A. Languasco - Esercizi “Matematica B” - 4. Geometria
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Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica
Testi di Esercizi
A: Vettori geometrici
A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni hanno senso?
|w|v, |v||w||,
v |v|
,
, (u. v)w, u. v + w, (u. v) + (u. w).
|w| w
A2. Sia |v| = 1. Esiste un vettore w di modulo 2 tale che v. w = 5? Esiste w di modulo 2 tale che
v. w = −1.
A3. Siano w1 , w2 6= 0 vettori e supponiamo u 6= 0 formi angoli uguali con essi e che v 6= 0 abbia la stessa
proprietà. Dimostrare che se λu + µv è non nullo allora esso ha ancora la stessa proprietà.
D’ora in poi supponiamo che v1 , v2 , v3 sia una base di R3 . Indicheremo i vettori con le loro
coordinate rispetto a v1 , v2 , v3 .
(√
2 se i 6= j
A4. Supponiamo che vi . vj =
. Calcolare (1, 0, 0). (0, 1, 0) e (1, 1, 0). (0, 1, 2). Calcolare
2
se i = j
l’angolo tra (1, 0, 0) e (0, 0, 1) e quello tra (1, 0, 0) e (0, 1, 1).
D’ora in poi supponiamo che la base v1 , v2 , v3 sia ortonormale.
A5. Provare che esistono due vettori di modulo 5 paralleli a (1, 2, −1).
A6. Provare che esiste un vettore v parallelo a (1, −1, 1) tale che v − v1 abbia modulo 3.
A7. Proiettare il vettore (1, 2, 1) sul vettore (0, 3, 1). Trovare un vettore linearmente dipendente con (1, 2, 1)
la cui proiezione su (0, 3, 1) abbia modulo 1. Ne esiste uno solo?
A8. Determinare un vettore v 6= 0 tale che v − v1 sia ortogonale a (2, 1, 1) e v sia ortogonale a v2 .
A9. Determinare un vettore di modulo 1 ortogonale a (1, 2, 3) e a (1, 1, −1).
A10. Siano u = (1, 2, 0) e v = (0, 1, −1). Determinare w tale che:
- u, v, w siano linearmente indipendenti;
- w sia ortogonale a v;
- la proiezione di w su u abbia modulo 1.
A11. Si determinino tutti i vettori di L{v1 , v2 } aventi un angolo di
A12. Determinare un vettore formante un angolo di
π
4
π
3
col vettore (−1, 2).
con (1, 1, 0) e di
π
2
con (0, 1, 1).
A13. Siano v = (1, −3) e w = (2, 1) due vettori di L{v1 , v2 }. Trovare u1 ortogonale a v tale che la
proiezione di u1 coincida con la proiezione di v su w. Determinare u2 di modulo 1 tale che la proiezione di
u2 su w coincida con la proiezione di v su w.
A14. Siano u, v due vettori non nulli. Determinare tutti i vettori linearmente dipendenti con u e v formanti
con essi angoli uguali.
A15. Dati i vettori u1 = (1, 2, 0), u2 = (0, −1, 1), determinare la proiezione ortogonale del vettore (1, 0, 0)
sul sottospazio L{u1 , u2 }. Calcolare l’angolo θ tra il vettore (1, 0, 0) e L{u1 , u2 }.
A16. Dati i vettori u, v, w, si dica quali di queste operazioni ha senso in L{v1 , v2 , v3 }.
(u+v). w
(u. v). w
u∧v∧w
v∧(v∧w)
(u∧v). w
u∧v−w
A17. Dimostrare che se u, v, w ∈ L{v1 , v2 , v3 } e a ∈ R, allora:
(u + av) ∧ v = u ∧ v
u ∧ v. w + (u + v). u ∧ w = 0.
A18. Provare che se u. v = 0 e |u| = |v| = 2, allora |(u ∧ v) ∧ v| = 8
A19. Scrivere u ∧ (v ∧ w) come combinazione lineare di v e w.
(v∧w). (u∧v).
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D’ora in poi supponiamo che la base v1 , v2 , v3 sia anche destrorsa.
A20. Calcolare ((1, 2, 0) ∧ (3, 2, 0)) ∧ (1, 1, 1) e (1, 2, 0) ∧ ((3, 2, 0) ∧ (1, 1, 1)).
A21. Trovare tre vettori u, v, w tali che (u ∧ v) ∧ w = u ∧ (v ∧ w) 6= 0.
A22. In quali casi ha soluzione l’equazione v ∧ x = w ?
A23.
Risolvere
le equazioni:
√
√
√
√
√
-( 32 , 32 , 35 ) ∧ x = ( 22 , − 22 , 0);
√
√
- (1, 2, 0) ∧ x = (2, −1, 1) 22 , − 22 , 0) .
A24. Siano dati u = (0, 1, 1), v = (2, 1, 0) e w = (0, 2, 1).
- Provare usando il prodotto misto che u, v, w è una base per L(v1 , v2 , v3 );
- Trovare le coordinate di v1 , v2 , v3 rispetto a questa base;
- Trovare le coordinate di v1 + v2 + v3 rispetto a questa base.
A25. Dire se sono destrorse o sinistrorse le seguenti basi:
v1 , v3 , v2
v1 + v2 , v2 , v3
v2 + v3 , v1 + v3 , v1 + v2 .
A26. Sia u, v, w una terna di vettori tale che u ∧ v. w > 0. Siano poi xk = ku + 2v, yk = kv + w,
zk = v + kw.
- Dire per quali k i vettori xk , yk , zk sono base di L(v1 , v2 , v3 );
- Dire per quali k i vettori xk , yk , zk è destrorsa.
B: Geometria lineare nel piano
B1.
- La
- La
- La
Scrivere le equazioni parametriche per le seguenti rette:
retta che congiunge A(−1, 3) con B(2, 1)
retta di equazione cartesiana x = 2
retta di equazione cartesiana x − 3y = 4.
(
x = 2t + 1
B2. Sia r la retta di equazione parametrica
. Scrivere un’altra rappresentazione parametrica
y =t−2
per r tale che il punto di r di ascissa 0 si ottenga per t = 0 e quello di ordinata 0 per t = 1.
(
(
x=t−2
x=t+2
B3. Dire se le due rette a lato sono la stessa retta
.
y =t+2
y =t−2
(
(
x = 3t + 1
x = 3t + 4
B4. Dire se le due rette a lato sono la stessa retta
.
y =t−1
y=t
B5. Determinare, se possibile, il coefficiente angolare delle seguenti rette:
x − 10 = 0
;
y+4=0
;
2x − y = 4
;
x−3
5
=
y+7
1
;
x = 3y
;
(
x = 3t
y =t−1
.
B6. Verificare che le tre rette x − 2y + 3 = 0, 3x + y + 2 = 0, x − 6y + 7 = 0 appartengono ad un fascio e
determinarne il centro.
B7. Per quali a ∈ R le tre rette 2ax − ay = 1, 2x = ay, −2ax + y = 1 appartengono ad un fascio?
B8. Nel fascio di rette x + 3ky − 5k + 2 = 0 determinare (se esistono):
- la retta il cui vettore direzionale si a(2, 1),
- la retta parallela all’asse x e quella parallela all’asse y,
- il centro del fascio,
- le rette s tali che il triangolo determinato da s e dai due assi coordinati abbia area 7.
B9. Determinare il punto simmetrico di (1, 1) e la retta simmetrica di x+y = 2 rispetto alla retta x−2y = 1.
B10. Dividere il segmento di estremi (0, 1) e (5, 3) in due e in tre parti uguali.
B11. Scrivere la retta r rispetto alla quale siano simmetrici A(0, 4) e B(1, −2).
B12. Determinare il baricentro del triangolo A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ), C(c1 , c2 ).
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B13. Dati i tre punti A(0, 0), B(1, 2), C(6, 0), determinare un quarto punto D in modo che i quattro punti
formino un parallelogramma. In quanti modi è possibile?
B14. Determinare le due bisettrici degli angoli formati dalle rette 2x − y = 0 e x + y = 1.
B15. Tra i punti P della retta r : 4x − 3y + 2 = 0 determinare quello il cui simmetrico rispetto alla retta
s : x − 2y = 2 ha distanza minima da (0, 0).
B16. Tra i punti della retta r : x + 2y = 2 determinare quelli la cui proiezione ortogonale sulla retta
s : x = 2 − t; y = 3 + 2t dista 5 da P = r ∩ s.
√
B17. Scrivere le equazioni delle circonferenze di raggio 5, passanti per il punto (0, 0) e ivi tangenti alla
retta 2x = 3y.
B18. Scrivere l’ equazione di una circonferenza di raggio 1 avente il centro sull’asse x e tangente alla retta
y = 2x.
B19. Scrivere le equazioni delle circonferenze passanti per i punti (−2, 2) e (2, 0) e tangenti alla retta
x + y + 2 = 0.
B20. Scrivere le equazioni delle rette passanti per (1, 2) e tangenti alla circonferenza di equazione x2 + y 2 +
2x + 8y = 0.
B21. Scrivere l’equazione di una circonferenza di raggio 3 con centro sulla retta r : y = 3x + 2 e che sia
tagliata dalla retta s : x + y = 2 in una corda di lunghezza 2.
B22. Tra le circonferenze tangenti alle rette parallele y = 2x + 1 e y = 2x + 3 determinare le due che sono
tangenti anche alla retta s : 3x = y.
B23. Scrivere le equazioni delle circonferenze con centro sull’asse y e tangenti a x + y + 1 = 0 e a 2x − y = 4.
B24. Tra le rette del fascio di centro (4, −1) determinare quelle che tagliano la circonferenza x2 + y 2 = 4x
in una corda di lunghezza 2.
B25. Che raggio deve avere una circonferenza di centro (3, 0) affinché una delle rette ad essa tangenti in
una delle sue intersezioni con y = 2x intercetti l’asse x nel punto (−3, 0)?
B26. Siano r : 2x = y; s : 3x + y = 0 due rette; determinare tra le due bisettrici degli angoli di r e s quella
situata nell’angolo minore. Determinare quindi le circonferenze di raggio 2 situate negli angoli minori tra r
e s e tangenti sia a r che a s.
B27. Date le circonferenze (x − 1)2 + (y + 2)2 = 1 e (x − 1)2 + (y − 2)2 = 2, determinare le equazioni delle
quattro rette tangenti ad entrambe.
B28. Scrivere un’equazione che sia soddisfatta da tutti e soli i punti dell’insieme costituito dall’unione delle
rette x = y; x = 3y; x = 1.
B29. Scrivere l’equazione cartesiana del luogo di punti P (x, y) tali che siano allineati:
- il punto simmetrico di P rispetto all’asse x,
- il punto medio tra P e O(0, 0),
- la proiezione ortogonale di P su x + 2y − 1 = 0.
B30. Scrivere l’equazione cartesiana del luogo dei punti P (x, y) tali che il triangolo P P 0 P 00 abbia area 1,
dove P 0 è il simmetrico di P rispetto a x + y = 1 e P 00 è la proiezione ortogonale di P sulla retta y = 2.
C: Coniche: cambio di coordinate
C1. Coniche da riconoscere:
a) x2 + 2y 2 = 1
e) x2 − 3y 2 = 0
i) xy = 0
m) x2 + 3xy = 0
C2. Coniche da disegnare:
a) x2 + 2y 2 − y = 0
d) 2y 2 + y = 2x
g) x2 − 3y 2 − 2xy = 0
b) y 2 − 2x2 = 3
f) y 2 − 2x = 0
j) x2 + 1 = 0
n) x2 − 3x + 2 = 0
b) 3x2 − y 2 − y = 1
e) xy = 5
h) x2 + x + 1 = 0
c) 2y 2 = 3x
g) 1 + x2 + 2y 2 = 0
k) y 2 = 9(x − 1)
o) x2 − 2xy + y 2 = 0
d) 2 − x2 = y 2
h) x2 + 3y 2 = 0
l) 3x2 + 2y 2 = 5
p) x2 + 2x + y 2 + 1 = 0.
c) x2 − 2y 2 − 4x + 4 = 0
f) 3x2 + 4y 2 − x + 1 = 0
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C3. Determinare l’equazione della parabola di fuoco F (1, 0) e direttrice x + 2y = 0.
C4. Determinare l’equazione dell’ellisse di fuochi F1 (0, 0), F2 (1, 2) passante per il punto P (4, 3).
C5. Determinare il luogo dei punti del piano P (x, y) le cui distanze rispettivamente dal punto P (1, 0) e dalla
retta x = 0 stanno nel rapporto k (k 6= 0). Discutere il luogo al variare di k ∈ R \ {0}.
C6. Dire se esiste un sistema di coordinate per il quale l’asse x0 sia la retta di equazione 11x + 12y − 10 = 0
(rispetto al sistema Oxy) e l’asse y 0 sia la retta 12x − 11y + 8 = 0. Nel caso in cui esiste, scrivere la
trasformazione diretta e quella inversa.
C7. Coniche da riconoscere:
a) 4x2 + 4xy + y 2 − x = 0
d) 2x2 − 6xy + 5y 2 = 0
g) 3x2 + 3y 2 − x = 0
b) x2 + 3xy = 1
e) x2 + 2xy + 2y 2 + y + 1 = 0
h) xy + x + y = 1
c) x2 + 2xy − 3y 2 + x − y = 0
f) x2 + xy + y 2 + x = 0
C8. Riconoscere le seguenti coniche al variare di λ ∈ R:
b) x2 + 2λxy + 3y 2 + 2λx + 1 = 0
a) (λ + 6)x2 + 2λxy + y 2 + 2x − 4y = 0
2
2
c) λx + 2λxy + y + 2x + 2y + 1 = 0
d) x2 + 2λxy + y 2 + 2x + 2y = 0
2
2
e) λx + 4xy + (λ − 3)y + (λ + 1)y = 0
f) 4λ2 x2 + (2λ + 2)xy + y 2 − λ = 0.
C9. Determinare gli asintoti delle seguenti iperboli:
a) 3x2 + 2xy − y 2 = 1
b) xy − y = 2
c) x2 + 3xy + y 2 + x − 2y = 0.
C10. Determinare la lunghezza dei semiassi delle seguenti ellissi:
a) 3x2 + 4xy + 3y 2 = 7
b) 3x2 + 4xy + 3y 2 − 2x − 8y = 7.
D: Geometria lineare nello spazio
Si suppone fissato nello spazio un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche
destrorso.
D1. Determinare:
- il piano passante per P (0, 1, 2) e ortogonale alla retta r : x = y = z − 2;
- UN piano passante per P (0, 1, 2) e parallelo alla retta r : x = y = z − 2;
- il piano passante per P (0, 1, 2) e parallelo al piano α : x − 3y + z = 0;
- UN piano passante per P (0, 1, 2) e ortogonale al piano α : x − 3y + z = 0.


x = 3t
D2. Data r : y = t − 2 . Determinare:


z =1−t
- la retta passante per P (0, 1, 2) e parallela a r;
- una retta passante per P (0, 1, 2) e ortogonale a r;
- la retta passante per P (0, 1, 2) e ortogonale ed incidente a r.
D3. Per quali a ∈ R la retta x + y = x − ay − z = 0 giace sul piano x + 4y + z = 0 ?
D4. Dati tre punti A(0, 1, 0), B(2, 1, 1) e C(0, −1, 2), dimostrare che non sono allineati e determinare il
piano che li contiene.
D5. Determinare il piano che contiene il punto (1, 0, 3) e la retta x = y = 2 − z.
D6. Dire per quale a ∈ R sono incidenti le rette r : {x + y − 1 = x − z = 0} e s : {2x + y − a = x + z − 2 = 0}
e per tale a determinare il piano che le contiene.
D7. Determinare sul piano x − 2y + z = 0 che contiene il punto P (1, 0, −1):
- la retta passante per P e ortogonale all’asse x;
- la retta passante per P e parallela al piano 3x = z;
- la retta passante per P e incidente la retta x − 3y = z − 2 = 0.
D8. Dati il punto P (1, 0, 1), la retta R : x − 2y = z = 0 ed il piano α : x − 3y = z, determinare la proiezione
ortogonale di r su α e la proiezione ortogonale di P su r.
D9. Sulla retta x = y = z − 1 determinare il punto la cui proiezione ortogonale sulla retta x − 2y = z + x = 0
sia l’origine delle coordinate.
D10. Determinare la retta del piano x + 2y + z = 1 perpendicolare e incidente r : {x = y = z}.
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D11. Data la retta r : {x − 2y = z − 3y + 1 = 0}, determinare la distanza tra r e la retta passante per
P (0, 1, 0) e parallela a r. Tra i piani per P paralleli a r determinare quello che ha distanza massima da r.
D12. Tra le rette incidenti r : {x = y ; z = 2} e s : {x = 3y − 2 ; z + y = 0} determinare quella ortogonale
ad entrambe e quella parallela alla retta x = y = z.
D13. Tra le rette uscenti da P (1, 2, −1) e parallele al piano x + 3y − z = 1, determinare quella incidente la
retta r : {x = 3y ; z = x + 1}.
D14. Per ogni retta s giacente sul piano x + y = 2 e incidente la retta r = {x = y + 2 ; z = 2x} sia α
l’angolo più piccolo che s forma con r. Determinare s in modo che:
a) α sia massimo;
b )α sia minimo;
c) α = π3 .
D15. Date le rette r : {x − z = 1 ; y = 1} e s : {x − y + 3 = 0 ; x − 2z + 5 = 0}:
- dimostrare che r e s sono sghembe;
- determinare la loro distanza d;
- determinare la perpendicolare comune e i punti Pr , Ps di minima distanza;
- determinare il piano parallelo ad entrambe e da esse equidistante;
- determinare i piani α contenenti r tali che la proiezione di Pr su α abbia distanza 1 da Ps ;
- determinare i punti di r che distano 2d da s.
D16. Tra le rette perpendicolari ed incidenti alla retta r : {x − y = 0 ; z = 3y + 2} nel suo punto (0, 0, 2)
determinare :
- quella incidente la retta s : {x = y = z};
- quella ortogonale a s;
- quelle che hanno distanza 1 da s.
D17. Siano P (1, 0, 2) un punto, r : {x = 2y = z + 1} una retta, α : 3x − 2y + z = 0 un piano:
- determinare il punto P 0 simmetrico di P rispetto ad r, il punto P 00 simmetrico di P rispetto ad α ed il
punto O0 simmetrico di O rispetto a P ;
- determinare la retta r0 simmetrica di r rispetto ad P , la retta r00 simmetrica di r rispetto ad α ed la retta
x0 simmetrica dell’asse x rispetto a r;
- determinare il piano α0 simmetrico di α rispetto ad P , il punto α00 simmetrico di α rispetto a r e il piano
β simmetrico di z = 0 rispetto a α.
D18. Siano P (x0 , y0 , z0 ) un punto, r : {x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)} una retta e α : ax + by = cz = d un
piano. Determinare i simmetrici di P, r, α rispetto al punto (0, 0, 0), alla retta x = y = 0 e al piano z = 0.
D19. Determinare i piani passanti per il punto P (0, 2, 0), paralleli alla retta r : {x − y = z ; y = 2x} e
aventi distanza 1 da r.
D20. Dati i punti A(2, 1, 0), B(1, 0, 3), C(0, 1, 1):
- determinare l’area del parallelogramma di lati AB e AC.
- determinare i punti D dell’asse x tali che il volume del parallelepipedo di lati AB, AC, AD sia 3.
D21. Determinare l’equazione del luogo dei punti medi del segmento P Q dove P varia sul piano x = 2y e
Q = (1, 1, 0).
D22. Determinare il luogo dei punti medi tra i punti della retta r : {x = y = z} e della retta s : {x =
2y + 1 ; z = 1} aventi la stessa ascissa.
D23. Determinare il luogo descritto dalle proiezioni ortogonali del punto P (1, 2, 3) sui piani del fascio che
ha come asse la retta r : {x = y ; z = 1}.
D24. Determinare il luogo dei punti dello spazio equidistanti dal piano x = 2z − 1 e dal punto P (1, 3, 2).
D25. Determinare il luogo dei punti del piano y = 3z equidistanti dal piano x = 2z −1 e dal punto P (1, 3, 2).
D26. Determinare il luogo dei punti dello spazio equidistanti dal piano x = 2z − 1 e dalla retta {x = y ; z =
0}.
D27. Determinare il luogo dei punti dello spazio equidistanti dalla retta r : {x = 1 ; y + z = 0} e dalla
retta {x = y ; z = 0}.
D28. Determinare il luogo dei punti dello spazio le cui proiezioni ortogonali sul piano x − y = 1 e sulla retta
{y = 0 ; z = 1} siano allineate con (0, 0, 0).
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D29. Determinare il luogo dei punti dello spazio la cui proiezione sul piano x + y + z = 0 è equidistante
dall’origine e dalla retta {x = 1 ; y = z}.
D30. Determinare il luogo delle rette che sono incidenti le due rette r : {x = y = z}, s : {x = 3y ; z = 1} e
parallele al piano x − 2y + 2z = 0.
D31. Determinare (se esiste) il luogo delle rette passante per P (1, 1, 1) e incidente le rette r : {x = 2y − 1 =
−z} e s : {x = 2 ; y = 3z}. Determinare (se esiste) la retta passante per P (1, 1, 1) e incidente le rette
r : {x = −y − 1 = −z} e s : {x = 2 ; y = 3z}.
D32. Determinare il luogo delle rette che sono incidenti le tre rette r : {x = 2y − 1 = −z} e s : {x =
2 ; y = 3z} e t : {x = y = z}.
D33. Determinare il luogo costituito dalle rette che passano per (0, 0, 0) e formano un angolo di
retta {x = 0 ; y = z}.
π
6
con la
D34. Sia P (1, 1, 1). Dire qual è l’equazione del luogo delle rette uscenti da P e perpendicolari e incidenti
alle rette del fascio y − mx = z = 0, m ∈ R.
E: Sfere e circonferenze nello spazio
E1. Scrivere
√ l’equazione di tutte le sfere tangenti in (1, 1, 0) al piano x = y. Determinare tra tali sfere quelle
di raggio 2 e poi quelle tangenti anche al piano x + z = 3.
E2. Scrivere i piani del fascio di asse x−y = z = 0 tangenti alla sfera di equazione 4x2 +4y 2 +4z 2 −4x+8z+1 =
0
E3. Determinare sulla sfera di centro (1, 0, 0) e raggio 2 le circonferenze di raggio 1 giacenti su piani paralleli
al piano x = z.
E4. Sia C la circonferenza di raggio 1, centro (1, 0, 0) e asse a : {x = 1 + t ; y = t ; z = t}. Determinare le
sfere di raggio 2 contenenti C.
E5. Sulla sfera di centro (2, 0, 0) e raggio 2 determinare due circonferenze di raggio 1 passanti per (0, 0, 0).
E6. Determinare una sfera di raggio 2, tangente al piano x = 3y e con centro sulla retta x = y = z − 1.
E7. Determinare le sfere di raggio 1, con centro sul piano x = y − z, tangenti ai piani x = 0 e y + z = 1.
E8. Tra le rette passanti per (0, 0, 0) e parallele al piano x = z + 1, determinare quelle che staccano sulla
sfera x2 + y 2 + z 2 − 2z = 0 una corda di lunghezza 1.
E9. Sulla sfera S dell’esercizio precedente:
√
√
- determinare il cerchio massimo passante
√ per P (0, 0, 0) e Q( 2/2, 2/2, 1);
- determinare le circonferenze di raggio 3/2 passanti per P e Q;
-√verificato che la retta {z = 2 ; y = 3x} è tangente alla sfera, determinare su S le circonferenze di raggio
3/2 tangenti a r.
E10. Esprimere la circonferenza del piano x = 3y − 1 con centro (−1, 0, 0) e raggio 1 come intersezione di
due sfere tangenti al piano x = 0.
E11. Scrivere le rette tangenti alla circonferenza dell’esercizio precedente nei suoi punti di ascissa − 71 .
E12. Tra le sfere contenenti la circonferenza {x2 + y 2 + z 2 = 1 ; z = 0} determinare quelle tangenti alla
retta {x + y = 2 ; z = y}.
E13. Determinare la sfera tangente alle rette r : {x − z = 1 ; y = 1} e s : {x − y + 3 = 0 ; x − 2z + 5 = 0}
nei loro punti Pr e Ps di minima distanza.
E14. Determinare i punti P della retta r : {x
√ = t ; y = 2t + 1 ; z = 1 − t} tali che la sfera di centro P e
tangente al piano x + y = z = 0 abbia raggio 3.
E15. Determinare la circonferenza di centro (1, 1, 0) e tangente alla retta di equazione {x + y = 2y − z = 0}.
E16. Verificare che i punti A(1, 0, 0), B(0, 1, 1) e la retta r : {x + z = 1 ; y = 2} sono complanari e
determinare le circonferenze passanti per A e B e tangenti a r.
E17. Data la circonferenza dell’esercizio E10, condurre dal punto P (2, 1, 1) (che giace sul piano x = 3y − 1)
le tangenti alla circonferenza.
A. Languasco - Esercizi “Matematica B” - 4. Geometria
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E18. Tra le rette tangenti alla sfera di centro (1, 1, 2) e raggio 2 nel suo punto di minima distanza da (0, 0, 0)
determinare quella ortogonale all’asse x e quella incidente l’asse y.
E19. Siano r1 e r2 le rette parallele a r : {x = y ; z = 2y + 1} e passanti rispettivamente per i punti
(0, 1, 0) e (1, 0, 0). Determinare la circonferenza incidente r, r1 e r2 e giacente sul piano passante per (0, 0, 0)
e ortogonale a r.
E20. Data la sfera S : x2 + y 2 + z 2 = 1 e il punto P (1, 1, 2), determinare la circonferenza di S luogo dei
punti di tangenza delle tangenti condotte da P a S.
F: Quadriche
F1. Classificare le seguenti quadriche:
a) x2 + y 2 + 3xz − 2y + 4x = 0
b) z = xy
c) x2 − 3y 2 + z 2 + 1 = 0
d) z 2 = xy
2
2
2
e) y = x − xz
f ) (x − 1) + (y − 2) = x + 2y − 6z + 1
g) xy + yz + zx = 1
h) (x + y)2 = 4z
2
2
m) xy + yz + zx = −1
n) y = z
o) z 2 − x2 = 3
i) xy + yz + zx = 0
l) 2(x + y − 6z) = x
F2. Classificare, al variare di λ ∈ R, le quadriche della famiglia x2 + y 2 + λz 2 − 2λxy + 2(λ + 1)z + 1 = 0.
F3. Studiare la quadrica x2 + 3y 2 − 5z 2 − 6z + 4y − 5x + 8 = 0 e la proiezione ortogonale sul piano xy della
conica ottenuta intersecando la quadrica col piano x + y − z = 0.
F4. Data la quadrica 47 x2 + 12 xy + 74 y 2 + √12 xz −
alla quale la quadrica si scrive in forma canonica.
√1 yz
2
+ 32 z 2 = 0 determinare in R3 una base F rispetto
F5. Sia Q la quadrica x2 − y 2 − z = 0.
a) dire di quale quadrica si tratta
b) determinare due rette distinte passanti per P (1, 1, 0) e giacenti su Q.
c) determinare una conica non degenere giacente su Q.
F6. Dato il piano π : 3x − 2y + z = 0, determinare:
a) una superficie S1 tale che S1 ∩ π sia una quadrica;
b) una superficie S2 tale che S2 ∩ π sia una conica.
F7. Riconoscere il tipo delle quadriche:
b) x + z + z 2 = 0
a) x2 − y 2 − z 2 = 0
e) xy = x + z
f ) x + x2 + z 2 = 1.
c) xy = 1
d) y 2 = xz + z
F8. Sia S la quadrica: x2 + y 2 + 2z 2 + 2xz + 2yz + 2z + 2 = 0.
- provare che S è non degenere e riconoscere il tipo di S
- ridurre S alla forma canonica.
F9. a) Riconoscere il tipo della quadrica Q: x2 − y 2 + z 2 = 1;
b) determinare l’equazione di un’iperbole contenuta in Q;√ √
c) determinare le due rette di Q passante per il punto P ( 2, 2, 1);
d) provare che Q è ottenuta ruotando la curva {2z 2 − y 2 = 1 ; x = z} intorno all’asse y.
F10. a) Perché le quadriche F : y + z 2 = 0, G : x + y + z 2 = 0 sono cilindri?
b) determinare la superficie ottenuta facendo ruotare attorno alla retta x − y = z = 0 la curva Γ intersezione
di G con il piano x − y = 0.
F11. a) Riconoscere il tipo della quadrica F : 2x2 − y 2 + 3z = 0;
b) se A(0, 0, 2), si rappresenti in forma cartesiana il luogo dei punti P di F tali che la retta P A intersechi il
piano z = 1 in un punto della curva {z = 1 ; x2 − y = 0}.
F12. a) Riconoscere il tipo delle quadriche Q : x2 + y 2 − z 2 = 0 e Q0 : (x − 1)2 + y 2 − 2z = 0;
b) riconoscere il tipo della conica Γ intersezione di Q con il piano z = 2;
c) determinare in forma cartesiana il cilindro passante per Γ e avente le generatrici parallele alla direzione
(−1, 4, 3)
d) dire se la curva Γ0 : {x = 1 − u2 , y = u2 , z = u4 } è piana e giace su una delle quadriche Q, Q0 .
F13. a) Riconoscere le quadriche Q : x2 − 2z 2 = 3y e Q0 : x2 − 2z 2 = 3y + z;
b) se π è il piano 2x − 3y + 5z + 4 = 0 e Γ = Q ∩ π, dire se la conica Γ0 proiezione di Γ sul piano x = 0 è di
tipo ellittico, parabolico o iperbolico.
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G: Curve e superfici
G1. Data la curva L di equazioni parametriche {x = t ; y = t − t2 ; z = 2t2 + 1}:
- dire se è piana e determinare il piano che la contiene;
- scrivere la proiezione ortogonale di L sul piano z = 0 e sul piano x = y;
- scrivere, se possibile, una rappresentazione cartesiana di L.
G2. Sia data la curva L di equazioni parametriche {x = t + 1 ; y = t2 ; z = t3 }:
- dire se è piana e determinare il piano che la contiene;
- scrivere la proiezione ortogonale di L sul piano z = 0 e sul piano x = y;
- scrivere, se possibile, una rappresentazione cartesiana di L;
- rappresentare in modo cartesiano e parametrico i cilindri contenenti L e con generatrici parallele all’asse
z, all’asse x e alla retta x = 2y = z;
- scrivere i coni contenenti L e con vertice in (0, 0, 0) e in (1, −1, 2).
G3. Sia L la linea di equazione cartesiana {x2 + y − xz = 0 ; x2 − y = z}.
- rappresentare in modo cartesiano e parametrico i cilindri contenenti L e con generatrici parallele agli assi
x, y, z e alla retta r : {2x = y ; z = 0};
-esprimere, se possibile, L come intersezione di due cilindri.
G4. a) Studiare le seguenti curve e scriverne, se possibile, una rappresentazione cartesiana, verificando se
essarappresenta esattamente

 lo stesso luogo:
1



x
=
t
−
1
x = cos t
x = t − 2

L3 y = tan t
L2 y = t2 − t
L1 y = t2 + 1






2
z = 2t2 − t
z=3
z = cos
t



3



x
=
t
+
t
x
=
t
x
=
t2 + 1



L4 y = t3 + t + 1
L5 y = cos t
L6 y = 1
.






z = 2t3 + 2t − 1
z = sin t
z = t3 + t 2
b) determinare gli eventuali punti comuni a L1 e L2
c) scrivere una superficie contenente L1 e L2 .
G5. Determinare (se esiste) sulla linea {x = t ; y = t2 ; z = 1t } una corda parallela al vettore v(2, 3, −4).
G6. Scrivere una curva incidente la retta x = y = z e la cui proiezione ortogonale sul piano z = 0 sia la
curva {x = t ; y = t2 − 6 ; z = 0}.
G7. Scrivere il cono di vertice P (1, 1, 2), luogo delle rette tangenti alla sfera dell’esercizio E20.
G8. Scrivere e studiare le superfici ottenute ruotando intorno all’asse x le seguenti curve:
a) la retta {x = y = z}
b) la retta {y = 1 ; x = z}
c) la retta {x = 2 ; y = z + 1}
d) la parabola {2x = y 2 ; z = 0}
e) la parabola {y = 2x2 ; z = 1}
f) la circonferenza {x2 + (y − 2)2 = 1 ; z = 0}.
G9. Scrivere la superficie ottenuta facendo ruotare l’asse x attorno alla retta r di equazione {x = y + 1 ; z =
2}.
G10. Studiare le superfici e scriverne, se possibile, una rappresentazione parametrica, verificando se essa
rappresenta esattamente lo stesso luogo:
2
2
2
a) xy = 0
b) x2 + y 2 = xy
c) xy = z 2
d) x3 − y + z = 0
e) ex +y +z − 2 = 0
2
3
3
2
2
2
2
3
2
f) x y = y
g) x + xyz − z = 0
h) xy − x − z = 0
i) x + y + z = x
l) x + y 2 = xz 2 .
G11. Provare che sono rigate le superfici seguenti e scriverne tutte le rette:
a) x2 − y 2 = xz
b) xy = z
c) x3 y = zx + z
d) x + 3y = z 3
2
2
2
2
e) (x − z) x = y + z
f) x = yz
g) x = y z.
G12. Sul cono x2 − yz determinare (se esistono) generatrici incidenti la retta r : {x = 1 − t ; y = 2t ; z = t}
e generatrici ortogonali a r.
G13. Studiare le seguenti superfici e scriverne, se possibile, una rappresentazione cartesiana, verificando se
essa


 rappresenta esattamente
 lo stesso luogo:
2
x = uv


x = u + v
x = u


x = u + v
c. y = v − 1
d. y = v 2
b. y = uv 2
a. y = u − 2v








2
z = uv
z = u + 2v
z =v +1
z = uv + u
A. Languasco - Esercizi “Matematica B” - 4. Geometria

2

x = u + v + 1
e. y = 2u2 + 2v + 1


z = 1 − u2 − v


x = u/v
f. y = 1/u


z=v

2

x = uv − v + 1
g. y = uv 2 − v 3 + 2


z = uv − v 2 + u − v.
G14. Sia data la superficie rigata S : {x = u + v + 1 ; y = uv ; z = u2 − uv}.
a) su S esistono due rette tra loro ortogonali ?
b) su S esiste una retta incidente l’asse z ?
c) su S esiste una retta parallela al vettore (2, 1, −1)?
d) su S esiste una retta avente distanza 2 dall’asse z?
e) provare che P (0, −2, 6) e Q(1, 0, 0) sono punti di S
f) scrivere tre diverse curve giacenti su S e passanti per P
g) scrivere una curva PIANA giacente su S e contenente sia P che Q.
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