristica del fluido, indipendente cioè da temperatura e pressione. La
viscosità cinematica ν sarà invece indicata sempre senza alcuna sopralineatura dato
che, come vedremo, il suo uso è limitato al caso incomprimibile con fluidi di densità
uniforme e con viscosità costante, per cui la definizione effettiva del coefficiente di
viscosità cinematica ν è
ν=
µ
.
ρ
Soltanto nell’ultimo paragrafo di questo capitolo considereremo il caso generale
dei fluidi comprimibili per i quali il fenomemo dell’attrito viscoso risulta dipendere
dalle condizioni termodinamiche del fluido. In quel paragrafo la viscosit à dinamica
sarà allora una funzione (in generale non costante) delle variabili termodinamiche
T e P.
5.2 Forza di attrito viscoso
Lo sforzo viscoso nel caso del flusso di taglio ora considerato provoca una forza
tangenziale per unità di volume parallela alla velocità. Consideriamo infatti un
volumetto di fluido di forma prismatica con base ∆x ∆z e altezza ∆y avente il
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PARAGRAFO 5.2: Forza di attrito viscoso
131
vertice inferiore sinistro nel punto (x, y, z). Lo sforzo viscoso che agisce sul fluido
(il fluido
contenuto nel volumetto attraverso la faccia superiore è dato da µ du(y+∆y)
dy
esterno più veloce tende ad aumentare la velocità del fluido nel volumetto) mentre
lo sforzo agente attraverso la faccia inferiore è dato da −µ du(y)
d y (il fluido esterno
più lento tende a ridurre la velocità del fluido nel volumetto). La forza netta per
unità di volume sarà allora data dalla differenza
µ du
− µ du
du
du
1
d
y
d
y
y+∆y
y
∆x − µ
∆x =
µ
Fxvisc =
.
∆x ∆y
dy y+∆y
dy y
∆y
Facendo tendere a zero la dimensione del volumetto, avremo la forza viscosa per
unità di volume
du
d
µ
Fxvisc =
dy
dy
che nel caso particolare di viscosità dinamica costante, µ = µ, diventa
Fxvisc = µ
d 2u
.
dy 2
Questo termine deve essere aggiunto nel secondo membro dell’equazione della
quantità di moto, o meglio, nell’equazione relativa alla sua componente x.
L’espressione della forza viscosa appena ricavata permette di capire perch é gli
effetti viscosi possono diventare molto importanti nello strato limite di un qualsiasi
flusso viscoso. Il motivo è che il gradiente della velocità può diventare molto
maggiore nello strato limite che non nelle altre parti del flusso, poich é una variazione
rilevante della velocità si può verificare in uno strato molto sottile. In questo modo
lo sforzo viscoso, e ancora più la sua derivata, che rappresenta la forza viscosa,
diventano essenziali in uno strato sottile, anche se la viscosit à è tanto piccola da
permettere di trascurare gli effetti viscosi nelle altre regioni del flusso.
Nel caso di flussi tridimensionali ma sempre incomprimibili, la forza causata
dall’attrito viscoso in un fluido dovrà essere un vettore e dipenderà dalla derivata
seconda del campo vettoriale di velocità u. Per generalizzare l’espressione ora
stabilita nella situazione semplice del flusso di taglio, si deve seguire un procedimento piuttosto elaborato che sarà sviluppato nell’ultimo paragrafo del capitolo
considerando il caso generale di un fluido comprimibile. Per gli scopi attuali
dello studio dei flussi incomprimibili di un fluido con densit à uniforme e viscosità
dinamica costante, µ = µ, possiamo scrivere direttamente la formula finale della
forza vettoriale per unità di volume, che sarà ricavata nel paragrafo 5.10,
Fvisc = µ
2
u,
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132
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CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
dove 2 rappresenta l’operatore laplaciano. Dividendo questa grandezza per la
densità uniforme ρ del fluido, la forza viscosa per unità di massa f visc = Fvisc /ρ
risulta espressa dalla seguente relazione:
f visc = ν
2
u.
5.3 Equazioni di Navier–Stokes incomprimibili
Includendo la forza viscosa per unità di massa ν 2 u nel secondo membro dell’equazione dinamica della velocità dedotta nel paragrafo 2.3,il sistema delle due equazioni
che governano il flusso incomprimibile di un fluido viscoso (newtoniano) avente
densità uniforme assume la forma seguente
∂u
+ (u
∂t
)u +
P
=ν
ρ
2
u + g,
u = 0.
Questo sistema è noto con il nome di equazioni di Navier–Stokes per i flussi
incomprimibili. Il sistema è costituito da due equazioni, la prima vettoriale e
la seconda scalare, nelle due funzioni incognite u(r, t) e P(r, t), essendo ρ una
costante nota. Pertanto il sistema ha tante equazioni quante incognite e pu ò essere
risolto una volta completato con le necessarie condizioni iniziale e al contorno.
Come nel caso delle equazioni di Eulero, la pressione è presente nel sistema
onde fornire i gradi di libertà necessari per potere imporre la condizione di incomprimibilità sul campo della velocità. Tecnicamente si esprime questo fatto dicendo che
P(r, t) costituisce il moltiplicatore di Lagrange associato al vincolo
u=0
che deve essere soddisfatto dalla velocità u(r, t) in ogni punto r e in ogni istante t.
Il campo della forza esterna g potrà anche essere diverso dal campo gravitazionale e in generale potrà dipendere dallo spazio ed eventualmente anche dal
tempo, ovvero, g = g(r, t).
Esempio 1 Equazioni di Navier–Stokes in coordinate cilindriche
Se la regione in cui si muove il fluido è assisimmetrica, ossia è invariante per
rotazioni attorno a un asse che chiameremo asse z, allora è conveniente utilizzare
un sistema di coordinate cilindriche per descrivere il moto del fluido.
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PARAGRAFO 5.3:
Equazioni di Navier–Stokes incomprimibili
133
Ricordando le equazioni di Eulero in coordinate cilindriche ricavate nel paragrafo
3.3, le equazioni di Navier–Stokes in coordinate cilindriche si ottengono aggiungendo il termine viscoso, che è riportato nel paragrafo A.8 dell’appendice A. Otteniamo quindi
∂u R
+u
∂t
uR −
2
u R uθ
1 ∂P
uθ +
+
=ν
R
ρ R ∂θ
∂u θ
+u
∂t
∂u z
+u
∂t
u 2θ
1 ∂P
+
=ν
R
ρ ∂R
uz +
1 ∂P
=ν
ρ ∂z
2
uR −
2
2 ∂u θ
uR
,
−
R2
R 2 ∂θ
uθ
2 ∂u R
,
uθ − 2 + 2
R
R ∂θ
uz ,
1 ∂(Ru R )
1 ∂u θ
∂u z
+
+
= 0.
R ∂R
R ∂θ
∂z
Nel caso particolare in cui il campo di velocità iniziale u0 è assisimmetrico, ossia indipendente da θ, per cui u0 = u0 (R, z), nelle regione assisimmetrica sono possibili
soluzioni del campo di moto aventi la stessa simmetria di invarianza per rotazioni attorno all’asse. Tali soluzioni sono allora del tipo u = u(R, z, t) e P = P(R, z, t). I
campi u(R, z, t) e P(R, z, t) sono allora governati dalle equazioni di Navier–Stokes
per flussi incomprimibili assisimmetrici ottenute dalle precedenti eliminando tutti i
termini contenenti la derivata rispetto a θ, ovvero,
∂u R
+u
∂t
∂u θ
+u
∂t
∂u z
+u
∂t
u 2θ
1 ∂P
+
=ν
R
ρ ∂R
uθ
uθ = ν 2uθ − 2 ,
R
uR −
uz +
1 ∂P
=ν
ρ ∂z
2
2
uR −
uR
,
R2
uz ,
1 ∂(Ru R ) ∂u z
+
= 0.
R ∂R
∂z
Naturalmente, nel caso considerato di problema assisimmetrico, gli operatori di
advezione e laplaciano agenti su una funzione scalare u(R, z) si riducono a
u
u = uR
∂u
∂u
+ uz
∂R
∂z
e
2
u=
1 ∂ ∂u ∂ 2 u
R
+ 2.
R ∂R
∂R
∂z
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 134 colore nero
134
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
Esempio 2
Equazioni di Navier–Stokes in coordinate sferiche
Se la regione in cui si muove il fluido è delimitata da due superfici sferiche concentriche, allora è conveniente utilizzare un sistema di coordinate sferiche per descrivere
il moto del fluido. Ricordando le equazioni di Eulero in coordinate sferiche ricavate nel paragrafo 3.3, le equazioni di Navier–Stokes per i flussi incomprimibili in
coordinate sferiche assumono la forma seguente
∂u r
+u
∂t
ur −
=ν
∂u θ
+u
∂t
uθ +
=ν
∂u φ
+u
∂t
uφ +
=ν
u 2θ + u 2φ
r
2
+
1 ∂P
ρ ∂r
2 ∂ sin θ u θ
2 ∂u φ
2u r
− 2
ur − 2 − 2
,
r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂φ
u 2φ cot θ
1 ∂P
ur u θ
−
+
r
r
ρ r ∂θ
2
2 cos θ ∂u φ
2 ∂u r
uθ
,
+ 2
uθ − 2 2 − 2 2
r sin θ
r sin θ ∂φ
r ∂θ
u θ u φ cot θ
1
ur u φ
∂P
+
+
r
r
ρ r sin θ ∂φ
2
uφ −
uφ
2 cos θ ∂u θ
2 ∂u r
,
+
+
r 2 sin2 θ
r 2 sin2 θ ∂φ
r 2 sin θ ∂φ
1 ∂ 2 1
∂
1 ∂u φ
r ur +
sin θ u θ +
= 0.
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
Nel caso particolare in cui il campo di velocità iniziale u0 è assisimmetrico, ossia
indipendente da φ, per cui u0 = u0 (r, θ), nelle regione sferica sono possibili
soluzioni del campo di moto aventi la stessa simmetria di invarianza per rotazioni
attorno all’asse. Tali soluzioni sono allora del tipo
u = u(r, θ, t)
e
P = P(r, θ, t).
I campi u(r, θ, t) e P(r, θ, t) sono allora governati dalle equazioni di Navier–Stokes
per i flussi incomprimibili assisimmetrici ottenute dalle precedenti eliminando tutti
i termini contenenti la derivata rispetto a φ, ovvero,
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PARAGRAFO 5.4: Condizione iniziale e condizione al contorno
∂u r
+u
∂t
ur −
=ν
∂u θ
+u
∂t
∂u φ
+u
∂t
u 2θ + u 2φ
r
2
+
1 ∂P
ρ ∂r
2 ∂ sin θ u θ
2u r
ur − 2 − 2
r
r sin θ
∂θ
135
,
u 2φ cot θ
1 ∂P
ur u θ
−
+
r
r
ρ r ∂θ
2 ∂u r
uθ
2
uθ − 2 2 + 2
,
=ν
r sin θ
r ∂θ
uθ +
u θ u φ cot θ
ur u φ
+
uφ +
r
r
u
φ
= ν 2uφ − 2 2 ,
r sin θ
1
1 ∂ 2 ∂
r ur +
sin θ u θ = 0,
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
dove gli operatori di advezione e di Laplace agenti su una funzione scalare u(r, θ)
si riducono, nel caso assisimmetrico considerato, a
u
∂u
u θ ∂u
+
∂r
r ∂θ
1 ∂ 2 ∂u 1
∂u ∂ 2
u= 2
r
+ 2
sin θ
.
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
u = ur
5.4 Condizione iniziale e condizione al contorno
Le equazioni di Navier–Stokes sono delle equazioni differenziali alle derivate
parziali e da sole non costituiscono ancora un problema completo. Infatti, come in
qualunque problema differenziale, queste equazioni richiedono la specificazione di
alcune condizioni supplementari per ottenere un problema ben posto, un problema
cioè che ammetta una sola soluzione (in un senso opportuno) almeno nei casi pi ù
semplici.
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136
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CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
Come abbiamo già accennato nel capitolo 3 sulle equazioni di Eulero incomprimibili, condizioni supplementari sono ad esempio necessarie per potere risolvere
qualunque problema di dinamica di un punto materiale. In questo caso la legge
fondamentale della dinamica d 2 r/dt 2 = f(r, dr/dt) è un’equazione differenziale
ordinaria del secondo ordine per l’incognita r = r(t), che rappresenta il vettore
posizione del corpo, la cui soluzione richede di specificare le due condizioni iniziali
r(0) = r0 e dr(0)/dt = v0 . Nel caso delle equazioni di Navier–Stokes è necessario
specificare una sola condizione iniziale (vettoriale): la velocit à iniziale del fluido
in ogni punto, ovvero,
u(r, 0) = u0 (r),
dove u0 (r) è un campo di velocità noto. Ciò è conforme alla circostanza che
l’equazione dinamica della velocità è del primo ordine nel tempo e che, nel punto
di vista euleriano qui adottato, la posizione delle particelle del fluido durante il loro
moto non interessa.
Ma le equazioni di Navier–Stokes, come quelle di Eulero, sono differenziali
anche dal punto di vista spaziale per il fatto che esse contengono anche le derivate
rispetto alle coordinate spaziali: il gradiente, la divergenza, l’operatore di derivata
direzionale e soprattutto l’operatore laplaciano. Come conseguenza, per ottenere
un problema che possa avere una sola soluzione, occorre specificare le opportune
condizioni al contorno. Il tipo di condizioni che possono o debbono essere fornite
dipende dal tipo di equazioni e dalla natura del contorno del problema in esame.
Senza alcuna pretesa di analizzare questo aspetto in modo completo, nel caso
delle equazioni per flussi incomprimibili di un fluido viscoso abbiamo una condizione al contorno vettoriale da imporre su tutta la frontiera del dominio V in cui
si studia il moto del fluido. Questo deriva dal fatto che l’equazione della quantit à di
moto è vettoriale e in essa è presente il laplaciano dell’incognita u. La condizione
al contorno consiste allora nello specificare il vettore velocità u su tutta la frontiera
S = ∂ V e sarà scritta nel modo seguente
u(r, t)|S = b(r S , t)
con r S ∈ S. Il valore al contorno b(r S , t) della velocità deve essere specificato per
ogni punto r S ∈ S e ogni istante t > 0, come rappresentato schematicamente nella
figura 5.2 riferita a un tipico problema di flusso attorno a un profilo alare. Si noti
che la funzione b(r S , t) è vettoriale e che la sua variabile spaziale è indicata con r S
per evidenziare che il dominio di tale variabile è limitato alla sola frontiera S, che
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PARAGRAFO 5.4: Condizione iniziale e condizione al contorno
137
nel caso in figura diventa S = Sest ∪ Sprofilo .
b(r S , t)
b(r S , t)
V
Sest
b=0
Sprofilo
Figura 5.2
Dominio e condizioni al
contorno per un flusso incomprimibile
viscoso
La condizione al contorno per il vettore velocità è molto più forte di quella che è
stata usata nello studio dei flussi non viscosi. La differenza fondamentale è che
l’inclusione del termine viscoso nell’equazione della quantit à di moto ha aumentato
l’ordine dell’equazione differenziale alle derivate parziali di uno. Pertanto la vera
condizione al contorno della realtà fisica è inclusa nel modello di Navier–Stokes
mentre non poteva essere soddisfatta nel modello delle equazioni di Eulero.
Nel caso particolare in cui una parte del contorno coincide con un corpo solido
fermo che non permette né il passaggio del fluido attraverso la sua superficie né lo
scivolamento del fluido su di essa, la condizione per la velocità su questa parte del
contorno diventa omogenea
u(r, t)|solido fermo = 0.
Questa condizione al contorno include:
• La condizione di annullamento della componente tangente della velocit à, che
si chiama condizione al contorno di adesione o di aderenza, in inglese no slip
condition. Questa condizione è propria del modello fisico di fluido viscoso
che non permette uno slittamento del fluido sulle pareti dei corpi solidi e vale
per ogni fluido con viscosità ν 6= 0, per quanto piccolo possa essere il valore
di ν.
• La condizione di annullamento della componente della velocità normale al
corpo, chiamata condizione al contorno di non penetrazione; questa condizione è invece comune a qualunque modello di fluido indipendentemente dal
suo carattere viscoso o non viscoso.
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CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
Senza timore di essere ripetitivi, vogliamo sottolineare che le condizioni supplementari sono altrettanto importanti delle equazioni differenziali che governano il
moto del fluido. In realtà, il tipo di condizioni che è lecito e necessario imporre
è legato strettamente alla natura delle equazioni differenziali stesse, sicch é le condizioni iniziali e al contorno possono essere considerate come una parte integrante
del sistema di equazioni da risolvere. Ad esempio, un elemento distintivo delle
due equazioni di Navier–Stokes è l’assenza di un termine con derivata temporale
(prima) nella seconda equazione, cioè nella condizione d’incomprimibilità. Corrispondentemente, in questo sistema la pressione iniziale non pu ò essere imposta,
anzi sarebbe sbagliato pensare di farlo.
Una volta arricchito dall’aggiunta delle sue condizioni supplementari, iniziali
e al contorno, il sistema delle equazioni di Navier–Stokes costituir à il seguente
problema completo
∂u
+ (u
∂t
)u − ν
2
u+
P
= g,
ρ
u = 0,
u(r, 0) = u0 (r),
u(r, t)|S = b(r S , t).
I termini con il laplaciano della velocità e il gradiente della pressione sono scritti
nel primo membro dell’equazione perché le due variabili u e P sono entrambe
incognite del sistema (la densità ρ è invece una costante nota).
Questo problema presenta la stessa situazione paradossale che abbiamo incontrato nel paragrafo 3.4 discutendo le equazioni di Eulero per flussi incomprimibili.
Se i campi u(r, t) e P(r, t) soddisfano le equazioni e le condizioni del problema, e
quindi forniscono una sua soluzione, allora anche la coppia [u(r, t), P(r, t)+C(t)],
dove C(t) è una funzione arbitraria, è soluzione delle medesime equazioni e condizioni. Questo si verifica facilmente sostituendo questi campi nelle equazioni
e nelle condizioni e osservando che C(t) = 0 in quanto la funzione C(t) non
dipende da r.
Pertanto, data una soluzione del problema delle equazioni di Navier–Stokes
incomprimibili, esistono infinite altre soluzioni che differiscono soltanto per il valore
di riferimento della pressione, valore che può inoltre essere scelto arbitrariamente
in ogni istante. Come nel caso non viscoso, questa situazione è conseguenza
dell’ipotesi d’incomprimibilità, posta alla base del sistema di equazioni in esame,
ma deriva anche dall’avere considerato un problema in cui la velocità (o meglio la
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 139 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.4: Condizione iniziale e condizione al contorno
139
sua componente normale) è prescritta su tutto il contorno S; quest’ultima situazione
è tipica del moto di un fluido contenuto in una regione delimitata da pareti rigide
(flussi confinati).
Dal punto di vista fisico, il valore assoluto della variabile termodinamica pressione non può essere variato senza che questo si rifletta sulle altre variabili termodinamiche del fluido. Quindi siamo di fronte a un’incongruenza fra la descrizione
teorica fornita dalle equazioni di Navier–Stokes per flussi incomprimibili e i principi della termodinamica. In effetti, come si è già accennato nei paragrafi 2.4
e 2.5, l’introduzione dell’ipotesi di incomprimibilit à del flusso ha eliminato ogni
considerazione termodinamica dal quadro descrittivo del moto del fluido. Pertanto
il paradosso dell’arbitrarietà del livello della pressione nei flussi incomprimibili in
una regione confinata è una conseguenza diretta dell’ipotesi di incomprimibilità del
fluido e questo paradosso scompare nell’ambito della dinamica dei fluidi comprimibili.
Notiamo infine che nei problemi in cui il fluido entra nel domino (flussi aperti
e flussi esterni) è possibile specificare il valore della pressione su una parte del
contorno al posto di quello della velocità normale. In questi casi il campo di
pressione relativo alla soluzione delle equazioni incomprimibili non risente pi ù
dell’arbitrarietà riscontrata nel caso dei flussi confinati. Inoltre il campo trovato è
definito univocamente in modo assoluto poiché la variabile P compare direttamente
in una condizione al contorno e non solo come argomento dell’operatore gradiente.
Condizioni di compatibilità dei (e fra i) dati
Analogamente a quanto visto nel paragrafo 3.4 per il problema incomprimibile di
un fluido non viscoso, i dati delle condizioni supplementari iniziale e al contorno,
u0 (r) e b(r S , t), del problema incomprimibile viscoso considerato non possono
essere assegnati in modo del tutto libero e indipendentemente l’uno dall’altro.
Questa limitazione è del tutto evidente riguardo il campo della velocità iniziale u0
che, essendo il flusso incomprimibile, dovrà necessariamente essere solenoidale.
In altre parole il campo di velocità iniziale u0 deve soddisfare la condizione di
compatibilità
u0 = 0.
Ma anche il dato al contorno b(r S , t) non può essere scelto in modo completamente arbitrario. Infatti, integrando su tutta la superficie S la componente normale
della velocità b(r S , t) prescritta sul contorno, si ottiene immediatamente
I
I
n̂ u(r, t)|S = n̂ b(r S , t),
S
S
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 140 colore nero
140
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
per ogni istante di tempo t > 0. D’altra parte, in virt ù del teorema della divergenza
l’integrale del primo membro si può trasformare in un integrale di volume, ovvero,
Z
V
u(r, t) =
I
n̂ b(r S , t),
S
e, siccome il campo della velocità deve essere solenoidale per ∀t > 0, tale integrale
è nullo e quindi deve necessariamente essere
I
S
n̂ b(r S , t) = 0
per ogni t > 0. Questa è una condizione di compatibilità globale che la componente
normale del dato al contorno b(r S , t) deve rispettare per ogni t > 0 affinché il campo
di velocità possa soddisfare sempre il vincolo d’incomprimibilit à.
Infine, nello studio dei flussi attorno a corpi che partono in modo impulsivo,
argomento sul quale non ci soffermiamo, esiste una ulteriore condizione che esprime
la compatibilità fra il dato iniziale e il dato al contorno, su S e per t = 0, che ha la
forma seguente
n̂ u0 (r)|S = n̂ b(r S , 0).
L’insieme delle tre condizioni di compatibilità nel caso del problema viscoso è
quindi dato da
u0 = 0,
I
S
n̂ b(r S , t) = 0,
n̂ u0 (r)|S = n̂ b(r S , 0).
Nei problemi stazionari non esiste alcun dato iniziale e il valore prescritto sul
contorno per la velocità non dipende dal tempo, abbiamo cioè b = b(r S ), per cui
esiste la sola condizione di compatibilità
I
S
n̂ b(r S ) = 0.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 141 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.5: Equazioni adimensionali: il numero di Reynolds
141
5.5 Equazioni adimensionali: il numero di Reynolds
Esaminiamo ora le proprietà delle equazioni di Navier–Stokes rispetto ai cambiamenti di scala con l’intento di introdurre un parametro che misuri l’importanza
degli effetti viscosi sul moto del fluido.
Dato un problema generico riguardante il moto un fluido viscoso, indichiamo
con L una lunghezza caratteristica e con U una velocit à caratteristica del problema in esame. Queste grandezze sono scelte in modo arbitrario. Ad esempio, se
consideriamo il flusso attorno a una sfera, L potrebbe essere il raggio della sfera
o anche il suo diametro, e U potrebbe essere la velocità del fluido all’infinito.
Da questo emerge che le quantità L e U definiscono semplicemente la scala delle
lunghezze e delle velocità tipiche del flusso considerato. La loro scelta determina
una scala per la variabile temporale t mediante la quantità T = L/U .
A questo punto possiamo misurare le grandezze r, t e u come frazioni rispetto
alle quantità caratteristiche, introducendo le seguenti variabili adimensionali:
t
Lt
u
r
,
t̃ =
=
,
ũ = .
L
T
U
U
Per il teorema di derivazione delle funzioni composte, la derivata parziale rispetto
al tempo si trasformerà nel modo seguente
r̃ =
∂
∂ d t̃
1 ∂
=
=
∂t
T ∂ t̃
∂ t̃ dt
e analogamente la derivata rispetto allo spazio
1
d r̃
= ˜
= ˜,
dr
L
dove ˜ rappresenta l’operatore gradiente rispetto alle coordinate adimensionali
(x̃, ỹ, z̃) = r̃. In modo simile, ricordando che 2 =
, l’operatore laplaciano
si trasformerà nel modo seguente
1 ˜2
∇ .
L2
Esprimiamo ora la velocità dimensionale, incognita originaria del problema incomprimibile, in termini della corrispondente variabile adimensionale, u = U ũ, e
sostituiamo nell’equazione della quantità di moto (senza il termine di forza esterna
g):
2
=
1
1
1 ˜P
1 ∂(U ũ)
(U ũ) ˜ (U ũ) − ν 2 ∇˜ 2 (U ũ) +
= 0.
+
T ∂ t̃
L
L
L ρ
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 142 colore nero
142
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
Ricordando che T = L/U abbiamo
U 2 ∂ ũ U 2
1 ˜P
U
(ũ ˜ )ũ − ν 2 ∇˜ 2 ũ +
= 0.
+
L ∂ t̃
L
L
L ρ
Moltiplicando tutti i termini per L/U 2 si ottiene
∂ ũ
ν ˜2
∇ ũ + ˜ P̃ = 0,
+ (ũ ˜ )ũ −
LU
∂ t̃
dove è stata introdotta la pressione adimensionale P̃ = P/(ρU 2 ). Il rapporto
ν/(LU ) è un numero puro (privo cioè di dimensioni) e il suo reciproco è chiamato
numero di Reynolds:
Re =
LU
ρ LU
=
.
ν
µ
Esso permette di scrivere l’equazione della quantità di moto nella classica forma
adimensionale
1 ˜2
∂ ũ
∇ ũ + ˜ P̃ = 0.
+ (ũ ˜ )ũ −
Re
∂ t̃
In pratica, una volta effettuata la riduzione alle variabili adimensionali e introdotto
il numero di Reynolds, tutte le variabili indipendenti e le variabili incognite sono
scritte eliminando il simbolo tilde ˜, per cui le equazioni di Navier–Stokes in forma
adimensionale saranno scritte semplicemente
∂u
+ (u
∂t
)u −
1
Re
2
u+
P = 0,
u = 0.
Per capire l’utilità del numero di Reynolds, consideriamo due flussi attorno a due
sfere di raggi diversi, un flusso con una velocità U∞ = 100 m/s a grande distanza
da una sfera di raggio a = 4 cm e con U∞ = 200 m/s con raggio a = 2 cm. Se
scegliamo come L il raggio a e come U la velocità all’infinito U∞ , allora il numero
di Reynolds è lo stesso per entrambi i flussi. Le equazioni soddisfatte dalle variabili
adimensionali sono quindi identiche per i due flussi.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 143 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.5: Equazioni adimensionali: il numero di Reynolds
143
Due flussi con la stessa geometria e lo stesso numero di Reynolds sono detti simili.
Più precisamente, consideriamo i campi di velocità dimensionali u1 e u2 di due
flussi nelle regioni V1 e V2 le quali sono in rapporto di scala secondo un fattore λ,
cosı̀ che L 1 = λL 2 . Supponiamo di avere scelto il valore U1 e U2 per ciascun flusso
e che le viscosità cinematiche dei rispettivi fluidi siano ν1 e ν2 . Se accade che
Re1 = Re2
ovvero
L 1 U1
L 2 U2
=
,
ν1
ν2
allora i campi di velocità adimensionali ũ1 e ũ2 soddisfano esattamente le stesse
equazioni nella stessa regione (adimensionale). Pertanto possiamo concludere che
il campo della velocità dimensionale u1 può essere ottenuto dalla soluzione u2 ,
U1
opportunamente riscalata, mediante la relazione u1 = U
u2 : in altre parole le due
2
velocità u1 e u2 sono simili.
Per chiarire il significato del numero Re, notiamo che le derivate (delle componenti) della velocità, come ad esempio ∂u/∂ x, saranno tipicamente di ordine U/L,
ovvero la componente u varia di una quantità di ordine U su distanze di ordine
L. Tipicamente queste derivate avranno a loro volta variazioni di ordine U/L su
distanze di ordine L, per cui le derivate seconde come ∂ 2 u/∂ x 2 saranno di ordine
U/L 2 . Infine il termine non lineare, chiamato spesso anche termine inerziale, avr à
variazioni di ordine U · U/L = U 2 /L. In questo modo otteniamo le seguenti stime
dell’ordine di grandezza dei due termini principali dell’equazione della quantit à di
moto:
termine non lineare :
|(u )u| = O U 2 /L ,
termine viscoso :
|ν 2 u| = O νU/L 2 .
Se queste stime sono valide, si deduce che
2
termine non lineare
U /L
LU
=O
=O
= O(Re).
termine viscoso
νU/L 2
ν
Il numero di Reynolds è quindi importante perché dà una stima indicativa della
grandezza relativa dei due termini fondamentali dell’equazione della quantit à di
moto. Non sorprende pertanto che i flussi ad alto numero di Reynolds e quelli a
basso numero di Reynolds abbiano caratteristiche generali del tutto diverse.
Adimensionalizzazione alternativa
Esiste una scelta diversa della scala temporale per definire un tempo adimensionale
che conduce ad una forma alternativa delle equazioni di Navier–Stokes adimensionali. Invece del tempo di riferimento L/U basato sulla lunghezza e sulla velocit à
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 144 colore nero
144
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
di riferimento, è possibile prendere come scala temporale quella determinata dal
fenomeno della diffusione viscosa della vorticità, che è data dal rapporto L 2 /ν.
Questa scelta, assieme alle scale usuali L e U per le distanze e la velocità,e alla nuova
scala ρνU/L per la pressione, permette di definire nuove variabili adimensionali
secondo lo schema
r̆ =
r
,
L
u
,
U
ŭ =
t̆ = t
. L2
ν
P̆ = P
,
. ρνU
L
.
Esprimendo le grandezze e gli operatori dimensionali in termini delle nuove entit à
adimensionali, l’equazione della quantità di moto diventa
νU
νU
νU ∂ ŭ U 2
ŭ ˘ ŭ − 2 ∇˘ 2 ŭ + 2 ˘ P̆ = 0.
+
2
L ∂ t̆
L
L
L
Moltiplicando la relazione per L 2 /(νU ) si ottiene
∂ ŭ
+ Re ŭ ˘ ŭ − ∇˘ 2 ŭ + ˘ P̆ = 0,
∂ t̆
che rappresenta una forma adimensionale dell’equazione, alternativa a quella classica scritta in precedenza. Questa nuova forma è più comoda per analizzare il caso
particolare di flussi nei quali effetti associati al termine non lineare sono trascurabili,
ovvero quando si considera il limite Re → 0.
Nelle applicazioni si è molto interessati a flussi in cui il valore di Re è molto
grande. Dobbiamo sottolineare che non si può dire che “se ν è piccolo allora gli
effetti viscosi non sono importanti”, in quanto questo ragionamento non considera le
altre dimensioni del problema. In altre parole, “ν è piccolo” è un’affermazione priva
di significato fisico a meno che non sia stata scelta qualche scala per la lunghezza e
1
la velocità, mentre “ Re
è piccolo” è un’affermazione avente significato.
Flussi ad alti numeri di Reynolds
Il caso Re 1 corrisponde a una corrente di un fluido in cui gli effetti viscosi
sono trascurabili rispetto a quelli inerziali del termine non lineare. Per i flussi
incomprimibili di un fluido non viscoso attorno a una sfera o a un cilindro calcolati
nel capitolo precedente il numero di Reynolds non pu ò essere definito, ma questi
problemi possono essere considerati come il caso limite per Re → ∞. e µ → 0.
Tuttavia, per Re anche molto grande sono comunque sempre presenti effetti viscosi
anche se localizzati in uno strato sottile di fluido vicino alla parete del corpo. In
questo strato il valore particolarmente grande del gradiente della velocit à e le sue
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 145 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.6: Soluzioni esatte per flussi stazionari paralleli
145
variazioni locali rendono il termine viscoso pi ù grande della stima considerata in
precedenza. È possibile mostrare che lo spessore tipico δ di questo strato limite è
di ordine
δ
1
∝ √ .
L
Re
Tanto maggiore è il numero di Reynolds tanto minore è lo spessore dello strato
limite secondo la relazione di ordine che è scritta anche come δ/L = O Re−1/2 .
Un numero di Reynolds elevato è necessario per potere applicare la teoria dei
flussi non viscosi nella maggior parte del campo di moto, ma non è sufficiente.
Nei flussi reali può verificarsi il fenomeno della separazione dello strato limite
consistente nella deviazione improvvisa delle linee di corrente dalla superficie
del corpo. Quando questo accade, il flusso osservato è molto diverso da quello
ricavabile dalla teoria non viscosa poiché, dopo il punto di separazione della
corrente, dietro al corpo è presente una scia e il moto del fluido può diventare
variabile. In effetti, ai numeri di Reynolds elevati i flussi stazionari diventano
spesso instabili alle perturbazioni. Questa instabilit à spesso è il preludio della
transizione del flusso a un regime turbolento. È stato proprio nel contesto dello
studio dell’origine dell’instabilità che Reynolds introdusse per primo il parametro
adimensionale (numero puro) che porta il suo nome.
Flussi a bassi numeri di Reynolds
Consideriamo un esperimento di laboratorio in cui della glicerina, che è un fluido
trasparente viscoso newtoniano, riempie lo spazio fra due cilindri circolari coassiali,
di cui l’interno può essere fatto ruotare mentre quello esterno è fermo. Supponiamo
che una sfera di glicerina colorata sia stata inserita precedentemente nella massa
di glicerina inizialmente ferma tra i cilindri. Per velocità di rotazione del cilindro
interno relativanemte modeste il numero di Reynolds pu ò avere un valore pari a
circa 10−2 , comunque molto minore di 1. A questi numeri di Reynolds il flusso è
estremamente regolare e non c’è alcun segno di disordine nel moto del fluido: un
flusso di questo tipo è detto laminare.
Il flusso è cosı̀ ben ordinato che se, dopo alcuni giri, si ferma la rotazione del
cilindro interno e poi si fa girare il cilindro in senso inverso per lo stesso numero
di giri fino alla posizione originale, la sfera colorata, che era stata deformata e
enormemente allungata durante la prima fase della rotazione fino a formare un nastro
estremamente sottile intorno all’asse, ritornerà quasi nella stessa configurazione
iniziale di una sfera concentrata del colore originale. Questa reversibilità quasi
completa è una caratteristica dei flussi a numeri di Reynolds bassi e pressoch é
stazionari.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 146 colore nero
146
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
5.6 Soluzioni esatte per flussi stazionari paralleli
In questo paragrafo presentiamo alcune soluzioni analitiche delle equazioni di
Navier–Stokes incomprimibili nel caso di flussi stazionari e paralleli. Un flusso
è detto parallelo se il vettore velocità ha la stessa direzione in ogni punto. Le
soluzioni che esamineremo risultano essere molto semplici sia in virt ù della semplicità geometrica dei contorni che delimitano la regione occupata dal fluido sia
dal loro carattere ideale, nel senso che hanno un’estensione infinita in una o pi ù
direzioni. Le equazioni di Navier–Stokes per flussi incomprimibili e stazionari che
risolveremo sono
P
= g,
(u )u − ν 2 u +
ρ
u = 0,
e saranno completate da opportune condizioni al contorno.
Equazioni del moto fra due lastre piane parallele
U x̂
h
Figura 5.3
Regione della corrente
fra due lastre piane parallele
Il caso più semplice di corrente incomprimibile viscosa esprimibile come soluzione
analitica delle equazioni di Navier–Stokes stazionarie è la corrente di un fluido fra
due lastre piane infinite, poste a distanza h fra loro, di cui una si muove con velocit à
U costante e parallela alle lastre mentre l’altra è tenuta ferma (vedi figura 5.3).
Consideriamo un sistema cartesiano con l’asse x diretto nella stessa direzione della
velocità della lastra in moto, U = U x̂, l’asse y perpendicolare alle due lastre e
l’origine del sistema posta in un punto qualunque della lastra ferma. Allora il piano
y = 0 coincide con la superficie della lastra ferma in contatto con il fluido mentre
il piano y = h coincide con la superficie della lastra in moto.
Se supponiamo che il moto del fluido fra le due lastre sia bidimensionale, l’asse
z sarà perpendicolare al piano del moto del fluido. In base alle condizioni di moto
delle pareti che delimitano il fluido, si può supporre che la velocità u abbia diversa
da zero solo la componente x. Assumeremo quindi che le variabili incognite delle
equazioni di Navier–Stokes per il flusso piano stazionario siano della forma
u(r) = [u(x, y), 0, 0] = u(x, y) x̂
e
P(r) = P(x, y).
Tali incognite dovranno allora essere soluzione del seguente sistema di equazioni
in due dimensioni
P
(u )u − ν 2 u +
= 0,
ρ
u = 0,
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 147 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.6: Soluzioni esatte per flussi stazionari paralleli
147
dove 2 indica l’operatore di Laplace bidimensionale nel piano x-y e dove abbiamo
supposto di potere trascurare l’effetto della forza di volume esterna g eventualmente
presente. Nel caso in cui questa forza sia esprimibile mediante il gradiente di
un’energia potenziale, il suo effetto potrebbe comunque essere tenuto in conto
come una semplice correzione esplicita della pressione.
Vediamo quali sono le conseguenze delle due equazioni e dell’ipotesi u(r) =
u(x, y) x̂. Dall’equazione d’incomprimibilità si ottiene
u=
∂u
= 0,
∂x
per cui la velocità può dipendere solo dalla coordinata y: u = u(y) e quindi avremo
u(r) = u(y) x̂. Allora, per quanto riguarda il termine convettivo, avremo
(u
)u = (u(y) x̂
)(u(y) x̂) = u(y)
∂u(y)
x̂ = 0,
∂x
e quindi il termine non lineare dell’equazione è nullo. Per quanto riguarda il termine
viscoso avremo invece
2
∂2
d 2 u(y)
∂
2
+
(u(y) x̂) =
x̂,
u=
2
2
∂x
∂y
dy 2
dove si è usata la notazione delle derivata ordinaria per evidenti ragioni. Tenendo
conto di questi risultati, l’equazione (vettoriale) della quantit à di moto diventa
quindi
d 2u
P
x̂ −
= 0,
dy 2
µ
nelle due funzioni incognite u = u(y) e P = P(x, y). La componente y di tale
equazione è semplicemente
∂P
=0
∂y
per cui la pressione può dipendere solo dalla coordinata x, ovvero deve essere
P(r) = P(x). Usando questo risultato nell’equazione della componente x della
quantità di moto si ha
1 dP
d 2u
−
= 0.
2
dy
µ dx
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 148 colore nero
148
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
Questa equazione è del tipo f (y) + g(x) = 0 e può essere soddisfatta solo se
entrambe le funzioni f e g sono costanti, ovvero non dipendono dalle rispettive
variabili. Introduciamo pertanto il parametro gradiente di pressione costante
dP GP =
dx cost
dove l’indice inferiore cost è usato per ricordare che la derivata della pressione non
è una funzione di x ma deve essere una costante. Un gradiente positivo (G P > 0)
comporta una spinta sul fluido nel verso negativo dell’asse x mentre un gradiente
negativo (GP < 0) comporta una spinta nel verso positivo dell’asse x: il fluido è
sempre “spinto in discesa” rispetto al campo della pressione. La pressione lungo
l’intercapedine fra le due lastre avrà quindi l’andamento lineare
P(x) = P0 + GP x,
dove P0 è una costante arbitraria, mentre la velocità u = u(y) fra le due piastre sarà
la soluzione dell’equazione differenziale ordinaria
d 2u
GP
=
dy 2
µ
che soddisfa le condizioni al contorno della velocità sulle due lastre.
Corrente di Couette piana
Supponiamo ora che non esista alcun gradiente della pressione nel fluido fra le due
lastre per cui G p = 0 e quindi P = costante e che inoltre le condizioni al contorno
siano quelle con la lastra inferiore ferma e quella superiore traslante con velocit à
orizzontale U assegnata. In questo caso il problema da risolvere per u(y) è
d 2u
= 0,
u(0) = 0
e
u(h) = U.
dy 2
Integrando due volte l’equazione differenziale si ottiene immediatamente
u(y) = Ay + B.
Imponendo prima la condizione al contorno sulla lastra ferma, u(0) = 0, si ottiene
B = 0, e poi la condizione al contorno sulla lastra in moto, u(h) = U , si ottiene
A = U/ h, per cui la soluzione è
u(y) = U
y
,
h
ovvero un profilo di velocità lineare fra le due lastre. Questa corrente si chiama
corrente di Couette (piana) ed è mostrata nella figura 5.4.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 149 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.6: Soluzioni esatte per flussi stazionari paralleli
149
y
U
Figura 5.4
Campo di velocità della
corrente di Couette (piana)
x
Calcoliamo ora lo sforzo viscoso nel fluido relativamente a superfici parallele ai
piani delle lastre. Partiamo dalla relazione (vedi ultimo paragrafo del capitolo)
sn̂ = µ 2(n̂
)u + n̂
u
che esprime la forza viscosa per unità di area agente sul fluido che si trova dall’altra
parte di una superficie con normale uscente n̂ a causa dell’attrito viscoso provocato
dal fluido che si muove all’esterno. Se consideriamo una superficie parallela ai
piani delle lastre, la normale uscente n̂ è uguale a ŷ, avremo quindi
sŷ = µ 2(ŷ )(u(y) x̂) + ŷ
(u(y) x̂)
du(y)
du(y)
=µ 2
x̂ + ŷ
ẑ
−
dy
dy
du(y)
du(y)
du(y)
=µ 2
x̂ −
x̂ = µ
x̂.
dy
dy
dy
Sostituendo u(y) = U y/ h si ottiene
sŷ =
µU
x̂,
h
per cui lo sforzo tra le lastre è uniforme e diretto parallelamente alle lastre nella
direzione della velocità (la forza viscosa è comunque nulla in ogni punto fra le
lastre).
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 150 colore nero
150
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
Osservazione Lo sforzo appena calcolato,(µU/ h) x̂, rappresenta la forza esterna
per unità di area che si deve applicare alla lastra superiore per riuscire a mantenere
il valore U della sua velocità costante e quindi a mantenere il flusso di Couette fra
le lastre. Una forza esterna, sempre per unità di area, uguale in modulo e direzione
ma opposta in verso deve essere applicata alla lastra inferiore affinch é rimanga
ferma contrastando l’azione della viscosità del fluido che tenderebbe a trascinarla
in direzione x̂.
È importante osservare che la forza esterna agente sulla lastra superiore effettua
un lavoro in quanto il suo punto di applicazione si sposta con la lastra. Quantitativamente, dall’esterno deve allora essere fornita una potenza per unit à di area pari
a µU 2 / h affinché la lastra superiore continui a mantenere il moto stazionario del
fluido fra le due lastre. Nasce a questo punto una domanda: dove finir à l’energia
spesa per fornire la potenza richiesta? La risposta è: “nel fluido viscoso” il quale
aumenta la sua energia interna e quindi la sua temperatura per effetto dell’azione
della forza viscosa dentro il fluido.
La presenza di questo bilancio energetico indica che la descrizione del processo
di riscaldamento interno del fluido a causa dell’attrito viscoso coinvolge il principio
di conservazione dell’energia. Se si formulasse un’equazione esprimente la legge
di conservazione dell’energia per il fluido in forma locale, il riscaldamento interno
del fluido potrebbe allora essere descritto correttamente e quindi si potrebbe anche
determinarne le conseguenze sul valore della densità e del coefficiente di viscosità
µ, non più ritenibili costanti. In altre parole, non sarebbero pi ù valide le ipotesi
che ci hanno condotto al sistema di equazioni di Navier-Stokes per flussi incomprimibili con fluido di densità uniforme. Dovremmo allora formulare un sistema
di equazioni della fluidodinamica più generale, chiamate equazioni di Navier–
Stokes comprimibili o complete o anche equazioni di Navier–Stokes tout court,
che comprende, assime all’equazione di conservazione della massa e all’equazione
della quantità di moto, anche l’equazione di conservazione dell’energia: questo
sistema governa il moto dei fluidi comprimibile e viscosi e tutte le sue equazioni
sono in generale accoppiate fra loro.
Viceversa, se si accetta l’ipotesi di flusso incomprimibile, il sistema di equazioni
di Navier–Stokes incomprimibili studiate in questo capitolo pu ò essere risolto prescindendo da considerazioni relative all’energia: la distribuzione dell’energia interna del fluido può essere infatti calcolata in una fase successiva, dopo avere determinato il moto del fluido. Da un punto di vista fisico il modello semplificato di flussi
incomprimibili significa supporre che attorno al fluido e alle pareti della regione in
cui esso si muove esista un insieme di apparati che mantengono la temperatura del
fluido costante e uniforme in ogni suo punto. Ad esempio, nel caso qui considerato di flusso incomprimibile fra due pareti, possiamo immaginare che esse siano
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Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.6: Soluzioni esatte per flussi stazionari paralleli
151
mantenute a una determinata temperatura mediante un sistema di raffreddamento
consistente in un flusso d’aria provocato da un ventilatore esterno. Tale corrente
d’aria permette di evitare che l’energia interna del fluido fra le pareti continui ad
aumentare e consente di smaltire nell’aria la potenza spesa per mantenere in moto
la lastra superiore contro la forza di frenamento dovuta alla viscosit à del fluido. Nel
seguito non considereremo l’equazione dell’energia e quindi il nostro studio della
dinamica dei fluidi sarà sviluppato supponendo che il flusso sia incomprimibile e
che il fluido abbia densità uniforme. Come si è già detto, per questo tipo di flussi
l’equazione della quantità di moto e la condizione di incomprimibiltà costituiscono
un sistema di equazioni pari al numero di incognite e quindi le due equazioni possono essere risolte con le necessarie condizioni iniziali e al contorno prescindendo
da qualunque considerazione relativa all’energia e alle proprietà termodinamiche
del fluido.
Corrente di Poiseuille piana
Esaminiamo ora il caso in cui fra le due lastre esiste un gradiente della pressione
il quale, come abbiamo visto, deve essere costante. Consideriamo dapprima la
situazione più semplice, nella quale entrambe le lastre sono ferme. In questo caso
il problema da risolvere è
d 2u
GP
=
,
dy 2
µ
u(0) = 0
e
u(h) = 0,
con il parametro GP 6= 0 definito da
dP .
GP =
dx cost
Integrando l’equazione si ha
u(y) =
GP 2
y + Ay + B,
2µ
dove le costanti d’integrazione sono determinate dalle condizioni al contorno. La
prima condizione implica che B = 0 e poi la seconda che A = −G P h/(2µ) per cui
la soluzione è
u(y) = −
GP h 2 y y
1−
.
2µ h
h
Il campo di velocità fra le lastre ferme ha quindi un profilo parabolico come quello
mostrato nella figura 5.5 nel caso GP < 0. Questo tipo di flusso è chiamato corrente
di Poiseuille (piana).
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152
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CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
y
h
Figura 5.5
Campo di velocità della
corrente di Poiseuille (piana)
0
x
Il vettore sforzo viscoso associato alla direzione ŷ vale quindi
GP h
du(y)
x̂ = −
sŷ (y) = −µ
dy
2
2y
1−
h
x̂,
e ha un andamento lineare con y: se GP < 0 il segno di questa grandezza è positivo
nella metà inferiore del canale e negativo nella metà superiore: ciò corrisponde a
un effetto frenante dei filetti di fluido più vicini alle pareti su quelli più lontani e al
contrario a un effetto accelerante di quelli più vicini al centro del canale su quelli
più lontani dal centro.
Il profilo di velocità può essere espresso anche in forma adimensionale introducendo una velocità di riferimento per il flusso considerato. Ad esempio si pu ò
scegliere la velocità massima al centro del canale, ovvero,
u max = u(h/2) = −
GP h 2
h2 d P .
=−
8µ
8µ dx cost
Introducendo la velocità adimensionale ũ = u/u max e la coordinata verticale adimensionale ỹ = y/ h, la relazione del profilo di velocità in forma adimensionale
diverrà, molto semplicemente,
ũ( ỹ) = 4 ỹ(1 − ỹ),
0 ≤ ỹ ≤ 1.
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Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.6: Soluzioni esatte per flussi stazionari paralleli
153
Corrente ibrida di Couette–Poiseuille
Veniamo infine al caso ibrido della corrente fra le due lastre piane che è provocata
dall’azione simultanea del moto della lastra superiore con velocit à U e dalla presenza
di un gradiente di pressione (costante) in direzione x lungo lo spazio fra le lastre.
In tale caso dobbiamo risolvere il seguente problema
d 2u
GP
=
,
dy 2
µ
u(0) = 0
e
u(h) = U,
con l’usuale significato dei simboli. La soluzione è
GP h 2 y y
u(y) = U −
1−
,
2µ
h
h
che, introducendo la velocità adimensionale (nuova) ũ = u/U e l’ordinata adimensionale ỹ = y/ h, può essere espressa in forma adimensionale:
ũ( ỹ) = 1 − G̃P (1 − ỹ) ỹ,
0 ≤ ỹ ≤ 1
Il parametro adimensionale G̃P che appare in questa relazione è definito da
G̃P =
h2 d P GP h 2
,
=
2µU
2µU dx cost
e rappresenta l’importanza relativa dei due termini responsabili della corrente ibrida,
ovvero il gradiente della pressione e il moto della lastra: G̃P = 0 corrisponde ad
assenza di gradiente di pressione e quindi alla corrente di Couette, G̃P < 0 a un
gradiente della pressione che spinge il fluido nello stesso verso della velocit à U
della lastra, e G̃P > 0 a un gradiente di pressione che spinge il fluido in verso
opposto al moto della lastra (vedi figura 5.6).
Può essere interessante sapere per quale valore del parametro G̃P l’effetto della
pressione con gradiente positivo, che quindi spinge il fluido nel verso negativo
dell’asse x, riesce a provocare un flusso in verso opposto al moto della lastra,
almeno in una parte del canale.
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154
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CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
ỹ
1
G̃P = 12
9
6
U
3 1 0 −1 −3 −6 −9 −12
flusso inverso
Figura 5.6
Profili della velocità
ũ( ỹ) nella corrente piana di Couette–
–Poiseuille per valori diversi del
parametro adimensionale G̃P
x
Dalla figura 5.6 si nota che tale flusso inverso sarà possibile solo a partire da
quel valore di G̃P per il quale è nulla la pendenza del profilo di velocità sulla
superficie della lastra inferiore. Esprimendo la condizione in forma adimensionale
d ũ( ỹ)/d ỹ = 0, abbiamo
1 − G̃P (1 − 2 ỹ) = 0,
che per ỹ = 0 fornisce G̃P = 1. Quindi per G̃P > 1 esistono regioni di flusso
inverso vicino alla lastra ferma e la loro estensione cresce al diminuire di G̃P .
Fisicamente una regione di flusso inverso esiste quando la forza viscosa per unit à
di volume è superata dal gradiente di pressione avverso o adverso, cioè con la
pressione che aumenta nella verso positivo del flusso.
In modo simmetrico, si può verificare che per G̃P < −1 la velocità nella zona
superiore del canale è maggiore della velocità della lastra.
Corrente di Poiseuille in un tubo di sezione circolare
La presenza di un gradiente di pressione costante in un fluido è in grado di provocare
un moto in una sola direzione anche quando il fluido è confinato all’interno di un
tubo rettilineo di sezione costante. Il caso pi ù semplice e anche più rilevante per
le applicazioni è quello di un tubo di sezione circolare il cui raggio indicheremo
con a. Consideriamo la situazione ideale in cui il tubo abbia lunghezza infinita
e introduciamo un sistema di coordinate cilindriche con l’asse z coincidente con
l’asse del tubo, come mostrato nella figura 5.7.
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Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.6: Soluzioni esatte per flussi stazionari paralleli
155
a
z
Figura 5.7
Tubo rettilineo di sezione circolare
Il moto stazionario del fluido sarà governato dalle seguenti equazioni e condizioni
al contorno
(u
)u − ν
2
u+
P
= 0,
ρ
u = 0,
u|R=a = 0,
dove il vettore velocità e tutti gli operatori saranno espressi in coordinate cilindriche.
Data la geometria assisimmetrica, possiamo supporre che la velocit à soluzione del
problema abbia solo la componente assiale u z e che non dipenda dalla variabile
angolare θ, per cui scriveremo
u(r) = u z (R, z) ẑ,
e similmente per il campo della pressione
P(r) = P(R, z).
In altre parole stiamo cercando una soluzione che sia invariante per rotazioni attorno
all’asse z. La condizione di incomprimibilità, unita all’ipotesi di campo di velocità
unidirezionale, implica che
u=
∂u z (R, z)
= 0,
∂z
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156
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CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
per cui u z non dipende da z, ovvero risulta u(r) = u z (R) ẑ. Il termine non lineare
dell’equazione della quantità di moto per il flusso unidirezionale è nullo anche in
coordinate cilindriche in quanto
(u
)u = u z (R) ẑ
∂u z (R)
ẑ = 0.
u z (R) ẑ = u z (R)
∂z
Riguardo al termine viscoso si vede subito che
2
u=
2
u z (R) ẑ =
2
1 d
u z (R) ẑ =
R dR
du z
R
dR
ẑ.
Le variabili incognite u z (R) e P(R, z) devono quindi soddisfare l’equazione della
quantità di moto
−
ν d
R dR
R
du z
dR
ẑ +
P
= 0,
ρ
con u z (R) soggetta alla (sola) condizione al contorno
u z (a) = 0.
La componente in direzione R dell’equazione della quantità di moto è semplicemente
∂P
=0
∂R
per cui la pressione P(R, z) può dipendere solo dalla coordinata assiale: P = P(z).
Di conseguenza, l’equazione della componente lungo R della quantit à di moto si
scriverà
ν d
du z
1 dP
−
R
+
= 0.
R dR
dR
ρ dz
Questa equazione è della forma f (R) + g(z) = 0 e potrà essere soddisfatta solo se
entrambe le funzioni f e g sono costanti. Pertanto la pressione P(z) deve avere un
gradiente assiale costante e scriveremo quindi
P(z) = P0 + GP z,
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Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.6: Soluzioni esatte per flussi stazionari paralleli
157
dove abbiamo introdotto il parametro (costante)
dP .
GP =
dz cost
Si noti che per GP < 0 il fluido è spinto nel verso positivo dell’asse z. La differenza
di pressione P(z 2 ) − P(z 1 ) fra due punti diversi z 1 e z 2 lungo il tubo si chiama
perdita di carico.
Con la definizione del parametro GP , il problema per la velocità assiale u z (R)
assume quindi la forma
1 d
du z
GP
,
u z (a) = 0.
R
=
R dR
dR
µ
Non deve destare troppa sorpresa che l’equazione differenziale del secondo ordine sia completata da una sola condizione al contorno, poiché l’estremo R = 0
dell’intervallo 0 ≤ R ≤ a in cui si cerca la soluzione non rappresenta un contorno sul quale la velocità possa essere prescritta. In altre parole, il valore
u z (0) è un elemento della soluzione che deve emergere dal procedimento di
risoluzione dell’equazione. Verifichiamo se ciò accada effettivamente. Moltiplicando l’equazione per R 6= 0 si ottiene
du z
GP
d
R
=
R,
dR
dR
µ
che può essere integrata immediatamente una volta, fornendo
R
GP 2
du z
=
R + A,
dR
2µ
dove A è la costante di integrazione. Dividendo ora per R 6= 0 si ottiene l’equazione
del primo ordine
GP
A
du z
=
R+ ,
dR
2µ
R
che si integra ancora immediatamente:
u z (R) =
GP 2
R + A ln R + B,
4µ
dove B è la seconda costante d’integrazione. Ecco il punto: la prima costante A
deve essere nulla affinché la soluzione sull’asse z possa essere limitata. Imponendo
infine la condizione al contorno u z (a) = 0 si ottiene B = −GP a 2 /(4µ) per cui la
soluzione è
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158
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
u z (R) = −
GP a 2
4µ
1−
R2
a2
,
con un profilo parabolico ed è chiamata corrente di Poiseuille nel tubo a sezione
circolare. La velocità massima è raggiunta sull’asse del tubo e vale
GP a 2
a2 d P .
u max
=
u
(0)
=
−
=
−
z
z
4µ
4µ dz cost
La velocità media hu z i su tutta la sezione del tubo si ottiene integrando la velocità
u z (R) su tutta la superficie πa 2 :
Z 2π Z a
GP a 2
1
R2
−
hu z i =
1 − 2 R dR dθ
πa 2 0
4µ
a
0
Z a
3
R
GP
R − 2 dR
=−
2π
4πµ
a
0
2
4 a
GP R
R
− 2 =−
2µ 2
4a
0
=−
u max
GP a 2
= z .
8µ
2
Determiniamo la portata in massa P.M., detta anche portata massica, che passa
nel tubo. Essendo la velocità diretta lungo l’asse z, si deve calcolare l’integrale del
flusso su tutta la superficie circolare S della sezione del tubo. Questo integrale è lo
stesso, a meno di un fattore, di quello appena calcolato per determinare la velocit à
media, per cui, invece di ripetere i calcoli precedenti, possiamo trovare la portata
utilizzando l’espressione della velocità media hu z i e tenendo conto che la densità
del fluido è costante:
P.M. = ρhu z i πa 2 = −ρ
GP a 2
πa 2
8µ
π GP a 4
8ν
Questa relazione è nota con il nome di legge di Poiseuille.
Determiniamo ora la forza agente sul tubo in conseguenza della corrente di
Poiseuille che scorre al suo interno. A tale scopo è necessario calcolare il vettore
sforzo viscoso associato alla direzione R̂, ovvero, essendo il flusso incomprimibile:
sR̂ (r) = µ 2(R̂ )u + R̂
u,
=−
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Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.6: Soluzioni esatte per flussi stazionari paralleli
159
come mostrato nell’ultimo paragrafo del capitolo. Un calcolo diretto fornisce
du z (R)
du z (R)
du z (R) ˆ
sR̂ (R) = µ 2
−
=µ
ẑ + R̂
ẑ
dR
dR
dR
GP
1dP =
R ẑ =
R ẑ.
2
2 dz cost
La forza per unità di lunghezza si ottiene integrando questa espressione, dopo avere
cambiato di segno per avere la forza viscosa esercitata dal fluido sulla parete del
tubo, lungo la circonferenza della sezione del tubo e quindi si ottiene
Z 2π
GP
a a dθ = −πa 2 GP .
Fz = −
2
0
Se il gradiente della pressione è negativo, GP < 0, allora il segno di Fz è positivo:
ciò è corretto in quanto il fluido si muove lungo il tubo nel verso positivo dell’asse
z e quindi la forza che agisce sul tubo a causa della viscosità del fluido in moto ha
lo stesso verso della corrente.
Corrente lungo un piano inclinato causata dalla gravità
Consideriamo ancora un caso di flusso unidirezionale, ma provocato questa volta
dall’azione della forza gravitazionale agente sul fluido. Supponiamo di avere un
piano infinito inclinato di un angolo α rispetto al piano orizzontale e che uno strato di
un fluido viscoso di spessore uniforme h si trovi sopra il piano inclinato. Vogliamo
determinare il moto stazionario del fluido sempre nell’ipotesi che il flusso possa
essere considerato incomprimibile.
Introduciamo un sistema cartesiano con l’asse x diretto come la direzione di
pendenza massima sul piano inclinato e con verso positivo diretto verso il basso,
per cui l’asse x forma un angolo α con il piano orizzontale, come mostrato nella
figura 5.8.
y
h
g
u(y)
x
Figura 5.8
Flusso stazionario con
superficie libera lungo un piano
inclinato
α
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 160 colore nero
160
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
Prendiamo l’asse y in direzione perpendicolare al piano inclinato e con verso
positivo al di sopra di tale piano, e scegliamo la posizione dell’origine in modo
che la superficie del piano inclinato in contatto con il fluido corrisponda a y =
0. La direzione dell’asse z sarà allora orizzontale, perpendicolare al piano della
figura e diretta verso il lettore. Studiamo il movimento discendente del fluido
supponendo che il suo campo di velocità sia piano e quindi appartenente al piano
x-y. Supponiamo infine che il campo di moto del flusso considerato dipenda solo
dalla coordinata y normale al piano, ovvero
u(r) = [u(y), v(y), 0] = u(y) x̂ + v(y) ŷ,
mentre la pressione è supposta essere indipendente solo dalla terza coordinata z:
P(r) = P(x, y).
Sul fluido agisce la forza di volume esterna dovuta alla presenza del campo di gravit à
terrestre. Tale forza (per unità di volume) è data dal vettore campo di gravitazione g
che sarà espresso nel sistema cartesiano inclinato appena introdotto dalla relazione
g = g sin α x̂ − g cos α ŷ.
Le equazioni di Navier–Stokes che governano il moto stazionario di un fluido
viscoso sono:
(u
)u − ν
2
u+
P
= g,
ρ
u = 0,
Notiamo subito che la condizione di incomprimibilità
u=
∂u(y) ∂v(y)
dv(y)
+
=
=0
∂x
∂y
dy
implica che v = costante e, in virtù della condizione al contorno di non penetrazione
v(0) = 0 sulla superficie del piano inclinato, v = 0, identicamente.
Essendo allora il flusso unidirezionale con u(r) = u(y) x̂, il termine non
lineare (u )u è nullo. Se teniamo poi conto della forma del termine viscoso e
delle componenti del campo di gravità, l’equazione della quantità di moto assumerà
la forma
d 2u
P
x̂ +
= g sin α x̂ − g cos α ŷ.
dy 2
ρ
−ν
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 161 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.6: Soluzioni esatte per flussi stazionari paralleli
161
Scrivendo esplicitamente le due componenti cartesiane di questa equazione abbiamo
−ν
d 2u 1 ∂ P
+
= g sin α,
dy 2 ρ ∂ x
1 ∂P
= −g cos α.
ρ ∂y
La seconda di queste equazioni si integra immediatamente
P(x, y) = −ρg cos α y + f (x),
dove f (x) è una funzione di x da determinare.
Supponiamo che la superficie superiore dello strato di fluido di spessore h sia
una superficie libera: con tale denominazione intendiamo che la pressione sulla
superficie sia uguale alla pressione esterna, ad esempio la pressione atmosferica
Patm e che lo sforzo viscoso superficiale sia nullo. Allora per y = h avremo le due
seguenti condizioni al contorno:
P(x, h) = Patm
e
µ
du(h)
= 0.
dy
In particolare, la prima condizione permette di trovare la “funzione d’integrazione”
f (x) giacché abbiamo
P(x, h) = −ρg cos α h + f (x) = Patm ,
da cui segue f (x) = costante = ρgh cos α + Patm , per cui il campo di pressione
del flusso dipenderà solo da y e sarà dato da
P(y) = Patm + (ρg cos α) (h − y).
Essendo quindi ∂ P/∂ x = 0, la prima equazione si semplifica in
d 2u
g sin α
=−
,
2
dy
ν
ed è corredata dalle due condizioni al contorno: la prima di adesione sul piano
inclinato e la seconda di sforzo nullo sulla superficie libera del fluido, ovvero,
u(0) = 0
e
du(h)
= 0.
dy
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 162 colore nero
162
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
La soluzione si calcola facilmente prima integrando l’equazione differenziale due
volte, da cui si ricava
u(y) = −
g sin α 2
y + Ay + B,
2ν
e poi imponendo le due condizioni al contorno per determinare le costanti di integrazione, B = 0 e A = gh sin α/ν, ottenendo
u(y) =
g sin α
y(2h − y).
2ν
Il profilo della velocità è quindi parabolico e raggiunge la velocità massima sulla
superficie libera. La portata volumetrica di fluido lungo il piano inclinato, per unit à
di lunghezza nella direzione z, è data dall’integrale
P.V. =
Z
h
0
u(y) dy =
gh 3
sin α.
3ν
5.7 Flussi stazionari attorno a corpi semplici per Re = 0
Figura 5.9
Sfera immersa in una corrente
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 163 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.7:
Flussi stazionari attorno a corpi semplici per Re = 0
163
Flusso uniforme attorno a una sfera
Determiniamo ora il flusso incomprimibile stazionario attorno a una sfera investita
da un fluido con velocità uniforme a grande distanza da essa nel caso limite Re = 0.
Con l’espressione “Re = 0” non si intende naturalmente dividere per zero il termine viscoso delle equazioni di Navier–Stokes adimensionali, bensı̀ considerare un
flusso a velocità tanto piccole da potere trascurare il termine non lineare quadratico
nell’equazione della quantità di moto. Nell’ambito di questa approssimazione, il
campo di velocità u(r) e il campo di pressione P(r) del flusso incomprimibile
saranno soluzione delle seguenti equazioni stazionarie, scritte in forma dimensionale,
−µ
2
u+
u = 0,
P = 0,
chiamate equazioni di Stokes (stazionarie). Esse sono completate dalla sola
condizione al contorno per la velocità che, nel caso del flusso uniforme attorno a
una sfera di raggio a, assumerà la forma
u(r)|r=a = 0
e
u(r)|r→∞ → U.
Ricerchiamo una soluzione assisimmetrica e utilizziamo un sistema di coordinate
sferiche (r, θ, φ) con origine nel centro della sfera e con l’asse z nella stessa
direzione della velocità del fluido all’infinito, U = U ẑ. Allora il campo di velocità
avrà solo le componenti radiale e azimutale ed esse saranno indipendenti dall’angolo
φ, per cui avremo
u(r, θ) = [u r (r, θ), u θ (r, θ), 0]
e
P = P(r, θ).
Le equazioni di Stokes sono lineari e quindi sono pi ù facili da risolvere rispetto
a quelle di Navier–Stokes, ma presentano la medesima difficoltà di ogni problema
incomprimibile dovuta all’esistenza di un accoppiamento fra le incognite velocit à
e pressione che richiede una soluzione simultanea di tutte le equazioni del sistema. Nel caso delle coordinate sferiche esiste poi un ulteriore accoppiamento fra
le componenti del vettore velocità causata dal termine viscoso. Si nota infatti che
il laplaciano di un campo vettoriale in queste coordinate non ha un’azione indipendente sulle componenti del vettore velocità. Per queste ragioni, essendo il problema
bidimensionale in virtù dell’ipotesi di assisimmetria del flusso, affronteremo il
problema introducendo la funzione di corrente (sferica) di Stokes Ψ (r, θ) che
ne permette una formulazione in termini di una sola incognita puramente scalare.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 164 colore nero
164
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
Le componenti della velocità possono essere definite tramite Ψ (r, θ) mediante le
relazioni
1 ∂Ψ
1 ∂Ψ
e
uθ = −
,
ur = 2
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂r
cosı̀ che la condizione di incoprimibilità
u = 0 risulta soddisfatta identicamente
1
1 ∂Ψ
1 ∂
∂
1 ∂Ψ
+
−
= 0,
r 2 ∂r sin θ ∂θ
r sin θ ∂θ
r ∂r
per l’uguaglianza delle derivate seconde miste. Un calcolo diretto mostra che
1
ˆ
u=−
E 2 Ψ,
r sin θ
dove ˆ rappresenta il versore tangente alle circonferenze con centro sull’asse z e
dove è stato introdotto l’operatore differenziale del secondo ordine
∂2
sin θ ∂
1 ∂
.
E2 = 2 + 2
∂r
r ∂θ sin θ ∂θ
In virtù dell’identità differenziale
u = − 2 u+ ( u) e della condizione
di incomprimibilità
u = 0 per cui
u = − 2 u, l’equazione della quantità
di moto può essere scritta anche nella forma
µ
u+
P =0
che è più conveniente per calcolare il termine viscoso in funzione della variabile
scalare Ψ . Infatti, la componente radiale dell’equazione è
∂P
1 2
µ ∂
µ
∂
∂P
− E Ψ +
E 2Ψ +
=0 ⇒ − 2
= 0.
r sin θ ∂θ
r
∂r
r sin θ ∂θ
∂r
A sua volta la componente θ dell’equazione è
∂P
1
1 ∂P
µ ∂
µ ∂
2
−
E Ψ +
=0 ⇒
E 2Ψ +
= 0.
−
r ∂r
sin θ
r ∂θ
sin θ ∂r
∂θ
Differenziando la prima equazione rispetto a θ e la seconda rispetto a r , si pu ò
eliminare la pressione ottenendo una sola equazione per l’incognita Ψ :
sin θ ∂
∂2
1 ∂
2
2
= 0,
E Ψ + 2
E Ψ
∂r 2
r ∂θ sin θ ∂θ
ovvero
2
∂
sin θ ∂
1 ∂
+
E 2 Ψ = 0.
2
2
∂r
r ∂θ sin θ ∂θ
Ricordando la definizione dell’operatore E 2 , si vede che questa è un’equazione alle
derivate parziali di quarto ordine:
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 165 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.7:
Flussi stazionari attorno a corpi semplici per Re = 0
165
E 2 E 2 Ψ = 0.
Pertanto la semplificazione di sostituire tre equazioni accoppiate per le incognite
u r , u θ e P con una singola equazione per la sola incognita scalare Ψ è possibile
al prezzo di di un aumento dell’ordine del problema differenziale. L’equazione
trovata deve poi essere completata con le condizioni al contorno. Osserviamo che
per un’equazione ellittica di quarto ordine (come l’equazione presente) si devono
fornire due condizioni su tutto il contorno. In effetti nel problema fluidodinamico
assisimetrico la condizione al contorno per la velocità consiste effettivamente in
due condizioni scalari per le due componenti della velocità e quindi abbiamo un
numero corretto di condizioni al contorno per la variabile Ψ .
La forma esplicita di tali condizioni si ottiene sfruttando la definizione delle
componenti della velocità in termini di Ψ . Sulla superficie della sfera si annullano
sia la componente normale, per cui (∂Ψ/∂θ)|r=a = 0, sia la componente tangente,
per cui (∂Ψ/∂r )|r=a = 0. La prima condizione, integrata lungo la superficie,
equivale a Ψ|r=a = costante, dove la costante può essere presa nulla, per cui
scriveremo la coppia di condizioni sulla superficie della sfera nel modo seguente
Ψ (a, θ) = 0,
∂Ψ (a, θ)
= 0,
∂r
0 ≤ θ ≤ π.
Per imporre la condizione di flusso uniforme a grande distanza della sfera si deve
prima ricavare la funzione di corrente sferica relativa al campo uniforme U ẑ. È
immediato verificare che Ψuniforme = 12 Ur 2 sin2 θ e quindi la condizione al contorno
per r → ∞ è
Ψ (∞, θ) → 21 Ur 2 sin2 θ,
0 ≤ θ ≤ π.
La condizione asintotica r → ∞ suggerisce di cercare la soluzione nella forma
di prodotto di due funzioni di una sola variabile e che abbia la stessa dipendenza
dall’angolo θ del flusso uniforme e una dipendenza da r sconosciuta
Ψ (r, θ) = f (r ) sin2 θ.
Sostituendo questa espressione nell’equazione per Ψ si ottiene l’equazione, sempre
del quarto ordine, ma ora differenziale ordinaria:
2
2
d
2
−
f = 0.
dr 2 r 2
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 166 colore nero
166
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
Le condizioni al contorno per f (r ) saranno le seguenti
f 0 (a) = 0,
f (a) = 0,
f (∞) → 21 Ur 2 .
L’equazione differenziale di f è equidimensionale o di Eulero e le sue soluzioni sono
ricercate nella forma f (r ) = r α , dove α è un esponente da determinare. Sostituendo
questo tipo di soluzione nell’equazione si ottiene l’equazione caratteristica
[(α − 2)(α − 3) − 2][α(α − 1) − 2] = 0,
che è già fattorizzata nelle due equazioni algebriche di secondo grado α 2−5α+4 = 0
e α 2 − α − 2 = 0, le cui soluzioni sono rispettivamente le coppie α = 1, α = 4 e
α − 1, α = 2. Pertanto la soluzione generale sarà la combinazione lineare
f (r ) = Ar 4 + Br 2 + Cr +
D
.
r
La condizione all’infinito implica A = 0 e B = 21 U , per cui abbiamo
f (r ) =
U 2
D
r + Cr + .
2
r
Per imporre le condizioni sulla sfera dobbiamo calcolare la derivata di f (r ), ovvero:
f 0 (r ) = Ur + C −
D
,
r2
e quindi le condizioni per r = a forniscono il seguente sistema lineare di due
equazioni nelle incognite C e D

D
Ua


,
C + 2 = −
a
2


 C − D = −U a.
a2
La soluzione del sistema è C = −3U a/4 e D = U a 3 /4 per cui la soluzione
dell’equazione differenziale ordinaria è
f (r ) =
U
4
2r 2 − 3ar +
a3
,
r
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 167 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.7:
Flussi stazionari attorno a corpi semplici per Re = 0
167
e quella dell’equazione alle derivate parziali
a3
U
2r 2 − 3ar +
sin2 θ.
Ψ (r, θ) =
4
r
Un calcolo diretto fornisce le componenti della velocità
a3
3a
+ 3 cos θ,
u r (r, θ) = U 1 −
2r
2r
a3
3a
u θ (r, θ) = −U 1 −
− 3 sin θ.
4r
4r
L’integrazione delle equazioni con le derivate della pressione permette di trovare il
campo della pressione
P(r, θ) = P∞ −
3 µU a
cos θ,
2 r2
dove P∞ è la pressione (arbitraria) lontano dalla sfera.
Legge della resistenza di Stokes
Una quantità molto importante è la forza resistente, in inglese drag, agente sulla
sfera che sarà indicata con il simbolo D. Per calcolare questa grandezza è necessario
conoscere, oltre alla pressione sulla superficie della sfera, anche il vettore sforzo
viscoso sr̂ associato alla direzione r̂ uscente dalla sfera. Nel caso di un flusso
incomprimibile il vettore sforzo viscoso è dato dall’espressione
sr̂ (u) = µ 2(r̂ )u + r̂
u.
Per semplicità indichiamo con s il vettore sr̂ (u) calcolato sulla superficie r = a. Un
calcolo diretto fornisce
∂u r
sr = 2µ
→ 0,
∂r
∂ u θ µ ∂u r
3µU
+
→−
sin θ,
sθ = µr
∂r r
r ∂θ
2a
sφ = 0.
Per simmetria la forza netta sulla sfera sarà in direzione del flusso uniforme. Indichiamo con t il vettore sforzo totale tr̂ = −P r̂ + sr̂ , comprendente anche la
pressione, valutato sempre per r = a. La componente z di t è
tz = tr cos θ − tθ sin θ = −P cos θ + sr cos θ − sθ sin θ,
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 168 colore nero
168
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
da cui, valutando i termini per r = a, si ottiene
3µU
3µU
tz = −P∞ +
cos θ cos θ +
sin θ sin θ
2a
2a
= −P∞ cos θ +
3µU
.
2a
La forza resistente agente sulla sfera è quindi data dall’integrale doppio
Z 2πZ π
D=
tz a 2 sin θ dθ dφ
0
0
= 2πa
2
Z
π
0
= 3πµU a
Z
3µU
−P∞ cos θ +
2a
π
sin θ dθ
sin θ dθ,
0
essendo nullo l’integrale del termine con la pressione. Il calcolo dell’ultimo integrale e il ripristino della natura vettoriale delle grandezze in gioco conducono alla
famosa legge della resistenza di Stokes
D = 6πµa U.
Questa legge è valida per una sfera immersa in un flusso che è uniforme a grande
distanza da essa e vale per numeri di Reynolds bassi. Questo risultato è sovente
espresso in termini di un coefficiente di resistenza,che è una quantità adimensionale
definita da
|D|
1
CD =
ρU 2 ,
A
2
dove A = πa 2 rappresenta l’area frontale della sfera. Allora la legge di Stokes per
la sfera è espressa in forma adimensionale dalla relazione
CD =
24
,
Re
dove il numero adimensionale del flusso attorno alla sfera è definito da Re =
ρ2aU/µ. Questo risultato è mostrato nella figura 5.10 che riporta l’andamento
qualitativo del coefficiente di resistenza misurato negli esperimenti al variare del
numero di Reynolds per il flusso attorno a una sfera. Notare che entrambe le scale
del disegno sono logaritmiche.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 169 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.7:
Flussi stazionari attorno a corpi semplici per Re = 0
169
CD
102
10
1
Figura 5.10
Coefficiente di
resistenza di una sfera immersa in un
flusso uniforme in funzione del numero
di Reynolds
Stokes
10−1
Re
10−1 1
10
102
103
104
105
106
107
In tutto l’intervallo dei numeri di Reynolds la relazione C D = 24/Re è la sola
soluzione esistente in forma chiusa analitica. Essa vale per numeri di Reynolds
bassi, per i quali le forze viscose sono molto maggiori del termine non lineare;
gli esperimenti mostrano che questo risultato è valido solo per Re < 1. La curva
punteggiata nella figura 5.10 si riferisce alla legge di Stokes C D = 24/Re che vale
solo per numeri di Reynolds piccoli.
Flusso uniforme attorno a un cilindro: paradosso di Stokes
La soluzione appena ottenuta del flusso uniforme attorno a una sfera per Re = 0
non ha una controparte in due dimensioni per il flusso attorno a un cilindro infinito.
Dimostriamo questo risultato negativo cercando di risolvere le equazioni di Stokes
per il flusso uniforme attorno a un cilindro di sezione circolare.
Invece di risolvere le equazioni aventi come variabili incognite la velocit à e
la pressione, riformuliamo il problema di Stokes stazionario per un flusso piano in
termini delle variabili incognite vorticità (scalare) ω e funzione di corrente ψ. Se
consideriamo l’equazione della quantità di moto bidimensionale per Re → 0
−µ
2
u+
P = 0,
e ne prendiamo il rotore, la pressione è eliminata e otteniamo la seguente equazione
scalare per ω
2
2
u=0
⇒
2
ω = 0,
dove
è l’operatore laplaciano in due dimensioni. D’altra parte, come è stato
mostrato nel paragrafo 3.10, l’equazione che governa la funzione di corrente ψ è
−
2
ψ = ω,
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 170 colore nero
170
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
per cui nel sistema di due equazioni si può eliminare la variabile vorticità e ottenere
una sola equazione per la funzione di corrente
2
2
ψ = 0,
che è di quarto ordine ed è chiamata equazione biarmonica.
Essendo interessati al flusso attorno a un cilindro di sezione circolare, esprimiamo l’equazione biarmonica in coordinate cilindriche/polari:
1 ∂
R ∂R
R
∂
∂R
+
1 ∂2
R 2 ∂θ 2
2
ψ = 0.
Questa equazione è corredata dalle condizioni al contorno per ψ che impongono
l’annullamento della velocità sulla superficie del cilindro e la velocità uniforme U x̂
a grande distanza. Quest’ultima condizione significa che ψ(R, θ) → ψ uniforme =
U R sin θ per R → ∞, per cui ricerchiamo una soluzione del tipo
ψ(R, θ) = f (R) sin θ,
0 ≤ θ < 2π,
dove f (R) → U R per R → ∞. Sostituendo questa forma della soluzione
nell’equazione biarmonica, si ottiene la seguente equazione differenziale ordinaria
di quarto ordine:
1 d
R dR
d
R
dR
1
− 2
R
2
f = 0.
Questa è un’equazione equidimensionale o di Eulero e la ricerca delle soluzioni
particolari della forma di potenze R α , con esponente α da determinare, conduce
all’equazione caratteristica
α 2 − 1 α 2 − 4α + 3 = 0.
Le radici di questa equazione algebrica di quarto grado fattorizzata sono α =
1, −1, 3, con la radice α = 1 doppia. Nel caso di radice doppia, l’equazione
equidimensionale ammette oltre alla soluzione R α anche la soluzione R α ln R,
come mostrato nell’appendice C nel caso dell’equazione di secondo ordine (come
si può anche verificare direttamente nel caso specifico di questa equazione di quarto
ordine). Quindi la soluzione generale dell’equazione è
f (R) = A R 3 + B R + C R ln R +
D
.
R
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 171 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.7:
Flussi stazionari attorno a corpi semplici per Re = 0
171
La condizione asintotica f (R) → U R per R → ∞ implica che A = 0, B = U e
C = 0, per cui la soluzione si riduce a
f (R) = U R +
D
.
R
e la soluzione dell’equazione biarmonica originaria diventa
D
sin θ.
ψ(R, θ) = U R +
R
Rimangono da imporre le condizioni al contorno sulla superficie del cilindro. Queste
condizioni richiedono che sia la componente tangente sia la componente normale
della velocità si annullino sul cilindro, ovvero che per R = a si abbia ∂ψ/∂ R = 0
e ∂ψ/∂θ = 0. Dal momento che ∂ψ/∂θ deve annullarsi per tutti valori di θ, la
condizione sulla componente normale della velocità è equivalente a richiedere che
ψ(a, θ) = costante, dove la costante può essere presa uguale a zero. Quindi le
condizioni sulla superficie del cilindro richiedono
ψ(a, θ) = 0
e
∂ψ(a, θ)
= 0,
∂R
0 ≤ θ < 2π.
È evidente che non esiste alcuna scelta della costante D nella soluzione che possa
soddisfare simultaneamente queste due condizioni al contorno. Se avessimo imposto le due condizioni sul cilindro per prime, avremmo scoperto che era impossibile
soddisfare la condizione a grande distanza dal cilindro. Concludiamo pertanto che
non esiste alcuna soluzione delle equazioni di Stokes stazionarie in due dimensioni
che possa soddisfare le condizioni al contorno sia sul cilindro che a grande distanza
da esso. L’inesistenza di una tale soluzione è nota come paradosso di Stokes: esso
rivela che il trascurare il termine non lineare dell’equazione della quantit à di moto
costituisce un’approssimazione inaccettabile per riuscire a descrivere il flusso di un
fluido viscoso attorno a un corpo cilindrico di lunghezza infinita. L’esistenza di
soluzione del problema del flusso uniforme a Re = 0 attorno a una sfera ma non
attorno a un cilindro è comunque un’altra manifestazione del fatto che la presenza
della sfera modifica il moto uniforme del fluido in modo molto minore di un cilindro,
come già osservato nel caso non viscoso nei paragrafi 4.4 e 4.5.
Notiamo comunque che esiste invece la soluzione del problema del flusso
stazionario incomprimibile viscoso attorno a un cilindro se il termine non lineare non
è eliminato. In questo caso però le equazioni di Navier–Stokes nonlineari possono
essere risolte solo in modo approssimato mediante tecniche di tipo numerico.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 172 colore nero
172
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
CD
103
102
Figura 5.11
Coefficiente di
resistenza di un cilindro circolare
immersa in un flusso uniforme in
funzione del numero di Reynolds
basato sul diametro
10
1
10−2 10−1
1
102
10
103
104
105
106
Re
5.8 Soluzioni esatte per flussi paralleli dipendenti dal tempo
Equazioni per flussi paralleli non stazionari
Consideriamo il flusso incomprimibile di un fluido viscoso vicino a una lastra piana
che è accelerata improvvisamente da ferma e che si muove nel suo stesso piano
con velocità costante U . In virtù della condizione di adesione, le particelle di
fluido in contatto con la lastra si muoveranno immediatamente con la velocit à U .
Vogliamo determinare come si muoverà il resto del fluido in conseguenza della
partenza impulsiva della lastra.
Scegliamo un sistema di coordinate cartesiane con il piano x-z coincidente con
la lastra e la direzione dell’asse x coincidente con quella della velocità della lastra.
Supponiamo che la regione posta al disopra della lastra, y > 0, sia occupata dal
fluido, il cui moto sia piano e parallelo nella direzione dell’asse x. Scriveremo
allora le equazioni di Navier–Stokes non stazionarie per flussi bidimensionali
∂u
+ (u
∂t
)u − ν
2
u+
P
= 0,
ρ
u = 0,
dove u(r) = u(y, t) x̂, P = P(x, y, t) e gli operatori
e 2 rappresentano
il gradiente e il laplaciano nelle coordinate del piano x-y. Come già visto nel
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 173 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.8:
Soluzioni esatte per flussi paralleli dipendenti dal tempo
173
paragrafo 5.6 per il flusso stazionario, la condizione d’incomprimibilit à è soddisfatta
identicamente, il termine non lineare è nullo e quello viscoso contiene solo la
componente x. Le equazioni che governano il flusso si riducono quindi alla sola
equazione vettoriale:
∂u
P
∂ 2u
x̂ − ν 2 x̂ +
= 0.
∂t
∂y
ρ
La componente y di tale equazione è semplicemente
∂P
= 0,
∂y
da cui segue immediatamente che P = P(x, t). L’equazione della componente x
diventa quindi
∂u
∂ 2u
1 ∂P
−ν 2 +
= 0,
∂t
∂y
ρ ∂x
nelle due funzioni incognite u = u(y, t) e P = P(x, t). Supponiamo ora che il
moto del fluido sia causato solamente dal moto della lastra e che non esista alcuna
variazione di P lungo l’asse x causata da qualche gradiente della pressione applicato
esternamente, per cui avremo P = P(t). Questa funzione è del tutto arbitraria ma la
sua presenza è irrilevante sulla dinamica del fluido in quanto la pressione interviene
nell’equazione del moto solo attraverso il termine P.
La componente della velocità u(y, t) soddisfa quindi l’equazione di diffusione
(in una dimensione)
∂u
∂ 2u
−ν 2 =0
∂t
∂y
completata dalle opportune condizioni iniziali e al contorno.
Traslazione istantanea di una lastra piana
Nel caso in cui il fluido occupa tutto il semispazio y > 0 ed è inizialmente fermo la
condizione iniziale è
u(y, 0) = 0,
y > 0.
u(0, t) = U,
u(∞, t) = 0,
Supponiamo ora che la lastra sia messa in movimento al tempo t = 0 con una
velocità U e che questa velocità sia poi mantenuta sempre costante. Le condizioni
al contorno sono allora
t > 0.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 174 colore nero
174
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
Il problema per la velocità u cosı̀ formulato si chiama primo problema di Stokes. Il
problema è costituito dall’equazione di diffusione, che è un’equazione differenziale
alle derivate parziali di tipo parabolico, supplementata da una condizione iniziale
e da due condizioni al contorno. La risoluzione del problema consiste nella determinazione di una funzione di due variabili u = u(y, t) che soddisfi identicamente
l’equazione differenziale nel quadrante (y > 0, t > 0) del piano spazio-temporale,
chiamato anche piano cinematico. È necessario inoltre che la soluzione assuma
i valori specificati dalla condizione iniziale (qui u = 0) sul semiasse y positivo
e i valori specificati dalle condizioni al contorno (qui u = U e u = 0) sui due
“contorni spaziali” y = 0 e y = ∞ del quadrante. Si noti che le condizioni al
contorno sono due in conformità al fatto che l’equazione di diffusione contiene la
derivata seconda rispetto alla variabile spaziale y, mentre esiste una sola condizione
iniziale in quanto la derivata rispetto alla variabile temporale t è solo una derivata
prima. Questo problema di Stokes è in effetti identico al problema della diffusione
dell’energia interna in una bacchetta solida lunga e sottile che conduce il calore,
quando la temperatura di un’estremità è fatta variare istantaneamente da zero a un
altro valore e poi mantenuta sempre costante a quel valore.
Il problema alle derivate parziali per la velocità u presenta una caratteristica
molto importante che ne permette la riduzione a un problema differenziale pi ù semplice. Infatti, l’enunciato del problema, o pi ù precisamente tutti i suoi elementi
costitutivi, ovvero l’equazione, la condizione iniziale, le condizioni al contorno
ed eventualmente il termine di sorgente (qui assente), non contengono n é alcuna
lunghezza di riferimento né alcun intervallo temporale di riferimento. Ci ò suggerisce la possibilità che la soluzione del nostro problema possa dipendere da y e
t solo attraverso una combinazione opportuna di queste variabili invece che dipendere in modo “scollegato” da ciascuna di esse. In altre parole, mancando nei dati
del problema una lunghezza di riferimento assoluta e un tempo di riferimento assoluto, la soluzione potrà avere una dipendenza da y solo se essa implica anche una
dipendenza da t “collegata”.
Per individuare il tipo di legame esistente tra le variabili indipendenti della
soluzione particolare ricercata, si procede introducendo un cambiamento di variabili
consistente in una loro semplice dilatazione, ovvero un cambiamento di scala, del
tipo
y → Y = αy
e
t → T = βt,
e poi si cerca una relazione fra i parametri postivi α e β che lasci invariata l’equazione
differenziale. Indichiamo la soluzione rispetto alle nuove variabili indipendenti
(Y, T ) con la lettera maiuscola U (da non confondere con il valore della condizione
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 175 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.8:
Soluzioni esatte per flussi paralleli dipendenti dal tempo
175
al contorno considerato in precedenza), per cui avremo
u(y, t) = U (Y, T ) = U (αy, βt).
Possiamo allora sostituire nell’equazione di diffusione ottenendo
∂u
∂ 2u
∂U (αy, βt)
∂ 2 U (αy, βt)
−ν 2 =
−ν
∂t
∂y
∂t
∂y 2
∂ ∂U d(αy)
∂U d(βt)
−ν
=
∂ T dt
∂y ∂Y dy
∂ ∂U
∂U
− να
=β
∂T
∂y ∂Y
=β
∂U
∂ 2 U d(αy)
− να
∂T
∂Y 2 dy
=β
∂ 2U
∂U
− να 2
.
∂T
∂Y 2
Si osserva che se β = α 2 allora risulta
∂u
∂ 2u
∂ 2U
2 ∂U
,
−ν 2 =α
−ν
∂t
∂y
∂T
∂Y 2
ovvero la trasformazione delle variabili
y → Y = αy
e
t → T = α2 t
lascia invariata l’equazione di diffusione. Ci ò indica la possibilità che esistano
soluzioni dell’equazione che siano funzioni di y e t semplicemente attraverso la
singola combinazione y 2 /t. Infatti la trasformazione di variabili (y, t) → (Y, T ) =
(αy, α 2 t) implica che Y 2 /T = (αy)2 /(α 2 t) = α 2 y 2 /(α 2 t) = y 2 /t, e quindi anche la “variabile combinata” rimane invariata a seguito di una tale
√ trasformazione.
Naturalmente è del tutto equivalente considerare la variabile y/ t . Inoltre, è conveniente avere una variabile adimensionale, per cui si pu ò ricorrere alla costante ν,
che ha le dimensioni
√ di una lunghezza al quadrato diviso un tempo, e considerare la
combinazione y/ νt. Introduciamo allora la variabile di similarit à adimensionale
y
η = η(y, t) = √
νt
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 176 colore nero
176
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
e cerchiamo quindi una soluzione dell’equazione di diffusione avente forma seguente
u(y, t) = F(η) = F(η(y, t)).
Questa scelta implica per la soluzione un passaggio da una dipendenza diretta dalla
variabili y e t a una dipendenza indiretta dalle stesse variabili attraverso la sola
funzione η(y, t). Per il teorema di derivazione delle funzioni composte abbiamo
∂u
∂η
y
= F 0 (η)
= − √ F 0,
∂t
∂t
2t νt
∂η
1
∂u
= F 0 (η)
= √ F 0,
∂y
∂y
νt
1 1
1
∂ 2u
= F 00 (η) √ √ = F 00 .
2
∂y
νt
νt νt
Sostituendo nell’equazione di diffusione per u abbiamo
ν 00
y
F (η) + √ F 0 (η) = 0
νt
2t νt
e semplificando otteniamo un’equazione differenziale ordinaria similare
F 00 + 12 ηF 0 = 0
con le due condizioni al contorno
F(0) = U,
F(∞) = 0.
Notiamo che per t → 0 si ha η → ∞ per ogni y > 0 e quindi la seconda
condizione al contorno F(∞) = 0 impone anche la condizione iniziale u(y, 0) = 0
del problema alle derivate parziali originario. Questo risultato costituisce una
conferma della validità del legame esistente tra le variabili y e t nella soluzione del
problema in esame.
Siccome nell’equazione differenziale non compare la semplice incognita F
non derivata, si può introdurre l’incognita ausiliaria G = F 0 e ridurre l’ordine
dell’equazione:
G 0 + 21 ηG = 0.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 177 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.8:
Soluzioni esatte per flussi paralleli dipendenti dal tempo
177
Questa equazione è tuttavia priva di condizione al contorno poiché entrambe le
condizioni disponibili riguardano l’incognita originaria F. D’altra parte, il teorema
fondamentale del calcolo differenziale, ovvero:
Z
b
d f (x)
dx = f (b) − f (a),
dx
a
può essere applicato alla funzione F(η) i cui i valori agli estremi dell’intervallo
[0, ∞[ sono specificati, ottenendo
Z
∞
0
d F(η)
dη = F(∞) − F(0) = 0 − U = −U.
dη
La definizione della nuova variabile G = F 0 permette allora di scoprire che essa
deve soddisfare la seguente condizione integrale
Z
∞
0
G(η) dη = −U.
Questa condizione globale supplementa quindi l’equazione di G che è del primo
ordine (lineare a coefficienti non costanti) a variabili separabili della forma:
dG
1
= − η dη.
G
2
La soluzione generale è
G(η) = Ae −η
2
/4
,
dove A è la costante d’integrazione che viene determinata imponendo la condizione
integrale
A
Z
0
∞
e−η
2
/4
dη = −U.
L’integrale definito si calcola facilmente dal valore dell’integrale definito della
2
funzione di Gauss e −x :
Z ∞
√
2
e−x dx = π,
−∞
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 178 colore nero
178
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
√
per cui si ottiene A = −U/ π . La soluzione è quindi
U
2
G(η) = − √ e−η /4 .
π
L’equazione rimanente F 0 = G(η) è poi risolta mediante una semplice integrazione
Z η
U
2
e−s /4 ds,
F(η) = B − √
π 0
dove B è un’altra costante d’integrazione, da determinare imponendo l’una o l’altra
delle due condizioni al contorno dell’incognita originaria F. Ad esempio, la condizione F(0) = U fornisce subito B = U . Pertanto la soluzione dell’equazione
differenziale del secondo ordine è
Z η
1
−s 2 /4
F(η) = U 1 − √
e
ds ,
π 0
ed è mostrata nella figura 5.12.
η
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
Figura 5.12
Soluzione F(η)
dell’equazione similare per la corrente
causata dalla traslazione improvvisa di
una lastra piana
1.0
0.5
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
F(η)/U
Notiamo che se si fosse imposta l’altra condizione al contorno si sarebbe ottenuta
la stessa soluzione. Infatti, imponendo la condizione F(∞) = 0, si ha
Z ∞
U √
U
2
e−s /4 ds = B − √
B−√
π = 0,
π 0
π
da cui segue subito B = U .
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 179 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.8:
Soluzioni esatte per flussi paralleli dipendenti dal tempo
179
√
Dalla soluzione F(η), ricordando la definizione della variabile
η = y/ νt
√ similare
si ricava la soluzione della velocità u(y, t) = F(η) = F y/ νt :
"
1
u(y, t) = U 1 − √
π
Z
√y
νt
e
−s 2 /4
0
#
ds .
I profili della velocità in alcuni istanti di tempo diversi sono mostrati nella figura 5.13
per il caso ν = 1. La soluzione è talvolta espressa utilizzando la funzione di errore
2
erf(x) definita dall’integrale della funzione gaussiana e −x :
2
erf(x) = √
π
Z
x
e−X d X
2
0
o eventualmente della funzione complementare di errore erfc(x) = 1 − erf(x).
La soluzione trovata può allora essere espressa nella forma seguente
u(y, t) = U 1 − erf
y
√
2 νt
.
y
1.5
1.0
Figura 5.13
Profili della velocità
u(y, t) in istanti di tempo diversi per
ν = 1 della corrente parallela causata
dalla traslazione impulsiva di una lastra
piana
t = 0.5
0.3
0.1
0.5
0.05
0.01
u(y, t)/U
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
La soluzione u(y, t) rappresenta una superficie in uno spazio a tre dimensioni con
assi cartesiani che corrispondo alle tre variabili y, t e u. La figura 5.14 mostra la
forma complessiva della soluzione: le linee disegnate sulla superficie corrispondono
al profilo della velocità in determinati istanti di tempo.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 180 colore nero
180
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
u/U
Figura 5.14
Rappresentazione
tridimensionale dell’andamento della
velocità di un fluido viscoso causata dal
movimento istantaneo di una lastra
piana al tempo t = 0
y
t
La forma semplice delle condizioni iniziali e al contorno, unitamente all’assenza
di una lunghezza di riferimento nel problema, è stata decisiva per ottenere una
soluzione di tipo similare. Le soluzioni similari sono una classe speciale di soluzioni
che esistono in problemi governati da equazioni differenziali alle derivate parziali
di tipo parabolico con due variabili indipendenti quando i dati del problema non
contengono nessuna scala assoluta delle lunghezze.
Il problema considerato soddisfa queste condizioni. Come dice il nome stesso
di soluzione similare, i profili della velocità u(y, t) a istanti di tempo differenti
√ sono
νt1 e al
tutti geometricamente simili. Al tempo t1 la velocità
u
è
funzione
di
y/
√
tempo t2 la velocità u è la stessa funzione di y/ νt2 . La sola cosa che accade
al crescere del tempo è che
√ il profilo della velocità risulta dilatato nello spazio
di un coefficiente pari a t2 /t1 . In altre parole, la soluzione in istanti di tempo
diversi assume gli stessi valori ma essi sono distribuiti sull’asse y in modo sempre
più dilatato. Ciò non sarebbe possibile se vi fosse una seconda lastra posta a una
distanza y = h dalla lastra in moto: in questo caso la lunghezza h fornirebbe una
scala spaziale di riferimento e una soluzione similare non sarebbe pi ù possibile.
Diffusione della vorticità
Ritornando ad esaminare la soluzione similare trovata, al tempo t, gli effetti del
movimento istantaneo
della lastra sono limitati prevalentemente a una distanza
√
dell’ordine
di
νt
da
essa;
ad esempio u è meno del 4 per cento di U alla distanza
√
y = 3 νt, in quanto 1 − erf(x) = 0.04 per x = 23 .
Un modo alternativo di interpretare questo processo è in termini della diffusione
di vorticità. Nel problema piano considerato la distribuzione della vorticit à nello
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 181 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.8:
Soluzioni esatte per flussi paralleli dipendenti dal tempo
181
spazio e nel tempo è data dalla funzione
ω(y, t) = −
∂u(y, t)
U
2
=√
e−y /(4νt) ,
∂y
πνt
che tende a zero esponenzialmente oltre una distanza dalla lastra dell’ordine di
come mostrato nella figura 5.15 per la soluzione con ν = 1.
√
νt,
y
3.0
2.0
1.0
t =1
0.3
Figura 5.15
Diffusione della
vorticità da una lastra messa in moto in
modo istantaneo al tempo t = 0.
Soluzione per ν = 1
0.1
1.0
0.05
2.0
0.02
3.0
4.0
ω/U
La diffusione della vorticità a causa dell’azione viscosa distribuisce in modo sempre
più uniforme lo strato di vorticità iniziale, ovvero rende sempre più piatta la
concentrazione infinita di vorticità sulla superficie della lastra (esistente in virt ù
della discontinuità fra la condizione al contorno u(0, t) = U per t → 0 e la
condizione iniziale u(y, 0) = 0 per y → 0) mentre la vorticità è nulla inizialmente
in tutto il fluido (la condizione iniziale u(y, 0) = 0 per y > 0 implica ω(y, 0) = 0).
L’andamento della vorticità ω(y, t) nello spazio e nel tempo è rappresentato in
modo tridimensionale nella figura 5.16.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 182 colore nero
182
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
ω/U
y
Figura 5.16
Rappresentazione
tridimensionale della diffusione della
vorticità da una lastra messa in moto in
modo istantaneo al tempo t = 0
t
Queste conclusioni possono essere enunciate anche in un altro modo leggermente
diverso. In un tempo t la vorticità si estende per una distanza dell’ordine di
distanza di diffusione viscosa = O
√ νt .
Ovverosia, il tempo necessario affinché la vorticità si diffonda su una distanza
dell’ordine di ` è dell’ordine di
tempo di diffusione viscosa = O `2 /ν .
Metodo alternativo per le soluzioni similari
Nel procedimento seguito per determinare la soluzione similare del flusso prodotto
dalla partenza impulsiva della lastra si è supposto che la variabile similare avesse una
forma determinata. La forma considerata non era stata dedotta con un ragionamento
rigoroso ma solo giustificata con argomenti di plausibilit à. In questo senso il
successo del procedimento è solo verificato a posteriori dal fatto che abbiamo
ottenuto una soluzione fisicamente significativa. Vogliamo ora riconsiderare il
procedimento per la ricerca di soluzioni similari e mostrare un metodo alternativo
per individuare le soluzioni di questo tipo. Questo metodo si basa sulla ricerca di
una variabile indipendente di tipo adimensionale che abbia la forma di un prodotto
di potenze delle variabili indipendenti originarie con esponenti da determinare. Il
valore preciso degli esponenti è stabilito dalle condizioni che si devono soddisfare
per ottenere da un lato un problema differenziale ordinario e dall’altro variabili solo
di tipo adimensionale.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 183 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.8:
Soluzioni esatte per flussi paralleli dipendenti dal tempo
183
La ricerca di soluzioni similari consiste nella determinazione di una trasformazione
delle varibili che riduca l’equazione differenziale alle derivate parziali in un’equazione differenziale ordinaria. Dal momento che l’equazione alle derivate parziali
coinvolge più di una variabile indipendente e un’equazione differenziale ordinaria
solo una, è ragionevole assumere una trasformazione di variabili che cerchi di
combinare le due variabili indipendenti. Pertanto assumiamo
η(y, t) = C y m t n ,
dove η è la variabile indipendente trasformata, che deve essere adimensionale, e
C, m e n sono delle costanti per ora indeterminate. Inoltre, per rendere adimensionale l’equazione finale dobbiamo imporre che anche la variabile dipendente (cio è la
nuova incognita del problema differenziale ordinario) sia adimensionale. Siccome
l’incognita originaria è la velocità u e nel problema esiste una scala delle velocità
definita dal valore al contorno U , la nuova incognita f deve essere definita da
u = U f (η),
ovvero avremo la relazione
u(y, t) = U f (η(y, t)) = U f (C y m t n ),
che esprime la vecchia incognita (dimensionale) u in funzione di quella nuova
(adimensionale) f , la prima dipendente da due variabili (y e t) la seconda da una
sola (η). Per mezzo di questa relazione di trasformazione possiamo calcolare le
derivate parziali di u con la regola di derivazione delle funzioni composte, ottenendo
∂η d f
∂u
=U
= U Cny m t n−1 f 0 ,
∂t
∂t dη
∂u
∂η 0
=U
f = U Cmy m−1 t n f 0 ,
∂y
∂y
∂ 2u
= U Cm(m − 1)y m−2 t n f 0 + U C 2 m 2 y 2(m−1) t 2n f 00 .
∂y 2
Sostituendo nell’equazione di diffusione di u e dividendo per U 6= 0 si ottiene
Cny m t n−1 f 0 − νCm(m − 1)y m−2 t n f 0 − νC 2 m 2 y 2(m−1) t 2n f 00 = 0.
Ora determiniamo i valori di m, n e C in modo che si realizzi la riduzione a
un’equazione differenziale ordinaria adimensionale. Per prima cosa eliminiamo il
coefficiente variabile del termine di ordine più elevato moltiplicando tutti i termini
dell’equazione per y −2(m−1) t −2n ottenendo:
νC 2 m 2 f 00 + νCm(m − 1)y −m t −n f 0 − Cny −m+2 t −n−1 f 0 = 0.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 184 colore nero
184
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
Ma y −m t −n = C/η, per cui l’equazione si può scrivere nella forma più semplice
(dopo avere diviso tutti i termini per C 2 )
νm 2 f 00 + νm(m − 1)
y 2 t −1 0
1 0
f −n
f = 0.
η
η
Affinché questa equazione sia effettivamente un’equazione differenziale ordinaria,
il coefficiente dell’ultimo termine deve essere una funzione solo di η e, poich é
η = C y m t n , questo richiede necessariamente n = −m/2. In tal caso la relazione
della variabile di similarità diventa
m
y
η(y, t) = C √
t
e l’equazione assume la forma
νm f 00 + ν(m − 1)
2
1 η m 0
1 0
f = 0.
f +
η
2η C
Affinché questa equazione diventi adimensionale deve essere C 2/m = 1/ν. Allora
la variabile di similarità sarà definita dalla relazione finale
y m
η(y, t) = √
νt
e l’equazione differenziale ordinaria adimensionale ricercata sarà
1 m − 1 1 2−m
f 0 = 0.
+ η m
f 00 +
m
η
2
Naturalmente questa equazione deve essere risolta con le due condizioni al contorno
adimensionali:
f (0) = 1
e
f (∞) = 0.
Per m = 1 si riottiene lo stesso problema similare analizzato in precedenza.
Flusso non stazionario fra due lastre parallele
Consideriamo ora il flusso generato ancora dal moto impulsivo della lastra piana
ma questa volta in presenza di una seconda lastra ferma posta a una distanza h dalla
prima. La velocità u(y, t) dovrà ora essere determinata nella striscia 0 ≤ y ≤ h
come soluzione della stessa equazione di diffusione
∂ 2u
∂u
− ν 2 = 0,
∂t
∂y
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 185 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.8:
Soluzioni esatte per flussi paralleli dipendenti dal tempo
185
completata dalla condizione iniziale
u(y, 0) = 0,
0 < y < h,
e dalla condizioni al contorno
u(0, t) = U,
u(h, t) = 0,
t > 0.
Non potendo ricercare una soluzione simile (nel problema esiste una lunghezza di
riferimento: la distanza h fra le lastre) osserviamo che l’equazione è omogenea
mentre le condizioni al contorno non lo sono. Possiamo allora cercare di riformulare il problema mediante un cambiamento dell’incognita che renda omogenee le
condizioni al contorno per poi provare ad applicare il metodo di separazione delle
variabili. Le due condizioni al contorno sono soddisfatte dalla semplice funzione
lineare U (1 − y/ h) che rappresenta il flusso di Couette fra le due lastre. Questa
funzione è anche soluzione (stazionaria) dell’equazione di diffusione. Possiamo
allora introdurre una variabile ausiliaria w mediante la definizione
u(y, t) = w(y, t) + U (1 − y/ h),
e osservare che la nuova incognita w deve essere soluzione del problema
∂w
∂ 2w
−ν
= 0,
∂t
∂y 2
w(y, 0) = −U (1 − y/ h),
w(0, t) = 0,
w(h, t) = 0,
0 < y < h,
t > 0,
le cui condizioni al contorno sono ora completamente omogenee mentre la condizione iniziale è ora diversa da zero. Ricorriamo al metodo di separazione delle
variabili ricercando delle soluzioni elementari W = W (y, t) che siano prodotto di
due funzioni, ovvero,
W (y, t) = Y (y) T (t)
dove Y (y) e T (t) sono due nuove funzioni incognite. Sostituendo W nell’equazione
di diffusione si ottiene
Y
dT
d 2Y
−νT
= 0,
dt
dy 2
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 186 colore nero
186
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
dove le derivate parziali sono diventate ordinarie perché le nuove incognite sono
funzioni di una sola variabile. Dopo avere diviso per il prodotto νY T si ottiene
1 dT
1 d 2Y
−
= 0.
νT dt
Y dy 2
Questa equazione è del tipo f (t) − g(y) = 0 e ha senso solo se ciascuno dei due
termini è una costante, ovvero se sono soddisfatte le due equazioni differenziali
ordinarie
1 dT
= C1
νT dt
e
1 d 2Y
= C2 ,
Y dy 2
dove le due costanti di separazione C 1 e C2 devono essere legate fra loro dalla
relazione
C1 − C2 = 0.
Consideriamo per prima la seconda equazione. Riscriviamola come
d 2Y
= C2 Y,
dy 2
e osserviamo che le due condizioni al contorno omogenee w(0, t) = w(h, t) = 0
impongono su Y (y) le condizioni anch’esse omogenee Y (0) = Y (h) = 0. Per
un valore generico della costante C 2 non esistono funzioni che soddisfano sia
l’equazione differenziale che le due condizioni al contorno. Infatti: se C 2 > 0
l’equazione ammette come soluzione due funzioni esponenziali con segni opposti
dell’esponente, se C 2 < 0 le due soluzioni sono le funzioni seno e coseno, ma in
entrambi i casi non è possibile trovare una loro combinazione lineare che si annulli
in entrambi i punti y = 0 e y = h. [Il caso C 2 = 0 non interessa in quanto si
avrebbe anche C 1 = C2 = 0 e la prima equazione degenererebbe in dT /dt = 0
con soluzione T = costante, per cui W (y, t) sarebbe una soluzione stazionaria
W (y, t) = W (y).]
Tuttavia la costante C 2 può essere scelta in modo da: i) selezionare soluzioni
che oscillano e ii) annullare le soluzioni oscillanti proprio nei punti estremi
dell’intervallo 0 ≤ y ≤ h. La prima condizione significa prendere C 2 = −σ 2 ,
con σ costante, per cui le soluzioni sono sin(σ y) e cos(σ y), mentre la seconda
condizione significa che σ deve assumere i valori discreti soddisfacenti la seguente
condizione
nπ
,
σn h = nπ
H⇒
σn =
h
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 187 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.8:
Soluzioni esatte per flussi paralleli dipendenti dal tempo
187
dove n è un intero positivo qualsiasi. Tutte le soluzioni oscillanti sin(nπ y/ h) si
annullano per y = 0 e y = h e quindi permettono di costruire le soluzioni elementari
del metodo di separazione delle variabili.
Se C2 = −σn2 = −(nπ/ h)2 , la costante di separazione della prima equazione
sarà C1 = C2 = −(nπ/ h)2 , per cui l’equazione diventa
dT
= −ν (nπ/ h)2 T
dt
e ammette la ovvia soluzione esponenziale T (t) = e −(nπ/ h) νt che scriveremo anche
2 2
2
come T (t) = e −n π νt/ h .
Pertanto le soluzioni elementari in forma di prodotto ricercate sono
2
Wn (y, t) = sin(nπ y/ h) e −n
2
π 2 νt/ h 2
,
n = 1, 2, 3, . . . .
Nessuna di queste funzioni soddisfa da sola la condizione iniziale per l’incognita
ausiliaria w ma, siccome l’equazione di diffusione di w è lineare, si può considerare
una loro combinazione lineare w(y, t) definita dalla serie
w(y, t) =
∞
X
An sin(nπ y/ h) e −n
2
π 2 νt/ h 2
,
n=1
che soddisferà l’equazione differenziale per qualunque valore dei coefficienti A n .
A questo punto, si può ricorrere alla teoria della serie di Fourier per determinare i
coefficienti A n in modo tale che al tempo t = 0 questa espansione coincida con il
dato iniziale del problema modificato, ovvero:
∞
X
n=1
An sin(nπ y/ h) = −U (1 − y/ h)
in 0 ≤ y ≤ h.
Moltiplicando questa relazione per sin(n 0 π y/ h) e integrando sull’intervallo [0, h],
la relazione di ortogonalità

0

Z π
 2π se n = n = 0
0
sin(nθ) sin(n θ) dθ =
π se n = n 0 ≥ 1

−π

0 se n 6= n 0
permette di trovare
Z
2U
2 h
U (1 − y/ h) sin(nπ y/ h) dy = −
.
An = −
h 0
nπ
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 188 colore nero
188
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
La velocità u del flusso fra due lastre parellele provocato dal moto impulsivo della
lastra inferiore è quindi dato dalla soluzione
u(y, t) = U (1 − y/ h) −
∞
1
2U X
2 2
2
sin(nπ y/ h) e −n π νt/ h .
π n=1 n
L’aspetto più importante di questa soluzione è che per tempi t > h 2 /ν il flusso ha
raggiunto il suo stato stazionario (flusso di Couette) e la distribuzione della vorticit à
è pressoché uniforme in tutto il fluido.
5.9 Soluzioni esatte per flussi in geometria cilindrica
Esistono soluzioni esatte delle equazioni di Navier–Stokes nel caso di un fluido
contenuto fra superfici cilindriche coassiali che possono ruotare attorno all’asse
comune. Supponendo che i cilindri in rotazione siano molto lunghi rispetto al
loro raggio, il moto del fluido può essere considerato bidimensionale. Nel caso
di problemi dipendenti dal tempo supporremo inoltre che il campo di velocit à
iniziale sia invariante per traslazioni parallele all’asse del cilindro e per rotazioni
attorno all’asse. Ciò significa che studiamo soluzioni che non possono dipendere
dalla coordinata assiale z e nemmeno dalla coordinata angolare θ (escludendo
la dipendenza da θ dei versori delle coordinate polari/cilindriche). Sotto queste
condizioni il campo di velocità della soluzione sarà piano e dipenderà solo dalla
distanza R dall’asse comune dei due cilindri, oltre che dal tempo t, per cui si
potrà assumere in generale: u(r, t) = u R (R, t) R̂ + u θ (R, t) ˆ ed anche P(r, t) =
P(R, t).
Le equazioni che governano questo tipo di flussi sono le classiche equazioni di
Navier–Stokes incomprimibili
∂u
+ (u
∂t
)u − ν
2
u+
P
= 0,
ρ
u = 0,
dove gli operatori e 2 rappresentano questa volta il gradiente e il laplaciano
bidimensionali nelle coordinate polari/cilindriche R-θ in un piano perpendicolare
all’asse z.
Per prima cosa, analizziamo le conseguenze della condizione di incomprimi-
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 189 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.9: Soluzioni esatte per flussi in geometria cilindrica
189
bilità nel caso considerato; essa significa
1 ∂u θ (R, t)
1 ∂
R u R (R, t) +
R ∂R
R
∂θ
1 ∂
R u R (R, t) = 0,
=
R ∂R
per cui deve essere u R (R, t) = A(t)/R. Supponendo ora che le pareti cilindriche
contenenti il fluido siano impermeabili, per cui su di esse u R = 0, allora avremo
A(t) = 0 e quindi u R (R, t) = 0 in ogni punto del fluido e per ogni t > 0. In altre
parole il moto del fluido sarà puramente circolare e quindi il campo della velocità
della soluzione avrà la forma seguente
u=
u(r) = u θ (R, t) ˆ .
∆ˆ
ˆ (θ )
1
ˆ (θ)
∆θ
θ
θ1
Vediamo ora quali sono le conseguenze di questo risultato per quanto riguarda il
termine convettivo, esprimendolo ovviamente in coordinate cilindriche. Invece di
usare l’espressione fornita nella tabella degli operatori differenziali in coordinate
cilindriche, calcoliamo questo termine, tenendo conto esplicitamente che i versori
R̂ e ˆ non sono costanti,
u θ (R, t) ˆ
(u )u = u θ (R, t) ˆ
Figura 5.17
Illustrazione della
derivata d ˆ (θ)/dθ = −R̂(θ): notare
che |∆ ˆ | = ∆θ, per cui |d ˆ /dθ| = 1
= u θ (R, t)
u 2θ
R̂
R
e quindi il termine non lineare è diverso da zero. Passando al termine viscoso
abbiamo
1 ∂
∂
1 ∂2
2
u=
R
+ 2 2 u θ (R, t) ˆ
R ∂R
∂R
R ∂θ
∂u θ (R, t) ˆ u θ (R, t) ∂ d ˆ (θ)
1 ∂
R
+
=
R ∂R
∂R
R 2 ∂θ
dθ
1 ∂
∂u θ (R, t) ˆ u θ (R, t) d R̂(θ)
=
R
−
R ∂R
∂R
R2
dθ
1 ∂
∂u θ (R, t)
u θ (R, t) ˆ
=
R
−
,
R ∂R
∂R
R2
R̂(θ1 )
∆R̂
θ
θ1
R̂(θ)
Figura 5.18
Illustrazione della
derivata d R̂(θ)/dθ = ˆ (θ): notare che
|∆R̂| = ∆θ, per cui |d R̂/dθ| = 1
[u θ (R, t)]2 d ˆ (θ)
1 ∂
u θ (R, t) ˆ =
.
R ∂θ
R
dθ
Siccome risulta d ˆ (θ)/dθ = −R̂(θ), come mostrato nella figura 5.17, otteniamo
(u
∆θ
)u = −
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 190 colore nero
190
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
in quanto d R̂(θ)/dθ = ˆ (θ), come mostrato in figura 5.18. In base a questi risultati,
l’equazione della quantità di moto per i flussi incomprimibili con traiettorie circolari
sarà
∂u θ
uθ
1 ∂P
∂u θ ˆ u 2θ
1 ∂
−
R
− 2 ˆ+
R̂ − ν
R̂ = 0
∂t
R
R ∂R
∂R
R
ρ ∂R
nelle due funzioni incognite u θ (R, t) e P(R, t). La componente angolare di questa
equazione è
∂u θ
uθ
∂u θ
1 ∂
R
− 2 = 0,
−ν
∂t
R ∂R
∂R
R
e costituisce un’equazione indipendente nella sola incognita u θ (R, t). È immediato
verificare che
∂u
u
∂ 1 ∂
1 ∂
R
− 2 =
(Ru) ,
R ∂R
∂R
R
∂R R ∂R
per cui l’equazione di u θ diventa:
∂u θ
∂
−ν
∂t
∂R
1 ∂
(Ru θ ) = 0.
R ∂R
L’equazione della componente radiale dell’equazione della quantità di moto è invece
−
1 ∂P
u 2θ
+
= 0.
R
ρ ∂R
Se trasferiamo il termine del gradiente di pressione nel secondo membro, in questa
relazione riconosciamo la legge fondamentale della dinamica nella forma a = f/m
per le particelle del fluido: infatti il termine a sinistra rappresenta l’accelerazione
centripeta della particella mentre il gradiente della pressione è la forza centripeta
per unità di volume all’interno del fluido che provoca il moto circolare uniforme di
ogni sua particella.
Una volta determinata la velocità u θ (R, t), la pressione P(R, t) può essere
calcolata dall’equazione della componente radiale della quantità di moto riscritta
nel modo seguente
[u θ (R, t)]2
1 ∂P
=
,
ρ ∂R
R
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 191 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.9: Soluzioni esatte per flussi in geometria cilindrica
191
che permette un’integrazione immediata
P(R, t) = ρ
Z
R
[u θ (R 0 , t)]2
dR 0 + C(t),
R0
dove C(t) indica una funzione arbitraria del tempo.
Corrente di Couette fra superfici cilindriche in rotazione
Supponiamo che il fluido sia contenuto fra due superfici cilindriche coassiali di
raggio a e b > a e che queste superfici ruotino con velocità angolare costante Ωa e
Ωb , vedi figura 5.19.
z
a
b
Ωa
Ωb
Figura 5.19
Cilindri coassiali rotanti
Il flusso stazionario causato dalla rotazione delle due superfici o di una sola di esse
si ottiene risolvendo la versione stazionaria dell’equazione di u θ (R). Scriviamo
questa equazione notando che nel problema stazionario la derivata rispetto a R
è ordinaria. Moltiplicando per R 2 l’equazione si ottiene la seguente equazione
differenziale ordinaria
d 1 d
(Ru θ ) = 0,
dR R dR
da risolvere con le condizioni al contorno
u θ (a) = aΩa
e
u θ (b) = bΩb .
Una prima integrazione fornisce l’equazione del primo ordine
1 d
(Ru θ ) = A,
R dR
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 192 colore nero
192
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
che integrata a sua volta conduce a
Ru θ =
A R2
+ B.
2
Risolvendo rispetto a u θ e ridefinendo la costante A/2 come A si ottiene la soluzione
u θ (R) = A R +
B
,
R
dove le costanti A e B sono da determinare mediante le condizioni al contorno. Il
campo di velocità è dato quindi dalla sovrapposizione di un moto di rotazione rigida
e di un vortice rettilineo. L’imposizione delle condizioni al contorno conduce al
seguente sistema di due equazioni lineari algebriche nelle incognite A e B
(
a A + B/a = aΩa ,
b A + B/b = bΩb ,
la cui soluzione è
A=
Figura 5.20
Campo di velocità del
flusso di Taylor–Couette per b = 4a
con cilindro esterno rotante e cilindro
interno fermo
b2 Ωb − a 2 Ωa
,
b2 − a 2
B=
a 2 b2 (Ωa − Ωb )
.
b2 − a 2
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 193 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.9: Soluzioni esatte per flussi in geometria cilindrica
193
Questa soluzione è nota come corrente di Couette cilindrica o corrente di Taylor–
Couette. Nella figura 5.20 è mostrato il campo di velocità per b = 4a nel caso in
cui il cilindro interno è fisso mentre quello esterno ruota. La situazione opposta
di rotazione del cilindro interno con il cilindro esterno fermo è mostrata nella
figura 5.21. Infine nella figura 5.22 è riportata la soluzione nel caso in cui entrambi
i cilindri ruotano, ma in senso inverso e con Ω a = −10Ωb .
Figura 5.21
Campo di velocità del
flusso di Taylor–Couette per b = 4a
con cilindro interno rotante e cilindro
esterno fermo
Figura 5.22
Campo di velocità del
flusso di Taylor–Couette per b = 4a
con cilindro interno rotante in senso
opposto al cilindro esterno, quando
Ωa = −10Ωb
La pressione P(R) del flusso stazionario di Taylor–Couette si ottiene dall’equazione
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 194 colore nero
194
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
differenziale ordinaria
dP
[u θ (R)]2
B 2 1
=ρ
= ρ AR +
dR
R
R
R
2
B
2AB
+ 3 .
= ρ A2 R +
R
R
Una semplice integrazione del secondo membro dell’equazione fornisce
P(R) = ρ
R
A2 2
B2
−
R + 2AB ln
,
2
C
2R 2
dove la costante di integrazione C arbitraria è stata fatta comparire di proposito
all’interno del logaritmo, per rendere il suo argomento adimensionale.
Frenamento improvviso di una colonna di fluido rotante
Consideriamo ora un altro problema in cui il fluido viscoso occupa tutta un regione
cilindrica R ≤ a di lunghezza infinita. Supponiamo inoltre che all’istante iniziale
sia il cilindro sia il fluido stiano ruotando in modo solidale con un moto di rotazione
rigida, ovvero con una velocità angolare Ω uniforme, per cui il campo di velocità è
u(r, 0) = u θ (R, 0) ˆ = Ω R ˆ ,
per R ≤ a.
Supponiamo ora che al tempo t = 0 il cilindro sia fermato istantaneamente. Per
determinare il moto del fluido per t > 0 si deve risolvere la seguente equazione
differenziale alle derivate parziali di tipo parabolico
∂u θ
∂ 1 ∂
−ν
(Ru θ ) = 0,
∂t
∂R R ∂R
soggetta alla condizione iniziale
u θ (R, 0) = Ω R,
R ≤ a,
e alla condizione al contorno
u θ (a, t) = 0,
t > 0.
Non esiste una condizione al contorno per R = 0. Il problema pu ò essere affrontato
in maniera analoga al problema della partenza impulsiva della lastra piana. Questa
volta il metodo di separazione delle variabili coinvolge le funzioni di Bessel di
ordine zero e uno J0 e J1 , e la soluzione è espressa da
∞
X
J1 (λn R/a)
νt
u θ (R, t) = −2Ωa
exp − λ2n 2 .
λn J0 (λn )
a
n=1
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 195 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.9: Soluzioni esatte per flussi in geometria cilindrica
195
In questa relazione λn indica l’n-esimo valore positivo per il quale si ha J1 (λ) = 0.
Tutti i termini della serie decadono rapidamente con t; il termine che sopravvive
più a lungo è il primo, per il quale λ1 ≈ 3.83. Il processo di smorzamento della
rotazione della colonna di fluido rotante inizialmente ha completato il suo corso in
un tempo dell’ordine di a 2 /(νλ21 ), cioè nel classico tempo di diffusione viscosa (λ1
è un numero puro).
Se applichiamo questo modello al fenomeno del rallentamento della rotazione
del liquido in una tazza da tè con a = 4 cm = 4 × 10−2 m e ν = 1.0 × 10−6 m2 /s
dell’acqua, otteniamo un tempo per il frenamento pari a τ = 16 × 10 −4 /(10−6 ×
(3.83)2) ≈ 102 s, che sono quasi due minuti. Questo valore è troppo grande rispetto
a quanto si osserva nella realtà, perché il valore di u θ risulta ridursi di un fattore 1/e
rispetto al suo valore iniziale in circa 15 secondi. Il disaccordo nasce dal fatto che
il semplice fenomeno della diffusione viscosa di vorticità (negativa) dalla parete
laterale della tazza non è il processo determinante per il quale il tè, mescolato nella
tazza, rallenta la sua rotazione e si ferma. In realtà, il fondo della tazza, che è
del tutto assente nel presente modello di flusso piano in geometrica cilindrica di
lunghezza infinita, gioca un ruolo cruciale in questo processo.
Decadimento di un vortice rettilineo
Vogliamo ora studiare come decade il vortice rettilineo introdotto negli esempi 3 e
4 del paragrafo 3.7. Supponiamo di avere un campo di velocità iniziale costituito
da un vortice rettilineo:
u0 (r) =
Γ0 ˆ
,
2π R
R > 0,
dove Γ0 è una costante. Il vortice ha una vorticità nulla per ogni R > 0, ma vorticità
infinita in R = 0. In un fluido viscoso questo vortice non pu ò persistere: la vorticità
tenderà a diffondere verso l’esterno al crescere del tempo. La formulazione matematica del problema consiste nell’equazione di diffusione in coordinate cilindriche
per u θ (R, t) scritta in precedenza, completata dalla condizione iniziale
u θ (R, 0) =
Γ0
2π R
e dalla condizione al contorno asintotica
u θ (∞, t) → 0.
Per R = 0 non si conosce il valore di u θ ma si richiede soltanto che u θ sia finito.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 196 colore nero
196
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
Per risolvere questo problema è opportuno cambiare l’incognita introducendo la
circolazione
Γ (R, t) = 2π R u θ (R, t)
come nuova variabile dipendente del problema. Un semplice calcolo mostra che la
nuova incognita deve soddisfare l’equazione
∂Γ
−ν
∂t
∂ 2Γ
1 ∂Γ
−
2
∂R
R ∂R
=0
ed è soggetta alla condizione iniziale (uniforme)
Γ (R, 0) = Γ0 ,
R > 0,
e alla condizione al contorno
Γ (0, t) = 0,
t > 0,
che proviene dalla richiesta che u θ sia finito per R = 0. La condizione al contorno asintotica di u θ non trova corrispondenza per la nuova incognita in quanto
Γ (∞, t) → 2π∞ · 0 e questa espressione è una forma indeterminata.
Il problema per l’incognita Γ è simile a quello del flusso causato dal moto
impulsivo di una lastra, per cui possiamo cercare una soluzione di tipo similare
basata sul medesimo cambiamento di variabili. Scegliamo come variabile similare
la variabile
ξ = ξ(R, t) =
R2
,
νt
che rappresenta il quadrato di quella considerata nel problema del moto impulsivo
della lastra piana, con opportuna sostituzione della lunghezza di riferimento. La
nuova variabile dipendente adimensionale è definita da
γ (ξ ) = γ (ξ(R, t)) = Γ (R, t)/Γ0 .
Un calcolo diretto mostra che la nuova incognita γ (ξ ) soddisfa l’equazione differenziale ordinaria
γ 00 + 14 γ 0 = 0,
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 197 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.9: Soluzioni esatte per flussi in geometria cilindrica
197
ed è soggetta alle due condizioni al contorno
γ (0) = 0
γ (∞) = 1.
e
La prima deriva dalla sola condizione al contorno di Γ mentre la seconda deriva
dalla condizione iniziale di Γ osservando che per t → 0 si ha ξ = R 2 /(νt) → ∞.
Integrando una volta l’equazione si ha
γ 0 + 41 γ = A,
dove A è una costante d’integrazione. La soluzione generale di questa equazione
lineare del primo ordine è
γ (ξ ) = A + Be −ξ /4 ,
dove B è la seconda costante d’integrazione. Imponendo le condizioni al contorno
si ottiene immediatamente A + B = 0 e A = 1, per cui
γ (ξ ) = 1 − e −ξ /4 .
Dalla funzione γ (ξ ) cosı̀ ottenuta ricaviamo poi la soluzione per l’incognita circolazione:
Γ (R, t) = Γ0 γ
R2
νt
2
= Γ0 1 − e−R /(4νt) ,
e infine la distribuzione richiesta della velocità all’interno del vortice
u θ (R, t) =
Γ0 2
1 − e−R /(4νt) .
2π R
Il profilo della soluzione u θ (R, t) in diversi istanti di tempo è mostrato nella
figura 5.23 per Γ0 /(2π) = 4 e ν = 1. Si osserva che la richiesta che la soluzione u θ
abbia valore finito per R = 0 ha condotto ad avere velocità nulla in corrispondenza
dell’asse del vortice
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 198 colore nero
198
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
u θ (R, t)
4.0
3.0
t = 0.1
0.3
2.0
0.5
1
1.0
3
Figura 5.23
Profili della velocità
u θ (R, t) a diversi istanti di tempo per
Γ0 /(2π) = 4 e ν = 1
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
R
√
A distanze maggiori di circa 4νt dall’asse, la circolazione è quasi inalterata
poiché la vorticità non
√si è ancora diffusa tanto lontano. Tuttavia, a piccola distanza
dall’asse, per R 4νt, il flusso non è più irrotazionale: infatti, considerando
l’approssimazione della serie di √
Taylor della funzione esponenziale arrestata al
termine lineare, risulta, per R 4νt,
u θ (R, t) =
=
h
Γ0 n
1− 1−
2π R
R2
4νt
+O
Γ0 R 2
Γ0
=
R,
2π R 4νt
8πνt
R2 2
4νt
io
che corrisponde a una rotazione rigida quasi uniforme con velocit à angolare
Ω(t) =
Γ0
.
8πνt
Quindi l’intensità del vortice diminuisce con il tempo mentre il “core” del vortice
si allarga radialmente.
L’andamento complessivo della velocità può anche essere rappresentato mediante una superficie nello spazio tridimensionale, come mostrato nella figura 5.24:
gli assi orizzontali corrispondono alle due variabili indipendenti e l’asse verticale
corrisponde alla soluzione u.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 199 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.10:
Viscosità nei fluidi (anche comprimibili)
199
u θ (R, t)
t
Figura 5.24
Rappresentazione
tridimensionale della soluzione
u θ (R, t) del decadimento di un vortice
rettilineo
R
5.10 Viscosità nei fluidi (anche comprimibili)
Come abbiamo visto, la forza agente sul fluido in conseguenza del suo carattere
viscoso assume una forma particolarmente semplice nel caso di flussi incomprimibili. Infatti, se vale questa ipotesi assieme a quella di viscosit à di taglio costante,
µ = µ, la forza per unità di massa f visc risulta essere espressa dalla relazione
f visc = ν
2
u,
dove ν = µ/ρ rappresenta il coefficiente (costante) di viscosità cinematica, con ρ
indicante la densità uniforme del fluido. Questa espressione vettoriale è piuttosto
facile da tenere in conto, almeno nel caso di coordinate cartesiane, poich é in questo
caso l’operatore di Laplace agente su un campo vettoriale agisce indipendentemente
su ciascuna delle sue componenti. Di conseguenza, le componenti cartesiane della
forza viscosa sono date da
f xvisc = ν
2
u,
f yvisc = ν
2
v,
f zvisc = ν
2
w.
Ciascuno di questi tre termini deve essere aggiunto nel secondo membro di ognuna
delle tre componenti cartesiane dell’equazione della quantità di moto del sistema
di equazioni di Eulero per i flussi incomprimibili. La semplicit à della forza viscosa
nel caso cartesiano è all’origine delle facilità con cui è stato possibile risolvere in
modo analitico le equazioni di Navier–Stokes incomprimibili almeno in regioni con
contorni geometricamente semplici.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 200 colore nero
200
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
La situazione delle coordinate cilindriche e sferiche è più complessa poiché l’azione
dell’operatore di Laplace su un campo vettoriale espresso in queste coordinate non si
separa in azioni indipendenti su ciascuna delle componenti del vettore: l’operatore
2
introduce infatti un accoppiamento fra due delle componenti cilindriche e fra
tutte e tre le componenti sferiche del campo vettoriale su cui agisce. Quindi nel
problema di Navier–Stokes incomprimibile in coordinate cilindriche o sferiche la
presenza del termine viscoso non permette di risolvere le equazioni delle componenti
della velocità u in modo indipendente.
Nonostante la forma relativamente semplice della forza viscosa nei flussi incomprimibili con viscosità costante, la sua deduzione è alquanto complicata, essenzialmente per due motivi diversi. In primo luogo una descrizione completa
dell’attrito viscoso internamente a un fluido deve partire dall’analisi di un fluido
comprimibile. Vedremo che considerare un fluido di tipo generale conduce a scoprire che esistono due/ forme diverse di attrito nel suo interno associate a due
coefficienti di viscosità diversi, relativi uno all’attrito di taglio e l’altro all’attrito
di dilatazione. In secondo luogo, le due viscosità dipendono in generale dalle condizioni termodinamiche del fluido nel punto considerato. Come vedremo, questi
due aspetti indipendenti intervengono in modo intrecciato nel ragionamento che
conduce alla formula della forza viscosa presente nelle equazioni di Navier–Stokes
incomprimibili.
Tensore degli sforzi viscosi
Consideriamo all’interno di un fluido una superficie elementare ∆S di normale n̂,
attraverso la quale si esercita l’interazione fra le particelle del fluido. In assenza di
attrito viscoso, la forza interna fra le particelle è solo nella direzione normale n̂ e
dipende dal valore della pressione P nel punto considerato. Precisamente la forza
esercitata dalle particelle che si trovano dalla parte in cui punta n̂ sulle particelle
che sono dalla parte opposta è data da −P n̂.
Se il fluido è reale, la forza interna tra le particelle, esercitata attraverso la
superficie ∆S, ha componenti sia lungo la normale sia in direzione tangente a
∆S. Quindi la forza interna non è più descrivibile mediante la sola grandezza
scalare P combinata con il versore normale n̂. Nella realtà, l’azione interna è
costituita da un vettore che dipende in modulo e direzione dalla normale n̂ e che
in generale ha una direzione diversa da quella della normale stessa. Siccome nello
spazio tridimensionale le direzioni indipendenti sono tre, l’azione interna fra le
particelle del fluido sarà rappresentata da tre vettori distinti, ciascuno associato
a una direzione indipendente. In altre parole per caratterizzare l’interazione fra
le particelle di un fluido viscoso è necessario introdurre una grandezza di nuovo
tipo, che si chiama tensore degli sforzi viscosi e che si indica con il simbolo
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 201 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.10:
Viscosità nei fluidi (anche comprimibili)
201
particolare . Questa grandezza rappresenta la forza per unità di area relativa alle
tre diverse orientazioni nello spazio. Essa è una grandezza intrinseca, come lo
sono i vettori, e può essere considerata come un “vettore due volte”. Il tensore
può essere rappresentato da una matrice i cui elementi dipendono dal sistema di
riferimento scelto, esattamente come accade per un vettore e le sue componenti.
Precisamente una colonna del tensore rappresenta la forza per unità di area che
si esercita attraverso una superficie elementare ∆S perpendicolare alla direzione
corrispondente alla colonna considerata.
Si può dimostrare che la legge di conservazione del momento della quantit à
di moto (o momento angolare) implica che il tensore degli sforzi deve essere
simmetrico. Nel caso di coordinate cartesiane il tensore degli sforzi viscosi è
allora dato dalla matrice simmetrica


sx,x sim sim
=  s y,x s y,y sim 
sz,x
sz,y
sz,z
mentre, in un sistema di coordinate curvilinee ortogonali con versori ( ê1 , ê2 , ê3 ), il
tensore degli sforzi viscosi sarà indicato nella forma generale:
n̂
∆S
sn̂
Figura 5.25
Vettore di sforzo viscoso, ovvero
proiezione del tensore lungo la
direzione della normale n̂

s1,1
=  s2,1
s3,1

sim sim
s2,2 sim 
s3,2 s3,3
Noto il tensore dello sforzo viscoso in un punto del fluido, possiamo introdurre
il vettore sforzo viscoso sn̂ relativo a una superficie con normale n̂ mediante la
relazione (vedi figura 5.25)
sn̂ = n̂ .
Tensore simmetrico “gradienti della velocità”
Gli sforzi interni si manifestano anche in un solido continuo, ad esempio in un
materiale elastico come un pezzo di metallo o di altra sostanza solida. In effetti la
differenza fra liquidi e solidi emerge solo quando si analizza la causa degli sforzi
interni nel mezzo continuo: per un solido lo sforzo dipende dalla deformazione
locale del corpo mentre per un fluido esso dipende dalla rapidità di variazione della
deformazione locale del fluido. Dobbiamo quindi introdurre una nuova grandezza
in grado di rappresentare questo aspetto cinematico del campo di moto del fluido.
Essa consiste nella versione simmetrizzata del tensore dei “gradienti del campo di
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 202 colore nero
202
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
velocità” e si chiama tensore simmetrico dei gradienti della velocit à o anche
tensore di rapidità di variazione della deformazione e che, nel caso di coordinate
cartesiane, viene indicata con
(u) = 21 u + ( u)tr ,
dove l’indice superiore tr denota la matrice trasposta. Questa espressione del
tensore (u) è valida solo in coordinate cartesiane in quanto richiede che i versori
del sistema di coordinate siano costanti. In tale caso gli elementi della matrice che
rappresenta (u) nel sistema di coordinate cartesiane sono dati da
1 ∂u j
∂u i
ei, j (u) =
+
,
i, j = 1, 2, 3,
2 ∂ xi
∂xj
ovverosia, scrivendo anche gli elementi in forma dettagliata,


∂u
sim
sim
 ∂x



∂v
∂v
 1 ∂u


+
sim 
(u) = 

2
∂y
∂
x
∂y
 
 1 ∂u
1 ∂v
∂w 
∂w
∂w
+
+
2 ∂z
∂x
2 ∂z
∂y
∂z
La definizione generale del tensore dei gradienti della velocità che risulta valida per
ogni sistema di coordinate curvilinee ortogonali è invece la seguente
(u) = 21 ê (ê0 )u + ê0 (ê )u ,
dove ê ed ê0 sono due versori la cui direzione varia in tutte le possibili direzioni, in
modo da generare il carattere tensoriale di . Anche la definizione generale indica
che la matrice del tensore (u) è simmetrica. Gli elementi di (u) in un sistema
di coordinate curvilinee ortogonali con versori ê1, ê2 ed ê3 sono dati da
ei, j (u) = 21 êi (ê j )u + ê j (êi )u ,
i, j = 1, 2, 3.
Per ricavare questi elementi si deve pertanto ricordare che il calcolo della derivata
(ê j )u richiede di espandere u in termini delle sue componenti nello stesso sistema
di coordinate, ovvero,
(ê j )u = (ê j ) u 1 ê1 + u 2 ê2 + u 3 ê3 ,
e di tenere conto che anche i versori ê1, ê2 ed ê3 in generale possono dipendere da
una o più coordinate, per cui alcune loro derivate saranno diverse da zero.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 203 colore nero
Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.10:
Viscosità nei fluidi (anche comprimibili)
203
Fluido viscoso newtoniano
Per definire le proprietà del fluido riguardanti l’attrito interno viscoso si deve fornire
il legame fra i due tensori (entrambi simmetrici) degli sforzi viscosi e dei gradienti
della velocità. In linea teorica sono possibili legami aventi forme diverse, ma il caso
di un semplice legame lineare fra e è particolarmente importante e conduce alla
classe di fluidi viscosi detti newtoniani. Questa ipotesi è il corrispettivo per i fluidi
dell’ipotesi di linearità nei solidi tra gli sforzi e le deformazioni che caratterizza il
comportamento perfettamente elastico del mezzo.
Supponiamo ora che sia una funzione lineare di e che il fluido sia isotropo,
cioè che le sue proprietà siano indipendenti dalla direzione nello spazio. Si pu ò
allora dimostrare che il principio di invarianza delle grandezze intrinseche (vettori
e tensori) rispetto alle rotazioni spaziali implica che sono sufficienti solo due coefficienti scalari per caratterizzare il legame lineare fra i tensori ed , e che tale
legame assume la seguente forma
(u) = 2µ (u) + λ (
u) ,
dove µ si chiama coefficiente di viscosità (di taglio) e λ si chiama coefficiente
di viscosità di dilatazione. Questi coefficienti devono soddisfare le condizioni
seguenti: µ > 0 e λ + 23 µ > 0.
In certi casi si preferisce fare comparire un nuovo tensore con traccia nulla.
Osservando allora che
u è uguale alla traccia di (u), la relazione lineare
precedente fra il tensore dei gradienti di velocità e il tensore degli sforzi viscosi si
può riscrivere anche nella forma seguente:
(u) = 2µ (u) − 31 ( u) + ζ ( u) ,
dove ζ = 32 µ + λ è chiamato secondo coefficiente di viscosità per distinguerlo da
µ, che allora è indicato come primo coefficiente di viscosità.
In generale, per fluidi con proprietà generiche, il valore dei due coefficienti
di viscosità dipende dalle condizioni termodinamiche del fluido, per cui potremo
scrivere
µ = µ(T, P)
e
λ = λ(T, P).
Nel campo di moto del fluido avremo in generale T = T (r, t) e P = P(r, t), per
cui il valore di µ e λ dipenderà della posizione e dal tempo, ovvero avremo, per
esempio,
µ(T (r, t), P(r, t)) = µ(r, t).
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 5 – pagina 204 colore nero
204
Gennaio 11, 2005
CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
Osserviamo infine che il tensore degli sforzi viscosi si somma allo sforzo normale
dovuto alla pressione per costituire il tensore totale degli sforzi
(P, u) = −P + (u),
che per un fluido viscoso di tipo newtoniano assume la forma:
(P, u) = −P + 2µ (u) + λ (
u) .
Vettore sforzo viscoso relativo a una superficie
Possiamo ora determinare il vettore sforzo viscoso s n̂ (u) relativo a una superficie
con normale nenerica n̂ in un punto di un campo di moto u di cui sia noto il tensore
degli sforzi viscosi (u). Per definizione abbiamo
sn̂ (u) = n̂ (u)
ovvero
sn̂, j (u) =
3
X
j = 1, 2, 3.
n̂ i si, j (u),
i=1
Un calcolo diretto, anche se un po’ noioso, del prodotto scalare in coordinate
cartesiane permette di ricavare la seguente relazione vettoriale
sn̂ (u) = µ 2(n̂
)u + n̂
u + λ n̂
u.
Siccome la quantità considerata è un vettore e l’espressione nel secondo membro
ha una forma vettoriale intrinseca, questo risultato vale in generale e quindi potr à
essere utilizzato per calcolare la quantità sn̂ (u) in qualunque sistema di coordinate
curvilinee ortogonali.
Forza di attrito viscoso
Nel caso di fluido viscoso, sulle particelle agisce una forza interna di interazione
dovuta all’attrito viscoso. La forza viscosa per unità di volume Fvisc si ottiene
considerando un volumetto di fluido e sommando tutte le forze agenti sulla sua
superficie. Ciò conduce a valutare la divergenza del tensore simmetrico degli sforzi
viscosi (u), ovvero all’espressione
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Gennaio 11, 2005
PARAGRAFO 5.10:
Fvisc =
Viscosità nei fluidi (anche comprimibili)
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(u),
le cui componenti vettoriali sono date dall’espressione
s êj(u) ,
j = 1, 2, 3.
Fjvisc =
Sostituendo l’espressione esplicita di s êj(u) si ha quindi
Fjvisc =
2µ (ê j )u + µ ê j
u + λ ê j
u,
j = 1, 2, 3.
Un calcolo ancora in coordinate cartesiane, questa volta decisamente noioso ma pur
sempre elementare, permette di dedurre la seguente espressione della forza viscosa
per unità di volume agente in un fluido qualsiasi, anche comprimibile,
Fvisc = −
u) +
(µ
+ 2( µ)
(2µ + λ)(
u − 2( µ)
u)
u + 2(( µ)
)u.
Questo risultato ha una forma vettoriale intrinseca per cui l’espressione trovata
ha validità generale e quindi può essere usata in qualunque sistema di coordinate
curvilinee ortogonali semplicemente usando la forma appropriata dei vari operatori
differenziali.
Caso di flussi incomprimibili
I tre termini della seconda linea dell’espressione di F visc appena calcolata sono nulli
se la viscosità di taglio µ del fluido può essere considerata costante. Infatti, se
µ = µ = costante, allora µ = µ = 0 e inoltre il coefficiente costante µ pu ò
uscire all’esterno dell’operatore di rotore, per cui l’espressione di F visc si semplifica
notevolmente:
Fvisc = −µ
(
u) + (2µ + λ)( u) .
Introduciamo infine l’ipotesi che il flusso sia incomprimibile, per cui la condizione
u = 0 risulta essere soddisfatta. In questo caso l’espressione della forza viscosa
si semplifica ulteriormente e diventa
Fvisc = −µ
(
u).
(
u) = − 2 u + ( u) usata nel caso di un
Ma, per l’identità vettoriale
campo vettoriale u solenoidale per cui
(
u) = − 2 u, l’ipotesi
u=0
permette di concludere che l’espressione della forza viscosa per unit à di volume nel
caso di flusso incomprimibile assume la forma finale
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CAPITOLO 5 Flussi incomprimibili viscosi
Fvisc = µ
2
u.
Corrispondentemente, anche il vettore sforzo viscoso relativo a una determinata
direzione n̂ per flussi incomprimibili è dato dall’espressione più semplice
sn̂ (u) = µ 2(n̂
Esercizi 5
1. Si consideri il problema del decadimento del vortice
rettilineo studiato nel paragrafo 5.9. Determinare la
soluzione del problema utilizzando la variabile similare
η = η(R, t) = R
√
νt ,
come variabile indipendente.
)u + n̂
u.