Filtri attivi
• Per realizzare filtri si può evitare
l’utilizzazione di induttori con schemi
circuitali utilizzanti amplificatori operazionali
(filtri attivi)
Lezione 15
1
Realizzazione di un filtro passa
banda
1/2
• In generale un filtro passa banda può
realizzarsi con lo schema in figura
Lezione 15
2
Realizzazione di filtro passa
banda 2/2
• Funzione di trasferimento
Rf
Vu
sReCe
H (s) =
=−
Vi
Re (1 + sReCe )(1 + sR f C f )
Lezione 15
3
Introduzione
Lezione 15
4
Rappresentazione grafica di H(s)
• È molto importante tracciare i diagrammi che
riportano, in funzione della pulsazione o della
frequenza, gli spettri di ampiezza (in dB) e di
fase delle funzioni di trasferimento
• Tali diagrammi si chiamano diagrammi di Bode
Lezione 15
5
Scala logaritmica delle pulsazioni
1/3
• Il campo di variabilità delle pulsazioni, può essere
molto ampio
• Anzichè riportare le pulsazioni, sull’ascissa si
riporta un segmento proporzionale a u = log10 (ω )
– riportare u anziche omega semplificherà notevolmente
il disegno dei diagrammi di Bode
– con la scala logaritmica non è possibile rappresentare
la pulsazione nulla.
Lezione 15
6
Scala logaritmica delle pulsazioni
2/3
– Sulla scala logaritmica si riportano segmenti
proporzionali a u = log10 (ω )
– I numeri sulle tacche sono relative alla pulsazione ω
e non ad u
ottava decade
( u = log ω )
Lezione 15
7
Scala logaritmica delle
pulsazioni 3/3
• La decade è l’intervallo costante tra una
pulsazione e la pulsazione che risulta 10 volte più
grande (1 decade= log(10p)-log(p)=log(10)=1)
• L’ottava è l’intervallo costante tra una pulsazione
e la pulsazione doppia
• (1 ottava= log (2p)-log(p)=log(2))=0.3 decadi)
ottava
Lezione 15
decade
( u = log ω )
8
Scala logaritmica delle ordinate
• Nei diagrammi di Bode lo spettro di ampiezza
viene riportato in unità logaritmiche (dB)
– riportare i dB anzichè le unità lineari semplificherà
notevolmente il disegno dei diagrammi di Bode
• molte parti degli spettri di ampiezza sono
approssimabili con porzioni di rette con
pendenze multiple di ± 20 dB/decade
Lezione 15
9
Retta con pendenza di 20
dB/decade
• Calcolare l’ordinata in ω = 16
e ω =5
∆ = (log10 16 − log10 10) × 20dB / decade ≈ 4dB
∆ = (log10 5 − log10 10) × 20dB / decade ≈ −6dB
Lezione 15
1
10
Funzioni di trasferimento
Lezione 15
11
Diagrammi di Bode
Lezione 15
12
Generalità 1/4
• Nelle reti a parametri concentrate le funzioni di
trasferimento sono funzioni razionali fratte.
– la fattorizzazione dei polinomi numeratore e
denominatore porta a:
( s − z1 )( s − z2 )..( s − zm )
H ( s) = K
( s − p1 )( s − p2 )..( s − pn )
– K non dipende dalla pulsazione
– z1, z2,…., zm sono gli zeri di H(s)
– p1, p2,…., pn sono i poli di H(s)
Lezione 15
13
Generalità 2/4
– gli zeri e i poli possono essere reali o complessi
(in coppie coniugate)
– gli zeri e i poli possono essere semplici o multipli
– nelle reti stabili i poli hanno parti reali non positive
• Lo spettro di ampiezza è definito da:
H ( jω ) dB = 20 log10 H ( jω ) ,
Lezione 15
0≤ω <∞
14
Generalità 3/4
• Proprietà importante dei logaritmi:
H ( jω ) dB = K dB + jω − z1 dB + jω − z2 dB + ... + jω − zm dB +
− jω − p1 dB − jω − p2 dB − ... − jω − pn dB
– Decibel relativi allo zero zi:
– Decibel relativi al polo pi:
Lezione 15
jω − zi
jω − pi
dB
dB
15
Generalità 4/4
H ( jω ) dB = K dB + jω − z1 dB + jω − z2 dB + ... + jω − zm dB +
− jω − p1 dB − jω − p2 dB − ... − jω − pn dB
• A meno della costante KdB lo spettro di ampiezza
di una funzione di trasferimento è dato dalla
somma dei decibel degli zeri diminuiti dalla
somma dei decibel dei poli
Lezione 15
16
Punti critici 1/2
• Zeri e/o poli reali
• Per ogni zero o polo reale a, sull’ascissa delle
pulsazioni viene introdotto un punto critico
definito da ω =| a |
• Determinare i punti critici della funzione di
trasferimento:
s −3
s −3
H (s) =
• I punti critici sono:
Lezione 15
s + 3s + 2
2
=
( s + 1)( s + 2)
ω1 = 1, ω2 = 2, punti critici di polo
ω3 = 3, punto critico di zero 17
Punti critici 2/2
• Zeri o poli complessi
• Gli zeri o i poli complessi coniugati semplici
implicano la presenza nella funzione di
trasferimento del trinomio:
s 2 + 2ξ ωo s + ω02 ⇒ s1,2 = −σ ± jω
σ = ξ ωo
ω = 1 − ξ 2 ωo
dove il fattore di smorzamento ξ
| ξ |< 1
• Il punto critico per la coppia di zeri o poli
Lezione 15
complessi è dato dalla pulsazione ωo
18
Assunzioni
• Anche se è possibile tracciare i diagrammi di
Bode per zeri o poli con parti reali positive, per
semplicità saranno considerate solo reti
strettamente stabili a fase minima:
–
Lezione 15
Zeri e Poli hanno parti reali negative
19
Maschera degli spettri di
ampiezza
• Usare i dB per le ordinate e la scala
logaritmica per le ascisse, consentirà di
approssimare gli spettri di ampiezza con delle
spezzate.
• La maschera di un diagramma di Bode è costitituita dalla
spezzata che l’approssima
• La maschera si traccia molto velocemente e si possono
stimare i valori massimi degli errori che si commettono
nell’approssimazione
• In pratica la maschera fornisce tutte le informazioni che
bisogna conoscere su una funzione di trasferimento.
Lezione 15
20
Decibel di uno zero reale
semplice 1/5
• Maschera di
s − zi
dB
= jω − zi
dB
• Punto critico a=-zi
• Caso a=0. Zero nell’origine.
Risulta: jω dB = 20 log10 ω = 20 u
• La maschera coincide con il diagramma esatto
ed è costituita da una retta con pendenza 20
dB/decade
Lezione
15
21
Decibel di uno zero reale
semplice 2/5
• Maschera di s − zi dB = jω − zi dB
• Punto critico a=-zi
• Caso a non nullo. Risulta:
| jω + a |dB = 20 log | jω + a |= 10 log(ω 2 + a 2 )
• Per valori della pulsazione piccoli:
| jω + a |dB = 20 log( a ) = adB
• Per valori della pulsazione grandi:
Lezione 15
| jω + a |dB = 20 log(ω ) = 20u
22
Decibel di uno zero reale
semplice 3/5
• Maschera di
s − zi
dB
= jω − zi
dB
• Punto critico a=-zi
Lezione 15
23
Decibel di uno zero reale
semplice 4/5
• Diagramma esatto di
s − zi
dB
= jω − zi
dB
• Punto critico a=-zi
Lezione 15
24
Decibel di uno zero reale
semplice 5/5
• Maschera e diagramma esatto di
s − zi
dB
= jω − zi
dB
• Punto critico a=-zi
• Errore massimo nel punto critico
ω=a
jω + a dB − adB = 20 log10 ja + a − adB = 10 log10 2 = 3dB
Lezione 15
25
Decibel di un polo reale semplice
1/5
• Maschera di
1/( s − pi ) dB = 1/( jω − pi ) dB
• Punto critico a=-pi
• Caso a=0. Polo nell’origine.
Risulta:
1/ jω dB = −20 log10 ω = −20 u
• La maschera coincide con il diagramma esatto
ed è costituita da una retta con pendenza -20
dB/decade
Lezione
15
26
Decibel di un polo reale semplice
2/5
• Maschera di
1/( s − pi ) dB = 1/( jω − pi ) dB
• Punto critico a=-pi
• Caso a non nullo. Risulta:
|1/( jω + a ) |dB = −20 log | jω + a |= −10 log(ω 2 + a 2 )
• Per valori della pulsazione piccoli:
|1/( jω + a ) |dB = −20 log(a ) = − adB
• Per valori della pulsazione grandi:
|1/( jω + a) |dB = −20 log(ω ) = −20u
Lezione 15
27
Decibel di un polo reale semplice
3/5
• Maschera di
1/( s − pi ) dB = 1/( jω − pi ) dB
• Punto critico a=-pi
Lezione 15
28
Decibel di uno polo reale
semplice 4/5
• Diagramma esatto di
1/( s − pi ) dB = 1/( jω − pi ) dB
• Punto critico a=-pi
Lezione 15
29
Decibel di uno polo reale
semplice 5/5
• Maschera e diagramma esatto di
1/( s − pi ) dB = 1/( jω − pi ) dB
• Punto critico a=-pi
• Errore massimo nel punto critico: ω = a
Lezione 15
a /( jω + a) dB = −10 log10 2 = −3dB
30
Diagrammi di Bode
Lezione 15
31
Funzione di trasferimento da
considerare
• Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di
ampiezza) della funzione di trasferimento:
s+2
jω + 2
H ( s ) = 27
= 27
s+9
jω + 9
• Punti critici: ω 1= 2 punto critico di zero
Lezione 15
ω 2 = 9 punto critico di polo
32
Punti critici 1/2
s+2
jω + 2
= 27
H ( s ) = 27
s+9
jω + 9
• Punti critici: ω 1= 2 punto critico di zero
ω 2 = 9 punto critico di polo
Lezione 15
33
Punti critici 2/2
• La maschera si ottiene combinando la
maschera relativa al punto critico 2 (punto
critico di zero) e quella relativa al punto critico
9 (punto critico di polo)
• Per costruire la maschera totale si parte dalla
maschera relativa al primo punto critico 2 e si
aggiungono le maschere relative agli altri punti
critici man mano che essi si presentano
al crescere della pulsazione
Lezione 15
34
Maschera a sinistra del secondo
punto critico
• Risulta:
Lezione 15
35
Maschera a destra del secondo
punto critico
• A sinistra del secondo punto critico 9 la
pendenza della maschera è +20dB/dec
– a destra di 9, per la presenza di un punto critico di
polo, la pendenza della maschera deve diminuire di
20 dB/dec e pertanto è orizzontale
– risulta:
Lezione 15
36
Quotatura della maschera 1/4
• Per quotare la maschera si considera il valore
che si ha su di essa per valori di pulsazione
omega molto piccoli:
s+2
H m ( s ) = 27
= 6 ⇒ 3 × 2 ≈ 16dB
s + 9 s ≈0
( valore esatto 15.56 dB)
Lezione 15
37
Quotatura della maschera 2/4
• Questo valore quota la retta orizzontale per
omega minore di 2. Per quotare la retta
orizzontale per omega maggiore di 9,
bisogna calcolare la quantità ∆
Lezione 15
38
Quotatura della maschera 3/4
• Tenendo conto che la retta tra il punto critico 2
e il punto critico 9 ha pendenza di + 20 dB per
decade si ha:
∆ = 20(u9 − u2 ) = 20(log10 9 − log10 2) = 9dB − 2dB =
= 3dB + 3dB − 2dB = 10 + 10 − 6 = 14dB
Lezione 15
39
Quotatura della maschera 4/4
• La retta orizzontale per valori di omega
maggiori del secondo punto critico 9 ha la
quota di +16+14=+30 dB
Lezione 15
40
Spettro di ampiezza
• L’andamento esatto dello spettro di ampiezza
è indicato con tratto in nero
H m ( jω ) dB
H ( jω ) dB
H ( jω ) dB
H m ( jω ) dB
Lezione 15
41
Stima errore massimo
maschera 1/2
• Il punto critico 2 è relativo ad uno zero.
L’errore si stima in 3dB:
H ( j 2) ≈ H m ( j 2) + 3dB = 16 + 3 = 19dB
(valore esatto 18.364 dB)
Lezione 15
42
Stima errore massimo maschera
2/2
• Il punto critico 9 è relativo ad uno polo.
L’errore si stima in -3dB:
H ( j 9) ≈ H m ( j 9) − 3dB = 30 − 3 = 27dB ( valore esatto 25.826 dB)
Lezione 15
43