Università degli Studi di Perugia
SSIS - Scuola di Specializzazione per l'Insegnamento Secondario
Indirizzo Scientifico Tecnologico - Classe di abilitazione 20/A
Appunti di Fisica Generale
Anno Accademico 2004-2005
PARTE 1: VETTORI LIBERI ............................................................................................................................ 1
1.1 INTRODUZIONE............................................................................................................................................... 1
1.2 COMPONENTE DI UN VETTORE SECONDO UNA DIREZIONE ORIENTATA ............................................................ 1
1.3 SOMMA GEOMETRICA (O RISULTANTE) DI PIÙ VETTORI .................................................................................. 3
1.4 DECOMPOSIZIONI NOTEVOLI DI UN VETTORE .................................................................................................. 3
1.5 PRODOTTO DI UN VETTORE PER UNO SCALARE ............................................................................................... 5
1.6 PRODOTTO SCALARE FRA DUE VETTORI.......................................................................................................... 5
1.7 PRODOTTO VETTORIALE ................................................................................................................................. 7
1.8 PRODOTTO MISTO ........................................................................................................................................... 7
1.9 PROPRIETÀ E COMPONENTI CARTESIANE DEL PRODOTTO VETTORE ................................................................ 8
1.10 DOPPIO PRODOTTO VETTORE ...................................................................................................................... 10
1.11 FUNZIONI VETTORIALI ................................................................................................................................ 10
PARTE 2: VETTORI APPLICATI .................................................................................................................. 13
2.1 INTRODUZIONE............................................................................................................................................. 13
2.2 MOMENTO POLARE DI UN VETTORE APPLICATO............................................................................................ 13
2.3 MOMENTO ASSIALE DI UN VETTORE ............................................................................................................. 14
2.4 MOMENTO POLARE ED ASSIALE DI UN SISTEMA DI VETTORI ......................................................................... 15
2.5 LEGGE DI VARIAZIONE DEL MOMENTO POLARE AL VARIARE DEL POLO ........................................................ 15
2.6 SISTEMA SEMPLICE DI DUE VETTORI:COPPIA ................................................................................................ 18
2.7 OPERAZIONI ELEMENTARI SU VETTORI APPLICATI ........................................................................................ 18
2.8 RIDUZIONE DI UN SISTEMA DI VETTORI AD UN ALTRO EQUIVALENTE ............................................................ 19
2.9 CENTRO DI UN SISTEMA DI VETTORI PARALLELI ........................................................................................... 20
PARTE 3: MISURE E GRANDEZZE FISICHE ............................................................................................ 23
3.1 INTRODUZIONE............................................................................................................................................. 23
3.2 GRANDEZZE FISICHE FONDAMENTALI E DERIVATE ....................................................................................... 24
3.3 EQUAZIONI DIMENSIONALI ........................................................................................................................... 24
3.4 SISTEMI DI UNITÀ DI MISURA ........................................................................................................................ 25
3.5 SISTEMA DI UNITÀ INTERNAZIONALE (SI)..................................................................................................... 25
3.6 CONVERSIONE DI UNITÀ DI MISURA TRA DIVERSI SISTEMI DI U.D.M............................................................. 26
3.7 MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI ......................................................................................................................... 27
PARTE 4: ERRORI DI MISURA ..................................................................................................................... 28
4.8 ERRORI DI MISURA ....................................................................................................................................... 28
ERRORI SISTEMATICI .................................................................................................................................. 28
ERRORI CASUALI (O ACCIDENTALI) ........................................................................................................ 29
CAUSE DI ERRORE........................................................................................................................................ 29
4.2 MEDIA E SCARTO QUADRATICO MEDIO ......................................................................................................... 31
4.3 PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI ..................................................................................................................... 31
SOMMA ARITMETICA DELLE GRANDEZZE ........................................................................................................... 32
DIFFERENZA ARITMETICA DELLE GRANDEZZE .................................................................................................... 32
PRODOTTO DELLE GRANDEZZE........................................................................................................................... 32
POTENZA E RADICE (SOTTOCASI DEL PRODOTTO)............................................................................................... 32
QUOZIENTE DELLE GRANDEZZE ......................................................................................................................... 32
CIFRE SIGNIFICATIVE ED ARROTONDAMENTI...................................................................................................... 33
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
PARTE 1: VETTORI LIBERI
1.1 Introduzione
Ad un segmento orientato PQ sono associati un ORIENTAMENTO (insieme di una direzione
ed un verso), un'ORIGINE (punto P), un ESTREMO (punto Q) ed una lunghezza o modulo
(distanza fra P e Q). L'insieme degli infiniti segmenti equiorientati aventi uno stesso modulo
ed un'origine arbitraria nello spazio ordinario (SEGMENTI EQUIPOLLENTI), individuano
un ente astratto, che si chiama VETTORE LIBERO e che viene indicato con una lettera
sovrastata da una freccia ( V ). Il modulo di sarà indicato con V oppure con | V |. Ognuno dei
segmenti
orientati
equipollenti
che
costituiscono
il
vettore
viene
chiamato
RAPPRESENTANTE o vettore APPLICATO. Il rappresentante di V con origine in P ed
estremo in Q sarà indicato con le notazioni PQ, oppure (P, V ).
1.2 Componente di un vettore secondo una direzione orientata
Su una qualunque retta r appartenente ad un fascio di rette parallele equiorientate si
proiettino ortogonalmente l'origine e l'estremo del
v
r
generico rappresentante PQ del vettore V (Fig.1). La
Q
Q′
quantità scalareVr , data dalla espressione
P′′
θ
Vr = x Q ' − x P '
(1.1)
dove xP' e xQ' sono le ascisse dei punti proiezione P' e Q', si
chiama la COMPONENTE di V secondo la direzione
orientata della retta r. Di V si consideri il rappresentante
P′
P
O
Fig. 1
P'P" e si indichi con θ l'angolo ≤ π che la retta orientata v ad esso sovrapposta forma con r.
Si osserva che Vr è positiva, negativa o nulla a seconda che θ sia minore, maggiore od uguale
a π/2 e che Vr = V cos θ Vale pertanto l'identità
Vr = V cos θ
(1.2)
Rispetto alla terna cartesiana Oxyz di Fig. 2 risulta
Vx = x Q − x P ; V y = y Q − y P ; Vz = z Q − z P
(1.3)
Il modulo del vettore V coincide con la distanza fra P e Q, esso è quindi dato da
1
SSIS - Classe 20/A
(
V =  x Q − x P

Fisica Generale
) (
2
+ yQ − y P
) (
2
+ zQ − z P
)
1
2
(
2 = V 2 +V 2 +V 2
x
y
z

)
Nel caso in cui P ≡ O le componenti
cartesiane divengono
zQ
Vx = x; Vy = y; Vz = z
1
2
(1.4)
z
Q
zP
(1.5)
dove x, y, z rappresentano le coordinate
dell'estremo
del
rappresentante
OQ.
P
Per
xQ O
indicare che Vx , Vy e Vz sono le componenti
(
)
xP
del vettore V si scrive: V = V x , Vy , Vz Siano
α, β e γ i COSENI DIRETTORI della retta r
x
y
Q′
P′
Fig. 2
sovrapposta al rappresentante OP e con esso
equiorientata, cioè i coseni degli angoli ≤ π che r forma con gli assi della terna stessa. Dalla
(1.2) segue
Vx = αV ; Vy = βV ; Vz = γV
(1.6)
e quindi
α=
Vy
Vx
V
;β=
;γ = z
V
V
V
(1.7)
Un vettore di modulo unitario che abbia l'orientamento del vettore V (o della retta orientata
r) si chiama VERSORE di V (o di r) e lo si indica con il simbolo V . Per i versori di una
terna cartesiana Oxyz si useranno, nell'ordine, i simboli i , j e k . Dalla (1.5) segue che le
componenti cartesiane di V coincidono con i coseni direttori α, β e γ.
ESEMPIO 1. Un vettore il cui modulo V è uguale a 3 forma angoli di π/3, π/4 e 2π/3 rad,
rispettivamente con gli assi x,y e z di una terna cartesiana. Se ne calcolino le componenti Vx ,
V y e Vz .
Soluzione:
I coseni direttori α , β e γ risultano essere:
α = cos
π
3
=
1
π
2
2π
1
; β = cos =
; γ = cos
=−
2
4
2
3
2
2
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
V x = αV =
3
3 2
3
; V y = βV =
; Vz = γV = −
2
2
2
1.3 Somma geometrica (o risultante) di più vettori
Di un generico sistema di N vettori si considerino I rappresentanti P1P2, P2P3...PN-1PN, con P1
arbitrario, i quali individuano una linea spezzata P1P2...PN che
PN
risulta generalmente aperta (Fig.3). Si definisce SOMMA
v5
GEOMETRICA o RISULTANTE degli N vettori, e lo si
R
indica con R il vettore che ha come rappresentante il
P1
v1
vettori la loro somma geometrica. Valgono quindi per questa
v4
P3 v 3
v1 + v 2
osservato in Fig.3, che la somma geometrica non muta ove si
v3
v4
segmento orientato P1PN. Dalla definizione segue, come
inverta l'ordine degli addendi o si sostituisca a due o più
P5
P4’
P4
v2
P2
Fig. 3
operazione fra vettori proprietà analoghe a quelle valide per la
ope- razione di somma fra numeri (proprietà COMMUTATIVA ed ASSOCIATIVA). Dalle
(3) segue che la somma delle componenti cartesiane dei vettori addendi è uguale alla omologa
componente del loro risultante R . Si ha infatti
(x
(y
(z
2
2
2
− x1 ) + ( x 3 − x 2 ) +…+( x N − x N −1 ) = x N − x1 = Rx
− y1 ) + ( y 3 − y 2 ) +…+( y N − y N −1 ) = y N − y1 = R y
(1.8)
− z1 ) + ( z 3 − z 2 ) +…+( z N − z N −1 ) = z N − z1 = Rz
Nel caso di due soli vettori, P1P2 e P2P3, R ha come rappresentante la diagonale P1P3 del
parallelogramma costruito sui due vettori.
1.4 Decomposizioni notevoli di un vettore
Date le tre rette r1, r2, r3 passanti per un
r3
medesimo punto O e non complanari, del
vettore V si consideri il rappresentante OQ e
Q
si conducano per Q tre piani rispettivamente
paralleli ai piani rkrl (k, l=1,2,3 con k≠ l)
(Fig.4).
Resta
così
delimitato
O
r2
un
parallelepipedo i cui spigoli individuano tre
vettori V1 , V2 e V3 rispettivamente paralleli
3
r1
Fig. 4
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
alle rette r1, r2 ed r3 ed aventi per somma geometrica il vettore V . Se V è parallelo ad uno
qualunque dei piani rkrl, il parallelepipedo si riduce ad un parallelogramma ed uno dei tre
vettori COMPONENTI risulta nullo. Nel caso in cui le tre rette coincidano con gli assi
cartesiani si ha:
V1 = Vx i ; V2 = V y j; V3 = Vz k
e quindi
V = Vx i + V y j + Vz k
(1.9)
Altra decomposizione notevole del vettore V è quella secondo la direzione orientata di
versore r e la GIACITURA comune ad un
r
fascio di piani fra loro paralleli ed ortogonali
Q
ad r . Siano OQ un rappresentante di V ed r
Q′
e π la retta ed il piano passanti per O ,
rispettivamente appartenenti alla direzione
ed alla giacitura considerate (Fig.5). Siano Q'
e Q" le proiezioni ortogonali di Q su r e su π,
rispettivamente.
I
lati
del
π
Q′′
O
Fig. 5
parallelogrammaOQ'QQ" individuano due vettori che hanno V come somma geometrica e
che sono rispettivamente paralleli alla direzione orientata di versore r ed alla giacitura di π .
ESEMPIO 2. Dati i vettori V1 ≡ (1,−2, 2) , V2 ≡ ( 0, 3, 2) , V3 ≡ ( − 1, 2, 0) si determinino:
a) il risultante R ;
b) il versore ed i coseni direttori di R .
Soluzione:
a)
R = (1 + 0 − 1) i + ( − 2 + 3 + 2) j + ( 2 + 2 + 0) k
b)
R = Rx2 + R y2
(
)
1
2
1
= ( 32 + 4 2 ) 2 = 5
α=
Ry 3
Rx
R
4
= 0; β =
= ;γ = z =
R
R 5
R 5
R=
R 3
4
= j+ k
5
R 5
4
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
1.5 Prodotto di un vettore per uno scalare
Dato un numero reale a ed un vettore V , si definisce loro prodotto quel vettore U che ha
modulo uguale ad a V , direzione coincidente con quella di V , verso concorde con V se a>0,
discorde se a<0. Dalla definizione segue che le componenti di U sono legate a quelle di V
dalle relazioni
U l = Uα l = ( a V )α l = ± a Vl = aVl
(l = x, y, z)
(1.10)
dove α l è il coseno direttore rispetto all'asse cartesiano ellesimo del vettore U . Dalla
definizione segue che moltiplicando il vettore V per lo scalare positivo 1/V si ottiene un
vettore di modulo unitario concorde con V . Si ha pertanto la relazione
V=
V
V
(1.12)
che fornisce un modo alternativo per rappresentare un versore.
1.6 Prodotto scalare fra due vettori
È la quantità SCALARE definita come il prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno
dell'angolo fra di essi compreso
V ⋅ U = VU cos θ
(1.13)
Si osserva che il prodotto scalare (⋅) fra due vettori è un numero relativo il cui segno coincide
con quello di cos θ . Poichè V cos θ rappresenta per la (1.2) la componente Vu di V secondo la
retta u sovrapposta a U e U cos θ la componente U v di U secondo la retta v sovrapposta a V ,
si ha anche
V ⋅ U = VU v = VuU
(1.14)
Nel caso in cui il secondo vettore sia il versore di una retta orientata u , il prodotto scalare di
V per U rappresenta la componente secondo u di V ; si ha cioè
V ⋅ U = Vu
(1.14’)
Dalla (13) segue che: condizione necessaria e sufficiente affinchè due vettori siano ortogonali
è che il loro prodotto scalare sia nullo. Risulta inoltre che il prodotto scalare di un vettore per
se stesso è uguale al quadrato del modulo del vettore
5
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
V ⋅V = V 2
(1.15)
Dalla definizione (1.13) e dalla proprietà commutativa ed associativa valida per il prodotto fra
numeri segue che
(aV ) ⋅ U = ( a V )U cosθ = V ( a U ) cosθ = V ⋅ ( aU )
(1.16)
essendo a un numero reale.
Per il prodotto scalare valgono le proprietà COMMUTATIVA e DISTRIBUTIVA. Si ha
infatti
V ⋅ U = VU cos θ = UV cos θ = U ⋅ V
(
(1.17)
)
V ⋅ U + W = V (U + W ) v = V (U v + Wv ) = VU v + VWv = V ⋅ U + V ⋅ W
(1.18)
Ove si tenga conto della ortogonalità dei versori i , j e k e del loro modulo unitario si
riconosce che
i ⋅ j = i ⋅k = j⋅k = 0
(1.19)
i ⋅i = j ⋅ j = k ⋅k = 1
Facendo uso della proprietà distributiva del prodotto scalare e della rappresentazione
cartesiana dei vettori si ottiene la seguente importantissima espressione per il prodotto scalare
(
)(
)
V ⋅ U = V x i + V y j + Vz k ⋅ U x i + U y j + U z k = VxU x + V y U y + Vz U z
(1.20)
dalla quale, per confronto con la (1.13),si ricava l'espressione cartesiana del coseno
dell'angolo fra i due vettori
cos θ =
V xU x + V yU y + V zU z
(1.21)
VU
In forma cartesiana la condizione di ortogonalità diviene quindi
V xU x + V yU y + V zU z = 0
(1.22)
6
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
1.7 Prodotto vettoriale
Si definisce come prodotto vettoriale di U per V e lo si indica con il simbolo U × V il vettore
W , ortogonale ad U ed a V , il quale, personificato, veda il primo vettore ruotare di un
angolo ≤ π in senso antiorario per andare a sovrapporsi al secondo ed il cui modulo sia uguale
all'area del parallelogramma costruito sui due vettori. Dalla Fig. 7, si riconosce che
W = UV sin θ
0≤θ ≤π
(1.23)
la quale implica che: condizione necessaria e sufficiente affinchè due vettori siano fra di
loro paralleli è che si annulli il loro
prodotto vettoriale.Dalla definizione di
U ×V
V
θ
prodotto vettore segue che
i × j = k; j × k = i ; k × i = j
V sin θ
U
(1.24)
i ×i = j× j = k ×k = 0
Il prodotto vettore non gode della proprietà
V ×U
Fig. 6
commutativa, infatti dalla definizione risulta:
V × U = −U × V
(1.25)
1.8 Prodotto misto
Dati tre vettori U , V e W si chiama prodotto misto la quantità scalare che si ottiene
moltiplicando scalarmente il prodotto vettore dei primi due per il terzo vettore
(U × V ) ⋅ W
(1.26)
(
)
Si indichi con θ l'angolo fra U e V e con ϕ quello fra U × V e W (cfr. Fig.7); risulta
(U × V ) ⋅ W = U × V W cos ϕ = (VU sin θ )W cos ϕ
Di U , V e W si considerino tre rappresentanti
applicati in uno stesso punto O e si costruisca su di
θ ,ϕ ≤ π
U ×V
essi un parallelepipedo. La quantità (VU sin θ )
rappresenta l'area S del parallelogramma di base
costruito sui vettori U e V , mentre la quantità
( W cos ϕ ) ne dà l'altezza con segno. Si deduce
dalla (27) e dalla Fig. 7 che il prodotto misto
7
(1.27)
φ
W
V
θ
U
Fig. 7
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
fornisce il volume con segno del parallelepipedo costruito sui tre vettori e che il suo
annullamento esprime la condizione di COMPLANARITÀ fra i tre vettori. Il prodotto misto
risulta positivo se ϕ < π / 2 , cosa che accade quando la terna dei vettori U , V e W sia
levogira. Il carattere levogiro della terna ed il volume del parallelepipedo costruito sui tre
vettori risultano INVARIANTI rispetto ad una PERMUTAZIONE CICLICA dei vettori;
quindi
(U × V ) ⋅ W = (V × W ) ⋅ U = (W × U ) ⋅ V
(1.28)
Quando si applichi la regola di sviluppo di un determinante in termini degli elementi di una
riga e si usi la rappresentazione cartesiana dei vettori, è facile constatare la seguente identità,
che costituisce un'utile regola mnemonica per il calcolo del prodotto misto
Ux
Uy
Uz
x
Vy
Vz =
Wx
Wy
Wz
(U × V ) ⋅ W = V
(
(1.29)
)
(
= U x V yWz − V zW y − U y (V xWz − V zWx ) + U z V xW y − V yWx
)
1.9 Proprietà e componenti cartesiane del prodotto vettore
Il prodotto vettore gode della proprietà DISTRIBUTIVA
(U + V ) × W = U × W + V × W
(1.30)
Infatti, dalla invarianza del prodotto misto rispetto ad una permutazione ciclica dei fattori
(1.28) risulta
(U + V ) × W ⋅ i = W × i ⋅ (U + V ) = W × i ⋅ U + W × i ⋅ V =
= U × W ⋅ i + V × W ⋅ i = (U × W + V × W ) ⋅ i
(1.31)
Per la (1.14') il primo e l'ultimo termine della (1.31) rappresentano la componente secondo
(
)
(
)
l'asse x dei vettori U + V × W e U × W + V × W , rispettivamente. Analoghe identità
valgono per le altre due componenti cartesiane. Ciò garantisce l'uguaglianza fra i vettori e
quindi prova la (1.30). Sia
(
) (
W = U × V = U x i + U y j + U z k × Vx i + V y j + V z k
8
)
(1.32)
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
Dalle (1.30) e (1.24) si ha
(
)
(
)
W = U × V = U y V z − U z V y i + (U z V x − U x V z ) j + U x V y − U y V x k
(1.33)
ossia
Wx = U yV z − U zV y
W y = U z V x − U xV z
(1.34)
Wz = U xV y − U yVx
le quali rappresentano le componenti cartesiane del prodotto vettore. Una regola mnemonica
atta ad esprimere in forma cartesiana il prodotto vettore è ancora basata sullo sviluppo di un
determinante secondo gli elementi di una riga:
i
j
k
W = U ×V⋅ = Ux
Uy
Uz =
Vx
Vy
Vz
(
(1.35)
)
(
)
= U yV z − U zV y i + (U zVx − U xVz ) j + U xV y − U yVx k
In base alla (1.35) la condizione di annullamento del prodotto vettoriale e quindi di
PARALLELISMO fra due vettori è espressa in forma cartesiana dalle seguenti condizioni
Ux U y Uz
=
=
Vx
Vy
Vz
(1.36)
ESEMPIO 3. Rispetto ad una terna trirettangola Oxyz siano dati i vettori: V1 = i + 3 j − 2k ;
V2 = 2i ; V3 = − i + 3k e la retta r di coseni direttori: α = 1 / 2; β = 1 / 2; γ = 2 / 2 . Si
determinino:
a) i prodotti scalare e vettoriale dei vettori V2 e V3 ed il prodotto misto di V1 , V2 e V3 ;
b) il risultante R dei vettori ed i coseni direttori di R ;
( ) ( ) e (V )
c) le componenti V1 r , V2
r
3 r
.
Soluzione:
a)
V2 ⋅ V3 = ( +2)( −1) + ( 0)( 0) + ( 0)( 3) = −2
9
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
i
j
k
0 0
2 0
2 0
V 2 × V3 = 2 0 0 =
i−
j+
k = −6 j
0 3
−1 3
−1 0
−1 0 3
1
V1 × V2 ⋅ V3 = 2
3 −2
0
−1 0
b)
0 =1
3
0 0
0 3
−3
2
0
−1 3
−2
2
0
−1 0
= −18
R = (1 + 2 − 1) i + ( 3 + 0 + 0) j + ( − 2 + 0 + 3) k = 2i + 3 j + k
1
R = (2 2 + 32 + 12 ) 2 = 14
α=
c)
2
3
1
;β=
;γ =
14
14
14
 2
 1  1
k
r =  i +   j − 
 2  2
 2 
(V )
 2
 1
 1
 = 2− 2
= V1 ⋅ r = (1)  + ( 3)  + ( −2)
 2
 2
 2 
(V )
 2
 1
 1
 =1
= V2 ⋅ r = ( 2)  + ( 0)  + ( 0)
 2
 2
 2 
(V )
 2  3 2 −1
 1
 1
=
= V3 ⋅ r = ( −1)  + ( 0)  + (3)
 2
 2
2
 2 
1 r
2 r
3 r
1.10 Doppio prodotto vettore
Nello studio della meccanica accade di dover considerare il prodotto vettoriale di un vettore
per un altro, il quale a sua volta rappresenti il prodotto vettoriale di altri due. Valgono le
seguenti identità
(
) ( ) ( )
U × (V × W ) = W × (V × U ) = (U ⋅ W )V − (V ⋅ W )U
U × V × W = U ⋅W V − U ⋅V W
(1.36)
le quali possono essere verificate constatando la uguaglianza delle componenti cartesiane dei
vettori a primo e a secondo membro applicando due volte la regola (1.35).
1.11 Funzioni vettoriali
Se ad ogni valore della variabile numerica t appartenente all'intervallo [ t1 , t 2 ] è associato un
vettore V , si dice che è definita in [ t1 , t 2 ] la funzione vettoriale V . Ciò equivale a dire che
10
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
sono definite le tre funzioni scalari Vx ( t ) , V y ( t ) e Vz ( t ) , che rappresentano le componenti
cartesiane di V
V ( t ) = V x ( t )i + V y ( t ) j + Vz ( t )k
(1.37)
Per le funzioni vettoriali i concetti di limite, continuità, derivazione ed integrazione si
introducono a partire dagli analoghi concetti per le funzioni scalari. Così si dirà che la
(
)
(
)
funzione V tende al limite U ( t ) ≡ U x , U y , U z per t → t 0 t 0 ∈[ t1 , t 2 ] se esistono i limiti e
sono verificate le uguaglianze
lim Vx ( t ) = U x ; lim V y ( t ) = U y ; lim Vz ( t ) = U z
t →t0
t → t0
t → t0
(1.38)
La funzione V si dirà CONTINUA in t 0 ∈[ t1 , t 2 ] se
lim V ( t ) = V ( t 0 )
(1.39)
t → t0
Infine la funzione V ( t ) si dice derivabile quando siano derivabili le funzioni scalari Vx ( t ) ,
V y ( t ) e Vz ( t ) ; la funzione DERIVATA dV ( t ) / dt è definita come la funzione vettoriale le
cui componenti coincidono con le derivate delle funzioni (scalari) componenti. Vale quindi la
relazione
dV y ( t )
dV ( t )
dV ( t ) dVx ( t )
i+
j+ z k
=
dt
dt
dt
dt
(1.40)
Il concetto di funzione vettoriale può essere esteso al caso in cui le variabili numeriche siano
più di una. In questa circostanza le definizioni di limite, continuità e derivate parziali si
deducono dalle corrispondenti definizioni per le funzioni scalari a più variabili applicate alle
componenti della funzione vettoriale data. Ove tutte od alcune delle variabili reali
rappresentino le componenti di vettori si avranno funzioni VETTORIALI DI VARIABILI
VETTORIALI. Si parlerà, ad esempio, di campi di forza che dipendono dalla posizione, dalla
velocità e dal tempo
V = V ( x, y, z, v , t )
(1.41)
11
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
Per il calcolo dei limiti e delle derivate di una funzione vettoriale valgono regole analoghe a
quelle valide per le funzioni scalari.
12
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
PARTE 2: VETTORI APPLICATI
2.1 Introduzione
Nello studio della meccanica vengono introdotte grandezze fisiche vettoriali (forze, velocità,
etc.), le quali si riferiscono in generale a ben definiti elementi materiali. È quindi naturale
rappresentare tali grandezze mediante vettori applicati, cioè vettori aventi l'origine nelle
posizioni istantaneamente occupate dagli elementi materiali. La maggior parte delle
operazioni introdotte nella prima parte di questo capitolo hanno significato soltanto per vettori
liberi. Ciò è particolarmente evidente per l'operazione di somma geometrica, la quale, una
volta scelto in maniera arbitraria un punto di partenza P1, per essere effettuata, richiede l'uso
di ben determinati rappresentanti dei vettori addendi. Ciò è possibile soltanto quando si abbia
a che fare con vettori liberi.
Nella descrizione dei fenomeni meccanici risulta utile considerare i vettori liberi individuati
dai vettori applicati di cui trattasi ed applicare a questi le operazioni introdotte nei precedenti
paragrafi. Sono definibili, tuttavia, operazioni che hanno senso soltanto per vettori applicati;
di queste vengono di seguito forniti alcuni brevi cenni.
2.2 Momento polare di un vettore applicato
Il momento polare M O del vettore applicato (P, V ) rispetto al polo O è il vettore libero
definito dal prodotto vettore fra i vettori liberi che hanno come rappresentanti i vettori
applicati (P, V ) ed OP
M O = OP × V
(2.1)
M O si annulla quando OP sia parallelo a V oppure quando P≡O. Sia r la retta sovrapposta a
(P, V ), P' un punto di r distinto da P ed inoltre il punto O non appartenga ad r; risulta
M O (P, V )= M O (P', V ). Si ha infatti
OP × V = ( OP'+ P' P) × V = OP'×V + P' P × V = OP'×V
(2.2)
ove si è tenuto conto che P'P è parallelo a V e quindi che P' P × V = 0 . Si può quindi
concludere che il momento polare non muta ove si sposti un vettore lungo la sua retta di
applicazione.
13
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
2.3 Momento assiale di un vettore
Il MOMENTO ASSIALE del vettore applicato PQ rispetto alla retta orientata r di versore r è
la quantità scalare definita dalla relazione
r
(M )
O r
= ± d P' Q '
P
(2.3)
Q
dove P' e Q' sono le proiezioni di P e Q su
un piano π ortogonale ad r (Fig. 8), d la
P′
d
π
distanza da r della retta r' sovrapposta ad
Q′ r
′
Fig. 8
ÀB'. Si conviene di prendere il segno + se la
retta personificata vede il vettore PQ avvolgersi in senso antiorario attorno ad r ed il segno in caso contrario. Il momento assiale si
φr
annulla quando le rette r ed r' siano fra
loro
incidenti
(d=0)
o
Q
parallele
( P' Q' = 0) , in definitiva, quando r ed r'
OPxPQ
siano COMPLANARI. La componente
O
φ
P
del momento polare di PQ rispetto a due
qualunque punti O e O’ appartenenti ad
O′
r è la stessa. In virtù della (2.14') e della
proprietà
distributiva
del
π
prodotto
d
Q′
r′
P′
Fig. 9
vettore, si ha infatti:
( OP × PQ) ⋅ r = [( OO'+ O' P) × PQ] ⋅ r = ( O' P × PQ) ⋅ r
(2.4)
ove si è tenuto conto che OO'× PQ è ⊥ ad r e quindi che (OO'× PQ) ⋅ r = 0 . Indicando con O',
P' e Q' le proiezioni di O, P e Q sul piano π ortogonale ad r, si riconosce (Fig.9) che
( M ) = (OP × PQ) ⋅ r = OP × PQ cos φ = ± O' P'× P' Q' = ± d P' Q' = M
O r
r
(2.5)
Si può quindi affermare che la componente del momento polare di un vettore applicato,
calcolato rispetto ad un punto O di una retta r, coincide con il momento assiale del vettore
rispetto ad r.
14
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
2.4 Momento polare ed assiale di un sistema di vettori
(
)
Il momento risultante di un sistema di vettori applicati Pl , Vl rispetto al polo O è il vettore
libero somma geometrica dei momenti polari dei singoli vettori
N
M O = ∑ OPl × Vl
(2.6)
l =1
Nel caso particolare in cui tutti i vettori siano applicati in un medesimo punto T la (2.6)
diviene
 N 
M O = OPl ×  ∑ Vl  = OPl × R
 l =1 
(2.7)
nella quale R è il rappresentante applicato in T della somma geometrica dei vettori. Il
momento assiale rispetto ad una retta r del sistema di vettori è definito come la somma
algebrica dei momenti assiali dei singoli vettori
N
M r = ± ∑ d l Pl Ql
(2.8)
l =1
La componente secondo r del momento polare risultante calcolata rispetto ad un polo ∈r è
uguale alla somma delle componenti dei singoli momenti polari, pertanto dalla (2.5) segue
che essa è uguale al momento assiale complessivo.
2.5 Legge di variazione del momento polare al variare del polo
(
Siano O e O′ due punti generici dello spazio e Pl , Vl
)
(l=1,2...N) un sistema di vettori
applicati; risulta
N
N
N
N
l =1
l =1
l =1
l =1
M O = ∑ OPl × Vl = ∑ ( OO'+ O' Pl ) × Vl =OO'× ∑ Vl + ∑ O' Pl × Vl
(2.9)
ossia
M O = M O ' + OO'× R
(2.10)
Dalla (2.10) segue che il momento polare è indipendente dal polo per quei sistemi di vettori
per cui R =0 e qualunque sia R se O e O′ appartengono ad una retta parallelo ad R . Basterà
15
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
quindi studiare le variazioni di M O al variare di O in un piano π ortogonale ad R .
Moltiplicando scalarmente ambo i membri della (2.10) per R si ha
M O ⋅ R = M O ' ⋅ R = ± µR
(2.11)
dove µ rappresenta il modulo, indipendente da O, della componente di M O secondo la
direzione orientata di R . In forma cartesiana la (2.11) diviene
M O ⋅ R = ( M O ) x Rx + ( M O ) y R y + ( M O ) z Rz = ( M O ' ) x Rx + ( M O ' ) y R y + ( M O ' ) z Rz
La quantità
(2.12)
M O ⋅ R nella sua espressione (2.11) prende il nome di TRINOMIO
INVARIANTE. Ove si decomponga M O ⋅ R in un componente parallelo ( µ ) ed in uno
ortogonale ( N O ) ad R , per la (2.10) e (2.11) si ha
M O = N O + µ = N O ' + µ + OO'× R
(2.13)
Se R ≠ 0 ed N O ≠ 0 , nel piano π ortogonale ad R e passante per O esiste un punto O′ per il
quale N O' = 0 e quindi M O' = µ . Tale punto si individua dalla relazione
N O = OO'× R
(2.14)
che si ottiene ponendo N O' = 0 nella seconda uguaglianza delle (2.13). Il vettore di posizione
O O′ è ortogonale ad N O ed è orientato in modo da essere visto ruotare in senso antiorario
per andare a sovrapporsi al vettore (O, R ) dal vettore personificato N O (Fig.10). La distanza
≠0 di O′ da O è data da
µ
µ
NO
(3.15)
R
Tale punto O′ è unico, essendo in ogni altro
T
OO' =
punto Q del piano distinto da O′
N Q = N O ' + QO'× R = QO'× R ≠ 0
(2.16)
µ
NT
µ
NP
P
ASSE
CENTRALE
NO
O
O′
µ
µ
Q
S
Fig. 10
16
R
NQ
NS
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
Per quanto fin qui detto,la retta passante per O′ parallela ad R è il luogo geometrico dei punti
per i quali il modulo del momento polare è minimo ed uguale a µ. Tale retta viene chiamata
ASSE CENTRALE. In particolare se il sistema di vettori è tale che µ=0 l'asse centrale
rappresenta il luogo dei punti per i quali il momento polare è nullo.
ESEMPIO 4. Con riferimento ad una terna cartesiana Oxyz siano dati i vettori: V1 = i + 3k ;
V2 = 2 j ; V3 = 3i + j + k rispettivamente applicati nei punti: P1 ≡ ( 0, 1, 2) ; P2 ≡ (0, 0, 1) ;
P3 ≡ (0, 1, 0) . Si calcoli:
a) il momento polare del sistema di vettori rispetto all'origine;
b) il momento assiale rispetto all'asse x;
c) il momento rispetto al punto O' ≡ (1, 1, 1)
d) l'asse centrale.
Soluzione:
a)
M O = OP1 × V1 + OP2 × V2 + OP3 × V3 =
î ĵ k̂ î ˆj k̂ î ĵ k̂
= 0 1 2 + 0 0 1 + 0 1 0 = 2î + 2ˆj − 4k̂
1 0 3 0 2 0 3 1 1
(
)
b)
M x = M O ⋅ i = 2i + 2 j − 4 k ⋅ i = 2
c)
R = (1 + 0 + 3) i + ( 0 + 2 + 1) j + ( 3 + 0 + 1) k = 4i + 3 j + 4k
(
)
i
j
k
M O ' = 2i + 2 j − 4k + 1 1 1 =
4 3 4
= 2i + 2 j − 4k + ( 4 − 3) i + ( 4 − 4) j + ( 3 − 4) k = 3i + 2 j − 5k
d)
L'asse centrale è il luogo geometrico dei punti rispetto ai quali il momento polare è
parallelo ad R . Detto C(x,y,z) un generico punto dell'asse centrale, dovrà quindi
essere (2.35):
(M )
C x
Rx
=
(M )
C
Ry
y
=
(M )
C z
Rz
Risulta
17
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
(
)
i
j
k
M C = M O + OC × R = 2i + 2 j − 4 k + x y z =
4 3 4
= 2i + 2 j − 4 k + ( 4 y − 3z )i + ( 4 x − 4z ) j + (3x − 4 y ) k =
= (4 y − 3z + 2)i + ( 4 z − 4 x + 2) j + (3x − 4 y − 4) k
Si ha infine
4 y − 3z + 2 4 z − 4 x + 2
=
;
4
3
4 z − 4 x + 2 3x − 4 y − 4
=
3
4
ossia
16x + 12 y − 25z − 2 = 0 ;
25x − 12 y − 16z − 20 = 0
Ognuna di queste equazioni rappresenta un piano, la loro intersezione è l'asse centrale
2.6 Sistema semplice di due vettori:coppia
La coppia è l'insieme di due vettori ( P1 , V1 ) e ( P2 , V2 ) opposti ( V1 = − V2 ) (Fig.11). Il
risultante del sistema è nullo, pertanto il
M
momento della coppia M in base alla (2.10)
− V1
è indipendente dal polo. Esso può essere
calcolato scegliendo un polo qualsiasi, per
esempio il punto P1 ;si ottiene allora
P2
d
π
P1
V1
Fig. 11
M = P1 P2 × V2
(2.17)
M è ortogonale sia a P1 P2 sia a V2 e quindi al piano dei vettori V1 e V2 , il suo verso è tale da
vedere il vettore P1 P2 ruotare in senso antiorario per sovrapporsi a V2 . Il suo modulo è pari
all'area del parallelogramma costruito sui vettori P1 P2 e V2 , ossia al prodotto di V2 per la
distanza d (braccio) fra le rette di applicazione di V1 e V2 . Il momento M si annulla quando
P1 P2 è parallelo a V2 , ossia quando i due vettori sono sovrapposti alla medesima retta
(coppia di braccio nullo).
2.7 Operazioni elementari su vettori applicati
Le due operazioni ELEMENTARI seguenti non modificano nè il risultante nè il momento
risultante di un sistema ( P1 , V1 ):
18
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
a) aggiunta o soppressione di una coppia di braccio nullo;
b) sostituzione di un insieme di vettori applicati in un punto P con un vettore anch'esso
applicato in P avente modulo pari a R , oppure sostituzione di un unico vettore applicato
in un punto P con più vettori, anch'essi applicati in P , aventi come somma il vettore libero
associato al vettore applicato sostituito.
La prima operazione elementare permette di trasportare un vettore lungo la sua retta di
applicazione. Infatti, dato il vettore (P, V ) sovrapposto ad r , si aggiunga ad esso la coppia di
braccio nullo (B, V ) e (B, − V ) con B appartenente ad r. Successivamente si sopprima la
coppia di braccio nullo (P, V ) e (B, − V ), riducendosi all'unico vettore (B, V ). Il vettore V è
stato quindi spostato lungo la sua retta di azione da P a B. Due sistemi di vettori
RIDUCIBILI, cioè tali che si possa passare dall'uno all'altro mediante sole operazioni
elementari,hanno stesso risultante e stesso momento risultante, sono cioè EQUIVALENTI. È
vero anche il viceversa: due sistemi equivalenti sono anche riducibili.
2.8 Riduzione di un sistema di vettori ad un altro equivalente
Si dimostra che è possibile ridurre un sistema di vettori ( P1 , V1 ), comunque complesso, ad un
altro più semplice, in particolare ad un sistema costituito da:
i) tre vettori applicati in tre punti prefissati non allineati;
ii) due vettori di cui uno applicato in un punto prefissato;
iii)un vettore applicato in un punto prefissato più una coppia.
Nel terzo caso il vettore applicato nel punto prefissato P è un rappresentante di r ed il
momento della coppia M coincide con il momento del sistema rispetto a P e quindi rispetto
ad ogni punto O della retta passante per P parallela ad r . Se P appartiene all'asse centrale
M = µ ed essendo µ parallelo a r , la coppia giace su un piano ortogonale ad r .
È chiaro quindi che se R =0 il sistema si riduce alla sola coppia, mentre se è µ =0 il sistema si
riduce al solo vettore applicato all'asse centrale. Quindi: condizione necessaria e sufficiente
affinchè un sistema sia riducibile ad un solo vettore o ad una sola coppia è che il trinomio
invariante di( P1 , V1 )) sia nullo.
Dalla iii) segue inoltre che se R =0 e M O =0, o come suol dirsi se il sistema è equivalente a
zero, tutti i suoi vettori possono essere eliminati con sole operazioni elementari.
Due tipi particolarmente importanti di sistemi riducibili ad un solo vettore (se R ≠0), sono
quelli i cui vettori siano situati su un piano (sistema piano) oppure siano paralleli. Nel primo
19
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
caso r è parallelo al piano mentre il momento rispetto ad un qualunque punto del piano e
quindi per la (2.13) rispetto ad un qualunque punto dello spazio è ⊥ a r .
Nel secondo caso il momento di ogni singolo vettore rispetto ad un qualunque polo è ⊥ alla
direzione comune ai vettori e quindi ad r . Per entrambi i sistemi il trinomio invariante
M O ⋅ R risulta quindi nullo.
2.9 Centro di un sistema di vettori paralleli
Sia R ≠0 e ( Pl , Vl u ) il generico vettore del sistema avente componente Vl secondo la
direzione orientata del versore u comune ai vettori ed applicato nel punto Pl di coordinate
x l , y l , z l . Per questo sistema, l'asse centrale, parallelo
R
, è il luogo geometrico dei punti C
di coordinate x C , y C , z C rispetto ai quali si annulla il momento polare
N
N
N
N
∑ CP × (V u) = ∑ ( CO + OP ) × (V u) = ∑ OP × (V u) − OC × ∑ (V u) = 0
l =1
l
l
l =1
l
l
l =1
l
l
l =1
l
(2.18)
ossia
N
OC =
∑ OP × (V u)
l
l =1
l
(2.19)
N
∑ (V u)
l
l =1
Mantenendo fissi i loro punti di applicazione ed i loro moduli si facciano ruotare rigidamente
i vettori di un medesimo angolo e nello stesso verso attorno ad assi paralleli passanti per i
punti di applicazione Pl . Si ottiene così un nuovo sistema di vettori paralleleli con un nuovo
asse centrale. Al variare del versore u tutti gli assi centrali passano per un medesimo punto
chiamato centro del sistema, individuato, al variare di u , dalla relazione
N
  N  N

GP
×
V
u
=
GO
+
OP
×
V
u
=
(
)
(
)
(
)
∑
∑
 GO ∑ Vl  + ∑ ( OPl )Vl  × u = 0
l
l
l
l
l =1
l =1
  l =1  l =1

N
(2.20)
da cui si deduce
N
OG =
∑ (OP )V
l =1
l
l
(2.21)
 N 
 ∑ Vl 
 l =1 
20
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
od anche,scalarmente
N
xG =
∑x V
l =1
N
l
l


 ∑ Vl 
 l =1 
N
yG =
∑yV
l
l =1
N
l
(2.22)


 ∑ Vl 
 l =1 
N
zG =
∑z V
l =1
N
l
l


 ∑ Vl 
 l =1 
ESEMPIO 5: Dato Il sistema di vettori V1 = i + 2 j + 3k e V2 = 2i + 4 j + 6k , rispettivamente
applicati in P1 ≡(1,1,1) e P2 ≡(0,0,0):
a) verificare il parallelismo di detti vettori;
b) una volta accertato che R non coincida con il vettore nullo, si determini l'asse centrale µ
equiorientato con R di coseni direttori α, β e γ.
Soluzione
a) le condizioni di parallelismo:
(V ) / (V )
1 x
2 x
=
(V ) / (V )
1 y
2
y
=
(V ) / (V )
1 z
2 z
risultano
soddisfatte essendo: 1/2 = 2/4 = 3/6;
b) R = 3i + 6 j + 9k è diverso dal vettore nullo. L'asse centrale quindi esiste e passa per il
centro G del sistema di vettori. Detto P(x, y, z) un punto di µ distinto da G, dovrà essere
x − xG
α
=
y − yG
β
=
z − zG
γ
La condizione di parallelismo fra R e l'asse centrale fornisce inoltre
3
α
=
6
β
=
9
γ
Dalle due relazioni sopra si ricava l'equazione di µ
2( x − x G ) = ( y − y G ) ;
( y − y ) = 3( z − z ) / 2
G
dove:
21
G
SSIS - Classe 20/A
∑x V
=
∑V
i
xG
Fisica Generale
i
i
∑yV
=
∑V
i
yG
;
i
i
i
i
zG
;
i
i
∑z V
=
∑V
i
i
i
i
i
con Vi componente secondo µ (e quindi secondo R ) di Vi . Risulta
∑V
i
[(
x G = 1 V1
)
R
( )
+ 0 V2
R
] / R = [(V ) R + (V ) R
1 x
x
1 y
= (3 + 12 + 27) / 126 = 42 / 126 = 1 / 3
Analogamente si ha:
( )
y G = 1 V1
R
/ R = 1/ 3
22
y
( )
]
+ V1 z Rz / R 2 =
i
= R e quindi
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
PARTE 3: MISURE E GRANDEZZE FISICHE
3.1 Introduzione
Nella descrizione dei fenomeni la fisica si serve di leggi, nelle quali intervengono grandezze
fisiche quali: la lunghezza, il tempo, la forza etc. Alcune di tali grandezze hanno carattere
scalare (lunghezza, tempo...), altre vettoriale (forza, velocità..). Le prime sono individuate da
un numero (misura), le seconde da un numero, una direzione ed un verso (orientamento). Le
grandezze fisiche, per avere significato devono essere definite operativamente, cioè deve
essere indicato il procedimento della loro misura.
Nella deduzione delle leggi la fisica si serve del metodo scientifico (Galileo Galilei (1564-
1642), che consiste nella seguente sequenza di passi logici:
a) - individuazione delle grandezze fisiche che influenzano il fenomeno che si vuole studiare;
b) - realizzazione di esperienze di laboratorio che riproducano il fenomeno in condizioni in
cui le grandezze possano essere fatte variare in maniera indipendente e controllata;
c) - enunciazione di ipotesi e progettazione di esperienze di verifica;
d) - formulazione di teorie generali (leggi fisiche), che siano in grado di interpretare il
massimo numero di osservazioni sperimentali disponibili
Il linguaggio matematico è lo strumento utilizzato nella formulazione delle leggi, le quali
assumono l’aspetto di uguaglianze tra espressioni matematiche contenenti operatori che si
applicano alle grandezze, siano esse vettoriali o scalari.
Un esempio di legge fisica è la seconda equazione della dinamica (Newton (1642-1727), la
quale stabilisce che l’accelerazione a è proporzionale alla forza f agente su un elemento
materiale, il coefficiente di proporzionalità essendo la massa m dell’elemento. In simboli si
ha:
f = ma = m
dv
dt
dove il simbolo
d
rappresenta l’operatore di derivazione rispetto alla variabile temporale t,
dt
che applicato al vettore velocità v dà a .
23
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
3.2 Grandezze fisiche fondamentali e derivate
Una grandezza fisica può essere misurata direttamente, per confronto con un’altra della stessa
specie assunta come unità di misura (campione), oppure, indirettamente, attraverso relazioni
che esprimono la grandezza da misurare in funzione di altre grandezze (grandezze
fondamentali) per le quali siano stati definiti in maniera indipendente dei campioni. I
principali requisiti di un campione sono: la riproducibilità, con grado di accuratezza adeguato
alle esigenze della scienza e della tecnica, la invariabilità nel tempo e la accessibilità.
3.3 Equazioni dimensionali
Quando nelle leggi fisiche, oppure nelle equazioni di definizione di grandezze derivate, si
prescinda dagli operatori matematici, dalle eventuali costanti numeriche, dalla natura scalare
o vettoriale delle quantità fisiche ed, inoltre, si esprimano le grandezze derivate situate al
secondo membro delle suddette uguaglianze in termini di quelle fondamentali, si ottengono
relazioni simboliche di tipo polinomiale, i cui monomi sono simili fra loro. Ove si convenga,
inoltre, di applicare le usuali regole del calcolo letterale, le grandezze derivate si costruiscono
a partire dalle grandezze fondamentali attraverso relazioni del tipo:
N
D = k ∏ ( Fi )αi
i, α i ∈ Z
i =1
(3.1)
α
dove D ed Fi i (i=1...N) rappresentano la grandezza derivata e quelle fondamentali,
rispettivamente. Le ai sono numeri razionali, uguali a zero quando le corrispondenti Fk non
compaiano nella (3.1); N e z sono due numeri interi che rappresentano il numero delle
grandezze fondamentali e dei termini che intervengono nella legge fisica, rispettivamente.
Qualora nella (3.1) si elimini k e si racchiudano fra parentesi i simboli delle grandezze, si
ottiene:
[ D ] =  F1a ....FNa
1
N

(3.2)
che rappresenta l’equazione dimensionale della grandezza derivata e viene chiamato
dimensione fisica della grandezza D. (N.B.: la dimensione fisica di una grandezza
fondamentale coincide con la grandezza stessa).
24
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
3.4 Sistemi di unità di misura
Un sistema di unità è definito quando siano state scelte le grandezze fondamentali ed
individuati i relativi campioni (naturali od artificiali) chiamati Unità di misura U(Fi). Il
numero delle grandezze fondamentali deve essere sufficiente ad esprimere, tramite di esse,
tutte le grandezze derivate.
L’insieme delle U(Fi) forma un Sistema di Unità di misura.
Per le unità di misura delle grandezze derivate vale una relazione simile a quella per le
grandezze: se U(Fi) è l’unita di misura della i-esima grandezza fondamentale:
U ( D) = k
∏ [U ( F )]
αi
i
i, α i ∈ Z
(3.3)
i
Se k = 1 per qualunque U(D) il sistema di Unità di Misura è detto coerente.
3.5 Sistema di unità internazionale (SI)
Grandezza
Lunghezza
Massa
Tempo
temperatura termodinamica
quantità di materia
corrente elettrica
intensità luminosa
Grandezza
Angolo piano
Angolo solido
Grandezze fondamentali
Nome
metro
secondo
chilogrammo
Kelvin
mole
Ampere
candela
Grandezze supplementari
Nome
Radiante
Steradiante
Simbolo
m
s
kg
mole
K
A
cd
Simbolo
rad
sr
Unità di misura fondamentali del S.I.
metro
lunghezza pari al tragitto percorso dalla luce nel vuoto in un tempo di 1/299
792 458 di secondo;
kilogrammo massa del prototipo artificiale, costituito da un cilindro di platino-iridio
conservato nel laboratorio di pesi e misure di Sèvres;
secondo
intervallo di tempo pari a 9.192.631.770 volte il periodo della radiazione
emessa nella transizione fra due livelli iperfini dello stato fondamentale
;
dell’atomo di 133
55 Cs
25
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
Kelvin
unità di temperatura termodinamica che è uguale a 1/273,16 della temperatura
del punto triplo dell’acqua;
mole
quantità di sostanza che contiene un numero di entità: atomi, molecole,
elettroni etc., uguale al numero di Avogadro, ovvero il numero degli atomi in
0.012 kg di 12C.
Ampere
quantità di corrente che scorre all'interno di due fili paralleli e rettilinei, di
lunghezza infinita e sezione trascurabile, immersi nel vuoto ad una distanza di
un metro, induce in loro una forza di attrazione o repulsione di 2*10-7 N per
ogni metro di lunghezza
candela
intensità luminosa di una sorgente che emette una radiazione monocromatica
con frequenza 540*1012 Hz e intensità energetica di 1/683 W/sr
radiante
angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza pari al
raggio. 1rad =180°/π
angolo che su di una sfera con centro nel vertice dell' angolo intercetta una
calotta di area uguale a quella di un quadrato avente lato uguale al raggio della
sfera stessa.
steradiante
3.6 Conversione di unità di misura tra diversi sistemi di U.d.M.
Si incontrano due situazioni differenti:
1) le grandezze fondamentali sono le stesse
(Esempio: SI⇔CGS);
2) le grandezze fondamentali sono differenti
(Esempio: SI⇔Britannico).
Il caso 1) si tratta nel seguente modo: si vuole passare da S ad S’; siano U(D) e U’(D) le unità
di misura della grandezza derivata D nei sistemi di unità di misura S ed S’ rispettivamente.
U(D) = k ∏ [U ( Fi )] i ,
α
i
U' (D) = k ∏ [U' ( Fi )]
αi
i
Dati i fattori di ragguaglio rS→S' ( Fi ) tra le grandezze Fi:
U ( Fn )
U ( F2 )
U ( F1 )
= rS →S' ( F1 ),
= rS →S' ( F2 ) ...
= rS →S' ( Fn )
U' (Fn )
U' (F2 )
U' (F1 )
il fattore di ragguaglio rS→S' ( D ) per la grandezza derivata D è dato da:
k ∏ U ( Fi ) 
αi
αi
 U ( Fi ) 
U ( D)
αi
= i
= ∏
rS → S ' ( D ) =
 = ∏ [ rS → S ' ( Fi ) ]
αi
U '( D) k ∏ U ' ( Fi ) 
i  U ' ( Fi ) 
i


i
Esempio: sia S il Sistema Internazionale e S’ il sistema CGS. I fattori di ragguaglio per le
grandezze fondamentali della meccanica sono:
26
(3.4)
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
rSI →CGS (l ) =
1m
1kg
= 102 ; rSI →CGS (m) =
= 103
1g
1cm
la grandezza derivata Lavoro (W) si ottiene dalla definizione W = f ⋅ ∆s , con f data dalla
Errore.
L'origine
riferimento
non
è
trovata..
stata
L’equazione
dimensionale
Errore. L'origine riferimento non è stata trovata. è quindi
[W ] = [l ] [ m][t ]
−2
2
e le unità di misura nei due sistemi sono:
S.I.:
unita: Joule;
simbolo J,
con
C.G.S.
unita: erg;
simbolo erg, con
1J = 1m 2 ⋅1kg ⋅1s −2
1erg = 1cm 2 ⋅1g ⋅1s −2
Il fattore di ragguaglio è quindi:
2
U (W ) [ m ] [ kg ][ s ]
−2
 m   kg   s 
=
=       = 102  103  [1] = 107
rSI →CGS (W ) =
2
-2
U '(W ) [ cm ] [ g ][ s ]
 cm   g   s 
2
Si ha sempre rS → S ' ( D) =
-2
2
−2
1
rS '→ S ( D)
3.7 Multipli e sottomultipli
Si usano delle abbreviazioni per semplificare la scrittura di numeri molto grandi o molto
piccoli. I multipli e i sottomultipli più utilizzati sono:
Fattore di
moltiplicazione
10
102
103
106
109
1012
Prefisso
Nome
Simbolo
da
deca
h
etto
k
kilo
M
Mega
T
Giga
G
Tera
27
Fattore di
moltiplicazione
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
Prefisso
Nome
Simbolo
d
deci
c
centi
m
milli
micro
µ
nano
n
pico
p
femto
f
atto
a
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
PARTE 4: ERRORI DI MISURA
4.8 Errori di misura
Una misura non è mai esatta, se non per caso, ma sempre affetta da errori. Si osserva infatti
che se la misura di una determinata grandezza viene ripetuta più di una volta, si trovano valori
differenti; inoltre, più lo strumento è preciso, più saranno evidenti le differenze tra le varie
misure..
Tralasciando la eventualità che si commettano errori grossolani, ovvero veri e propri sbagli,
errori di inesperienza e poca pratica (eliminabili riflettendo sui metodi usati), gli errori in una
misura si distinguono in:
ERRORI SISTEMATICI
Sono errori sistematici quelli che influenzano il risultato della misura sempre nello stesso
senso e non possono pertanto venire compensati facendo la media di più misurazioni. Questi
errori non possono essere eliminati ripetendo le misurazioni, ma possono essere sempre
determinati eseguendo un'accurata indagine critica del metodo impiegato e delle
apparecchiature usate, cambiando metodo, confrontando i risultati con le previsioni. Non tutti
gli errori sistematici possono essere eliminati, si può tentare di renderli ragionevolmente
piccoli oppure usando molti metodi e strumenti differenti si cerca di farli rientrare nella
categoria degli errori accidentali.
Tra gli errori sistematici più frequenti ricordiamo:
1) Difetti degli strumenti:
-
Strumenti mal tarati o non azzerati
-
Strumenti imprecisi per imperfetta riproduzione del campione primario
-
Scale imperfette (per deriva, spostamento o dilatazione, ecc.)
-
Logoramento o invecchiamento, materiale scadente
2) Metodi sbagliati:
-
Condizioni sperimentali non costanti
-
Non si tengono in giusta considerazione alcuni fattori (dilatazione termica, variazioni
di pressione, vibrazioni e oscillazioni, ecc. ...)
-
Perturbazioni che lo strumento può dare sulla grandezza che misura (capacità di un
termometro, resistenza interna di un amperometro ...)
-
Errori di parallasse
3) Difetti dello sperimentatore:
28
SSIS - Classe 20/A
-
Daltonismo
-
Riflessi poco pronti
Fisica Generale
4) Errori psicologici:
-
Illusioni ottiche
-
Principio di autorità
-
Ritardi di reazione o percezione
ERRORI CASUALI (o ACCIDENTALI)
Sono errori accidentali quelli dovuti a cause che si possono immaginare in linea di principio
ma di cui non si possono prevedere gli effetti. In genere sono conseguenza dell'incertezza con
cui sono poste determinate condizioni di misura che vengono invece considerate come se
fossero attuate esattamente. Gli errori accidentali hanno la proprietà di essere variabili sia in
valore che in segno e si individuano ripetendo una misura diverse volte con gli stessi
strumenti e in condizioni che, per quanto sta nelle facoltà dell'operatore, possono essere
ritenute costanti. L'eventuale discordanza dei risultati, supposto nullo ogni errore sistematico,
sarà dovuta alla presenza di errori accidentali.
CAUSE DI ERRORE
Gli errori che possono essere commessi nelle misurazioni possono dipendere da numerosi
fattori.
Strumento
Ambiente
Operatore
CARATTERISTICHE DEGLI STRUMENTI DI MISURA
Portata Il fondo scala rappresenta il limite superiore del campo di misura e prende anche il
nome di portata dello strumento: insieme alla sensibilità ne delimita l'intervallo di
funzionamento.
Sensibilità assoluta La sensibilità di uno strumento è costituita dalla più piccola grandezza in
grado di generare uno spostamento apprezzabile rispetto all'inizio della scala dello strumento.
Così definita, la sensibilità determina il limite inferiore del campo di misura dello strumento,
mentre il limite superiore è dato dal fondo scala: i due determinano insieme l'intervallo di
funzionamento.
Precisione
Prontezza La prontezza è una caratteristica dello strumento legata al tempo necessario affinchè questo risponda
ad una variazione della grandezza in esame. Per alcuni, quanto minore è questo tempo, detto tempo
caratteristico, tanto maggiore è la prontezza, mentre per altri la prontezza è rappresentata dal tempo impegato
29
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
dallo strumento per dare la risposta, cioè il risultato.
In generale la prontezza rappresenta la rapidità con cui è lo strumento è in grado di fornire il risultato di una
misura.
Per chiarire quanto detto finora vediamo un esempio: consideriamo un termometro a mercurio, quello che si può
trovare in un comune laboratorio, che sia inizialmente alla temperatura ambiente di 20oC.
Se ora lo immergiamo in un bagno di liquido alla temperatura di 120oC osserviamo che il mercurio comincia a
salire lungo la scala prima velocemente poi più lentamente fino ad arrivare al valore di temperatura
corrispondente: approssimativamente il tempo impiegato affinchè il mercurio raggiunga la posizione relativa alla
temperatura misurata è dell'ordine di qualche decina di secondi (diciamo 40).
Questo intervallo di tempo ci da un'indicazione sulla prontezza dello strumento: in particolare se andiamo ad
osservare l'andamento della temperatura misurata graficata rispetto al tempo, il fenomeno descritto appare
ancora più chiaro.
C'è anche chi definisce la prontezza come il tempo impiegato dall'indice dello struento (nel nostro caso il livello
della colonnina di mercurio) ad effettuare il 63.2 % dell'escursione che esso deve compiere, partendo dalla
posizione iniziale di riposo fino a raggiungere il valore effettivo della grandezza: tale tempo è definito come
coefficiente di ritardo.
Attraverso questa definizione si potrebbe avere un coefficiente di ritardo variabile con il valore della grandezza
applicata: per ovviare a questo inconveniente occorre fissare un valore di riferimento della grandezza, le
modalità d'uso e tutte le altre caratteristiche strumentali in modo tale che la prontezza così definita rispecchi
un'effettiva caratteristica dell'apparecchio.
Fedeltà
Stabilità
Approssimazione
30
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
4.2 Media e scarto quadratico medio
Ricordiamo solo che, ripetendo n volte la misura della stessa grandezza, se xi è il risultato
della prova i-esima, il valore più probabile della grandezza in misura è la media aritmetica dei
risultati:
N
Xm =
∑x
i
i =1
N
Si definisce scarto della misura i-esima rispetto al valore medio la differenza xi - Xm con:
N
∑(x − X ) = 0
i =1
i
m
Il valore dell'errore assoluto da associare al valore medio è lo scarto quadratico medio:
N
∆X =
∑(x − X )
i =1
i
2
m
n ( n − 1)
Nella pratica normale delle misure elettriche accade che gli errori sistematici che non si riesce
a correggere, chiamati errori sistematici residui, prevalgono nettamente sugli errori
accidentali così che prove ripetute sulla medesima grandezza danno tutte gli stessi risultati. Si
assume pertanto come misura della grandezza il valore ottenuto da un'unica prova e come
errore l'errore massimo (somma di tutti gli errori sistematici residui).
Si definisce errore assoluto la differenza tra il valore misurato ed il valore vero di una
grandezza:
∆X = X m − X V
Si definisce errore relativo il rapporto fra l'errore assoluto ed il valore vero, considerando però
che ∆X è di solito piccolo, al valore vero si può sostituire il valore misurato:
eX =
∆X ∆X
∆X
∆X
≅
, eX % = 100 ⋅
≅ 100 ⋅
XV
Xm
XV
Xm
Se l'errore assoluto ∆X è noto nel valore e nel segno si può calcolare il valore vero, noto che
sia quello misurato:
X V = X m − ∆X
Più spesso si hanno errori noti in ampiezza ma non nel segno, quindi si potrà solo determinare
l'intervallo di valori entro il quale certamente è contenuto il valore vero:
X V = X m ± ∆X
Risulta così definita l'incertezza (imprecisione) con la quale si conosce il risultato della
misurazione, esprimibile in valore assoluto ±∆X od in valore relativo percentuale ± eX % .
4.3 Propagazione degli errori
Spesso è necessario ricavare il valore di una grandezza sviluppando operazioni di calcolo sui
valori misurati di altre grandezze. Chiamiamo con Am, ∆A, eA, Bm, ∆B, eB i valori misurati e
31
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
gli errori assoluto e relativo di due grandezze, di tali errori si immagina di non conoscerne il
segno e quindi di assumerli nei calcoli ponendosi sempre nelle condizioni più sfavorevoli.
Somma aritmetica delle grandezze
∆S
Sm
Sm = Am + Bm , ∆S = ± (∆A + ∆B), eS = ±
Si può osservare che nel caso di somma di più termini, se uno di essi è molto piccolo rispetto
agli altri, l'importanza dell'errore che ad esso compete è piccola anche se tale errore è
relativamente elevato. Inoltre l'errore relativo della somma è sempre più piccolo dell'errore
relativo massimo commesso nelle misure delle singole grandezze.
Differenza aritmetica delle grandezze
Dm = Am - Bm , ∆D = ± (∆A + ∆B), eD = ±
∆D
Dm
Il risultato della differenza è affetto da un errore relativo sempre maggiore degli errori relativi
delle singole grandezze sulle quali si è operato. Tale errore relativo è tanto più grande quanto
più le grandezze misurate sono tra di loro vicine, addirittura tende ad infinito se Bm tende ad
Am. Quindi bisogna evitare metodi di misura che prevedano calcoli di differenza tra due
grandezze.
Prodotto delle grandezze
Pm = Am ·Bm , ∆P = ± (∆A·Bm + ∆B· Am + ∆A·∆B) ± (∆A·Bm + ∆B· Am )
eP = ±
∆P
≅ ± ( eA + eB )
Pm
Essendo l'errore relativo del prodotto pari alla somma degli errori relativi delle singole
grandezze misurate, queste devono essere tutte misurate con la stessa cura.
Potenza e radice (sottocasi del prodotto)
Wm = ( Am ) , eW ≅ ± n ⋅ eA
n
Rm = n Am , eR ≅ ±
eA
n
Quoziente delle grandezze
Qm =
∆A ⋅ Bm + ∆B ⋅ Am
∆A ⋅ Bm + ∆B ⋅ Am
Am
≅±
, ∆Q = ±
2
2
Bm
( Bm ) ⋅ (1 + eB )
( Bm )
eQ =
∆Q
≅ ± ( eA + eB )
Qm
Valgono le stesse considerazioni fatte sul prodotto.
32
SSIS - Classe 20/A
Fisica Generale
f) coseno:
C = cos ϕ m , eC ≅ ±∆ϕ ⋅ tgϕ m , ∆C = ±eC ⋅ C
dove ϕ m è il valore misurato dell'angolo e ∆ϕ il corrispondente errore assoluto.
Cifre significative ed arrotondamenti
Nell'esprimere il risultato di una misura per mezzo del corrispondente valore numerico
occorre tenere presente che, a causa della imprecisione della misura, tale valore numerico
potrebbe contenere una o più cifre prive di significato.
Ad esempio supponiamo di leggere sulla scala di un certo strumento, il valore V in unità u, sia
ad esempio V = 156,4 u. Se l'incertezza della misura, espressa in valore assoluto, vale ∆V = 5
u risulta evidente che non ha nessun senso trascrivere anche l'ultima cifra del valore misurato
e cioè i 4 decimi di u.
In linea generale i risultati di una misura debbono essere rappresentati in modo da limitare il
numero di cifre significative a quelle che sono prive di incertezza, fatta eccezione per l'ultima
che deve essere arrotondata in relazione alle cifre seguenti. Una regola pratica che può essere
adottata è la seguente: nel riportare il risultato di una misura possono essere trascurate tutte
quelle cifre che comportano una variazione minore di un decimo dell'errore assoluto della
misura stessa.
Osservazione: le cifre significative sono quelle che si incontrano nel numero a partire dalla
prima cifra di sinistra diversa dallo zero. Ad esempio il valore 0,00201 ha tre cifre
significative, il valore 0,002010 ha quattro cifre significative.
Osservazione: gli esempi seguenti mostrano come arrotondare a due cifre significative alcuni
valori:
0,1245 ≈ 0,12 , 0,12501 ≈ 0,13 , 0,1205 ≈ 0,12 , 0,125 ≈ 0,12 , 0,135 ≈ 0,14
In definitiva, la cifra da approssimare si lascia inalterata (arrotondamento per difetto) se
quella che segue è minore di 5, si aggiunge una unità (arrotondamento per eccesso) se quella
che segue è maggiore di 5 (oppure 5 seguito da altre cifre non tutte nulle), è indifferente come
si approssima se quella che segue è 5 seguito eventualmente da tutti zeri anche se è in uso
lasciare la cifra inalterata se è pari e aggiungere una unità se è dispari.
33