Appendice A. Elementi di Algebra Matriciale .................................................................................... 1
1.1
Definizioni ........................................................................................................................... 1
1.1.1
Matrice quadrata ......................................................................................................... 1
1.1.2
Matrice diagonale ........................................................................................................ 1
1.1.3
Matrice triangolare....................................................................................................... 2
1.1.4
Matrice riga e matrice colonna .................................................................................... 2
1.1.5
Matrice simmetrica e emisimmetrica ........................................................................... 2
1.2
Operazioni elementari su matrici ........................................................................................ 3
1.2.1
Uguaglianza ................................................................................................................ 3
1.2.2
Moltiplicazione per uno scalare ................................................................................... 3
1.2.3
Somma ........................................................................................................................ 3
1.2.4
Differenza .................................................................................................................... 4
1.2.5
Trasposta .................................................................................................................... 4
1.2.6
Decomposizione di una matrice quadrata nella somma di una matrice simmetrica ed
una emisimmetrica..................................................................................................................... 4
1.2.7
Prodotto di matrici ....................................................................................................... 5
-
Trasposta di prodotto ...................................................................................................... 7
-
Prodotto di vettori............................................................................................................ 7
1.2.8
Determinante di una matrice quadrata ........................................................................ 8
-
Matrice di dimensione 2 .................................................................................................. 8
-
Matrice di dimensione 3 .................................................................................................. 8
-
Matrici diagonali e triangolari .......................................................................................... 9
-
Proprietà ......................................................................................................................... 9
-
Esempi ............................................................................................................................ 9
1.2.9
Matrice singolare ....................................................................................................... 10
1.2.10
Minori di una matrice-................................................................................................ 10
1.2.11
Matrice inversa .......................................................................................................... 10
1.3
Esempio ........................................................................................................................ 11
Sottomatrici....................................................................................................................... 13
1.3.1
Partizione di matrice.................................................................................................. 13
1.3.2
Operazioni su matrici partizionate ............................................................................. 13
-
Somma.......................................................................................................................... 13
-
Prodotto ........................................................................................................................ 14
-
Prodotto di una matrice per un vettore – Forma quadratica ........................................ 14
-
Prodotto di una matrice per la sua trasposta ................................................................ 15
_________________________________________
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Appendice A. Elementi di Algebra Matriciale
1.1
Definizioni
Si definisce matrice un insieme di elementi, numerici ma non solo, ordinati secondo righe e
colonne. Ciascun elemento della matrice è individuato dalla posizione che assume nella riga e
nella colonna di appartenenza, attraverso 2 indici; ad esempio, l’elemento aij rappresenta un
elemento appartenente alla riga i e alla colonna j della matrice che si indica con la lettera
maiuscola in grassetto, A, o sottolineata A. Detto m il numero di righe e n il numero di colonne, la
matrice A si dirà di dimensioni (m x n).
Si indica come segue:
 a11
A =  a21
 a31
a12
a13
a22
a32
a23
a33
a14 
a24 
a34 
1.1.1 Matrice quadrata
Se m = n, la matrice si definisce quadrata di ordine (n x n).
Gli elementi aii caratterizzati da indici uguali definiscono la diagonale principale della matrice
A.
La somma degli elementi appartenenti alla diagonale principale è detta traccia della matrice
A
n
tr A = ∑ aij
i =1
1.1.2 Matrice diagonale
In una matrice quadrata, se tutti gli elementi fuori diagonale principale sono nulli ( aij = 0 per
i ≠ j ), la matrice si dice diagonale.
 a11
0
A=
0

 0
0
a22
0
0
0
! 0 
" 0

0 ann 
0
Data una matrice diagonale, se risulta aii = 1 ∀ i , con aij = 0 per i ≠ j (ovvero aij = δ ij
dove δ ij è il simbolo di Kronecker), essa è detta matrice identità o matrice unità di ordine n e si
indica con I.
Una matrice i cui elementi sono tutti identicamente nulli
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aij = 0
i = 1,… , m j = 1,…, n
si dice matrice nulla di dimensioni (m x n) e si indica con O.
1.1.3 Matrice triangolare
Si definisce matrice triangolare alta una matrice quadrata i cui elementi posti al di sotto della
diagonale principale sono tutti nulli. Viceversa, si dice triangolare bassa se sono uguali a zero tutti
gli elementi al di sopra della diagonale principale.
 a11
0

0

 0
a12
a13
a22
a23
0
0
a33
0
 a11
a
 21
 a31

 a41
a14 
a24 
a34 

a44 
triangolare alta
0
0
a22
a32
0
a33
a42
a43
0
0 
0

a44 
triangolare bassa
1.1.4 Matrice riga e matrice colonna
Per m = 1, A (1 x n) è detta matrice riga.
Per n = 1, A (m x 1) è detta matrice riga o vettore colonna. Il termine vettore, cui in generale
viene associato una lettera minuscola in grassetto v o con sottolineatura v, sta ad indicare una
$
matrice colonna. Tale nomenclatura si associa alla circostanza che un vettore geometrico v può
essere rappresentato ordinando per righe le sue componenti secondo gli assi coordinati
$
$
$
$
v = vx ex + v y ey + vz ez
viene rappresentato anche come
 vx 
 
v = v y 
 
 vz 
1.1.5 Matrice simmetrica e emisimmetrica
Si definisce matrice simmetrica una matrice quadrata i cui elementi fuori diagonale risultano
uguali
a ji = aij
∀i, j
Si definisce matrice emisimmetrica (o antisimmetrica) una matrice quadrata i cui elementi
fuori diagonale risultano opposti
a ji = −aij
∀i, j
Gli elementi appartenenti alla diagonale principali sono tutti nulli.
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1.2
Operazioni elementari su matrici
1.2.1 Uguaglianza
Date due matrici A e B, queste si dicono uguali se e solo se sono dello stesso ordine (m x n)
e risulta
aij = bij
i = 1,… , m j = 1,… , n
L’operazione di uguaglianza gode delle seguenti proprietà:
•
Proprietà transitiva
Se A = B e B = A, segue A = C
1.2.2 Moltiplicazione per uno scalare
Data una matrice A, si definisce prodotto di A per uno scalare λ, la matrice B = λ A dello
stesso ordine (m x n), i cui elementi risultano
bij = λ aij
i = 1,… , m j = 1,… , n
Per λ = − 1 , B = −A definisce la matrice opposta della matrice A.
1.2.3 Somma
Date due matrici A e B, dello stesso ordine (m x n) , si definisce somma delle due matrici la
matrice C = A + B, i cui elementi sono definiti come somma dei corrispondenti elementi di A e di
B, ovvero
cij = aij + bij
i = 1,… , m j = 1,… , n
La somma di matrici è definita pertanto solo per matrici di uguali dimensioni.
L’operazione di somma gode delle seguenti proprietà, analoghe a quelle di cui gode la
somma di scalari:
•
Proprietà commutativa
A+B = B+A
ovvero, in termini di elementi delle matrici
aij + bij = bij + aij
•
i = 1,… , m j = 1,… , n
Proprietà associativa
A + B + C = ( A + B ) + C = A + ( B + C)
•
Proprietà associativa, rispetto al prodotto per uno scalare
λ A + λB = λ ( A + B )
•
Proprietà distributiva, rispetto al prodotto per uno scalare
λ ( A + B ) = λ A + λB
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L’operazione di somma possiede inoltre l’elemento neutro che è costituito dalla matrice nulla
O di dimensioni (m x n) opportune.
1.2.4 Differenza
Date due matrici A e B, dello stesso ordine (m x n) , si definisce differenza la somma di A e
dell’opposta di B, ovvero
C = A − B = A + ( −1) B
i cui elementi risultano pertanto
cij = aij − bij
i = 1,… , m j = 1,… , n
1.2.5 Trasposta
Data una matrice A di dimensioni (m x n) , si definisce matrice trasposta di A e si indica con
A T , la matrice di ordine (n x m) che si ottiene scambiando le righe con le colonne,ovvero
B = A T ove
bij = a ji
i = 1,… , m j = 1,… , n
Esempio:
 2 1
 −3 0 


 5 4 
 2 −3 5 
1 0 4


Si osservi che l’operazione di trasposizione di una matrice trasposta riconduce alla matrice di
partenza
(A )
T T
=A
Nel caso di matrice simmetrica risulta A T = A , in quanto, per definizione di matrice
∀i, j
simmetrica risulta a ji = aij
Nel caso di matrice emisimmetrica risulta invece A T = − A .
1.2.6 Decomposizione di una matrice quadrata nella somma di una matrice simmetrica
ed una emisimmetrica
Data una matrice quadrata A di ordine (n x n), la si può sempre scrivere come somma di una
matrice simmetrica ed una emisimmetrica così definite:
S = Sym A
sij =
1
( aij + a ji )
2
E = Skew A
eij =
1
( aij − a ji )
2
e tali che risulti
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S+E=A
Al fine di verificare la validità di tale affermazione si scriva:
sij + eij =
sij =
eij =
1
1
aij + a ji ) + ( aij − a ji ) = aij
(
2
2
1
1
aij + a ji ) = ( a ji + aij ) = s ji
(
2
2
1
1
aij − a ji ) = − ( a ji − aij ) = −e ji
(
2
2
.Le matrici S ed E si dicono rispettivamente parte simmetrica di A e parte emisimmetrica di
A.
1.2.7 Prodotto di matrici
Date una matrici A di dimensione (mA x nA ) ed una matrice B di dimensione (mB x nB ) , si
definisce prodotto delle due matrici, la matrice C = A ⋅ B i cui elementi sono dati dalla somma dei
prodotti degli elementi della i-esima riga per i corrispondenti elementi delle j-esima colonna
nA
cij = ∑ aih bhj
h =1
Stante la definizione stessa, il prodotto di due matrici è definito se e solo se il numero di
colonne della prima matrice eguaglia il numero di righe della seconda, ovvero nA = mB .
La matrice prodotto sarà di dimensioni (mA x nB )
Si osservi pertanto che le dimensioni della matrice prodotto si possono individuare dalle
dimensioni esterne, avendo scritto
A⋅B = C
(mA x nA ) ⋅ (mB x nB ) dove nA = mB
Esempio:
 1 5
A =  0 2 
 −1 1 
3 4 0 5
B=

 −1 2 1 −2 
(3 x 2)
(2 x 4)
A⋅B = C
(3 x 2) ⋅ (2 x 4) ⇒ (3 x 4)
Sviluppando ciascun prodotto:
c11 = a11 ⋅ b11 + a12 ⋅ b21 = 1 ⋅ 3 + 5 ⋅ (−1) = −2
c12 = a11 ⋅ b12 + a12 ⋅ b22 = 1 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2 = 14
c13 = a11 ⋅ b13 + a12 ⋅ b23 = 1 ⋅ 0 + 5 ⋅1 = 5
c14 = a11 ⋅ b14 + a12 ⋅ b24 = 1⋅ 5 + 5 ⋅ (−2) = −5
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c21 = a21 ⋅ b11 + a22 ⋅ b21 = 0 ⋅ 3 + 2 ⋅ (−1) = −2
c22 = a21 ⋅ b12 + a22 ⋅ b22 = 0 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 = 4
c23 = a21 ⋅ b13 + a22 ⋅ b23 = 0 ⋅ 0 + 2 ⋅1 = 2
c24 = a21 ⋅ b14 + a22 ⋅ b24 = 0 ⋅ 5 + 2 ⋅ (−2) = −4
c31 = a31 ⋅ b11 + a32 ⋅ b21 = −1 ⋅ 3 + 1 ⋅ (−1) = −4
c32 = a31 ⋅ b12 + a32 ⋅ b22 = −1 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2 = −2
c33 = a31 ⋅ b13 + a32 ⋅ b23 = −1 ⋅ 0 + 1 ⋅1 = 1
c44 = a41 ⋅ b14 + a42 ⋅ b24 = −1 ⋅ 5 + 1 ⋅ (−2) = −7
si ottiene:
 −2 14 5 −5 
C =  −2 4 2 −4 
 −4 −2 1 −7 
Date due matrici qualsiasi, il prodotto tra matrici non è in genere definito, a meno che non
risulti nA = mB .
Il prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativa, anzi, in genere, dato il prodotto
A ⋅ B , B ⋅ A non risulta nemmeno definito, in quanto, mentre l’esistenza del prodotto A ⋅ B implica
la relazione nA = mB , nulla è detto di un eventuale legame tra nB e mA , ed in genere risulta
nB ≠ mA
Infatti
A⋅B
implica
(mA x nA ) ⋅ (mB x nB )
% =&
mentre
B⋅A
implica
(mB x nB ) ⋅ (mA x nA )
% =&
Anche qualora risultasse nB = mA e pertanto esistesse B ⋅ A , in generale sarà A ⋅ B ≠ B ⋅ A ,
addirittura in dimensioni.
Esempio:
1 0 −1
A=

3 1 4 
1 3 
B =  2 2 
 3 1 
(2 x 3)
(3 x 2)
 −2 2 
A⋅B = 

17 15
10 3 11
B ⋅ A =  8 2 6 
 6 1 1 
(2 x 2)
(3 x 3)
 1 −1
A=

2 3 
0 1 
B=

 2 −1
(2 x 2)
(2 x 2)
Esempio:
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 2 −2 
A⋅B = 

 6 −1
2 3 
B⋅A = 

 0 −5
(2 x 2)
(2 x 2)
A⋅B ≠ B⋅A
Risulta pertanto rilevante l’ordine in cui viene operato il prodotto e pertanto si parla di premoltiplicare o post-moltiplicare per individuare la posizione della matrice per la quale si vuole
moltiplicare una matrice data.
Se risulta A ⋅ B = B ⋅ A le matrici si dicono permutabili. Questo accade solo se le matrici sono
quadrate e per casi particolari, quale il caso di matrici entrambi diagonali (il cui prodotto è ancora
una matrice diagonale i cui elementi sono in particolare i prodotti degli elementi lungo le
corrispondenti diagonali principali, cii = aii ⋅ bii e cij = 0 ∀i ≠ j ), la moltiplicazione di una generica
matrice quadrata (n x n) per una matrice identità (ovviamente di ordine n, altrimenti il prodotto non
sarebbe definito) e per una matrice nulla, anch’essa di ordine (n x n) .
La matrice identità I n XX e la matrice nulla O nn costituiscono l’elemento neutro e lo zero per
l’operazione di moltiplicazione.
Il prodotto tra matrici gode delle seguenti proprietà:
•
proprietà distributiva rispetto alla somma
( A + B) ⋅C = A ⋅C + B ⋅C
A ⋅ ( B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C
•
proprietà associativa rispetto alla somma
A ⋅C + B ⋅C = ( A + B) ⋅C
A ⋅ B + A ⋅ C = A ⋅ ( B + C)
•
proprietà distributiva
( A ⋅ B) ⋅C = A ⋅ B ⋅C
•
proprietà associativa
A ⋅ B ⋅C = (A ⋅ B) ⋅C
-
Trasposta di prodotto
L’operazione di trasposta di un prodotto di matrice fornisce
( A ⋅ B)
-
T
= BT ⋅ A T
Prodotto di vettori
Un caso interessante è il prodotto tra 2 vettori che si definisce come prodotto del trasposto
del primo per il secondo
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7/16
c = aT b = aT b
Si osservi che il risultato è uno scalare e la precedente espressione corrisponde alla scrittura in
termini matriciali del prodotto scalare di due vettori.
$
Se si indica con n r il vettore contenente le componenti del versore er della retta r, si può
$
scrivere la componente vr di v secondo r come
vr = v T n r = n r T v
avendo in precedenza scritto
$ $ $ $
vr = v ⋅ er = er ⋅ v
1.2.8 Determinante di una matrice quadrata
Ad ogni matrice quadrata A è possibile associare una quantità scalare (un numero), che
viene indicato con det A oppure con A , determinata come
n
det A = ∑ aij A ij
j =1
(dove i indica aver scelto la i – esima riga per lo sviluppo del determinante), somma dei prodotti
degli elementi della i – esima riga aij (o j-esima colonna) per i corrispondenti completamenti
algebrici A ij .
Il complemento algebrico A ij dell’elemento aij è dato dal determinante di ordine n-1 della
matrice, che chiameremo A ij , ottenuta eliminando la riga i-esima e la colonna j-esima individuate
dall’elemento aij , moltiplicato per (−1)i + j , ovvero per + 1 se la somma degli indici è pari e per (-1)
se la somma degli indici è dispari:
A ij = ( -1)
-
i+j
det A ij
Matrice di dimensione 2
Un caso particolare di calcolo di determinante si ha per n = 2. In tal caso, il determinante si
calcola sommando il prodotto degli elementi posti sulla diagonale principale meno il prodotto dei
due rimanenti elementi:
a
A =  11
 a21
-
a12 
a22 
det A = a11 a22 − a12 a21
Matrice di dimensione 3
Nel caso di matrice di dimensione 3,
 a11
A =  a21
 a31
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appendice_A
a12
a22
a32
a13 
a23 
a33 
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il determinante può essere calcolato sommando i prodotti delle diagonali a 3 elementi che si
ottengono da sinistra a destra, immaginando di affiancare alla matrice A, le prime due colonne
della matrice stessa e sottraendo i prodotti che si ottengono considerando le diagonali da destra a
sinistra (regola di Sarrus)
 a11
A =  a21
 a31
a12
a13
a11
a12
a22
a32
a23
a33
a21
a31
a22
a321
det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33
-
Matrici diagonali e triangolari
Il determinante di una matrice diagonale o di una matrice triangolare (alta o bassa) è dato dal
prodotto degli elementi appartenenti alla diagonale principale.
-
Proprietà
Il determinante gode delle seguenti proprietà:
•
Se A ha due righe (o colonne) uguali, oppure una riga (o colonna) di zero, allora det A = 0 .
•
Il determinante della somma di due matrici è uguale alla somma dei determinanti:
det ( A + B) = det ( A) + det (B)
•
Se A ' è la matrice ottenuta da A scambiando di posto due colonne o due righe, allora
det A ' = det A
•
Il determinante di una matrice trasposta è uguale al determinante della matrice di partenza
•
Il determinante di una matrice trasposta è uguale al determinante della matrice di partenza
det A T = det A
•
Il determinante non cambia se in A sommiamo ad una riga (o ad una colonna) una
combinazione lineari delle altre righe (o colonne)
•
Il determinante del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei determinanti:
det ( A ⋅ B) = det ( A) ⋅ det (B)
•
Il determinante del prodotto di una matrice in cui una riga è moltiplicata per uno scalare è
uguale al prodotto dello scalare per il determinante della matrice
 a11
!

det  λ ai1

!
 am1
-
Esempi
•
Matrice di dimensione 2
!
!
!
!
!
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a1n 
 a11

!
!

λ ain  = λ det  ai1


!
!
 am1
amn 
! a1n 
! ! 
! ain 

! !
! amn 
9/16
1 2 
A=

3 −1
•
det A = 1⋅ (−1) − 2 ⋅3 = −7
Matrice di dimensione 3
2 3 1
A =  −1 0 4 
 5 1 −2 
Questo determinante può essere calcolato o attraverso la regola di Sarrus
det A = 2 ⋅ 0 ⋅ (−2) + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + 1⋅ (−1) ⋅1 − 1 ⋅0 ⋅ 5 − 2 ⋅4 ⋅1 − 3 ⋅ (−1)⋅− 2 = 45
o attraverso la sua definizione
det A = 2 ⋅
0 4
−1 4
−1 0
− 3⋅
+ 1⋅
= 2 ⋅ (0 − 4) − 3 ⋅ (2 − 20) + 1⋅ (−1 − 0) = 45
1 −2
5 −2
5 1
In questo secondo caso, poteva risultare più conveniente scegliere di sviluppare secondo la 2a riga
invece che secondo la 1a, evitando così il calcolo di un minore in quanto moltiplicato per 0:
det A = −(−1) ⋅
3 1
2 1
2 3
+ 0⋅
− 4⋅
= 1⋅ (−6 − 1) − 4 ⋅ (2 − 15) = 45
1 −2
5 −2
5 1
1.2.9 Matrice singolare
Una matrice si dice singolare se ha determinante nullo
det A = 0
1.2.10 Minori di una matriceSi definiscono minori di ordine p di una matrice A di generiche dimensioni (m x n) i
determinanti delle matrici di ordine p ≤ min(m, n) che è possibile estrarre dalla matrice A.
Un minore si dice principale se è estratto sulla diagonale principale.
Si definisce rango di una matrice l’ordine più elevato in corrispondenza del quale la matrice
possiede almeno un minore non nullo.
Una matrice non singolare di ordine n si dice avere rango massimo pari ad n.
Una matrice quadrata si dice definita positiva se det A > 0 e risultano maggiori di zero tutti i
minori principali.
1.2.11 Matrice inversa
Si definisce inversa di una matrice quadrata A, e si indica con A −1 quella matrice tale che
moltiplicata per la matrice di partenza fornisce la matrice identità.
A −1 A = A A −1 = I
Si osservi che una matrice quadrata A e la sua inversa sono permutabili.
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La matrice inversa è data pertanto da
 A11
A

A −1 =  '

 A1n
A

!
"
!
An1 
A 

' 

Ann 
A 
con gli elementi α ij della matrice inversa sono definiti dalla seguente relazione
Aji
α ij =
dove gli elementi A ij = ( -1)
i+j
det A
det A ij sono i complementi algebrici dell’elemento α ij .
Si osservi che la matrice inversa è definita se è solo se la matrice A è quadrata e non singolare.
L’inversa di una matrice diagonale è ancora una matrice diagonale i cui elementi sono gli
inversi dei corrispondenti elementi :
Aii
det A
α ii =
L’inversa di una matrice triangolare alta (o bassa) è data da una matrice triangolare alta (o
bassa) è data da una matrice triangolare bassa (o alta) i cui elementi sono gli inversi degli elementi
della diagonale principale della matrice data.
Risulta inoltre
•
L’inversa di una matrice inversa fornisce la matrice di partenza
(A )
−1 −1
•
La inversa di un prodotto di due matrici è pari al prodotto delle matrici inverse scambiate di
posto
( A ⋅ B)
•
T −1
= B −1 ⋅ A −1
= ( A −1 ) = A -T
T
Una matrice tale che la trasposta sia uguale all’inversa si dice ortogonale
AT ⋅ A = I
-
−1
La inversa di una trasposta è pari alla trasposta dell’inversa
(A )
•
=A
⇒
A T = A −1
Esempio
Calcolare la matrice inversa di
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1 2
A=

 −3 −1
Si calcoli il determinante di A :
det A = 1⋅ (−1) − 2 ⋅(−3) = 5
Poiché tale determinante risulta diverso da zero è possibile calcolare la matrice inversa.
Determiniamo i complementi algebrici:
A11 = ( −1)
(1+1)
A12 = ( −1)
A21 = ( −1)
(1+ 2 )
( 2 +1)
A22 = ( −1)
det A11 = ( −1)
(1+1)
det A12 = ( −1)
det A 21 = ( −1)
( 2+ 2)
a22 = −1
(1+ 2 )
( 2 +1)
det A 22 = ( −1)
a21 = 3
a12 = −2
( 2+ 2)
a11 = 1
Conseguentemente gli elementi della matrice inversa risultano
α11 =
A11
1
=−
det A
5
α12 =
A21
2
=−
det A
5
α 21 =
A12
3
=
det A 5
α 22 =
A22
1
=
det A 5
La matrice inversa risulta pertanto
 1
− 5
−1
A =
 3
 5
2
− 
5

1 
5 
Per verifica sviluppiamo il prodotto
 1
− 5
1
2


−1
A A=

 −3 −1  3
 5
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2
− 
1 0 
5
=
1  0 1 
5 
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1.3
Sottomatrici
Data una matrice A di dimensioni (m x n), si dice sottomatrice di dimensioni (r x s), una
matrice ottenuta da quella di partenza estraendo gli elementi appartenenti contemporaneamente
alle r righe ed s colonne di A.
Ad esempio, se dalla matrice A estraiamo gli elementi appartenenti contemporaneamente
alla 1a e 3 a riga ed alla 2a e 4 a colonna otteniamo la matrice B
 a11
a
 21
A =  a31

 a41
 a51
a12
a13
a22
a23
a32
a42
a33
a43
a52
a53
a14 
a24 
a34 

a44 
a54 
a
B =  12
 a32
⇒
a14 
a34 
1.3.1 Partizione di matrice
Data una matrice A di dimensioni (m x n), si definisce partizione la suddivisione della matrice
data in sottomatrici, o come si usa dire “a blocchi”. Le sottomatrici vengono indicate con la
medesima simbologia delle matrici, cui vengono apposti indici di riga e colonna ad indicare la
posizione della sottomatrice all’interno della matrice di partenza.
 a11
 a
 21
 '

A =  ar1
 ar +1.1

 '
a
 m1
!!
a1s
a2 s
'
!!
ars
a1, s +1
'
'
ar , s +1
!! ar +1, s
'
ar +1, s +1
'
!!
am , s +1
ams
a1n 
' 
' 

! ar , n 
! ar +1,n 

' 
! am ,n 
!
A
A =  11
 A 21
(
s
colonne
A12 
A 22 
(
} r righe
} m − r righe
n−s
colonne
1.3.2 Operazioni su matrici partizionate
-
Somma
Sia data la somma di due matrici C = A + B. Data A partizionata secondo r righe ed s
colonne, la somma delle due matrici, per definizione di somma, delle medesime dimensioni può
essere scritta come
 A + B11
A + B =  11
 A 21 + B 21
A12 + B12 
A 22 + B 22 
dove B è stata partizionata in sottomatrici delle medesime dimensioni delle sottomatrici di A. La
somma è pertanto definita considerando le singole sottomatrici alla stregua di elementi.
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-
Prodotto
Analogamente può essere scritto il prodotto di due matrici A e B di dimensioni opportune,
(mA x nA) ed (mB x nB) con nA = mB, ove, una volta definita la partizione su A , la matrice B venga
partizionata opportunamente
A
( mA x nA )
A11


(r x s)
B
=
A 21
( mB x nB ) 

( ( mA − r ) x s )
B11


  (s x q)

A 22
B 21

( ( mA − r ) x ( nA − s ) ) ( ( nA − s ) x q )
 A11B11 + A12 B 21

(r x q)
=
A B + A B
22 21
 21 11
 ( ( mA − r ) x q )
A12
( r x ( nA − s ) )


=

B 22

( ( nA − s ) x ( nB − q ) )
B12
( s x ( nB − q ) )
A11B12 + A12 B 22

( r x ( nB − q ) ) 
C
=
A 21B 21 + A 22 B 22  ( mA x nB )

( ( mA − r ) x ( nB − q ) )
Il prodotto in termini di sottomatrici si scrive formalmente considerando le singole sottomatrici quali
elementi della matrice stessa.
-
Prodotto di una matrice per un vettore – Forma quadratica
Data una matrice A (m x n) ed un vettore x (n x 1), il prodotto A x è un vettore y di ordine m,
i cui elementi si esprimono come:
n
yi = ∑ aij x j
i = 1,… , m
j =1
Se A è una matrice quadrata (n x n), e c un secondo vettore, anch’esso di ordine n il
prodotto cT A x fornisce uno scalare
n
n
cT A x = ∑∑ ci aij x j
i =1 j =1
In generale, cT A x ≠ xT A c , in quanto
xT A c = ( xT A c ) = ( A c ) x = cT A T x
T
T
e pertanto cT A x = xT A c , se e solo se A = A T , ovvero se la matrice A è simmetrica.
In particolare si definisce forma quadratica il prodotto
F = xT A x
ovvero, il polimonio omogeneo
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n
n
F ( x1 ,… , xn ) = ∑∑ aij xi x j
i =1 j =1
La matrice A viene detta matrice della forma quadratica.
-
Prodotto di una matrice per la sua trasposta
Data una matrice A di dimensioni (m x n), il prodotto A A T è una matrice quadrata
simmetrica. Infatti risulta
(A A ) = (A )
T T
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T T
AT = A AT
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