Il calcolo dei limiti
nelle funzioni razionali
Seconda parte: la frontiera
Limiti e continuità
• Definizione Sia f : (a,b)  R una funzione
continua e sia x0 (a,b). Allora
lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0
Calcolo dei limiti
Limiti notevoli
1
lim
 
x  x0 x 2
Regola 1 Siano f,g : (a.b)  R funzioni continue in (a,b) e sia
x0 (a,b)
a)
b)
lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
x x0
x x0
x x0
lim f ( x) g ( x)  lim f ( x) lim g ( x)
x  x0
x  x0
x  x0
Regola 2 Sia f : (a,b)  R , g: (c,d)  R e sia x0 (a,b) , sia
y0=f(x0) allora
lim g ( f ( x))  lim g ( y)
x x0
y  y0
y0  f ( x0 )
Esercizi
2 
lim   3 
x2 x


In un intorno di 2 la funzione è continua èerchè
1. h(x)=2 è continua in R perché costante
2. f(x)=x è continua in R perché elementare
2
x
È continua in R-{0}
4. k(x)=-3 è continua perché è costante
5. Quindi la funzione è continua perché somma di
Funzioni continue
Esercizio 1
2 
Regola 1 a)
lim   3  
x 2 x


2
lim  lim (3)  1  3  2 Definizione
x 2 x
x 2
2x  x
lim
x 0 2 x  5
2
Esercizio 2
Numeratore e denominatore sono polinomi,
Quindi funzioni continue su R
La funzione è quindi continua in tutto R tranne
2
x
5
Quindi la funzione è continua in un intorno dello zero
2x2  x 0  0
lim

0
x 0 2 x  5
5
Esercizio 3
x2  x 1
lim 2
x 1 x  3 x  3
Numeratore e denominatore sono entrambi
 3x  3  0
polinomi e quindi xsono
funzioni continue su R
2
Il denominatore non ha radici reali perché
  9 12  3
Quindi la funzione è sempre continua,
compreso in un intorno di 1.
x2  x 1 111
lim 2

3
x 1 x  3 x  3
1 3  3
Il calcolo dei limiti nelle funzioni
razionali
I punti interni
Limiti
Se x tende a 0 il valore della funzione diventa sempre più grande
La funzione diverge
1
lim 2
x 0 x
Estendiamo il calcolo dei limiti
• La funzione
1
f ( x)  2
x
È il rapporto tra la funzione costante 1 e la funzione x2
Quindi è continua in R-{0} , che è anche il suo dominio
0 è la frontiera del suo dominio
Calcoliamo il limite sulla frontiera della funzione
Limiti sulla frontiera del dominio
di funzioni razionali
• Si compila una tabella di limiti notevoli
• Si definiscono delle regole di calcolo per
calcolare tutti gli altri
Calcolo dei limiti
Limiti notevoli
1
lim
 
x  x0 x 2
Regola 1 Siano f,g : D  R e sia x0 un punto di frontiera per D
Allora
a)
b)
lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
x x0
x x0
x x0
lim f ( x) g ( x)  lim f ( x) lim g ( x)
x  x0
x  x0
x  x0
Regola 2 Sia f : D  R , g: (c,d)  R e sia x0 un punto di
frontiera per D , sia y0=f(x0) allora
lim g ( f ( x))  lim g ( y)
x x0
y  y0
y0  f ( x0 )
Esercizio 1
x 2  3x  2
lim
x 0
x2


1
 lim x  3 x  2 lim 2
x 0
x 0 x
1
 2 lim 2  2  
x 0 x
2
Regola 1b
Limite notevole
Esercizio 2
5
lim

x  1  x  12
1
 5 lim
x  1  x  12
1
 5 lim 2
y 0 y
 5  
f ( x)  x  1
Regola 1b)
g ( y) 
Regola 2)
Limite notevole
g  f  x  
1
x  12
1
y2
f (1)  0
lim
x 1
x 1
x2  2x 1
x 1
x 1  x  12
 lim
Esercizio 3
Il dominio della funzione è R-{1}
1 è nella frontiera del dominio
Il numeratore è una funzione continua in x=1
x 1
1
 lim
 lim ( x  1) lim

2
2
x 1  x  1
x 1
x 1  x  1
1
1
2 lim
 2 lim 2  2  
x 1  x  12
y 0 y
Estendiamo il calcolo…
• Tanto più si ingrandisce la tabella dei limiti
notevoli, tanto più grande sarà la classe
dei limiti che potremo calcolare…
• Per ingrandire la tabella dei limiti, abbiamo
bisogno di nuove definizioni