LE POTENZE
POTENZE AD ESPONENTE NATURALE
Si definisce potenza con base a ≥ 0 e esponente un numero naturale
fattori tutti uguali alla base
n e si scrive a n il prodotto di n
a : a n = a1⋅ 4
a2
⋅ a...
⋅a .
43
n . volte
casi particolari:
1)
a 0 = 1 con a ≠ 0 ogni potenza con esponente nullo è uguale a 1
2)
a1 = a con a ≠ 0 ogni potenza con esponente unitario è uguale alla base
3)
0 n = 0 con n ≠ 0 ogni potenza con esponente nullo è uguale a zero
4)
00
espressione priva di significato
PROPRIETÀ DELLE POTENZE
n
p
n+ p
1) a ⋅ a = a
prodotto di potenze stessa base
n
p
n− p
2) a ÷ a = a
quoziente di potenze stessa base
n
n
n
3) a ⋅ b = (a ⋅ b )
prodotto di potenze stesso esponente
4)
5)
a n ÷ b n = (a ÷ b )
n
(a )
n p
quoziente di potenze stesso esponente
= a n⋅ p
potenza di potenza
POTENZE AD ESPONENTE INTERO E RAZIONALE
La base è un numero reale positivo
1)
2)
n
p
a = a
−
3)
1
an
a−n =
a
p
n
p
=
2
5
a
. In particolare:
1
2
3 = 3 ; 4 = 2 41 = 2 4 = 2
n
n
p
e l’esponente un numero razionale
n
p
1 −4 1
1
; 2 = 4 =
3
2
16
3−1 =
1
a
R
+
=
−
1
p
3
an
5
1
2
=
2
1
3
1
2
1
3
=
POTENZE AD ESPONENTE REALE
+
La base è un numero reale positivo R e l’esponente un numero reale . Esempi:
1)
3
5
2)
3
5
2
−
3)
3
5
2
FACOLTA’ DI ARCHITETTURA PESCARA
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LA FUNZIONE ESPONENZIALE
Dato un numero reale a > 0 e un numero reale x si definisce funzione esponenziale l’espressione y = a x ,
con base a ed esponente x .
Per rappresentare graficamente in un piano la funzione esponenziale bisogna distinguere 3 casi:
1°. a = 1 , l’espressione diventa y = 1x e per qualunque valore della variabile x l’espressione è sempre
uguale a y = 1 , equazione di una retta parallela all’asse x .
2°. a > 1 , esempio a = 2 , la funzione esponenziale sarà y = 2 x . Servendosi della tabella seguente è
possibile rappresentare graficamente la funzione proposta:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
0,125
0,25
0,5
1
2
4
8
16
32
35
30
25
20
15
10
5
0
-4
-2
0
2
4
6
punti caratteristici:
a) la curva passa sempre per il punto di coordinate (0;1) in quanto ogni potenza con esponente zero
vale uno;
b) se alla variabile x diamo incrementi unitari la variabile y raddoppia i suoi valori ( il raddoppio è
dovuto proprio alla base posta uguale a 2 ) ;
c) al crescere della variabile x cresce anche la variabile y e viceversa;
d) i valori della variabile y sono sempre positivi;
e) se alla x diamo valori sempre maggiori la variabile y assume valori sempre più grandi , in particolare
se la x cresce indefinitamente anche la y cresce indefinitamente ; questo aspetto possiamo anche
tradurlo nella seguente relazione
lim 2
x → +∞
f)
x
= +∞ il limite per x che tende a più infinito di 2 x tende a + infinito
se alla x diamo valori sempre più piccoli , di segno negativo, la variabile y assume valori sempre più
piccoli , sempre positivi , prossimi a zero. Anche questo aspetto possiamo tradurlo nella relazione:
lim 2
x → −∞
x
=0
il limite per x che tende a meno infinito di 2 x tende a 0
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1
1
, la funzione esponenziale sarà y =  
2
 2
rappresentare graficamente la funzione proposta:
3°. a < 1 , esempio a =
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
8
4
2
1
0,5
0,25
0,125
0,0625
0,03125
x
. Servendosi della tabella è possibile
10
8
6
4
2
0
-4
-2
0
2
4
6
punti caratteristici:
a) la curva passa sempre per il punto di coordinate (0;1) ;
b) se alla variabile x diamo incrementi unitari la variabile y dimezza i suoi valori ( il dimezzamento è
dovuto proprio alla base posta uguale a ½ ) ;
c) al crescere della variabile x decresce la variabile y e viceversa;
d) i valori della variabile y sono sempre positivi;
e) se alla x diamo valori sempre maggiori la variabile y assume valori sempre più piccoli, prossimi allo
zero; in particolare se la x cresce indefinitamente la y tende a zero ; questo aspetto possiamo anche
tradurlo nella seguente relazione
x
x
1
1
=
0


il
limite
per
x
che
tende
a
più
infinito
di
tende a 0


im
2
x → +∞  2 
l
f)
se alla x diamo valori sempre più piccoli , di segno negativo, la variabile y assume valori sempre più
grandi , sempre positivi . In particolare se la x decresce indefinitamente la y cresce indefinitamente ;
questo aspetto possiamo anche tradurlo nella seguente relazione
x
1
lx →im−∞  2  = +∞
x
1
il limite per x che tende a meno infinito di   tende a + infinito
2
Grafico comparato di due funzioni esponenziali con base reciproca 2 e ½:
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Quanto più la base a si avvicina a 1 tanto più lenta è la crescita della funzione ( variabile y ) e il
corrispondente grafico si avvicina a quello della retta y=1.
Quanto più la base a si allontana da 1 tanto più veloce è la crescita della funzione .
Esempio comparato con diversi basi:
valore
della x
base 2
valore della y
y = 2x
base 3
valore della y
y = 3x
base 10
valore della y
y = 10 x
-5
0,03
0,004
0,00001
-4
0,06
0,01
0,0001
-3
0,13
0,04
0,001
-2
0,25
0,11
0,01
-1
0,50
0,33
0,10
0
1
1
1
1
2
3
10
2
4
9
100
3
8
27
1.000
4
16
81
10.000
5
32
243
100.000
Una legge esponenziale esprime una crescita ( o una decrescita se la base è minore di 1 ) che sfugge a ogni
controllo , “la crescita ( o decrescita ) avviene in modo così rapido che nel linguaggio comune si utilizza la
locuzione andamento esponenziale proprio per indicare la sua incontrollabilità” .
Alla funzione esponenziale è associabile l’equazione esponenziale y = a x , esponenziale proprio perché la
variabile x figura all’esponente a differenza delle equazioni polinomiali con la x che figura come base.
LA FUNZIONE LOGARITMICA
La funzione inversa dell’esponenziale è chiamata funzione logaritmica, dall’espressione y = a x si passa
all’espressione x = log a y , dove a è chiamata base del logaritmo, y argomento del logaritmo e x il risultato
del logaritmo.
Nell’esponenziale dato il valore dell’esponente x e si calcola la potenza a x ,nella logaritmica dato il valore
dell’argomento y si calcola il logaritmo log a y e si pone uguale a x .
DEFINIZIONE DI FUNZIONE LOGARITMICA: dato un numero reale a > 0 diverso da 1 e un numero reale
positivo x si definisce funzione logaritmica l’espressione y = log a x , con base a ed argomento x
l’esponente y a cui bisogna elevare la base per avere x , a y = x .
Per rappresentare graficamente in un piano la funzione logaritmica bisogna distinguere 2 casi:
1°. a > 1 , esempio a = 2 , la funzione logaritmica sarà y = log 2 x . Servendosi della tabella seguente è
possibile rappresentare graficamente la funzione proposta:
x
1
10
20
50
100
1.000
10.000
y
0
3,32
4,32
5,64
6,64
9,97
13,29
x
1/2
1/10
1/20
1/50
1/100
1/1000
1/10.000
y
-1
-3,32
-4,32
-5,64
-6,64
-9,97
-13.29
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2°. 0 < a < 1 , esempio a =
1
, la funzione logaritmica sarà y = log 1 x . Servendosi della tabella seguente è
2
2
possibile rappresentare graficamente la funzione proposta:
x
1
10
20
50
100
1.000
10.000
y
0
-3,32
-4,32
-5,64
-6,64
-9,97
-13,29
COMANDO DERIVE: funzione predefinita log(x,a) logaritmo dell’argomento x con base a
COMANDO EXCEL:
funzione predefinita log(x;a) logaritmo dell’argomento x con base a
punti caratteristici:
a) la curva passa sempre per il punto di coordinate (1;0 ) in quanto ogni potenza con esponente zero
vale uno;
b) i valori della variabile x sono sempre positivi;
c) mentre la funzione esponenziale cresce ( decresce se a<1 ) rapidamente, la funzione logaritmica pur
essendo crescente ( decrescente se a<1 ) cresce ( decresce se a<1 ) sempre più lentamente ;
d) se la x si avvicina al valore zero la variabile y tende ad un valore infinitamente positivo o negativo , in
particolare :
lim log
a
x = +∞ il limite per x che tende a 0 da destra, con 0 < a < 1 tende a + ∞
lim log
a
x = −∞ il limite per x che tende a 0 da destra , con a > 1 tende a − ∞
x → +0
+
x → +0 +
e) se la base e l’argomento sono entrambi maggiori di 1 o entrambi minori di 1 il logaritmo è positivo,
se la base è minore di 1 e l’argomento maggiore di 1 ( e viceversa ) il logaritmo è negativo.
Nell’analisi matematica spesso viene utilizzato come base del logaritmo il numero di Neper e , numero
irrazionale ( ≈ 2,71828... ottenuto da un limite particolare che vedremo nel capitolo dei limiti.
Il logaritmo con base e è indicato in modi diversi : log x , con base sottinteso il numero e , oppure con il
simbolo ln x .
COMANDO DERIVE e EXCEL: funzione predefinita ln(x) logaritmo dell’argomento x con base e
Grafico comparato di due funzioni logaritmiche con base reciproca 3 e 1/3:
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grafico della funzione logaritmica
con base diversa , 2, 3 e 4
comando DERIVE
VECTOR(LOG(x, a), a, 2, 4)
Cliccare sul pulsante semplifica =
e tracciare il grafico
DEFINIZIONE DI LOGARITMO
Dati due numeri reali positivi a e b con a ≠ 1 si dice logaritmo di base a di un numero b l’esponente c a
cui bisogna elevare la base per ottenere b ,
log a b = c ⇒ a c = b
esempi
log 2 8 = 3 ⇒ 23 = 8 ; log 4 16 = 2 ⇒ 4 2 = 16 ; log 4 4 = 1 ⇒ 41 = 4 ; log 4 1 = 0 ⇒ 40 = 1
2
log 4
4
1
1
1
1
1
1
1
1
=4⇒  =
= −1 ⇒ 4−1 = ; log 1 = 2 ⇒   = ; log 1
4
4
16
16
4
4
 2
2
2
2
log a 0 = IMPOSSIBILE ⇒ non esiste potenza con risultato pari a 0 .
PROPRIETÀ DEI LOGARITMI:
1)
log a (b ⋅ c ) = log a b + log a c
logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi
log 2 (8 ⋅ 4) = log 2 8 + log 2 4
2)
b
log a ( ) = log a b − log a c
c
logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi
log 2 (8 ÷ 4) = log 2 8 − log 2 4
3)
log a b n = n ⋅ log a b
logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per il
logaritmo
log 2 4 2 = 2 ⋅ log 2 4
1
4)
log a n b = log a b n =
5)
log a b =
log m b
log m a
1
⋅ log a b
n
1
log 2 5 3 = ⋅ log 2 3
5
cambio di base
log 2 5 =
log10 5
log10 2
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EQUAZIONI ESPONENZIALI
È l’equazione in cui la variabile figura all’esponente:
ax = b .
La soluzione è data dall’ascissa del punto in cui si
 y = ax
intersecano le due curve 
y = b
y = ax
1) se b ≤ 0 la retta non incontra la
funzione e pertanto non ci sono
soluzioni
reali,
l’equazione
è
impossibile;
2) se b > 0 la curva e la retta si
incontrano in un solo punto,
l’equazione ammette una soluzione.
y=b
RISOLUZIONE EQUAZIONI ESPONENZIALI
1°) CASO: entrambi i membri dell’equazione si posso no esprimere come potenze aventi la stessa base, la
soluzione si ottiene dall’equazione ottenuta uguagliando i polinomi dei due esponenti:
a f ( x ) = a g ( x ) → f ( x) = g ( x)
esempio:
[ ] →2
2 x −1 = 4 x → 2 x −1 = (2 )
2 x
x −1
= 2 2 x → x − 1 = 2 x → − x = 1 → x = −1
2°) CASO: i membri dell’equazione non si possono es primere come potenze aventi la stessa base, la
soluzione si ottiene prendendo i logaritmi di entrambi i membri :
a x = b → log m a x = log m b → x ⋅ log m a = log m b =→ x =
log m b
log m a
esempio:
2 x −1 = 25 → log 2 x −1 = log 25 → (x − 1) ⋅ log 2 = log 25 → ( x − 1) =
log 25
log 25
→x=
+1
log 2
log 2
3°) CASO: nei due membri dell’equazione ci sono es pressioni additive:
a. le espressioni additive si trasformano in espressioni moltiplicative
2
3x − 3x −1 = 2 x → 3x ⋅ (1 − 3−1 ) = 2 x → 3x = 2 x → si prosegue come il caso precedente
3
2x
x
x
2x
2
b. l’espressione additiva si può ridurre alla forma ak + bk + c = 0 , si pone k = y → k = y
esempio:
e
l’equazione
esponenziale
diventa
un’equazione
polinomiale
di
secondo
grado
ay + by + c = 0
2
esempio:
3 − 4⋅3 + 3 = 0 → 3 = y
sostituendo di nuovo rispetto alla variabile x
2x
x
y = 1 → 3x = 1 → x = 0 accettabile
x
→ 32 x = y 2 → y 2 − 4 y + 3 = 0 y = +1; y = +3
y = 3 → 3x = 3 → x = 1 accettabile
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e
EQUAZIONI LOGARITMICHE
È l’equazione in cui la variabile figura come argomento del logaritmo. Occorre tenere presente che
l’argomento deve essere positivo e pertanto bisogna inizialmente verificare l’intervallo all’interno del quale è
definito il logaritmo .
Per risolvere l’equazione logaritmica si cerca di portare l’espressione nella forma
log f ( x ) = log g ( x ) → f ( x ) = g ( x )
esempi:
1) log(3 x − 1) = log( 2 x ) si imposta il sistema imponendo che gli argomenti siano positivi e si applica una
delle proprietà dei logaritmi ( stessa base imponiamo che i due argomenti siano uguali )
3x − 1 > 0
3x − 1 > 0
1



x >
log(3 x − 1) = log( 2 x ) 2 x > 0
→ 2 x > 0
→ 
3
3x − 1 = 2 x
3x − 1 = 2 x
 x = 1 → accettabil e


x > 0
x > 0
1


1

x >

→ x >
→ 
2) log 3 x + log 3 ( 2 x − 1) = 1
2
2 x − 1 > 0
2
log [x ⋅ (2 x − 1)] = 1
 x ⋅ ( 2 x − 1) = 3

1
 3
 x ⋅ (2 x − 1) = 3
1

x>

1

2

x >
→  x = −1 non accettabile
2

2
2 x − x − 3 = 0

3 accettabile

x =
2

DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE
Per risolvere le equazioni esponenziali e logaritmiche bisogna considerare i due casi:
1°)
a >1
a f ( x ) > a g ( x ) →→ f ( x ) > g ( x )
 f (x)
< a g ( x ) →→ f ( x ) < g ( x )
a
log a f ( x ) > log a g ( x ) → f ( x ) > g ( x )

log a f ( x ) < log a g ( x ) → f ( x ) < g ( x )
2°)
3x +1 > 32 x → x + 1 > 2 x → − x > −1 → x < 1
2 x +1 < 2 2 x → x + 1 < 2 x...
x + 1 > 0

log 2 ( x + 1) > log 2 ( 2 x + 3) → 2 x + 3 > 0
→ IMP
 x + 1 > 2 x + 3...

0 < a <1
a f ( x ) > a g ( x ) →→ f ( x ) < g ( x )
 f (x)
< a g > ( x ) →→ f ( x ) > g ( x )
a
1
 
 3
log a f ( x ) > log a g ( x ) → f ( x ) < g ( x )

log a f ( x ) < log a g ( x ) → f ( x ) > g ( x )
x +1
2x
 1
>   → x + 1 < 2 x → − x < −1 → x > 1
 3
x + 1 > 0

log 1 ( x + 1) > log 1 ( − x + 3) → − x + 3 > 0
3
3
x + 1 < − x + 3

soluzione − 1 < x < 1
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