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Contenuti
JJ
II
J
I
Equazioni di secondo grado
Soluzione degli esercizi proposti
Facoltà di Ingegneria - Università della Calabria
Pagine 1 di 30
Abstract
Indietro
Lo scopo di questo lavoro è quello di proporre esercizi
relativi alle equazioni di secondo grado e le loro soluzioni.
Pieno Schermo
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Esci
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Contenuti
Esercizi Proposti e loro soluzione
Titolo della Pagina
Esercizio 1
Contenuti
Risolvere la seguente equazione di secondo grado incompleta spuria.
JJ
II
J
I
Pagine 2 di 30
(1 +
√
3)x2 −
√
3x = 0
Soluzione
Possiamo mettere in evidenza la x ottenendo
√
√
x[(1 + 3)x − 3] = 0
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Pieno Schermo
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Esci
L’equazione è risolta quando x = 0 o quando il fattore in parentesi
quadra è nullo, cioè
√ √
√
√
√
√
3
3( 3 − 1)
3− 3
√ =
(1 + 3)x = 3 → x =
=
2
2
(1 + 3)
Le due soluzioni sono quindi x1 = 0 e x2 =
√
3− 3
2 .
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Esercizio 2
Risolvere la seguente equazione di secondo grado incompleta pura.
Titolo della Pagina
x2 − 8 =
Contenuti
(x + 1)(x − 1)
8
Soluzione
JJ
II
J
I
Possiamo moltiplicare per 8 entrambi i membri e si ottiene
8x2 − 64 = (x + 1)(x − 1)
Pagine 3 di 30
Al secondo membro abbiamo un prodotto notevole che può essere
semplificato
Indietro
8x2 − 64 = x2 − 1 −→ 7x2 = 63 −→ x2 = 9 −→ x = ±3
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Le due soluzioni sono quindi x1 = 3 e x2 = −3.
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Esercizio 3
Risolvere la seguente equazione di secondo grado completa.
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x2 + 2x − 35 = 0.
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 4 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Soluzione
Calcoliamo anzitutto il determinante
∆ = b2 − 4ac = 4 − 4 · (−35) = 4 + 140 = 144.
Le soluzioni hanno i seguenti valori
√
√
−b ± ∆
−2 ± 144
−2 ± 12
x1,2 =
=
=
= −1 ± 6
2a
2
2
Le due soluzioni sono quindi x1 = −7 e x2 = 5.
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Esercizio 4
Risolvere la seguente equazione di secondo grado completa.
Titolo della Pagina
1 1
6
4
+ =
−
x 2
x−1 x
Contenuti
Soluzione
JJ
II
J
I
Pagine 5 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
É necessario premettere che i valori x = 0 e x = 1 sono da escludere a priori come soluzione, perchè si darebbe origine a dei
denominatori pari a 0. Esclusi tali valori, possiamo compattare
tutte le frazioni in due frazioni con denominatore pari a 2x(x − 1).
6
4
2(x − 1) + x(x − 1)
6(2x) − 4 · 2(x − 1)
1 1
+ =
− −→
=
x 2
x−1 x
2x(x − 1)
2x(x − 1)
Queste due frazioni sono uguali quando i due numeratori sono
uguali. Possiamo cioè immaginare di moltiplicare entrambi i membri per il fattore 2x(x − 1), diverso da 0.
(x−1)(x+2) = 12x−8x+8 −→ x2 +x−2 = 4x+8 −→ x2 −3x−10 = 0
Il determinante di questa equazione è
Esci
∆ = 9 + 40 = 49;
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 6 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Le soluzioni hanno espressione
x1,2 =
3±
√
2
49
=
3±7
;
2
Le due soluzioni sono quindi x1 = −2 e x2 = 5.
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Esercizio 5
Risolvere la seguente equazione di secondo grado completa a coefficienti letterali.
√
x2 − 2 3x + 3 + a2 = 0
Contenuti
JJ
II
J
I
Soluzione
Il determinante di questa equazione è
Pagine 7 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
∆ = 4 · 3 − 4(3 + a2 ) = 12 − 12 − 4a2 = −4a2 ;
Il determinante è sempre negativo, per a 6= 0. Nel caso in cui sia
a = 0, le due soluzioni sono coincidenti e pari a
√
2 3 √
x1,2 =
= 3;
2
√
L’equazione ha quindi come soluzioni coincidenti x = 3, per
a = 0. Per tutti gli altri valori del parametro a l’equazione è
impossibile.
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Esercizio 6
Risolvere la seguente equazione di secondo grado a coefficienti letterali.
Contenuti
(a + 1)x2 = x +
x(a + 1) − 1
.
(2a + 1)
JJ
II
Soluzione
J
I
É necessario premettere che il valore a = − 21 è da escludere a
priori come valore da assegnare ad a perchè in tal caso l’equazione
è impossibile da risolvere.
Escluso tale valore, possiamo compattare tutti i termini in due
frazioni con denominatore pari a 2a + 1.
Pagine 8 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
(2a + 1)x + x(a + 1) − 1
(2a + 1)(a + 1)x2
=
.
(2a + 1)
(2a + 1)
Queste due frazioni sono uguali quando i due numeratori sono
uguali. Possiamo cioè immaginare di moltiplicare entrambi i membri per il fattore 2a + 1, diverso da 0.
Esci
(2a + 1)(a + 1)x2 = (2a + 1 + a + 1)x − 1 −→
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−→ (2a2 + 3a + 1)x2 − (3a + 2)x + 1 = 0.
Bisogna osservare che l’equazione è di secondo grado solo se:
Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 9 di 30
Indietro
2a2 + 3a + 1 = (2a + 1)(a + 1) 6= 0
Un prodotto è diverso da zero solo se o un fatore (2a + 1) o l’altro
(a + 1) lo è, dunque il coefficente del termine di secondo grado è
diverso da zero solo se a 6= − 12 e a 6= −1. Ricodiamo che siamo già
nel caso a 6= − 12 , quindi consideriamo i due casi a = −1 e a 6= −1:
• nel caso in cui a = −1 sostituiamo nell’equazione e si ha una
sola soluzione.
(2a + 1)(a + 1)x2 − (2a + 1 + a + 1)x + 1 = 0 −→
−→ 0x2 + x + 1 = 0. −→ x = −1
Pieno Schermo
Chiudi
• nel caso in cui a 6= −1 calcoliamo il determinante di questa
equazione:
∆ = (3a+2)2 −4(2a2 +3a+1) = 9a2 +4+12a−8a2 −12a−4 = a2 ;
Esci
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Il determinante è sempre positivo, per a 6= 0. Nel caso in cui
sia a = 0, le due soluzioni sono coincidenti. Il valore è pari a
Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
x1,2 =
3a+2
L’equazione ha quindi come soluzioni coincidenti x = 2(2a+1)(a+1)
per a = 0. Per tutti gli altri valori del parametro a l’equazione
ha due soluzioni che sono:
x1,2 =
Pagine 10 di 30
(
=
Indietro
3a + 2
2(2a + 1)(a + 1)
3a+2+a
2(2a+1)(a+1)
3a+2−a
2(2a+1)(a+1)
=
=
3a + 2 ± a
=
2(2a + 1)(a + 1)
4a+2
2(2a+1)(a+1)
2a+2
2(2a+1)(a+1)
=
=
2(2a+1)
2(2a+1)(a+1)
2(a+1)
2(2a+1)(a+1)
=
=
Riassumendo:
Pieno Schermo
• a = − 12 è l’equazione è impossibile.
Chiudi
Esci
• a 6= − 12
– a = −1 l’equazione ha una soluzione x = −1
– a 6= −1 l’equazione ha due soluzioni reali.
1
a+1
1
2a+1
.
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 11 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
∗ a = 0 le due soluzioni sono coincidenti e sono: x =
3a+2
2(2a+1)(a+1)
∗ le due soluzioni sono distinte e sono: x =
1
.
x = 2a+1
1
a+1
e
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Esercizio 7
Risolvere la seguente equazione.
Titolo della Pagina
x+3
1
5+x
+
+
= 0.
(x2 − 2x + 1) (2x − 2) (1 − x2 )
Contenuti
Soluzione
JJ
II
Scomponiamo i denominatori nei loro fattori
J
I
1
5+x
x+3
+
+
= 0 −→
(x2 − 2x + 1) (2x − 2) (1 − x2 )
Pagine 12 di 30
−→
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
x+3
1
5+x
+
+
=0
2
(x − 1)
2(x − 1) (1 − x)(1 + x)
Escludendo i valori che annullano i denominatori x = ±1 possiamo
riportare tutte le frazioni ad uno stesso denominatore comune
2(x − 1)2 (x + 1) e concentrarci esclusivamente sui numeratori.
1
5+x
x+3
+
+
= 0 −→
(x − 1)2
2(x − 1) (1 − x)(1 + x)
Esci
−→ 2(x + 1)(x + 3) + (x2 − 1) − (5 + x) · 2(x − 1) = 0
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2(x2 + x + 3x + 3) + x2 − 1 − 10x + 10 − 2x2 + 2x = 0
2x2 + 8x + 6 − x2 − 8x + 9 = 0 −→ x2 = −15.
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 13 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Non esiste alcun valore reale che sostituito ad x possa soddisfare l’equazione, perchè un quadrato non può mai essere negativo.
L’equazione pertanto è impossibile.
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Esercizio 8
Risolvere la seguente equazione.
Titolo della Pagina
x2 − 2
3x − 4 x − 2
+
= 2
.
x−1
1−x
x − 2x + 1
Contenuti
Soluzione
JJ
II
Scomponiamo i denominatori nei loro fattori
J
I
3x − 4 x − 2
x2 − 2
+
=
.
x−1
1−x
(x − 1)2
Pagine 14 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Osserviamo che il denominatore della seconde frazione può essere
scritto 1 − x = −(x − 1). Sostituendo e mettendo il meno davanti
alla frazione si ha:
3x − 4 x − 2
x2 − 2
.
−
=
x−1
x−1
(x − 1)2
Escludendo il valore che annulla i denominatori x = 1 possiamo
concentrarci esclusivamente sui numeratori.
Esci
(3x − 4)(x − 1) − (x − 2)(x − 1) = x2 − 2.
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3x2 − 4x − 3x + 4 − (x2 − 2x − x + 2) = x2 − 2.
2x2 − 4x + 2 = x2 − 2.
Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 15 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
x2 − 4x + 4 = 0 −→ (x − 2)2 = 0 −→ x = 2
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Esercizio 9
Risolvere la seguente equazione.
Titolo della Pagina
x+a
3x
+
= 3.
2x − a (2x + a)
Contenuti
Soluzione
JJ
II
J
I
Escludendo i valori che annullano i denominatori x = ± a2 possiamo
riportare tutte le frazioni ad uno stesso denominatore comune
(2x − a)(2x + a) e concentrarci esclusivamente sui numeratori.
(x + a)(2x + a) + 3x(2x − a)
3(2x + a)(2x − a)
=
−→
(2x + a)(2x − a)
(2x + a)(2x − a)
Pagine 16 di 30
Indietro
−→ (x + a)(2x + a) + 3x(2x − a) − 3(2x + a)(2x − a) = 0
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
2
2x +2ax+ax+a2 +6x2 −3ax−12x2 +3a2 = 0 −→ −4x2 +4a2 = 0 −→ x2
Per tutti i valori del parametro a l’equazione ha due soluzioni che
sono:
√
x1,2 = ± a
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Esercizio 10
Risolvere la seguente equazione .
Titolo della Pagina
x
a
a2
+
= .
(x2 + ax) (x + a)
x
Contenuti
Soluzione
JJ
II
Scomponiamo i denominatori nei loro fattori
J
I
Pagine 17 di 30
Indietro
Pieno Schermo
a2
x
a
+
=
x(x + a) (x + a)
x
Escludendo i valori che annullano i denominatori x = 0 e x = −a
possiamo riportare tutte le frazioni ad uno stesso denominatore
comune x(x + a) e concentrarci esclusivamente sui numeratori.
a2
x2
a(x + a)
+
=
x(x + a) x(x + a)
x(x + a)
Chiudi
a2 + x2 = a(x + a)
Esci
a2 + x2 − ax − a2 = 0
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 18 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
(
x = 0;
x2 − ax = 0 −→ x(x − a) = 0 −→
x=a
La soluzione x = 0 è da escludere dunque l’unica soluzione
dell’equazione è x = a con a 6= 0.
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Esercizio 11
Risolvere la seguente equazione .
Titolo della Pagina
3a
x
1
=
= .
(x2 + 3ax)
(x + 3a)
x
Contenuti
Soluzione
JJ
II
Scomponiamo i denominatori nei loro fattori
J
I
x
1
3a
+
=
x(x + 3a) (x + 3a)
x
Pagine 19 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Escludendo i valori che annullano i denominatori x = 0 e x = −3a
possiamo riportare tutte le frazioni ad uno stesso denominatore
comune x(x + 3a) e concentrarci esclusivamente sui numeratori.
3a
x2
(x + 3a)
+
=
x(x + 3a) x(x + 3a)
x(x + 3a)
3a + x2 = x + 3a
x2 − x = 0
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 20 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
(
x = 0;
x2 − x = 0 −→ x(x − 1) = 0 −→
x=1
La soluzione x = 0 è da escludere dunque l’unica soluzione
dell’equazione è x = 1.
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Esercizio 12
Risolvere la seguente equazione .
Titolo della Pagina
x
x2 − 2a2
x
+
= 2
.
(x − a) (x − 2a)
x − 3ax + 2a2
Contenuti
Soluzione
JJ
II
Scomponiamo i denominatori nei loro fattori
J
I
x
x2 − 2a2
x
+
=
.
(x − a) (x − 2a)
(x − a)(x − 2a)
Pagine 21 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Escludendo i valori che annullano i denominatori x = a e x = 2a
possiamo riportare tutte le frazioni ad uno stesso denominatore
comune (x − a)(x − 2a) e concentrarci esclusivamente sui numeratori.
x(x − 2a)
x(x − a)
x2 − 2a2
+
=
.
(x − a)(x − 2a) (x − a)(x − 2a)
(x − a)(x − 2a)
x2 − 2ax + x2 − ax = x2 − 2a2 .
x2 − 3ax + 2a2 = 0
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Calcoliamo il determinante di questa equazione:
∆ = 9a2 − 8a2 = a2 ;
Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 22 di 30
Il determinante è sempre positivo, per a 6= 0. Nel caso in cui sia
a = 0, le due soluzioni sono coincidenti. Il valore è pari a
x1,2 =
3a
=0
2
Per tutti gli altri valori del parametro a l’equazione ha due
soluzioni che sono:
(
3a−a
= 2a
3a ± a
2
2 =a
.
x1,2 = x =
= 3a+a
4a
2
=
−10
2 = 2a
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Dunque l’equazione è impossibile perchè questi sono i valori da
escludere.
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Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 23 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Esercizio 13
In un’equazione di secondo grado, ridotta a forma normale, il primo
coefficiente è 2, il secondo -5 e una delle radici è 3. Trovare l’altra
radice e il terzo coefficiente.
Soluzione
In una equazione completa ax2 + bx + c = 0, la somma delle due
soluzioni è data dal rapporto − ab . In questo caso il problema ci
dice che la somma delle due soluzioni è pari a 52 e che una soluzione
vale x1 = 3. Possiamo ricavare la seconda soluzione.
x2 =
5
5−6
1
−3=
=− .
2
2
2
Il prodotto delle due soluzioni, che nel nostro caso è pari a − 32
equivale in generale al rapporto ac . Possiamo quindi ricavare il
terzo coefficiente moltiplicando il prodotto delle soluzioni per il
primo coefficiente 2.
1
c = a(x1 · x2 ) = 2 − · 3 = −3.
2
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Esercizio 14
Assegnata la seguente equazione:
Titolo della Pagina
x2 − 2kx + k + 6 = 0
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 24 di 30
Indietro
Pieno Schermo
a) Determinare i valori reali da attribuire a k affinchè le due
radici siano uguali.
b) Verificare che esiste un valore reale di k per cui una radice è
nulla e determinare il valore dell’altra radice.
Soluzione
a) Indichiamo le due radici coincidenti con r. Osservando la
forma dell’equazione, possiamo affermare che la somma delle
due radici deve essere pari a 2k.
r + r = 2k −→ r = k
Chiudi
Inoltre, essendo il primo coefficiente pari a 1, si ha che k + 6
è pari al prodotto delle due soluzioni.
Esci
r · r = r2 = k 2 = k + 6 −→ k 2 − k − 6 = 0
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Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 25 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Il determinante di questa equazione è pari a 1 + 24 = 25.
Troviamo quindi i valori del parametro che ci interessano.
√
1 ± 25
1±5
k1,2 =
=
2
2
Le radici sono quindi coincidenti quando il parametro k assume valore k1 = −2 o k2 = 3.
b) Per verificare che esiste un valore reale di k per cui una radice
si annulla basta imporre che il termine noto sia nullo . Nel
nostro caso il termine noto :k + 6 dunque il valore che si
cercava è k = −6.
Per calcolare l’altra radice si sostituisce il valore k = −6
nell’equazione e si ottiene:
(
x=0
x2 + 12x = 0 −→
x = −12
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Esercizio 15
Nella seguente equazione:
Titolo della Pagina
(k + 2)x2 − (3k + 4)x + 3k − 3 = 0
Contenuti
determinare i valori reali del parametro k in modo che:
JJ
II
a) Le radici siano reali e coincidenti;
J
I
b) Le radici siano opposte;
Pagine 26 di 30
c) La somma delle radici sia 3;
Indietro
d) La somma dei reciproci delle radici sia 3.
Pieno Schermo
Chiudi
Soluzione
a) Le radici siano reali e coincidenti quando il discriminante
nullo. Calcoliamolo:
Esci
∆ = (3k + 4)2 − 4(k + 2)(3k − 3) = −3k 2 + 12k + 40
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Contenuti
JJ
II
J
I
Risolviamo l’equazione ∆ = 0
−3k 2 + 12k + 40 = 0 −→ 3k 2 − 12k − 40 = 0 −→
√
√
6 ± 156
6 ± 36 + 120
=
=
−→ k1,2 =
3
3
√
√
6 ± 22 · 39
6 ± 3 39
=
=
3
3
b) Le radici siano oppostequandoo il coefficente del termine di
primo grado è nullo.
Pagine 27 di 30
3k + 4 = 0 −→ k = −
Indietro
4
3
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
c) Le due radici di un’equazione generica di II grado sono:
√
√
−b − b2 − 4ac
−b + b2 − 4ac
x1 =
; x2 =
2a
2a
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Contenuti
JJ
II
J
I
dunque la somma delle radici è:
√
√
−b − b2 − 4ac −b + b2 − 4ac
+
=
x1 + x2 =
2a
2a
√
√
−b − b2 − 4ac − b + b2 − 4ac
−2b
−b
=
=
=
2a
2a
a
Nel nostro caso:
−b
3k + 4
=
a
k+2
Imponiamo che la somma delle radici sia uguale a 3.
Pagine 28 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
3k + 4
=3
k+2
Per risolvere questa equazione dobbiamo, prima di tutto escludere gli zeri del denominatore, ovvero:k +2 6= 0 → k 6= −2
3k + 4
−3=0
k+2
3k + 4 − 3(k + 2)
=0
k+2
3k + 4 − 3k − 6)
=0
k+2
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 29 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
−2)
=0
k+2
Nessun valore di k risolve questa equazione.
d) Le due radici di un’equazione generica di II grado sono:
√
√
−b − b2 − 4ac
−b + b2 − 4ac
x1 =
; x2 =
2a
2a
dunque la somma dei reciproci delle radici è:
1
1
x2 + x1
+
=
=
x1
x2
x1 · x2
Nel nostro caso:
−b
a
c
a
=
−b a
−b
=
a c
c
−b
3k + 4
=
c
3k + 3
Imponiamo che la somma dei reciproci delle radici sia uguale
a 3.
3k + 4
=3
3k − 3
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Per risolvere questa equazione dobbiamo, prima di tutto escludere gli zeri del denominatore, ovvero:
Titolo della Pagina
3k + 3 6= 0 → k 6= −1
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 30 di 30
.
3k + 4
−3=0
3k − 3
3k + 4 − 3(3k − 3)
=0
3k − 3
Ora concentriamoci su numeratore:
3k + 4 − 3(3k − 3) = 0
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−6k + 13 = 0 −→ k =
Pieno Schermo
.
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13
6