LA SEZIONE AUREA, LA SERIE DI FIBONACCI E LA NATURA DEDICATO A Φ
Stilizzazione della disposizione in forma di spirali concentriche, visibili sia in senso orario che in senso antiorario, di parti che compongono oggetti appartenenti al mondo naturale o creati dall’uomo. Il numero e la disposizione di tali parti possono sembrare casuali, ma, nella maggioranza dei casi, corrispondono ad un numero della serie di Fibonacci. Marzo 2013 SETTIMANA DELLA CULTURA SCIENTIFICA E TECNOLOGICA – VIII EDIZIONE IIS “Ettore Majorana” di Avezzano LA MATEMATICA DOVE MENO TE L’ASPETTI “La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua e conoscer i caratteri ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto”. G.Galilei È opinione diffusa che i numeri siano aridi e freddi, che non si accostano né alla fantasia né, tantomeno, alla poesia e alla bellezza. Rendiamo loro giustizia. Parliamo del numero aureo, associato alla sezione aurea, detta anche, non a caso, proporzione divina. Esso viene indicato con Φ (phi) perché non è possibile scrivere il suo esatto valore! Infatti è un numero irrazionale, poco maggiore di 1, ma composto da un numero infinito di cifre: Φ
=
1,6180339887498 …..
Per conoscerlo meglio ci si può avvicinare ad esso in modo geometrico, attraverso la SEZIONE AUREA, che può essere visualizzata e, quindi, più facilmente compresa. La prima , chiara, definizione ne fu data da Euclide, il matematico greco vissuto ad Alessandria tre secoli a.c., che più volte ne discute nei Libri della sua grandiosa opera, gli Elementi. Euclide la definì così: si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione strema e media quando l’intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla minore Infatti si può eseguire la sezione aurea di qualunque segmento individuando un suo punto interno tale che la parte maggiore è medio proporzionale tra l’intero segmento e la parte minore. A C B AB : AC = AC : CB Il segmento AC è detto parte aurea del segmento AB. Si può dimostrare (con pochi e semplici passaggi: vedere le note) che dalla proporzione si ottiene che il rapporto tra un segmento e la sua parte aurea vale: AB √5 + 1 AC 2 Ed anche AC √5 + 1 CB 2 Ebbene, questo rapporto vale proprio il numero Φ.
L’interesse e il fascino suscitati dal rapporto aureo a da Φ risiedono nel fatto che si possono incontrare negli ambiti più disparati e dove meno li si aspettano, in situazioni e fenomeni che non sono fra loro collegati. Per esempio, eseguendo una sezione trasversale di una mela si evidenzia il pericarpo che contiene i semi disposti in modo da formare una stella a cinque punte ( o pentagramma). In questa figura geometrica è possibile ritrovare la sezione aurea: il lato e la base di ognuno dei cinque triangoli che la compongono stanno in un rapporto aureo. Anche negli oggetti costruiti dall’uomo si può riscontrare la proporzione aurea: è casuale o studiata ad arte dai designer per far colpo sugli utenti? O, più semplicemente, nell’arte del creare si prova e riprova fino a quando l’oggetto non appaga il senso estetico e, voilà, a quel punto si scopre, con meraviglia, che il soddisfacente risultato finale rispetta la “divina proporzione”. Pensate che persino le carte di credito sono rettangoli aurei. Quando due segmenti stanno in un rapporto aureo, per qualche ragione misteriosa, appaiono particolarmente gradevoli alla vista. Per esempio, se esaminiamo un volto umano definito “bello” si può scoprire come alcune distanze tra gli elementi che lo compongono stanno in un rapporto aureo. In questa figura di volto di donna si possono individuare numerosi rapporti aurei
A/a: rapporto tra altezza e larghezza del viso
B/b: tra la posizione d ella linea degli occhi rispetto a mento e fronte
C/c: tra la posizione della bocca rispetto al mento e agli occhi
D/d: tra l’altezza e la larghezza del naso
E/e: tra la lunghezza e l’altezza della bocca
F/f: tra la larghezza degli occhi e la loro distanza
H/h: tra la distanza degli occhi e la loro distanza dal centro di
simmetria
Analizzando la presenza del numero Φ nell’arte di tutti i tempi si scopre che è largamente presente. Non sempre si può valutare se è stata una scelta consapevole, come nel caso delle piramidi ( l’altezza e la base della grande piramide di Cheope), ma certo si rimane esterrefatti a scoprire che monumenti antichissimi hanno tutte le loro parti “divinamente proporzionate”, come, per esempio, nella Porta del Sole in Bolivia (1500 a.c.) In periodo storici più recente, invece, come già nel medioevo, l’architettura e l’arte in genere hanno cercato volutamente il rapporto aureo tra le parti delle loro opere. L’uso del simbolo Φ per indicare il valore del rapporto aureo deriva proprio dall’iniziale di Fidia, il grande architetto greco vissuto tra il 490 e il 430 a.c. che, secondo numerosi storici dell’arte, ha spesso volutamente applicato la proporzione aurea. Nel famoso uomo di Vitruvio di Leonardo e nella sua Gioconda e in altre opere si ritrovano rapporti aurei. LA SERIE DI FIBONACCI, LA SEZIONE AUREA E LA NATURA
Il numero Φ e la sezione aurea si intrecciano con un altro concetto matematico: la serie di Fibonacci. È una successione di numeri dei quali ogni membro è la somma dei due precedenti. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … Se si fa il rapporto tra un numero qualunque della serie e il precedente si ottiene un risultato che si avvicina (o in eccesso o in difetto) sempre più a Φ, man mano che si procede con i termini situati più avanti nella serie. Fibonacci elaborò la sua famosa serie per risolvere velocemente un quesito, raccontato in un episodio ormai famoso. Leonardo Fibonacci, detto Leonardo Pisano nacque Pisa nel 1175 circa e morì, presumibilmente a Pisa, nel 1235 circa. Il padre lavorava per i mercanti pisani, come impiegato di dogana, e volle che il figlio apprendesse nuove forme di numerazione, oltre quelle conosciute in Italia. Così lo portò a vivere con sé a Bugia, presso Algeri, dove imparò ad usare la numerazione araba nella quale era inserito il numero zero e che solo in seguito, non senza resistenze, venne inserito anche nella matematica europea. Nel 1223 a Pisa, partecipò ad una gara fra matematici indetta dall’imperatore Federico II che propose un singolare e, all’apparenza, banale quesito: si rinchiude una coppia di conigli in un recinto: quante coppie di conigli si ottengono in un anno supponendo che ogni coppia dia alla luce un'altra coppia ogni mese, che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi dal secondo mese di vita e che la coppia non muore mai? Con sorpresa di tutti Fibonacci, mentre gli altri si arrovellavano il cervello, risolse il quesito scrivendo la sua famosa “serie” che scaturì facilmente dalla pratica di manipolare i numeri: in poco tempo scoprì che i conigli sarebbero stati 377! 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811 … (Il gioco è semplice: all’inizio c’è solo una coppia di conigli, il primo mese ce ne sono 2 di cui una fertile, quindi il secondo ce ne sono 3 di cui 2 fertili, quindi il terzo mese ce ne sono 5 di cui 3 fertili, quindi il quarto mese ce ne sono 8 di cui 5 fertili e così via. Fibonacci nota che ogni termine della sequenza è la somma dei due precedenti. Nasce così la celebre successione di Fibonacci) La successione di Fibonacci si ritrova in una varietà incredibile di fenomeni che non sono collegati fra loro, ma forse è nel mondo naturale che appare con grande spettacolarità. Il caso più documentato riguarda la FILLOTASSI. Essa Studia il modo in cui le foglie e i rami si distribuiscono intorno al fusto. Che la disposizione sia tale da permettere che le foglie non si coprano fra di loro, ma che ognuna riceva il massimo possibile di luce e di pioggia è comprensibile, ma si rimane esterrefatti quando si scopre che questi schemi sono esprimibili in termini matematici ed hanno un legame con la serie di Fibonacci. Infatti, il numero di giri compiuti per trovare la foglia allineata con la prima è generalmente un numero di Fibonacci. È detto quoziente di fillotassi il rapporto tra il numero di giri e il numero di foglie tra due foglie simmetriche, tale quoziente è quasi sempre il rapporto tra due numeri consecutivi o alternati della successione di Fibonacci. Per esempio, nel disegno a lato, occorrono 3 giri completi e passare attraverso 8 foglie per ritornare alla foglia allineata con la prima: il quoziente di fillotassi è 3/8 . Altri esempi. Nei tigli le foglie si dispongono intorno al ramo con un quoziente di fillotassi pari a1/2. Nel nocciolo, nel faggio e nel rovo è di 1/3. Il melo, l’albicocco e alcune specie di querce hanno le foglie ogni 2/5 di giro e nel pero e nel salice piangente ogni 3/8 di giro. Oltre alle foglie, nelle piante anche altri elementi si dispongono secondo schemi basati su numeri appartenenti alla serie di Fibonacci. L’ananas ne è un magnifico esempio, ognuna delle squame che la rivestono appartiene a tre diverse spirali che, nella maggior parte di questi frutti, sono in numero di 5, 8 e 13 (proprio numeri di Fibonacci) Non meno spettacolare è il centro dei girasoli dove è possibile notare due serie di spirali che si avvitano l’una in senso orario l’altra in senso antiorario. Si osservino anche la distribuzione di foglie e spine nelle piante grasse. Il numero di spirali in senso orario e quelle in senso antiorario di una pigna sono termini contigui della successione di Fibonacci (nella foto a lato: 8 e 13 ) Il numero dei petali delle asteracee è appartiene alla seri di Fibonacci ( nella foto 21) ALCHIMIE MATEMATICHE
“Giocando” con i numeri della serie si possono trovare sviluppi affascinanti e inaspettati: meraviglia della capacità di manipolare la matematica! Il rapporto aureo e i numeri di Fibonacci possono assumere anche la forma di spirali e apparire sia nel mondo microscopico sia nell’immensità dell’universo. Scopriamo dove si può arrivare scomponendo un rettangolo aureo ( è tale quando i suoi lati stanno in un rapporto aureo, cioè la loro misura è espressa da due termini consecutivi della serie di Fibonacci). Si sottrae da questo rettangolo un quadrato di lato uguale al lato minore del rettangolo; come risultato si ottiene un piccolo rettangolo che è ancora aureo. Procedendo sempre nello stesso modo si formano rettangoli sempre più piccoli. Quello aureo è l’unico rettangolo dal quale se ne ottiene uno simile quando vi si sottrae un quadrato. Inoltre tracciando le diagonali di ogni coppia di rettangoli ( quello “genitore” e quello “figlio”) si nota che si incontrano in un punto nel quale converge una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli. Con questa figura si può costruire una spirale disegnando un arco di circonferenza entro ogni quadrato. Si ottiene una spirale logaritmica. La spirale logaritmica è definita anche proporzionale perché ogni raggio vettore sarà più ampio del precedente secondo una progressione geometrica , facendo sì che la curva crescendo non cambi forma. La spirale proporzionale non raggiunge mai il polo (cioè il punto attorno al quale si avvolge infinite volte) , poiché il centro della spirale è un punto asintotico. La sua forma non cambia quando se ne modificano le dimensioni, sia che si aumentino sia che si riducano; per questo viene detta autosomigliante. È interessante il fatto che questa proprietà è importante per molti fenomeni di accrescimento naturale. Famoso l’esempio del nautilo (Nautilus pompilius) che, nella sua conchiglia, aumenta di grandezza e si costruisce camere sempre più spaziose sigillando quelle vecchie perché diventate piccole. Come la spirale logaritmica la forma della conchiglia non cambia forma e l’animale può cresce mantenendo le stesse proporzioni. Ammonite fossile
Una chiocciola dei nostri prati Nell’ariete le corna crescono secondo una spirale logaritmica, anche se si sviluppa su piani diversi. Il falco pellegrino durante la caccia compie una traiettoria a spirale per abbattersi sulla preda.
Immagini di crop circle. La suggestione è intricante: gli alieni conoscono la matematica? Oggetti con forma di spirale si ritrovano dal mondo” infinitamente piccolo” all’universo “infinitamente grande” Foraminifero fossile ( guscio di un organismo unicellulare, dentro ci viveva una specie di Organismi unicellulari costituenti il plancton
Veder un mondo in un grano di sabbia
e un universo in un fiore di campo, possedere l’infinito sul palmo della mano e l’eternità in un’ora. William Blake (peta e pittore inglese. 1757‐1827 La galassia spirale NGC 1232 Conclusioni
È possibile spiegare il senso di questa stupefacente corrispondenza tra elementi matematici e figure naturali? Per quel che si sa nessuno ha trovato un perché e il rapporto aureo rimane uno straordinario esempio di quel senso di stupore che può pervadere la mente dell’uomo e che non deve essere vissuto con imbarazzo ma come segno di una interiorità pulsante, come lo ha mirabilmente descritto Einstein quando afferma “quella del mistero è la più straordinaria esperienza che ci è dato di vivere. È l’emozione fondamentale situata al centro della vera arte e della vera scienza. Da questo punto di vista chi sa e non prova meraviglia, chi non si stupisce più di niente è come simile ad un morto, ad una candela che non fa più luce” NOTE