Esame di stato scuola media – Esempio di tema d’esame 001 – UbiMath - 1
Quesito 1 Piano cartesiano ֍
In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale 𝑥O𝑦, si traccino le rette:
𝑟 ∶ 𝑦 = 2𝑥 − 2
1
𝑠 ∶𝑦 =− 𝑥+3
2
a) Determina, per via grafica e analitica, le coordinate del punto di intersezione P e di verificare
algebricamente il risultato ottenuto.
b) Calcola il perimetro e l’area del triangolo PRS, essendo R e S i punti di intersezione delle rette 𝑟
e 𝑠 con l’asse 𝑦 delle ordinate.
c) Scrivi l’equazione della retta 𝑡 parallela a 𝑟 e passante per l’origine 𝑥O𝑦.
Quesito 2 Geometria solida ֍
Un prisma quadrangolare regolare è sormontato da una piramide, essa pure quadrangolare regolare
e con la base coincidente con la faccia superiore del prisma. L’apotema della piramide misura 10
cm e il suo spigolo di base misura 16 cm. Il prisma è formato da due cubi uguali e sovrapposti.
Calcola la misura dell’area della superficie totale del solido, la misura del suo volume e il suo peso
sapendo che il prisma è realizzato in bronzo 14% (ps 8,9 g/cm3) e la piramide in alluminio (ps = 2,6
g/cm3).
Disegna, su di un foglio a parte, in assonometria cavaliera il solido descritto.
Quesito 3 Equazioni ֍
Risolvi e verifica le equazioni seguenti.
9𝑥 − 10𝑥 − 10 = − 2𝑥 + 2 − 9
−2𝑥 ∙ (𝑥 − 1) + (2𝑥 + 3)2 − 8𝑥 = 2𝑥 2 − 3
8 − 𝑥 2 3(𝑥 − 4) 2(20 − 𝑥)
+ =
+
10
3
3
30
Copyright© 1987-2015 owned by Ubaldo Pernigo, www-ubimath.org - contact: [email protected]
Il presente lavoro è coperto da Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 4.0 Internazionale
Esame di stato scuola media – Esempio di tema d’esame 001 – UbiMath - 2
Risolvi a scelta uno dei seguenti quesiti
Quesito 4° Acustica ֍
In una località conosciuta per la buona qualità dell’eco, dopo avere lanciato un grido, si percepisce
l’eco della propria voce dopo 7 secondi.
a) Calcolate a quale distanza si trova la parete che riflette la voce, sapendo che la velocità del
suono è circa 340 m/sec.
b) Se la distanza tra la persona e la parete che produce l’eco fosse di 2890 m, dopo quanto tempo
dall’emissione della voce si sentirebbe l’eco?
Quesito 4b Le leve ֍
Definisci e rappresenta in modo schematico i diversi tipi di leva che conosci, fanne un esempio per
tipo e indica se siano o meno vantaggiosi e perché.
Su una leva di primo genere è applicata una potenza di 40 N a 18 cm dal fulcro. Calcola a quale
distanza dal fulcro deve essere posta una resistenza di 60 N affinché il sistema risulti in equilibrio.
Quesito 4c Genetica ֍
L’emofilia A è una condizione recessiva vincolata al sesso per la quale in sangue non coagula
correttamente; qualsiasi piccola ferita può dare un’emorragia grave che, se non è prontamente
arrestata, può causare morte. E’ una malattia relativamente rara (1 caso ogni 10.000 persone) ma
di rilevante importanza sociale ed economia. E’ caratterizzata dalla carenza della globulina
antiemofiliaca o fattore VIII, ed è legata al sesso, perché il gene che presiede alla sintesi della
globulina antiemofiliaca è localizzato sul cromosoma X ed ha carattere recessivo. L’emofilia può
manifestarsi nella donna solo in quanto figlia di un emofiliaco e di una portatrice, oppure come
risultato di un complesso fenomeno di disattivazione del cromosoma sano.
Dopo aver spiegato il significato del termine recessività, spiega come l’emofilia può manifestarsi
nella donna solo in quanto figlia di un emofiliaco e di una portatrice.
Rispondi, quindi, ai quesiti seguenti.
1. Mostra, avvalendoti dei quadrati di Punnett, quale sia la probabilità che si manifesti la
malattia nella donna in quanto figlia di un emofiliaco e di una portatrice.
2. Se una malattia dipende da un gene residente sul cromosoma Y, qual è la probabilità per un
uomo malato di avere figli maschi sani? E di avere figlie sane?
Copyright© 1987-2015 owned by Ubaldo Pernigo, www-ubimath.org - contact: [email protected]
Il presente lavoro è coperto da Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 4.0 Internazionale
Esame di stato scuola media – Esempio di tema d’esame 001 – UbiMath - 3
Quesito 1 Piano cartesiano
 y  2x  2  y  2x  2
 y  2x  2
 y  2 x  2 y  4  2  2







1
1
y   x  32 x  2   x  34 x  4   x  65 x  10  x  2

2
2


𝑃𝑅 = √(𝑥𝑃 − 𝑥𝑅 )2 + (𝑦𝑃 − 𝑦𝑅 )2 = √(2 − 0)2 + (2 + 2)2 = √4 + 16 = √20 = 2√5 ≈ 4,47 𝑐𝑚
𝑃𝑆 = √(𝑥𝑃 − 𝑥𝑆 )2 + (𝑦𝑃 − 𝑦𝑆 )2 = √(2 − 0)2 + (3 − 2)2 = √4 + 1 = √5 ≈ 2,24 𝑐𝑚
𝑆𝑅 = |𝑦𝑆 − 𝑦𝑅 | = |3 − (−2)| = 5 𝑐𝑚
2𝑝 = (5 + 2√5 + √5)𝑐𝑚 = (5 + 3√5)𝑐𝑚 ≈ (5 + 4,47 + 2,24) ≈ 11,71 𝑐𝑚
Essendo il triangolo rettangolo in P (𝑟 ⊥ 𝑠) posso calcolare l’area usando come base e altezza i due
cateti PS e PR del triangolo dato.
𝑏 ∙ ℎ 𝑃𝑅 ∙ 𝑃𝑆 2√5 ∙ √5
=
=
= √5 ∙ 5 = 5 𝑐𝑚2
2
2
2
L’equazione della retta t parallela a r e passante per l’origine xOy deve avere lo stesso coefficiente
angolare (2) e intercetta 0 (incontra l’asse delle y in 0).
𝐴=
𝑡: 𝑦 = 2𝑥
da cui
𝑟: 𝑦 = 2𝑥 − 2 || 𝑡: 𝑦 = 2𝑥
Copyright© 1987-2015 owned by Ubaldo Pernigo, www-ubimath.org - contact: [email protected]
Il presente lavoro è coperto da Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 4.0 Internazionale
Esame di stato scuola media – Esempio di tema d’esame 001 – UbiMath - 4
Quesito 2 Geometria solida
PIRAMIDE
𝑠 2
ℎ = √𝑎2 − ( ) = √102 − 82
2
ℎ = √100 − 64 = √36 = 6 𝑐𝑚
𝐴𝑏 = 𝑠 2 = 162 = 256 𝑐𝑚2
2𝑝 ∙ 𝑎
4 ∙ 16 ∙ 10
=
= 320 𝑐𝑚2
2
2
𝐴𝑏 ∙ ℎ 256 ∙ 6
𝑉=
=
= 512 𝑐𝑚3
3
3
𝐴𝑙 =
CUBO
𝐴𝑏 = 𝑠 2 = 256 𝑐𝑚2
SOLIDO
𝐴𝑡 = 9 𝐴𝑏 𝑐𝑢𝑏𝑜 + 𝐴𝑙 𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 = 9 ∙ 256 + 320 = 2304 + 320 = 2624 𝑐𝑚2
𝑉𝑡 = 2 ∙ 4096 + 512 = 8192 + 512 = 8704 𝑐𝑚3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 8192 ∙ 8,9 + 512 ∙ 2,6 = 72.908,8 + 1331,2 = 74.240 𝑔
L’assonometria Cavaliera fa riferimento a tre assi (sistema 𝑥𝑦𝑧).
L’asse x forma un angolo a 45° rispetto all’orizzontale e al verticale. Le misure delle dimensioni
riferite agli assi y e z rispecchiano quelle reali (scala 1:1) mentre le misure delle dimensioni riferite
all’asse x vanno ridotte della metà (scala 1:2).
Copyright© 1987-2015 owned by Ubaldo Pernigo, www-ubimath.org - contact: [email protected]
Il presente lavoro è coperto da Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 4.0 Internazionale
Esame di stato scuola media – Esempio di tema d’esame 001 – UbiMath - 5
Quesito 3 Equazioni
9𝑥 – 10𝑥 – 10 = − 2𝑥 + 2 – 9
9(3)– 10(3)– 10 = − 2(3) + 2 – 9
9𝑥 – 10𝑥 + 2𝑥 = + 2 – 9 + 10
27 – 30 – 10 = − 6 + 2 – 9
– 𝑥 + 2𝑥 = – 7 + 10
− 3 – 10 = − 4 – 9
𝒙 = 𝟑
− 𝟏𝟑 = − 𝟏𝟑
 2 x   x  1  2 x  3  8 x  2 x 2  3
 2 2    2  1  2 2   3  8 2   2 2   3
 2 x 2  2 x  4 x 2  12 x  9  8 x  2 x 2  3
 4   3   4  3  16  24   1
 2 x 2  4 x 2  2 x 2  2 x  12 x  8 x  3  9
 12   1  16  8  3
2 x  12 x  8 x  12
 12  1  16  5
 6 x  12
 11  16  5
x   12  2
6
55
2
8 x
2 3
 
10
3

x4
3

2
 20 
30
3(8 − 𝑥) + 20 = 30(𝑥 − 4) + 2(20 − 𝑥)
3(8 − 𝑥) + 20 = 30(𝑥 − 4) + 2(20 − 𝑥)
24 − 3𝑥 + 20 = 30𝑥 − 120 + 40 − 2𝑥
−3𝑥 − 30𝑥 + 2𝑥 = −120 + 40 − 24 − 20
−31𝑥 = −124
2
2
x
2

8 − x 2 3(x − 4) 2(20 − x)
+ =
+
10
3
3
30
8 − 4 2 3(4 − 4) 2(20 − 4)
+ =
+
10
3
3
30
4 2 32
+ =
10 3 30
12 + 20 32
=
30
30
31𝑥 = 124
𝑥=4
Copyright© 1987-2015 owned by Ubaldo Pernigo, www-ubimath.org - contact: [email protected]
Il presente lavoro è coperto da Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 4.0 Internazionale
2
Esame di stato scuola media – Esempio di tema d’esame 001 – UbiMath - 6
Quesito 4 Acustica
In una località conosciuta per la buona qualità dell’eco, dopo avere lanciato un grido, si percepisce
l’eco della propria voce dopo 7 secondi.
a) Calcolate a quale distanza si trova la parete che riflette la voce, sapendo che la velocità del
suono è circa 340 m/sec.
b) Se la distanza tra la persona e la parete che produce l’eco fosse di 2890 m, dopo quanto
tempo dall’emissione della voce si sentirebbe l’eco?
Conoscenze richieste
Nell'aria, la velocità del suono è di 331,5 m/s a 0 °C (pari a 1193,4 km/h) e di 343 m/s a 20 °C.
La velocità in generale varia secondo la relazione a = 331,4 + 0,62 t [misurata in °C].
Per comodità si utilizza di norma un valore di riferimento pari a 340 m/s.
7
∶𝑥
2
7
𝑥 = 340 ∙ : 1 = 170 ∙ 7 = 1190 𝑚
2
1 ∶ 340 =
1 ∶ 340 = 𝑦 ∶ 2890
2890
17
850
=
= 8,5 = (
) 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖
340
2
100
𝑦’ ∶ 60 = 850 ∶ 100
𝑦 =
𝑦’ =
60 ∙ 850
= 5,1 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖
100
Copyright© 1987-2015 owned by Ubaldo Pernigo, www-ubimath.org - contact: [email protected]
Il presente lavoro è coperto da Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 4.0 Internazionale
Esame di stato scuola media – Esempio di tema d’esame 001 – UbiMath - 7
Quesito Le leve
Definisci e rappresenta in modo schematico i diversi tipi di leva che conosci, fanne un esempio per
tipo e indica se siano o meno vantaggiosi e perché.
Su una leva di primo genere è applicata una potenza di 40 N a 18 cm dal fulcro. Calcola a quale
distanza dal fulcro deve essere posta una resistenza di 60 N affinché il sistema risulti in equilibrio.
1^ tipo o genere
2^ tipo
3^ tipo
Fulcro tra potenza e
resistenza
Resistenza tra fulcro e
potenza
Potenza tra fulcro e
resistenza
potenza fulcro resistenza
potenza resistenza fulcro
fulcro potenza resistenza
Indifferente
Vantaggiosa
Svantaggiosa
altalena
schiaccianoci
Attizzatoio
Interfulcrata
Una leva è in equilibrio quando il prodotto dell’intensità della potenza per il suo braccio è uguale al
prodotto dell’intensità della resistenza per il suo braccio:
⃗ ∙ bp = R
⃗ ∙ br
P
40 𝑁 ∙ 18 cm = 60 𝑁 ∙ br
Per il secondo principio di equivalenza abbiamo
1
1
= 40 ∙ 18 ∙
60
60
18 𝑁 ∙ 40 𝑐𝑚
𝑏𝑟 =
= 3 ∙ 4 = 12 𝑐𝑚
60 𝑁
60 ∙ br ∙
Copyright© 1987-2015 owned by Ubaldo Pernigo, www-ubimath.org - contact: [email protected]
Il presente lavoro è coperto da Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 4.0 Internazionale
Esame di stato scuola media – Esempio di tema d’esame 001 – UbiMath - 8
Quesito 4c Genetica
L’emofilia A è una condizione recessiva vincolata al sesso per la quale in sangue non coagula
correttamente; qualsiasi piccola ferita può dare un’emorragia grave che, se non è prontamente
arrestata, può causare morte. E’ una malattia relativamente rara (1 caso ogni 10.000 persone) ma
di rilevante importanza sociale ed economia. E’ caratterizzata dalla carenza della globulina
antiemofiliaca o fattore VIII, ed è legata al sesso, perché il gene che presiede alla sintesi della
globulina antiemofiliaca è localizzato sul cromosoma X ed ha carattere recessivo. L’emofilia può
manifestarsi nella donna solo in quanto figlia di un emofiliaco e di una portatrice, oppure come
risultato di un complesso fenomeno di disattivazione del cromosoma sano.
Dopo aver spiegato il significato del termine recessivo, spiega come l’emofilia può manifestarsi
nella donna solo in quanto figlia di un emofiliaco e di una portatrice.
Recessività: Dove l’espressione di un allele è mascherata dal suo allele alternativo
(Esempio: rugoso vs liscio = liscio)
Il maschio può trasmettere alla propria discendenza sia il cromosoma Y sia quello X.
Poiché le femmine hanno, invece, due cromosomi X, e il carattere è recessivo, cioè non si manifesta
solo se uno dei cromosomi è normale, le donne sono portatrici asintomatiche della malattia.
I maschi, invece, hanno un solo un cromosoma X e quindi l’anomalia, legata al cromosoma X,
compare nei maschi che abbiano ereditato il cromosoma difettoso.
L’anomalia può pertanto manifestarsi in una donna figlia di padre malato, che deve dare cromosoma
𝑋 𝑒 con il gene con l’informazione recessiva, e di madre portatrice (𝑋 𝑒 𝑋 𝑒 ), che fornisce a sua volta il
cromosoma 𝑋 𝑒 con l’altra informazione recessiva.
Mostra, avvalendoti dei quadrati di Punnett, quale sia la probabilità che si manifesti la malattia
nella donna in quanto figlia di un emofiliaco (𝑋 𝑒 𝑌) e di una portatrice (𝑋 𝑒 𝑋).
e
X
e
Y
X
XX
XeY
X
XeX
XY
e
e
Le relative percentuali dunque saranno:
Genotipo
𝑋𝑒 𝑋𝑒
𝑋𝑒 𝑋
𝑋𝑒 𝑌
𝑋𝑌
Fenotipo
Femmina affetta da emofilia
Femmina portatrice sana
Uomo affetto da emofilia
Uomo sano
Percentuale
1/4 = 25%
1/4 = 25%
1/4 = 25%
1/4 = 25%
Se una malattia dipende da un gene residente sul cromosoma Y, qual è la probabilità per un
uomo malato di avere figli maschi sani? E di avere figlie sane?
Se la malattia dipende dal cromosoma Y, la probabilità per un uomo malato di avere figli maschi (𝑋𝑌)
sani è dello 0% perché il cromosoma Y da loro ereditato è solamente quello del padre. La probabilità,
invece, di avere figlie sane è del 100% perché le donne non ereditano il cromosoma Y.
Copyright© 1987-2015 owned by Ubaldo Pernigo, www-ubimath.org - contact: [email protected]
Il presente lavoro è coperto da Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 4.0 Internazionale